混沌與隨機(jī)數(shù)

1、 混沌與隨機(jī)數(shù)信息隱藏實驗教程教學(xué)幻燈片四1一個最基本的混沌模型 （蟲口模型） 蟲口模型又稱為Logistic映射 ： 在某一范圍內(nèi)單一種類的昆蟲繁殖時，其 第n年的數(shù)量與第n+1年的數(shù)量可以表示為： xn+1=xn(a-bxn) 其中a表示增長率，-bxn表示考慮到爭奪 食物等因素引起的蟲口飽和。2一個最基本的混沌模型 （蟲口模型）為了數(shù)學(xué)上處理的方便，我們再設(shè)a=b=,因此考慮下列關(guān)系式： xn+1=xn(1-xn) 我們下面進(jìn)一步分析Logistic方程所描述的蟲口問題的一些特征 3一個最基本的混沌模型 （蟲口模型）當(dāng)取=2.5,xo=0.5時 x1=0.625 x2=0.5859375

2、 x28=0.599999998 x29=0.6 x30=0.6 4一個最基本的混沌模型 （蟲口模型）可以看出，當(dāng)n的值大于29時，x的值不再改變，即使改變x0的值，只要=2.5,迭代方程最終會收斂到0.6，不同的只是達(dá)到收斂值的迭代路徑。即不論初值為什么，迭代方程最終都會被吸引到一個固定值，這個固定值被稱為吸引子。5一個最基本的混沌模型 （蟲口模型）我們再取=3.3，x0=0.5，可得： . x32=0.479427020 x33=0.823603283 x34=0.479427020 x35=0.823603283 .6一個最基本的混沌模型 （蟲口模型） 可見，當(dāng)取3.3時，有兩個吸引子，

3、 這種收斂軌跡被稱為周期2軌跡。 7一個最基本的混沌模型 （蟲口模型） 我們根據(jù)參數(shù)的取值討論如下：大于0小于等于1 時 除了不動點Xs=0外，在也沒有其他周期點，且Xs為吸引不動點（吸引子），即迭代方程最后會歸于0，蟲子最終會滅絕。大于1小于3時不動點0，1-1/為僅有的兩個周期點，且0為排斥不動點，1-1/為吸引不動點。8一個最基本的混沌模型 （蟲口模型）大于等于3小于等于4時系統(tǒng)的動力學(xué)形態(tài)十分復(fù)雜，系統(tǒng)由倍周期通向混沌。前面的=3.3就是這樣。大于4時系統(tǒng)的動力學(xué)形態(tài)更復(fù)雜。9一個最基本的混沌模型 （蟲口模型）下圖給出了不同的值下蟲口模型的時間序列 10特征量 Lyapunov指數(shù) L

4、yapunov維數(shù) kolmogorov熵 11Lyapunov指數(shù) 混沌運動的基本特點是運動對初值條件極為敏感。兩 個很靠近的初值所產(chǎn)生的軌道，隨時間推移按指數(shù)方 式分離，我們用Lyapunov指數(shù)來描述這一現(xiàn)象。 與初始值的選取沒有關(guān)系，稱為Lyapunov指數(shù)。 它表示平均每次迭代所引起的指數(shù)分離中的指數(shù)。 12Lyapunov指數(shù)指數(shù)分離我們用下圖表示 x0-x0+ n次迭代 F(x0)- en -F(x0+) 故0可作為系統(tǒng)混沌行為的一個判據(jù) 。對Logistic映 射，考慮參數(shù)3.44，若=3.5699, =3.5699, 0,對應(yīng)混沌運 動。13Lyapunov維數(shù)我們設(shè)Lyap

5、unov指數(shù)按從大到小的順序排列為： 123.，則混沌吸引子的Lyapunov維數(shù)定義為：其中, ，k是保證Sk0的最大k值。14kolmogorov熵 考慮一個n維動力系統(tǒng)，將它的相空間分割成一個個邊長為的n維立方體盒子，對于狀態(tài)空間的一個吸引子和一條落在吸引域中的軌道x（t），取時間間隔為一個很小的量，令P(i0,i1,.id)表示起始時刻系統(tǒng)軌道在第i0個格子中，t=在第i1個格子中，t=d在第id個格子中的聯(lián)合概率，則Kolmogonov熵定義為：15kolmogorov熵同樣，我們可以使用K值可判斷系統(tǒng)運動的性質(zhì)：1、若K=0，表示系統(tǒng)做規(guī)則運動； 2、若K=，表示系統(tǒng)做隨機(jī)運動；

6、3、若K取有限正值，表示系統(tǒng)做混沌運動。16常見運動形態(tài)的特征量表我們再給出幾種常見的運動形態(tài)的特征量，如下表： 17混沌的直觀描述設(shè)V是一個緊度量空間，連續(xù)映射f：VV如果滿足下列三個條件：對初值敏感依賴。存在0,對于任意的0和x屬于V，在x的鄰域內(nèi)存在y和自然數(shù)n，使得d(f(x),f(y) 。拓?fù)鋫鬟f性。對于V上的任意一對開集X,Y, 存在k0,使f(X)Y。f的周期點集在V中稠密。 則稱f是在Devaney意義下V上的混沌映射或混沌運動。 18Logistic方程作為模型的混沌序列發(fā)生器 選擇Logistic方程作為模型 只要給定合適的（大于3.5699）值， 就能使產(chǎn)生的序列滿足混沌

7、特性 。 我們選擇很接近的兩個初值0.3256和 0.3257，而取3.9，生成5050的矩 陣，如下圖： 19Logistic方程作為模型的混沌序列發(fā)生器20Logistic方程作為模型的混沌序列發(fā)生器21混合光學(xué)雙穩(wěn)模型產(chǎn)生的混沌序列 我們還可以選取混合光學(xué)雙穩(wěn)模型作為混沌序列的生成模型： 兩個參數(shù)A、xB，分別取4和2.5 ，賦給它不同的初值x0將得到不同的混沌序列 22混沌時間序列的判別方法 功率譜方法 Lyapunov指數(shù)法 23功率譜方法譜圖若具有單峰（或幾個峰），則對應(yīng)于周期序列；若無明顯的峰值或峰值連成一片，則對應(yīng)于湍流或混沌序列。 下圖是蟲口模型時間序列的功率譜密度。24功率譜方法25Lyapunov指數(shù)法 在Lyapunov指數(shù)0的方向，相體積收縮，運動穩(wěn)定，且對初始條件不敏感；在0的方向軌道迅速分離