江蘇省蘇州陸慕高級中學(xué)2018-2019學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)(理)試卷

1、2.x的展開式中常數(shù)項為.2018-2019學(xué)年度高二年級第二學(xué)期期中試題數(shù)學(xué)（理科）一、填空題：本大題共14小題，每小題5分，共70分.請把答案填寫在答題卡相應(yīng)位置上.1.已知“凡是9的倍數(shù)的自然數(shù)都是3的倍數(shù)”和“自然數(shù)n是9的倍數(shù)”，根據(jù)三段論推理規(guī)則，我們可以得到的結(jié)論是.182x3.用反證法證明命題：“如果a,bN，ab可被5整除，那么a,b中至少有一個能被5整除”時，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)為.4.利用數(shù)學(xué)歸納法證明“(n1)(n2)(nn)2n13(2n1),nN*”時，從“nk”變到“nk1”時，左邊應(yīng)增乘的因式是.5.分析法又稱執(zhí)果索因法，若用分析法證明“設(shè)abc，且abc0，求證：b2

2、ac3a”索的因應(yīng)是.ab0；ac0；(ab)(ac)0；(ab)(ac)0.6.若C2C2C3(nN*)，則n.nn1n17.現(xiàn)從8名學(xué)生中選出4人去參加一項活動，若甲、乙兩名同學(xué)不能同時入選，則共有種不同的選派方案.（用數(shù)字作答）8.觀察下列式子：1131151117，1，1，根據(jù)以上式子可以猜想第2019個222223232232424式子是.9.平行六面體ABCDA1B1C1D1中，A1ABA1ADBAD60，且AB1,AD2,AA3,則AC等于.11中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方形重疊部分的面積恒為.類比到空間，有兩個棱長均為a的10.設(shè)復(fù)數(shù)錯誤！未找到引用源。（錯誤！未

3、找到引用源。為虛數(shù)單位），則錯誤！未找到引用源。.11.將一個四棱錐的每個頂點染上一種顏色，并使同一條棱上的兩個頂點不同色，現(xiàn)有5種不同顏色可用，則不同染色方法的總數(shù)是.12若多項式x22x11aa(x1)a(x1)10a(x1)11,則011011a.1013現(xiàn)有一個關(guān)于平面圖形的命題：如圖，同一個平面內(nèi)有兩個邊長都是a的正方形，其a24正方體，其中一個的某頂點在另一個的中心，則這兩個正方體重疊部分的體積恒為.14.觀察下列等式：cos22cos21；cos48cos48cos21；cos632cos648cos418cos21；cos8128cos8256cos6160cos432cos2

4、1；cos10mcos101280cos81120cos6ncos4pcos21.可以推測，mnp.二、解答題：本大題共6小題，共90分.請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.15（本小題滿分14分）已知z是虛數(shù)，z1z是實數(shù)（1）求z為何值時，z2i有最小值，并求出|z2i的最小值；（2）設(shè)u1z1z，求證：u為純虛數(shù)16.（本小題滿分14分）從錯誤！未找到引用源。中任取2個數(shù)，從錯誤！未找到引用源。中任取2個數(shù)，（1）能組成多少個沒有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)？（2）若將（1）中所有個位是錯誤！未找到引用源。的四位數(shù)從小到大排成一列，則第錯誤！未找到引用源。個數(shù)是多少？

5、3,BC2,P為DF中點17.（本小題滿分14分）已知函數(shù)f(x)axx2，其中a1x1證明：（1）f(x)在區(qū)間(1,)上為單調(diào)增函數(shù)；（2）方程f(x)0無負實數(shù)根18.（本小題滿分16分）1已知(3xx2)2n的展開式的二項式系數(shù)和比(3x1)n的展開式的系數(shù)和大992.求(2x)2n的展開式中：x（1）二項式系數(shù)最大的項；（2）系數(shù)的絕對值最大的項.19（本小題滿分16分）如圖，平行四邊形ABCD所在平面與直角梯形ABEF所在平面互相垂直，且ABBE1AF1,BE/AF，2ABAF,CBA（1）求異面直線DA與PE所成的角；（2）求平面DEF與平面ABCD所成的二面角（銳角）的余弦值2

6、0（本題滿分16分）已知m，n為正整數(shù)，（1）證明：當(dāng)x1時，(1x)m1mx；（2）對于n6，已知(111)n,求n32)n()m,m1，n；2證:(1m1n32（3）求出滿足等式3n4n(n2)n(n3)n的所有正整數(shù)n2018-2019學(xué)年度高二年級數(shù)學(xué)學(xué)科第二學(xué)期期中試題（理科）評分標(biāo)準(zhǔn)281.“自然數(shù)n是3的倍數(shù)”1352.C4()483.a、b都不能被5整除4.左邊=5.6.57.55(2k1)(2k2)k1=2（2k+1）=4k28.1112232120202403920209.510.15i11.42012.2213.a38z11abiab14.29(400)5096215解：

7、設(shè)zabi(b0)，則abiabiabizabia2b2a2b2a2b2所以，bba2b20，又b0可得a2b214分解方程組2并結(jié)合圖形得zi9分x2y21（2）u1z1z1abi1a2b2（1）z2i(a2)(b1)i(a2)2(b1)2表示點Pa,b到點A2,1的距離，所以z2i最小值為AO1517分1yx255551abi1abi1abibi1a又b0，所以u為純虛數(shù)14分16.不用0時，有錯誤！未找到引用源。個；用0時，有錯誤！未找到引用源。個；共有錯誤！未找到引用源。個四位數(shù).7分“15”，中間所缺的兩數(shù)只能從錯誤！未找到引用源。中選排，有錯誤！未找到引用源。個；“25”，中間所缺

