江蘇高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)八大難點(diǎn)突破難點(diǎn)8函數(shù)最值恒成立及存在性問題學(xué)案

1、(3)是否存在正整數(shù)a，使得1n3n(2n1)n(an)n對一切正整數(shù)n都成難點(diǎn)八函數(shù)最值、恒成立及存在性問題(對應(yīng)學(xué)生用書第75頁)恒成立問題和有解問題、無解問題是聯(lián)系函數(shù)、方程、不等式的紐帶和橋梁，也是高考的重點(diǎn)和熱點(diǎn)問題，往往用到的方法是依據(jù)不等式的特點(diǎn)，等價變形，構(gòu)造函數(shù)，借助圖象觀察，或參變分離，轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最值問題來處理恒成立fxminaF(x)a：有解fxmaxa無解fxmaxa具體方法為將已知恒成立或存在性的不等式或等式由等價原理把參數(shù)和變量分離開，轉(zhuǎn)化為一元已知函數(shù)的最值問題處理，關(guān)鍵是搞清楚哪個是變量哪個是參數(shù)，一般遵循“知道誰的范圍，誰是變量；求誰的范圍，誰是參數(shù)”的原

2、則參變分離后雖然轉(zhuǎn)化為一個已知函數(shù)的最值問題，但是有些函數(shù)解析式復(fù)雜，利用導(dǎo)數(shù)知識無法完成，或者是不易參變分離，故可利用構(gòu)造函數(shù)法【例1】(2017鹽城市濱?？h八灘中學(xué)二模)設(shè)f(x)exa(x1)(1)若a0，f(x)0對一切xR恒成立，求a的最大值；a(2)設(shè)g(x)f(x)ex，A(x1，y1)，B(x2，y2)(x1x2)是曲線yg(x)上任意兩點(diǎn)，若對任意的a1，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，求m的取值范圍；ee1立？若存在，求a的最小值；若不存在，請說明理由.【導(dǎo)學(xué)號：56394112】解(1)f(x)exa(x1)，f(x)exa，a0，f(x)exa0的解為xlna.f(x)mi

3、nf(lna)aa(lna1)alna.f(x)0對一切xR恒成立，alna0，alna0，amax1.(2)f(x)exa(x1)，aag(x)f(x)exexexaxa.a1，直線AB的斜率恒大于常數(shù)m，exxaag(x)exexa2aea2am(a1)，解得m3，iii2nin2n取x，i1,3，2n1，得1e，即e，實(shí)數(shù)m的取值范圍是(，3(3)設(shè)t(x)exx1，則t(x)ex1，令t(x)0得：x0.在x0時t(x)0，f(x)遞減；在x0時t(x)0，f(x)遞增t(x)最小值為t(0)0，故exx1，i2n2n2n2累加得2n1e2n3e21n3n2n1ne2n2n2ne.e1

4、1e1en12221e11n3n(2n1)n(2n)n，故存在正整數(shù)a2.使得1n3n(2n1)ne(an)n.解(1)f(x)(x1)lnxaxa，f(x)lnx1a，若f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，則alnx1在(0，)恒成立(a0)，令g(x)lnx1(x0)，g(x)，則m(x)lnx1，ee1e1【例2】(2017江蘇省無錫市高考數(shù)學(xué)一模)已知函數(shù)f(x)(x1)lnxaxa(a為正實(shí)數(shù)，且為常數(shù))(1)若f(x)在(0，)上單調(diào)遞增，求a的取值范圍；(2)若不等式(x1)f(x)0恒成立，求a的取值范圍1x1x1x1xx2令g(x)0，解得：x1，令g(x)0，解得：0 x1，故g

