《計算方法》課件：Ch2_3 Newton法與割線法

1、本節(jié)內(nèi)容提要Newton法 基本思想、算法、幾何意義、局部收斂性 以及收斂速度、修正Newton公式、大范圍 收斂的充分條件割線法 方法概述、幾何意義、算法、收斂性2.3 Newton法與割線法以直代曲 Newton法 以切線近似代替曲線 1、方法概述 迭代法在求方程的根時，迭代函數(shù)的構(gòu)造將會影響到迭代序列的斂散性及收斂速度的快慢，如何構(gòu)造一個好的迭代函數(shù)顯得尤為重要；構(gòu)造迭代函數(shù)的常用方法之一是用一個近似方程來替代原方程，如：用線性方程代替非線性方程；Newton法正是基于這一點，將非線性方程線性化。基本思想：線性方程 例： 解：特點：具有較快的收斂速度，但對初值要求較高， 要求 充分接近

2、。2、算法3、幾何解釋 切線近似替代曲線即是以切線與X軸的交點近似替代曲線與X軸的交點，因而又稱切線法。 最著名、最有 效的方法之一4、局部收斂性以及收斂速度 一般來說，Newton法產(chǎn)生的序列不總是收斂的，易知，當(dāng) 時，切線趨于水平，與X軸在很遠(yuǎn)處相交，這時序列常為發(fā)散情形，往往需要對 附加一些條件才能保證收斂；而實際上，當(dāng) 充分接近 時，能保證Newton法的收斂，亦即具有局部收斂性。 、單根的情形結(jié)論1：分析：證明：、重根的情形結(jié)論2：證明：=mmmm5*、求重根的修正Newton公式目的加速 缺點：雖然斂速增加，但計算時每迭代一步需計算 三次函數(shù)值： ，計算量增大！ 注：證明：例： 解

3、： 斂速有極大改善 6、大范圍收斂的充分條件Th* ：例： 證明：注：該題亦可直接證得大范圍收斂。 配方法割線法 以割線近似代替曲線 1、方法概述 Newton法雖然具有較快的收斂速度（二階），但每迭代一次均需計算 及 ，若函數(shù)較復(fù)雜，計算導(dǎo)數(shù)值可能工作量很大；為此考慮用差商： 來替代導(dǎo)數(shù)，這一思想實際上體現(xiàn)了以割線近似替代曲線。 稱割線法或線性插值法線性方程 多步法2、割線法的幾何意義 3、算法注：step6中的數(shù)據(jù)傳遞次序不能顛倒！4、割線法的收斂性與收斂速度結(jié)論：局部收斂： 收斂階數(shù)： 注：類似還可以從三個初始點出發(fā)，以過三點的拋物線 近似替代曲線，得拋物線法。超線性收斂 例： 解：可見其收斂速度還是很快的本章小結(jié)1、根的概念： m重根： 2、求根步驟：確定有根區(qū)間； 根的精確化； 3、二分法： 4、迭代法： 大范圍收斂：Th1：（壓縮映象原理）實用替換條件： 先估： 漸進(jìn)誤差估計： 后估： Th2： 局部收斂：Th3：實用替換條件： 收斂速度：Th4： Aitken加速法 5、Newton法切線近似替代曲線 Newton迭代： 收斂性：局部收斂； 收斂速度：、求重根的修正Newton公式： 大范圍收斂6、割線法割線近似替代曲線多步法： 局部收