8、的兩數(shù)是奇偶數(shù)各一個，有錯誤！未找到引用源。個；“35”，仿“15”，也有錯誤！未找到引用源。個；“45”，仿“25”，也有錯誤！未找到引用源。個；“65”也有錯誤！未找到引用源。個；即小于錯誤！未找到引用源。的數(shù)共有錯誤！未找到引用源。個.故第錯誤！未找到引用源。個數(shù)是錯誤！未找到引用源。，第錯誤！未找到引用源。個數(shù)是錯誤！未找到引用源。，第錯誤！未找到引用源。個數(shù)是錯誤！未找到引用源。，第錯誤！未找到引用源。個數(shù)是錯誤！未找到引用源。.14分axlna0，17.證明：（1）當(dāng)x1時f(x)axlnax1(x2)(x1)23(x1)2所以，f(x)在區(qū)間(1,)上為單調(diào)增函數(shù)；5分（2）假設(shè)

9、方程f(x)0有負實數(shù)根x，7分0所以x02ax0，x10因為a1，x0，所以0ax01，所以00 x20 x101，則1x20 x100，時，x1；當(dāng)00時，1x2x1x1當(dāng)1x2x200000所以x不存在，這與假設(shè)相矛盾，所以假設(shè)不成立，0所以，方程f(x)0無負實數(shù)根14分18.解：由題意22n2n992,解得n5（1）(2x1x)10的展開式中第6項的二項式系數(shù)最大，x即TT6511C5(2x)5()58064.5分10（2）設(shè)第r1項的系數(shù)的絕對值最大，x則Tr11Cr(2x)10r()r(1)rCr210rx102r101010Cr210rCr1210r1,得10Cr2Cr12Cr

10、Cr1Cr210rCr1210r110101010101011r2r,即2(r1)10rr,r3,故系數(shù)的絕對值最大的是第4項即TC3(2x)7()315360 x4x3,BC2，81133141016分19.在ABC中，AB1,CBA所以AC2BA2BC22BABCcosCBA3所以AC2BA2BC2，所以ABAC又因為平面ABCD平面ABEF，平面ABCD平面ABEFAB，AC平面ABCD，所以AC平面ABEF4分如圖，建立空間直角坐標(biāo)系A(chǔ)B,AF,AC，則13A(0,0,0),B(1,0,0),C(0,0,3),D(1,0,3),E(1,1,0),F(0,2,0),P(,1,)226分D

11、A(1,0,3),PE(3,0,232)設(shè)異面直線DA與PE所成的角為，則cos|DAPE33|DA|PE|232所以異面直線DA與PE所成的角為；11分6AF(0,2,0)是平面ABCD的一個法向量，設(shè)平面DEF的一個法向量n(x,y,z)，DE(2,1,3),DF(1,2,3)nDE(x,y,z)(2,1,3)2xy3z0則，nDF(x,y,z)(1,2,3)x2y3z0得z3x3y，取x1，則y1,z3，故n(1,1,3)是平面DEF的一個法向量，13分設(shè)平面DEF與平面ABCD所成的二面角（銳角）為，則cos|AFn25|AF|n|25516分20第（1）小題共5分；第（2）小題共5分

12、；第（3）小題共6分解法1：（1）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（）當(dāng)m1時，原不等式成立；當(dāng)m2時，左邊12xx2，右邊12x，因為x20，所以左邊右邊，原不等式成立；2分（）假設(shè)當(dāng)mk時，不等式成立，即(1x)k1kx，則當(dāng)mk1時，x1，1x0，于是在不等式(1x)k1kx兩邊同乘以1x得k(1x)(1x)(1kx)(1x)1(k1)xkx21(k1)x，所以(1x)k11(k1)x即當(dāng)mk1時，不等式也成立綜合（）（）知，對一切正整數(shù)m，不等式都成立5分6，mn時，由（）得：1111m0，（2）證：當(dāng)nn3n3m（令x1,易知x1）7分n3mn1n3n31n1m1，m1，n10分于是11nmn

13、32m2(3)解：由（）知，當(dāng)n6時，11111n2nn3n3nn112n3221n212n1，112分n2nn1n3nn3n3n3即3n4n(n2)n(n3)n即當(dāng)n6時，不存在滿足該等式的正整數(shù)n2345故只需要討論n1，的情形：當(dāng)n1時，34，等式不成立；當(dāng)n2時，324252，等式成立；當(dāng)n3時，33435363，等式成立；3當(dāng)n4時，34445464為偶數(shù)，74為奇數(shù)，故3444546474，等式不成立；當(dāng)n5時，同n4的情形可分析出，等式不成立綜上，所求的n只有n2，16分解法2：（1）證：當(dāng)x0或m1時，原不等式中等號顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)x1，且x0時，m2，(1x)m1mx（）當(dāng)m2時，左邊12xx2，右邊12x，因為x0，所以x20，即左邊右邊，不等式成立；（）假設(shè)當(dāng)mk(k2)時，不等式成立，即(1x)k1kx，則當(dāng)mk1時，因為x1，所以1x0又因為x0，k2，所以kx20于是在不等式(1x)k1kx兩邊同乘以1x得k(1x)(1x)(1kx)(1x)1(k1)xkx21(k1)x，所以(1x)k11(k1)x即當(dāng)mk1時，不等式也成立綜上所述，所證不等式成立1n11m