甘肅省蘭州市西北2021-2022學年高考數(shù)學四模試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1考試結(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回2答題前，請務(wù)必將自己的姓名、準考證號用05毫米黑色墨水的簽字筆填寫在試卷及答題卡的規(guī)定位置3請認真核對監(jiān)考員在答題卡上所粘貼的條形碼上的姓名、準考證號與本人是否相符4作答選擇題，必須用2B鉛筆將答題卡上對應(yīng)選項的方框涂滿、涂黑；如需改動，請用橡皮擦干凈后，再選涂其他答案作答非選擇題，必須用05毫米黑色墨水的簽字筆在答題卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律無效5如需作圖，須用2B鉛筆繪、寫清楚，線條、符號等須加黑、加粗一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目

2、要求的。1設(shè)是等差數(shù)列的前n項和，且，則( )ABC1D22造紙術(shù)、印刷術(shù)、指南針、火藥被稱為中國古代四大發(fā)明，此說法最早由英國漢學家艾約瑟提出并為后來許多中國的歷史學家所繼承，普遍認為這四種發(fā)明對中國古代的政治，經(jīng)濟，文化的發(fā)展產(chǎn)生了巨大的推動作用.某小學三年級共有學生500名，隨機抽查100名學生并提問中國古代四大發(fā)明，能說出兩種發(fā)明的有45人，能說出3種及其以上發(fā)明的有32人，據(jù)此估計該校三級的500名學生中，對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有（ ）A69人B84人C108人D115人3已知拋物線的焦點為，是拋物線上兩個不同的點，若，則線段的中點到軸的距離為（ ）A5B3CD24若

3、直線與圓相交所得弦長為，則（ ）A1B2CD35如圖是國家統(tǒng)計局公布的年入境游客（單位：萬人次）的變化情況，則下列結(jié)論錯誤的是（ ） A2014年我國入境游客萬人次最少B后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢C這6年我國入境游客萬人次的中位數(shù)大于13340萬人次D前3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差小于后3年我國入境游客萬人次數(shù)據(jù)的方差6已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）ABCD7設(shè)復(fù)數(shù)滿足，則在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點位于（ ）A第一象限B第二象限C第三象限D(zhuǎn)第四象限8記其中表示不大于x的最大整數(shù)，若方程在在有7個不同的實數(shù)根，則實數(shù)k的取值范圍( )ABCD9已知集合，則（ ）ABCD10已知復(fù)數(shù)，其

4、中，是虛數(shù)單位，則（ ）ABCD11已知函數(shù)，則下列結(jié)論中正確的是函數(shù)的最小正周期為；函數(shù)的圖象是軸對稱圖形；函數(shù)的極大值為；函數(shù)的最小值為ABCD12一個袋中放有大小、形狀均相同的小球，其中紅球1個、黑球2個，現(xiàn)隨機等可能取出小球，當有放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為；當無放回依次取出兩個小球時，記取出的紅球數(shù)為，則（ ）A，B，C，D，二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13點是曲線（）圖象上的一個定點，過點的切線方程為，則實數(shù)k的值為_.14若、滿足約束條件，則的最小值為_.15已知函數(shù)則_.16已知四棱錐，底面四邊形為正方形，四棱錐的體積為，在該四棱錐內(nèi)放置一球，則

5、球體積的最大值為_三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖所示，在三棱柱中，為等邊三角形，平面，是線段上靠近的三等分點.（1）求證：；（2）求直線與平面所成角的正弦值.18（12分）設(shè)函數(shù)，其中，為正實數(shù).（1）若的圖象總在函數(shù)的圖象的下方，求實數(shù)的取值范圍；（2）設(shè)，證明：對任意，都有.19（12分）如圖，空間幾何體中，是邊長為2的等邊三角形，平面平面，且平面平面，為中點.（1）證明：平面；（2）求二面角平面角的余弦值.20（12分）已知橢圓的離心率為，且以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓與直線相切（1）求橢圓的標準方程；（2）已知動直線l過右

6、焦點F，且與橢圓C交于A、B兩點，已知Q點坐標為，求的值21（12分）在平面直角坐標系中，為直線上動點，過點作拋物線:的兩條切線，切點分別為，為的中點.（1）證明:軸；（2）直線是否恒過定點?若是，求出這個定點的坐標；若不是，請說明理由.22（10分）已知等差數(shù)列滿足，公差，等比數(shù)列滿足，求數(shù)列，的通項公式；若數(shù)列滿足，求的前項和參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1C【解析】利用等差數(shù)列的性質(zhì)化簡已知條件，求得的值.【詳解】由于等差數(shù)列滿足，所以，.故選：C【點睛】本小題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題.2D【解析】

7、先求得名學生中，只能說出一種或一種也說不出的人數(shù)，由此利用比例，求得名學生中對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的人數(shù).【詳解】在這100名學生中，只能說出一種或一種也說不出的有人，設(shè)對四大發(fā)明只能說出一種或一種也說不出的有人，則，解得人.故選：D【點睛】本小題主要考查利用樣本估計總體，屬于基礎(chǔ)題.3D【解析】由拋物線方程可得焦點坐標及準線方程,由拋物線的定義可知,繼而可求出,從而可求出的中點的橫坐標,即為中點到軸的距離.【詳解】解：由拋物線方程可知，即，.設(shè) 則，即，所以.所以線段的中點到軸的距離為.故選:D.【點睛】本題考查了拋物線的定義，考查了拋物線的方程.本題的關(guān)鍵是由拋物線的定義求得