5、(x)在(0,1)遞減，在(1，)遞增，故g(x)ming(1)2，故0a2；(2)若不等式(x1)f(x)0恒成立，即(x1)(x1)lnxaxa0恒成立，x1時，只需a(x1)lnx恒成立，令m(x)(x1)lnx(x1)，1x由(1)得：m(x)2，故m(x)在1，)遞增，m(x)m(1)0，則n(x)lnx1，由(1)知n(x)在(0,1)遞減，lnx解(1)yf(x)g(x)，y，x1時，y0，y，故切線方程是：yx；exx令h(x)g(x)f(x)lnxx(x0)，eh(x)，故a0，而a為正實(shí)數(shù)，故a0不合題意；0 x1時，只需a(x1)lnx，令n(x)(x1)lnx(0 x1

6、)，1x故n(x)n(1)2，故n(x)在(0,1)遞增，故n(x)n(1)0，故a0，而a為正實(shí)數(shù)，故a0.1【例3】(2017江蘇省淮安市高考數(shù)學(xué)二模)已知函數(shù)f(x)ex，g(x)lnx，其中e為自然對數(shù)的底數(shù)(1)求函數(shù)yf(x)g(x)在x1處的切線方程；(2)若存在x1，x2(x1x2)，使得g(x1)g(x2)f(x2)f(x1)成立，其中為常數(shù)，求證：e；(3)若對任意的x(0,1，不等式f(x)g(x)a(x1)恒成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍.【導(dǎo)學(xué)號：56394113】1lnxxexex1e11ee(2)證明：由g(x1)g(x2)f(x2)f(x1)，得：g(x1)f(x1)

7、g(x2)f(x2)，xex令(x)exx，則(x)ex，由x0，得ex1，1時，(x)0，(x)遞增，故h(x)0，h(x)遞增，不成立；1時，令(x)0，解得：xln，故(x)在(0，ln)遞減，在(ln，)遞增，(x)(ln)ln，即lnxa(x1)0在(0,1恒成立，令F(x)a(x1)，x(0,1，F(xiàn)(1)0，x1F(x)a，F(xiàn)(1)a，lnxex1F(1)0時，a，F(xiàn)(x)遞減，故a.(2)確定a的所有可能取值，使得f(x)e1x在區(qū)間(1，)內(nèi)恒成立(e2.718解(1)f(x)2ax(x0)令m()ln(1)，則m()ln0，故m()遞減，又m(e)0，若e，則m()0，(x)

8、0，h(x)遞增，不成立，若e，則m()0，函數(shù)h(x)有增有減，滿足題意，故e；(3)若對任意的x(0,1，不等式f(x)g(x)a(x1)恒成立，exlnxex1lnxexe11xeex而F(1)0，故F(x)0，F(xiàn)(x)遞增，F(xiàn)(x)F(1)0，成立，F(xiàn)(1)0時，則必存在x0，使得F(x)0，F(xiàn)(x)遞增，F(xiàn)(x)F(1)0不成立，1e【例4】設(shè)函數(shù)f(x)ax2alnx，其中aR.(1)討論f(x)的單調(diào)性；1x為自然對數(shù)的底數(shù))12ax21xx當(dāng)a0時，f(x)0時，由f(x)0，有x1.2a此時，當(dāng)x0，2a1時，f(x)0，f(x)單調(diào)遞增2a11(2)令g(x)xex1，s(x)ex1x，當(dāng)a時，令h(x)f(x)g(x)(x1)1x當(dāng)x1時，h(x)2ax2ex2綜上，a，.2a2axxxxxxx1則s(x)ex11.而當(dāng)x1時，s(x)0，所以s(x)在區(qū)間(1，)內(nèi)單調(diào)遞增又由s(1)0，有s(x)0，從而當(dāng)x1時，g(x)0.當(dāng)a0，x1時，f(x)a(x21)lnxg(x)在區(qū)間(1，)內(nèi)恒成立時，必有a0.11當(dāng)0a1.22a11由(1)有f0，所以此時f(x)g(x)在區(qū)間(1，)內(nèi)不恒成立1211111x32x1x22x10.22因