結(jié)構(gòu)力學(xué)課件：II_6-8講_動力計算

1、第12章 結(jié)構(gòu)的動力計算12-1 動力計算概述12-2 單自由度體系的自由振動12-3 單自由度體系在簡諧荷載下的強(qiáng)迫振動12-4 單自由度體系在一般荷載下的強(qiáng)迫振動12-5 多自由度體系的自由振動12-6 多自由度體系的強(qiáng)迫振動12-7 近似法求結(jié)構(gòu)的自振頻率 12-1 動力計算概述1. 動力計算的特點(diǎn)靜力荷載動力荷載隨時間變化；產(chǎn)生不可忽略慣性力.(2) 動力計算的特性(1) 荷載例: 風(fēng)荷載、 地震作用、車輛行駛振動與時間相關(guān)；考慮質(zhì)量與慣性力.2. 動力荷載的分類(1) 周期荷載(2) 沖擊荷載: 如爆炸荷載、高空墜物(3) 隨機(jī)荷載,如: 地震作用、風(fēng)荷載otFP(t)簡諧荷載非簡諧

2、周期荷載otFP(t)totrFP(t)急劇增大totdFP(t)急劇減小確定性荷載非確定性/隨機(jī)荷載荷載3. 動力自由度確定全部質(zhì)量位置所需的獨(dú)立參數(shù)數(shù)目嚴(yán)格說, 均為無限自由度(1) 集中質(zhì)量法動力方程為偏微分方程簡化動力體系不易求解2個自由度a) 如何判定質(zhì)點(diǎn)體系的動力自由度？將質(zhì)點(diǎn)處為結(jié)點(diǎn)，獨(dú)立結(jié)點(diǎn)線位移數(shù)=動力自由度例：確定下列結(jié)構(gòu)的動力自由度 (忽略軸向變形).xy2個自由度結(jié)論：質(zhì)點(diǎn)數(shù) 不一定等于 自由度數(shù)單自由度帶剛性質(zhì)量塊 (有尺寸)b) 帶無限剛度質(zhì)量塊體系的動力自由度？另計質(zhì)量塊的獨(dú)立線/角位移數(shù)3自由度彈性地基(2) 其它簡化方法 a) 廣義坐標(biāo)法 如：振型分解法 b)

3、 有限單元法12-2 單自由度體系的自由振動1. 振動的微分方程(1) 剛度法 (平衡條件) ：無阻尼振動：Fy=0 (2) 柔度法 (計算質(zhì)點(diǎn)m的位移) ：單位力產(chǎn)生的位移：慣性力：質(zhì)點(diǎn)位移：m12-2-1 無阻尼自由振動ykmymkym恢復(fù)力慣性力剛度法先求剛度系數(shù)，再列平衡方程；柔度法先求柔度系數(shù)，再求慣性力作用下的位移。柔度法與剛度法的比較：例12-1 (P.88)yEI l2. 微分方程的解圓頻率c1、c2由初始條件確定已知：初速度引起初位移引起Oy0ty(t)Oaty(t)-aOty(t)振幅初始相位角3. 自振周期：頻率：圓頻率：單位時間振動的次數(shù)2個單位時間振動的次數(shù)1) T計

4、算式的幾種形式：a)b)c)d)st=W質(zhì)點(diǎn)沿振動方向施加W荷載產(chǎn)生的靜位移2) 自振周期/頻率的特性： a) 只與結(jié)構(gòu)自身的m、k有關(guān)，與外界因素?zé)o關(guān)； b) 與m1/2 成正比，與k1/2 成反比； c) 結(jié)構(gòu)的固有特性。例2：求剛性桿體系的自振頻率。2) 豎向振動：1) 水平振動：例1：例10-2, P.359 EI, EA lW2mmEI=Akl材料介質(zhì)摩擦結(jié)構(gòu)-支承摩擦周圍介質(zhì)阻力粘滯阻尼，其它阻尼c：粘滯阻尼常數(shù)12-2-2 有阻尼自由振動阻尼來源阻尼種類粘滯阻尼體系振動微分方程：kmyykymc = 0: 無阻尼 (undamped)0 1: 過阻尼 (overdamped) 阻

