專題六 培優(yōu)點20 拋物線的焦點弦問題

1、培優(yōu)點20拋物線的焦點弦問題【方法總結(jié)】直線與拋物線相交的問題，若直線過拋物線的焦點，可使用焦點弦長公式求弦長，利用 焦點弦的特殊結(jié)論求解題目.【典例】1 (1)(2020 石家莊模擬)已知F是拋物線y2 = 2px(p0)的焦點，過F的直線與拋 物線交于A，B兩點，AB的中點為C，過C作拋物線準(zhǔn)線的垂線交準(zhǔn)線于C，若CC的中點 為M(1,4)，則p等于()A. 4 B. 8 C.小克 D. 8,克 【答案】B 【解析】 如圖，設(shè)A(xi? yi)，B(x2, y2)，M(1,4)，.y1 + y2=8,又 C2+p，4J，F(xiàn)lf，0AB=2.直線AB： y = 2x-| 代入 y2 = 2p

2、x， 得 y2-py-p2=0, y1+y2=p=8.過拋物線y2 = 4x的焦點F的直線l與拋物線交于A，B兩點，若|AF|=2|BF|，9俄|等于( )9A. 4 B- C.5 D.6【答案】B【解析】不妨設(shè)點A在x軸的上方，如圖，設(shè)A, B在準(zhǔn)線上的射影分別為D, C,作BEAD于點E,設(shè)|BF|=m,直線l的傾斜角為。，則 |AF|=2m, |AB|=3m,由拋物線的定義知| AD| = |AF|=2m, |BC| = |BF| =m,所以 cos。= k J =W, 所以 tan。=2%2| AB| 3一.8則 sin2 9=8cos2。，所以 sin2 9=.9 2p 9由y2 =

3、 4x，知2p = 4,故利用弦長公式得|AB|= =. sin2 92【典例】2已知拋物線C： y2 = 8x, P為C上位于第一象限的任一點，直線l與C相切于點 P,連接PF并延長交C于點M,過P點作l的垂線交C于另一點網(wǎng)求PMN的面積S的最小 值.【解析】解 由題意知F(2,0)，設(shè)P(x0, yo)(yoO)，M,y)N&，y)切線 l 的方程為 xxo=t(y yo),則FM=2, y) FP = y822, yj,由M, F, P三點共線，可知FM#FP,艮屹-2九-i=因為y/*，所以化簡可得y0y1= i6.x x0 = t y y0， y2 = 8x，可得 y28ty+8ty

4、08x0=0,因為直線l與拋物線相切，故=64t2 32ty+4y0=0，故七=：.所以直線PN的方程為yy=一：(xx)，y3即 y0 x+4y4y0尸0，所以點M到直線PN的距離為2yy3Lyf-g寸 y2+16j 16,將y =代入可得1 y032八m+4y, d= 0 ,；.0）的一條焦點弦，焦點為F，A（xyi），B（x2，y2），則小_22一(1)xix2=4, yiy2=-p2.=2 |af| + |bf| p.曲=苗3為弦AB所在直線的傾斜角） 【拓展訓(xùn)練】設(shè)F為拋物線C： y2=3x的焦點，過F且傾斜角為30的直線交C于A，B兩點，O為坐 標(biāo)原點，則 OAB的面積為（）A 甌

5、 B3 C63 D948324【答案】D【解析】 由已知得焦點為f|，0）因此直線AB的方程為y=3x4）即4x43y 3 =0.方法聯(lián)立直線方程與拋物線方程，化簡得 4y2 12號 3y 9 = 0, 故|七一*|=久 yA+yB 24yAyB=6. TOC o 1-5 h z 一 1 , , 1 39因此 SAOAB = 2lFHyA-yBl=2X4X6 = 4-.21921方法二聯(lián)立直線方程與拋物線方程得X2X+詬=。故Xa+Xb = 5. 213根據(jù)拋物線的定乂有曲=Xa+Xb+p = +2=12,同時原點到直線AB的距離為d= ：|3|=3,42+ 4寸3 2 8一 .1,9因此 S

6、OAB = 2lAB|d=4.過拋物線y2 = 2px(p0)的焦點F且傾斜角為120。的直線l與拋物線在第一、四象限分別交于A,B兩點，則碧的值等于()|BF|12A - B.- 3334J d.3【答案】A 【解析】 記拋物線y2 = 2px的準(zhǔn)線為1，如圖，作AA1l/, BB1l/, ACBB1，垂足分別是A1，B1，C,則/ ARR |BC|BB1| |AA1|cosZabB1=|ab|= lAFl + lBFl_|bf| |af|= |AF| + |BF|，即 cos 60|BF| |AF| 1= |AF| + |BF|=2得匡=1 得|BF| 3.已知拋物線C： y2=8x的焦點

7、為F,點M( 2,2)，過點F且斜率為k的直線與C交于A,B兩點，若ZAMB = 90，則k等于()A.也 B.乎 C.1 D. 2 22【答案】D【解析】 拋物線C： y2 = 8x的焦點為F(2,0),由題意可知直線AB的斜率一定存在，所以設(shè)直線方程為y=k(x 2)(k/0)，代入拋物線方程可得k2x2(4k2+8)x+4k2 = 0， 設(shè) A(xi，yi)，B(x2，y2)，nr, 8則 xi+x2=4+2，xix2=4,8 所以 yi + y2=k，yiy2=_16,、 I6 I6因為匕AMB = 90，所以 MA MB=(xi + 2,yi 2) . (%+212 2)=訂一e+4

8、 = ,解得k=2,故選D.如圖，已知點F(i,0)為拋物線y2 = 2px(p0)的焦點，過點F的直線交拋物線于A, B兩點， 點C在拋物線上，使得 ABC的重心仔在乂軸上，直線AC交x軸于點Q,且Q在點F右側(cè)， 記AFG,CQG的面積為SS2.求p的值及拋物線的準(zhǔn)線方程；S求芝的最小值及此時點G的坐標(biāo).S2【解析】解(1)由題意可得p=1,則p = 2,2p = 4,2拋物線方程為y2=4x，準(zhǔn)線方程為x= 1.(2)設(shè) A(xy1), B(x2, y，直線AB的方程為y=k(x 1), k0,與拋物線方程y2=4x聯(lián)立可得，k2x2 (2k2+4)x+k2 = 0,4故、1 +、2 =

9、2+2，、1、2=1，4y1 + y2 = k(x1 + x2 2)=k， yj2 =皿X4x = 4, 設(shè)C(x3, y3),由重心坐標(biāo)公式可得， x =f3=E+x )，G 33kk2以 。*=如)4y2 4令 yG= 0 可得，y3=k，則 x3 = E = R即 x =%+4+4)=1(2+g，g 3k k2 k2/ 3k k2/y|y-y1+y3, 44由斜率公式可得，k =匕二=匚=堂AC 乂一乂34 直線AC的方程為yy =, (x x )，3 y1+y33，-y y+yy y y+y令 y = 0,可得 xQ = x3+34=彳+34 =_甘，故 S =1X (x _x ) Xy =1x1 |(2+8J_1 Xy =yixz_|,i 2 g f ，i 2 L3k k2/ ，i 2 3k2 37MS與X (XqF X (_y3)2,代入上式可得S24 k，,4由 y1+y2=k，y1y2=_4 可得4 4 m4y.yi_yi=k，k=y_?Lx-4-4F 8 X +16 y2 8=1+圭