人教版高中數(shù)學選修1-1第二章2.2圓錐曲線知識點總結(jié)

1、錐曲線知識點小結(jié)圓錐曲線在高考中的地位：圓錐曲線在高考數(shù)學中占有十分重要的地位，是高考的重點、熱點和難點。通過以圓錐 曲線為載體，與平面向量、導數(shù)、數(shù)列、不等式、平面幾何等知識進行綜合，結(jié)合數(shù)學思想 方法，并與高等數(shù)學基礎知識融為一體，考查學生的數(shù)學思維能力及創(chuàng)新能力，其設問形式 新穎、有趣、綜合性很強。.重視圓錐曲線的標準方程和幾何性質(zhì)與平面向量的巧妙結(jié)合。.重視圓錐曲線性質(zhì)與數(shù)列的有機結(jié)合。.重視解析幾何與立體幾何的有機結(jié)合。高考再現(xiàn)：2011年(文22)在平面直角坐標系xOy中，已知橢圓C：至7 = L如圖所示，斜率為k (k0)且不過原點的直線1交橢圓C于A、B兩點，線 段AB的中點為

2、E,射線0E交橢圓C于點G,交直線x = -3于點D (-3, m).(1)求H12+ k2的最小值;(2)若I OG b = I 0D | I 0E | ,求證：直線1過定點；試問點B、G能否關于x軸對稱？若能，求出此時4ABG的外接圓方程; 若不能，請說明理由.(理22)已知動直線1與橢圓C： 3 + 2 = 1相交于P (x, y ), Q (x ,112叵yj兩個不同點，且OPQ的面積其中0為坐標原點.4OPQ(1)證明：只+君和X+刃均為定值;(2)設線段PQ的中點為M,求I 0M| |PQ I的最大值；(3)橢圓C上是否存在三點D,E, G,使得區(qū):區(qū)S、= 2 ?Z_A OD Z

3、a OD AOEGEG若存在，判斷ADEG的形狀；若不存在，請說明理由.(2009年山東卷)設mR,在平面直角坐標系中，已知向量a=(mKy+1),向量b=(x,y-1),a J_b,動點M(x,y)的軌跡為E.(1)求軌跡E的方程，并說明該方程所表示曲線的形狀；(2)已知m=l/4,證明:存在圓心在原點的圓，使得該圓的任意一條切線與軌 跡E恒有兩個交點A, B,且OAOB(O為坐標原點)，并求出該圓的方程；(3)已知m=1/4,設直線1與圓C:x2+y2=R2(lR2)相切于A；且1與軌跡E只有 一個公共點B ,當R為何值時，A B |取得最大值?并求最大值：1 1 1居瑪一.圓錐曲線的定義

4、:橢圓：平面?zhèn)€定點的距離之和等于定色玨于)的點的軌跡叫做橢圓。這兩個定點|煙田嬲白翳(2戶菜麝那離叫做橢圓的焦距。耳瑞常數(shù)2a二忸遙軌跡是線段常數(shù)2a,軌跡不存在；2的距離之差的絕對值等于常數(shù)|/；正2)的點的軌跡叫做雙曲線：平面內(nèi)與兩圖“F雙曲線。這兩個定點1I 口，做B線的焦點，兩焦點的距離叫做雙曲線的焦距。數(shù)學語言：MF - MF = 2a2a /?0)32 a旭 14-= 1(a 0, b 0)*悅a、b、c關系 = *松=日2 +笈a、b、c的意義a是長半軸長，b是短半軸長，c是半焦距a是實長半軸長，b是虛短半軸長，c是半焦距范圍-a x-b y bx aye R分類橢圓雙曲線對稱性

5、關于x軸和y軸對稱， 也關于原點對稱關于x軸和y軸對稱， 也關于原點對稱頂點(-40)/(e 0)12B (0,-)B (0, b)1244)，4 句)12離心率e- aC e =焦點坐標尸(G。)，F(xiàn) (GO)1212尸(-2，尸(GO)漸近線無,b J/=_X a拋物線幾何性質(zhì):1(1)橢圓若橢圓0+5=1的離心率Y,則的值是一(2)雙曲線的漸近線方程是3汨：2片0,則該雙曲線的離心率等于 (3)若該拋物線上的點到焦點的距離是4,則點例的坐標為一(4)設雙曲線 上匕=1 (aQb0)中，離心率eg22,則兩條漸近線夾角。的 不 b2取值范圍是設 方。/則拋物線y=4a*的焦點坐標為(6)雙