5、尼比1. 有阻尼自由振動特征方程：kmyykymc1) 低阻尼體系 ( 1) 無振動無振動, 曲線參見圖10-27,(P.369)12-3 單自由度體系在簡諧荷載下的強(qiáng)迫振動振動微分方程： 荷載圓頻率特解：完整解：體系在靜荷載F作用下的靜位移12-3-1 無阻尼強(qiáng)迫振動設(shè):y兩部分組成平穩(wěn)階段：完整解：1) 按 的振動瞬態(tài)響應(yīng)(有阻尼時將逐漸消退)2) 按 的振動平穩(wěn)響應(yīng)動力系數(shù)：1203123|1)： 1可作靜荷載;2)： 1 隨/ 增大而增大;3)：| |振幅 ：共振，有阻尼時振幅很大;4)：| |隨/ 增大而減小.1)2) 荷載圓頻率：3)4)例1：求鋼梁在豎向簡諧荷載作用下強(qiáng)迫振動 的

6、動力放大系數(shù)和最大正應(yīng)力?？缰校豪?2-3 (P.97)m例2：外荷載與慣性力不重合，求MA,max。 A慣性力：慣性力幅值：平穩(wěn)振動: y= yP sin( t ) yP=yst，伴生振動，很快衰減平穩(wěn)振動動力系數(shù)12-3-2 有阻尼強(qiáng)迫振動 0T/2, =2, t=T/2時, y=ymax , 發(fā)生于階段I 和 ymax取決于荷載持續(xù)時間u0.51/612100, t0P0 , 0 t uP(t)=b) 若u Y1 鞭梢效應(yīng)m1y2(t)m2y1(t)-m2 y2-m1 y1(a)2. 柔度法計算體系在 m1、m2處由慣性力 (視作靜力)產(chǎn)生的位移.1(b)m1m2211112212m1m

7、2Y1Y22m1Y12m2Y2(c)m1m2設(shè)解:位移幅值(主振型)為慣性力幅值作用引起的靜位移非零解頻率(特征)方程振型方程關(guān)于=1/2的二次方程例：求自振頻率和振型a) 圖乘法計算 ij :b) 頻率方程求 i , i : c) 振型方程求Y(i):mm21M1, M2圖等見P.1101. 剛度法 1) 振動微分方程矩陣形式: 12-5-2 n自由度體系動力特性2) 方程解答n個自振圓頻率 :n 個主振型:設(shè):頻率(特征)方程振型(位移幅值)向量非零解振型方程3) 主振型的標(biāo)準(zhǔn)化 a) 設(shè)其中一元素 Y(i)=1; b) 令振型向量滿足: Y(i)TMY(i) = 1.2. 柔度法 1)

8、運(yùn)動微分方程矩陣形式: 2) 解答 (I2M)Y=0 or (MI)Y=0 振型方程 MI=0, =1/2 頻率方程3. 兩種方法的聯(lián)系 (K2 M)Y=0, =K1第1、2、3層的層間柔度系數(shù)：、3、5 .i 層間柔度例: 求柔度系數(shù)1. 主振型的正交性 1) 兩自由度體系 是由慣性力幅值 引起的靜位移。由功的互等定理：狀態(tài)I:m1m212m1Y1112m2Y21Y21Y11狀態(tài)II:m1m2Y12Y2222m2Y2222m1Y1212-5-3 主振型的正交性若1 2 :2) n個自由度體系：證明：兩振型關(guān)于M陣正交第1正交性KT= K, MT= M 廣義質(zhì)量：廣義剛度：3) 振型正交性的應(yīng)