8、兩點橫坐標的和.4A【解析】將圓的方程化簡成標準方程,再根據(jù)垂徑定理求解即可.【詳解】圓的標準方程,圓心坐標為,半徑為,因為直線與圓相交所得弦長為,所以直線過圓心,得,即.故選：A【點睛】本題考查了根據(jù)垂徑定理求解直線中參數(shù)的方法,屬于基礎(chǔ)題.5D【解析】ABD可通過統(tǒng)計圖直接分析得出結(jié)論，C可通過計算中位數(shù)判斷選項是否正確.【詳解】A由統(tǒng)計圖可知：2014年入境游客萬人次最少，故正確；B由統(tǒng)計圖可知：后4年我國入境游客萬人次呈逐漸增加趨勢，故正確；C入境游客萬人次的中位數(shù)應(yīng)為與的平均數(shù)，大于萬次，故正確；D由統(tǒng)計圖可知：前年的入境游客萬人次相比于后年的波動更大，所以對應(yīng)的方差更大，故錯誤.故

9、選：D.【點睛】本題考查統(tǒng)計圖表信息的讀取以及對中位數(shù)和方差的理解，難度較易.處理問題的關(guān)鍵是能通過所給統(tǒng)計圖，分析出對應(yīng)的信息，對學生分析問題的能力有一定要求.6D【解析】先判斷函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性，得到，且，解不等式得解.【詳解】由題得函數(shù)的定義域為.因為，所以為上的偶函數(shù)，因為函數(shù)都是在上單調(diào)遞減.所以函數(shù)在上單調(diào)遞減.因為，所以，且，解得.故選：D【點睛】本題主要考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的判斷，考查函數(shù)的奇偶性和單調(diào)性的應(yīng)用，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.7C【解析】化簡得到，得到答案.【詳解】，故，對應(yīng)點在第三象限.故選：.【點睛】本題考查了復(fù)數(shù)的化簡和對應(yīng)象限，意在考查學生

10、的計算能力.8D【解析】做出函數(shù)的圖象，問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)的圖象在有7個交點，而函數(shù)在上有3個交點，則在上有4個不同的交點，數(shù)形結(jié)合即可求解.【詳解】作出函數(shù)的圖象如圖所示，由圖可知 方程在上有3個不同的實數(shù)根，則在上有4個不同的實數(shù)根，當直線經(jīng)過時，；當直線經(jīng)過時，可知當時，直線與的圖象在上有4個交點，即方程，在上有4個不同的實數(shù)根.故選:D.【點睛】本題考查方程根的個數(shù)求參數(shù)，利用函數(shù)零點和方程之間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的交點是解題的關(guān)鍵，運用數(shù)形結(jié)合是解決函數(shù)零點問題的基本思想，屬于中檔題.9C【解析】求出集合，計算出和，即可得出結(jié)論.【詳解】，.故選：C.【點睛】本題考查交集和并集的計算，考

11、查計算能力，屬于基礎(chǔ)題.10D【解析】試題分析：由,得,則，故選D.考點：1、復(fù)數(shù)的運算；2、復(fù)數(shù)的模.11D【解析】因為，所以不正確；因為，所以，所以，所以函數(shù)的圖象是軸對稱圖形，正確；易知函數(shù)的最小正周期為，因為函數(shù)的圖象關(guān)于直線對稱，所以只需研究函數(shù)在上的極大值與最小值即可當時，且，令，得，可知函數(shù)在處取得極大值為，正確；因為，所以，所以函數(shù)的最小值為，正確故選D12B【解析】分別求出兩個隨機變量的分布列后求出它們的期望和方差可得它們的大小關(guān)系.【詳解】可能的取值為；可能的取值為，故，.，故，,故，.故選B.【點睛】離散型隨機變量的分布列的計算，應(yīng)先確定隨機變量所有可能的取值，再利用排列

12、組合知識求出隨機變量每一種取值情況的概率，然后利用公式計算期望和方差，注意在取球模型中摸出的球有放回與無放回的區(qū)別.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。131【解析】求出導(dǎo)函數(shù)，由切線斜率為4即導(dǎo)數(shù)為4求出切點橫坐標，再由切線方程得縱坐標后可求得【詳解】設(shè)，由題意，即，故答案為：1【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義，函數(shù)圖象某點處的切線的斜率就是該點處導(dǎo)數(shù)值本題屬于基礎(chǔ)題14【解析】作出不等式組所表示的可行域，利用平移直線的方法找出使得目標函數(shù)取得最小時對應(yīng)的最優(yōu)解，代入目標函數(shù)計算即可.【詳解】作出不等式組所表示的可行域如下圖所示：聯(lián)立，解得，即點，平移直線，當直線經(jīng)過可行域的頂點時