6、曲線的離心率等記，旦與橢圓 學+匕=1有公共焦點，則該雙曲線的方程 29 4(7)設中心在坐標原點。，焦點尸、尸在坐標軸上，離心率e= J2的雙曲線C過點12A：4KH0),則C的方程為(8)已知拋物線方程為卜=8乂若拋物線上一點到y(tǒng)軸的距離等于5,則它到拋物線 的焦點的距離等于_；(9)拋物線卜=2%上的兩點A、B到焦點的距離和是5,則線段AB的中點到y(tǒng)軸的 距離為 四、點七,刃和橢圓,合1= 1np點在橢圓上。土+工3261= p點在橢圓外。對于雙曲線和拋物線與點的位置關系可以此類推。五、直線與圓錐曲線的位置關系：(在這里我們把圓包括進來)(1).首先會判斷直線與圓錐曲線是相交、相切、還是

7、相離的a.直線與圓：一般用點到直線的距離跟圓的半徑相比(幾何法)，也可以利用方程實根的個數(shù)來判斷(解析法).b.直線與橢圓、雙曲線、拋物線一般聯(lián)立方程，判斷相交、相切、相離c.直線與雙曲線、拋物線有自己的特殊性(2)a求弦長。公式：弦長/=米 +左/一到二J(1+Q) () + %)2其中攵為直線的斜率，(x,y),(x,y)是兩交點坐標.122b.求弦所在的直線方程C.根據(jù)其它條件求圓錐曲線方程.已知一點A坐標，一直線與圓錐曲線交于兩點P、Q,且中點為A,求P、Q所在的 直線方程(點差法).已知一直線方程，某圓錐曲線上存在兩點關于直線對稱，求某個值的取值范圍(或 者是圓錐曲線上否存在兩點關于

8、直線對稱)(1)若直線y=kx+2與雙曲線x2-y2=6的右支有兩個不同的交點，則k的取值范圍是 直線yxO與橢圓971恒有公共點，則m的取值范圍是 (3)過雙曲線 9-9 = 1的右焦點直線交雙曲線于A、B兩點，若|ABl =4,則這(4)過雙曲線上 = 1不拉樣的直線有 條.外一點Ax,y)的直線與雙曲線只有一個公共點的情況如卜：(5)過拋物線外一點總有三條直線和拋物線有且只有一個公共點：兩條切線和一條平 行于對稱軸的直線。(6)過點(2,4)作直線與拋物線展=8x只有一個公共點，這樣的直線有_(7)過點(0,2)與雙曲畤-總二1有且僅有一個公共點的直線的斜率取值范圍為(8)過雙曲線*-與

9、=1的右焦點作直線/交雙曲線于A、B兩點，若恒8=4,則滿足條件的直線/有一條(9)對于拋物線C： b=4x,我們稱滿足42 0)相交于A、B兩點，且線段 興 笈AB的中點在直線L： x2y=0上，則此橢圓的離心率為(3)試確定m的取值范圍，使得橢圓 二十與=1上有不同的兩點關于直線43y= 4x+0對稱特別提醒：因為 。是直線與圓錐曲線相交于兩點的必要條件，故在求解有關弦長、對稱問題時，務必別忘了檢驗A0L3、直線恒過定點問題：(1) A、B是拋物線y2=2px (p0)上的兩點，且OAJ_OB (O為坐標原點)求證：直線AB經(jīng)過一個定點；(2)拋物線y2=2px (p0)上有兩個動點A、B

10、及一定點M (p,痛)，F(xiàn)為焦點；若|AF |MF|、|BF|成等差數(shù)列，求證：線段AB的垂直平分線過定點。例3圖4、焦點三角形問題：(1)短軸長為J百，離心率e二匕的橢圓的兩焦點為尸、F ，過尸作直線交橢圓 3121于A、B兩點，則的周長為(2)設P是等軸雙曲線必-=不(己0)右支上一點，F(xiàn)F2是左右焦點，若環(huán)了匕=0, |PFJ=6,則該雙曲線的方程為(3)雙曲線的虛軸長為4,離心率e=g, FP F,是它的左右焦點，若過匕的直 2/線與雙曲線的左支交于A、B兩點，且|/|自是與舊|等差中項，則卜8|=(4)已知雙曲線的離心率為 2, FrF2是左右焦點，P為雙曲線上一點，且N尸尸尸=60