9、用a)判斷主振型的形狀;b)建立振型正則（廣義）坐標(biāo)與位移向量間的關(guān)系.關(guān)于M陣正交第1正交性關(guān)于K陣正交第2正交性單自由度的推廣2. 主振型矩陣由振型正交性：廣義質(zhì)量矩陣廣義剛度矩陣FP2(t)12m1m2FP1(t)y2(t)y1(t)1. 柔度法(1) 微分方程12-6 多自由度體系的強(qiáng)迫振動12-6-1 簡諧荷載下的強(qiáng)迫振動y1(t)=Y1sinty2(t)=Y2sint 代回原方程(2) 設(shè)解答：當(dāng) =1 or 2 , D0=0, 出現(xiàn)共振. 簡諧荷載下，位移、慣性力和外荷載均按荷載頻率 變化，故, FP2(t)12m1m2FP1(t)y2(t)y1(t)(3) 動內(nèi)力幅值慣性力幅值

10、:例12-7 ( P.115)：求梁的最大動力位移和動彎矩.2. 剛度法 1) 兩自由度體系i) 振動微分方程代入方程令FP2(t)m1m2FP1(t)y2(t)y1(t)當(dāng) =1 或 2 時, D0=0, 共振.ii) 方程解答m1k1FPsintm2k2例12-8 (P.118)：求Y1、Y2與關(guān)系曲線體系特征(頻率)方程：于是, 若m1=m2=m， k1=k2=k， 則當(dāng) =1 或 =2 時，Y1、Y2 ，共振。m1k1FPsin t(a)(b)m2k2m1k1FPsin t討論:動力吸振器 (TMD: Tuned Mass Damper)當(dāng) =0.71 時，2) n自由度體系設(shè):因 ,

11、 Y 可被直接確定； 如果 D0=0, 即 =, 那么 Y； 當(dāng)荷載頻率 =i (i=1, 2, , n)時, 發(fā)生共振。對n自由度體系，有n種可能共振利用廣義坐標(biāo)轉(zhuǎn)換:采用振型分解法預(yù)乘以YT廣義荷載向量K: 非對角矩陣 -耦合方程組主振型的線性組合解耦方程12-6-2 一般荷載下的強(qiáng)迫振動對單自由度體系利用 Duhamel 積分:如果初始值y0、v00，那么,最終位移:1) 求出1、2，Y (1)、 Y (2);2) 設(shè) y(t)=Y(t);3) 求 M*；4) 求F(t)=Y TFP(t);5) 求得1(t)、2(t);6) 求得 y1(t)、y2(t);7) 求得 M1(t)、M2(t

12、).mm12FP1(t)例12-9 ( P.120):1. 能量法求第一頻率無阻尼體系自振：以梁為例：設(shè)位移彎曲應(yīng)變能：12-7 近似法求自振頻率動能：又有集中質(zhì)量 mi設(shè)定的位移幅值函數(shù)Y(x)需滿足位移邊界條件, 常用于求基頻. 常取結(jié)構(gòu)在某一靜載q(x) (如自重)下的彈性曲線作為Y(x)，此時Umax可由外力q(x)作的功代替，即：自重作用2) 設(shè)Y(x)為均載q下的撓度:3) 設(shè)Y(x)為正弦曲線:例12-10 求簡支梁的1 (P.123)該為1的精確解【解】： 1) 設(shè)Y(x)為二次拋物線：2. 集中質(zhì)量法無限自由度體系 有限自由度簡化集中質(zhì)量：各分段質(zhì)量按靜力等效集中到兩端。例12-11 求簡支梁。(P.124)1) 梁分二等分一個自由度(a)(b)(c)l三等分2個自由度四等分3個自由度1) 反對稱振型對應(yīng)1例2 求對稱剛架的.(P.125)ABCD2ll2) 正對稱振型對應(yīng)2質(zhì)量集中于振幅極值處2llEIEI4EI2ll下次課堂討論：圖示剛架，如何分別用剛度法和柔度法求其自振頻率和主振型？如果AB桿中作用有動荷載，如何列振