居于馬線性代數(shù)第四章答案

1、1、由過渡矩陣的定義，設(shè)從基到基的過渡矩陣為，則，初等行變換求得，所以2(1)、記在基下為. 設(shè)從基到基的過渡矩陣為，則，初等行變換求得，所以2(2)、設(shè)從基到基的過渡矩陣為，記，則，即，所以2(3)、記在基下為，所以，經(jīng)初等變換得，所以 3(1)、記，記在基下為.設(shè)從基到基的過渡矩陣為，所以由過渡矩陣的定義有，則，經(jīng)初等變換可得，所以，.3(2)、設(shè)在基下的記為，從基到基的過渡矩陣為，所以由過渡矩陣的定義有，則，所以3(3)、記在基下為，所以.4、記，. 設(shè)從基到基的過渡矩陣為，由過渡矩陣的定義知，即. 設(shè)，又在基下的坐標(biāo)不變，所以，即，其系數(shù)矩陣，所以，所以的通解為.5(1)、略5(2)、

2、設(shè)與向量都正交的向量為，則，其系數(shù)矩陣得基礎(chǔ)解系為，所以與向量都正交的向量為6、設(shè)向量與所給向量均正交，所以，其系數(shù)矩陣，基礎(chǔ)解系為，所以可取，所以，所求單位向量為.7、證：已知，記，其中為任意常數(shù)，則為的任一線性組合。得證。8(1)、設(shè)，正交化：，標(biāo)準(zhǔn)化：8(2)、設(shè)，易得，即線性相關(guān)，又線性無關(guān)，所以為的極大線性無關(guān)組，只需對進(jìn)行施密特正交化。正交化：，標(biāo)準(zhǔn)化：8(3)、設(shè)，記，得，所以線性相關(guān)，取其極大線性無關(guān)組正交化：，標(biāo)準(zhǔn)化：9(1)、正交化：，標(biāo)準(zhǔn)化：設(shè)從到的過渡矩陣為，則，經(jīng)初等變換可得，所以向量在新基下的坐標(biāo)為9(2)、正交化：，標(biāo)準(zhǔn)化：設(shè)從到的過渡矩陣為，則，經(jīng)初等變換可得，

3、所以向量在新基下的坐標(biāo)為10、證法1（利用標(biāo)準(zhǔn)正交基的定義）：因為是一組標(biāo)準(zhǔn)正交基，則，那么只需證明。利用內(nèi)積的性質(zhì)和即可得證同理可證，即是標(biāo)準(zhǔn)正交基。證法2：因為，且和均為正交矩陣，所以也是正交矩陣，所以為一組標(biāo)準(zhǔn)正交基。11、因為為正交矩陣，則各行各列均為單位向量，所以第1行：；將代入第1列： 第2列：第3行：將代入第3列：又因為，正交矩陣的不同行、不同列的向量正交，所以(第1行，第3行) (第1行，第2行) (第2行，第3行) 由和得，所以有兩組解：或12、是正交矩陣，則，可逆當(dāng)時，所以，所以，所以，即正交； 當(dāng)時，所以，所以，所以，即正交13(i)、正交13(ii)、因為，所以可逆。所

4、以，14(1)、“對稱、正交對合”：，得證；(2)、“對稱、對合正交”：，得證；(3)、“對合、正交對稱” ：，得證；15、略16、不妨設(shè)為下三角矩陣，則所以有得，除主對角線元素的平方等于1外其余元素均為零補(bǔ)充題51(1)、因為正交，所以有， 所以，即可交換51(2)、所以，所以為反對稱矩陣。52(1)、正交，又，兩式相減，得又正交可逆，所以，即，所以52(2)、正交，又，兩式相加，得又正交可逆，所以，即，所以53、設(shè)證明：線性無關(guān)的充要條件是：解法1：設(shè)，要證即證線性無關(guān)充分性（反證法）：假設(shè)線性相關(guān)，則存在不全為零的數(shù)使得分別用與上式左右兩端做內(nèi)積，得即存在不全為零的數(shù)，使得成立，矛盾，所以線性無關(guān)。必要性：因為，線性無關(guān)，所以該向量組的秩為。， (1)令，則. 由于方程組（）和（）同解。所以，所以（“方程組（）和（）同解”：如果是（）的解，則，顯然，即是（）的解