11、, 5=1/3.求該雙曲線的標準方程。12嚴尸25、拋物線中與焦點弦有關的一些幾何圖形的性質(zhì)：若拋物線的方程為y2=2px (p0),過拋物線的焦點F (斗，0)的直線交拋物線與A(xyj、B lx2，y2)兩點，貝Un2yM；乂占吟；(2)| AB|=x+x2+p；通徑=2P(3扁+毓J ；(4)過A、B兩點作準線的垂線，垂足分別為A/、B/, F拋物線的焦點，則NA/FB/=9(P；(5)以弦AB為直徑的圓與準線相切。(6)設A, B是拋物線y2=2px上的兩點，。為原點，則OALOB的充要條件是直線AB恒過定點(2p, 0)證明：(1)當直線過焦點且垂直于x軸時，A (鄉(xiāng)，p)、B qR

12、 -p)，因此y1y2=-p2成立；當直線過焦點且不與x油垂直時，顯然直線的斜率k#0,直線AB的方程為:y=k (x-P )；由此的 x=2把x=V +e代入y2=2px消去x得: k 2ky2-2py-kp2=O, -y1y2=-P2VA (xr %)、B (x2, y2)兩點都在拋物線y2=2px (p0)上, Ay12=2px1，y22=2px2；兩式相乘得 2px2/. p4=4p2x1x2；從而X1X2=過A、B兩點作準線X= - P的垂線，垂足分別為A/、B/, 2則 |AB| = |AF|+|BF| = |AA/|+|BB/|=X+ +x2+ =x1+x2+p(3)VA (xr

13、 %)、B (x2, y?). J.i_x1-rx?-rp4 2(xi+x2)+ 4iafi+祚F+Fxi+2 x2+2X1rX2-rPX X +艮I、十X,十比X1X224Xi+x,+p m 艮=p2的+乂2+0過A、B兩點分別作準線的垂線，垂足分別為A/、B/,由于點A、B是拋物線上的點，F(xiàn)是拋物線的焦點，根據(jù)拋物線的定義可知，|AF| =|AA/|, |BF| = |BB/|ZB/BF = 1800-2ZB/FB, NA/AF = 18(P2NA/FA由AA/ BB/ AZB/BF + ZA/AF = 1800即：1叫肅5 威順一2NA/FA = 18(P /R垂足分別為A/、B/、N，

14、N為線段AB的中點，過A、B、N分別作準線的垂線，|AA/|十|BB/|TN為線段AB的中點，則|NN|=2以AB為直徑的圓與準線相切。(6)設A, B是拋物線y2=2px上的兩點，。為原點，則OALOB的充要條件是直 線AB恒過定點(2p, 0)六,你了解下列結(jié)論嗎?共漸近線的雙曲線系：(1)漸近線方程為：片x艮蘆P=0 的雙曲線方程可設為:興致(夕w0)入0時表示焦點在x袖上的雙曲線；入 0時表示焦點在y軸上的雙曲線； (2)與雙曲線堊-籃二1有相同的漸近線的與雙曲線卷卷=1有共同的漸近線，且過點(-3%弓)的雙曲線方程為(2)中心在原點，一個焦點為(3, 0), 一條漸近線方程2x-3y

15、=0的雙曲線方程是 七、圓錐曲線中的最值問題例8圖(1)如圖所示，若A (3, 2), F為拋物線y2=2x的焦點，求|PF|+|PA| 的最小值，以及取得最小值時點P的坐標。變式：若A (3, 5)呢？(2).定長為3的線段AB的端點A、B在拋物線乂=上移動，求AB中點M到y(tǒng)軸距離的最小值，并求此時AB中點M的坐標。(3)若yc/?,且3* + 2/=6,則X+.最大值是_, *+y的最小值是一(4)以橢圓上一點和橢圓兩焦點為頂點的三角形的面積最大值為1時，則橢圓長軸的最小值為 八.動點軌跡方程問題：1、直接法當所求動點的要滿足的條件簡單明確時，直接按“建系設點、列出條件、代入坐標、 整理化

16、簡、限制說明五個基本步驟求軌跡方程，稱之直接法.例1.點與定點尸(0,2)的距離和它到定直線y=8的距離的比是1:2，求點的軌跡方程式，并說明軌跡是什么圖形.變式：已知動點P到定點F(1Q)和直線x=3的距離之和等于4,求P的軌跡方程.2、待定系數(shù)法：已知軌跡是什么圖形，先設出其標準方程，再求出參數(shù)。例2、已知橢圓的焦點坐標為電一2道)和(02，且經(jīng)過點(一病，有),求橢圓的標 準方程。變式：拋物線的頂點在原點，以x軸為對稱軸，經(jīng)過焦點且傾斜角為135。的直線，被拋物線截得的弦長為8,試求拋物線的方程。3、定義法：定義法是指先分析、說明動點的軌跡滿足某種特殊曲線(如圓、橢圓、雙曲線、 拋物線等

17、)的定義或特征，再求出該曲線的相關參量，從而得到軌跡方程.例3、求與圓(X-3戶+卜=1及(*+3)2 + /= 9都外切的動圓圓心的軌跡方程.解：設動圓的半徑為r,則由動圓與定圓都外切得|%二3+。|%=1 +八又因為 | 吸叱 |=(3+/) (1 + /) = 2,由雙曲線的定義可知，點M的軌跡是雙曲線的一支承所求動圓圓心的軌跡是雙曲線的一支，其方程為：必_y=1 (%1)18彭(1)、一動圓與圓*+卜+ 6*+5=0外切，同時與圓*+卜-6x-91 = 0內(nèi)切，求動圓圓心的軌跡方程式，并說明它是什么曲線.(2、已知A/8U的底邊BC長為12,且底邊固定，頂點A是動點，使 1sin 5-

18、sinC=-sin/l,求點 A 的軌跡.分析：首先建立坐標系，由于點A的運動規(guī)律不易用坐標表示，注意條件的運用，可 利用正弦定理將其化為邊的關系，注意有關限制條件.解：以底邊BC為X軸，底邊BC的中點為原點建立核坐標系，這時1比一6,0), U(6,0),由 sin 8 sin C = -sin /得1一 c= /d= 6,即 |6.所以，點 A 的軌跡是以 8(6,0), 0(6,0)為焦點，2d=6的雙曲線的左支其方程為：門。=1(*0/0)上，尸，尸是它的兩個焦點，求AZ尸尸* 松121 2的重心G的軌跡方程.分析：要求重心的軌跡方程，必須知道三角形的三個頂點的坐標，利用相關點法進行

19、求解.注意限制條件.解：設人力。的重心G的坐標為(協(xié)，則點A的坐標為(3%3旭 I/2因為點A位于雙曲線3臺= 1(d0/0)上，從而有竿一喈二N0),即告一十 = 0)32 b2令令所以，A/尸尸的重心G的軌跡方程為與上 = 1(yw0).12 令(葉變式：如圖，從雙曲線U:* 產(chǎn)=1上一點Q引直線/:x+y=2的垂線，垂足為/V,求線段Q/V的中點戶的軌跡方程. TOC o 1-5 h z 解：設 9，Q (x,y),則/V(2xx,2yy). /V在直線/上, 1111 2x- x +2y-y = 2 . 又 PN1 /得七匕一 二1,即 xy+y x =0 11X X111_ 3x+

20、y 2廣一工2又點Q在雙曲線C上,(蘭手2)變(七芻一)2二1,3y+x-222y =-12化簡整理得：2M 2b2x+2y1 = 0,此即動點P的軌跡方程.5參數(shù)法參數(shù)法是指先引入一個中間變量(參數(shù))，使所求動點的橫、縱坐標y間建立起聯(lián)系, 然后再從所求式子中消去參數(shù)，得到p間的直接關系式，即得到所求軌跡方程.例5過拋物線 =2平(p 0)的頂點。作兩條互相垂直的弦OA、OB,求弦的中點例的軌跡方程.解：設直線。4的斜率為攵。0),則直線08的斜率為-；直線OA的2P /=T,即4%,華，同理可得8(2/2題./ 一，S|l方程為y=/x由c -川甘寸V展=2然x=:+/2由中點坐標公式，得k2 ,消去%,得/ =以x2p),此即點例的軌跡方程. y= -y- pk6、交軌法求兩曲線的交點軌跡時，可由方程直接消去參數(shù)，或者先引入?yún)?shù)來建立這些動曲線的聯(lián)系，然后消去參數(shù)來得到軌跡方程，稱之交軌法.例6如右圖，垂直于X軸的直線交雙曲線上 4 = 1于M、兩點，勺8為雙曲線的左、右頂點,求直線管與4”的交點的軌跡方程,并指出軌跡的形狀.報 b2解：設/協(xié)及(勺匕),Mx.用，又/卜配),/00),可得 直線的方程為產(chǎn)=_(x+a；直線/之、的方程為=二-(x&.q 2 = 1, 一二a2 b2 （浜*）,代入得 11b211x得/=二22