13、，該直線在軸上的截距最小，此時取最小值，即.故答案為：.【點睛】本題考查簡單的線性規(guī)劃問題，考查線性目標函數(shù)的最值問題，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題.15【解析】先由解析式求得（2），再求（2）【詳解】（2），所以（2），故答案為：【點睛】本題考查對數(shù)、指數(shù)的運算性質(zhì)，分段函數(shù)求值關(guān)鍵是“對號入座”,屬于容易題16【解析】由題知，該四棱錐為正四棱錐，作出該正四棱錐的高和斜高，連接，則球心O必在的邊上，設(shè)，由球與四棱錐的內(nèi)切關(guān)系可知，設(shè)，用和表示四棱錐的體積，解得和的關(guān)系，進而表示出內(nèi)切球的半徑，并求出半徑的最大值，進而求出球的體積的最大值.【詳解】設(shè)，由球O內(nèi)切于四棱錐可知，則，球O的半

14、徑，當且僅當時，等號成立，此時.故答案為：.【點睛】本題考查了棱錐的體積問題，內(nèi)切球問題，考查空間想象能力，屬于較難的填空壓軸題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1）證明見解析（2）【解析】（1）由，故，所以四邊形為菱形，再通過，證得，所以四邊形為正方形，得到.（2）根據(jù)（1）的論證，建立空間直角坐標，設(shè)平面的法向量為，由求得，再由，利用線面角的向量法公式求解.【詳解】（1）因為，故，所以四邊形為菱形，而平面，故.因為，故，故，即四邊形為正方形，故.（2）依題意，.在正方形中，故以為原點，所在直線分別為、軸，建立如圖所示的空間直角坐標系；如圖所示：不紡設(shè)，則

15、，又因為，所以.所以.設(shè)平面的法向量為，則，即，令，則.于是.又因為，設(shè)直線與平面所成角為，則，所以直線與平面所成角的正弦值為.【點睛】本題考查空間線面的位置關(guān)系、線面成角，還考查空間想象能力以及數(shù)形結(jié)合思想，屬于中檔題.18（1） （2）證明見解析【解析】(1)據(jù)題意可得在區(qū)間上恒成立，利用導(dǎo)數(shù)討論函數(shù)的單調(diào)性，從而求出滿足不等式的的取值范圍；(2)不等式整理為，由(1)可知當時，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性從而證明在區(qū)間上成立，從而證明對任意，都有.【詳解】（1）解：因為函數(shù)的圖象恒在的圖象的下方，所以在區(qū)間上恒成立.設(shè)，其中，所以，其中，.當，即時，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，故成立，滿足題意.當

16、，即時，設(shè)，則圖象的對稱軸，所以在上存在唯一實根，設(shè)為，則，所以在上單調(diào)遞減，此時，不合題意.綜上可得，實數(shù)的取值范圍是.（2）證明：由題意得，因為當時，所以.令，則，所以在上單調(diào)遞增，即，所以，從而.由（1）知當時，在上恒成立，整理得.令，則要證，只需證.因為，所以在上單調(diào)遞增，所以，即在上恒成立.綜上可得，對任意，都有成立.【點睛】本題考查導(dǎo)數(shù)在研究函數(shù)中的作用，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性與求函數(shù)最值，利用導(dǎo)數(shù)證明不等式，屬于難題.19（1）證明見解析（2）【解析】（1）分別取，的中點，連接，要證明平面，只需證明面面即可.（2）以點為原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立空間直角坐標系，分別計算面

17、的法向量，面的法向量可取，并判斷二面角為銳角，再利用計算即可.【詳解】（1）證明：分別取，的中點，連接，.由平面平面，且交于，平面，有平面，由平面平面，且交于，平面，有平面，所以，又平面，平面，所以平面，由，有，又平面，平面，所以平面，由平面，平面，所以平面平面，所以平面（2）以點為原點，以為軸，以為軸，以為軸，建立如圖所示空間直角坐標系由面，所以面的法向量可取，點，點，點，設(shè)面的法向量，所以，取，二面角的平面角為，則為銳角.所以【點睛】本題考查由面面平行證明線面平行以及向量法求二面角的余弦值，考查學生的運算能力，在做此類題時，一定要準確寫出點的坐標.20（1）；（2）【解析】（1）根據(jù)橢圓的

18、離心率為，得到，根據(jù)直線與圓的位置關(guān)系，得到原心到直線的距離等于半徑，得到，從而求得，進而求得橢圓的方程；（2）分直線的斜率存在是否為0與不存在三種情況討論，寫出直線的方程，與橢圓方程聯(lián)立，利用韋達定理，向量的數(shù)量積，結(jié)合已知條件求得結(jié)果.【詳解】（1）由離心率為，可得，且以原點O為圓心，橢圓C的長半軸長為半徑的圓的方程為，因與直線相切，則有，即，故而橢圓方程為（2）當直線l的斜率不存在時，由于；當直線l的斜率為0時，則；當直線l的斜率不為0時，設(shè)直線l的方程為，由及，得，有，綜上所述：【點睛】該題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，橢圓的標準方程，考查直線與橢圓的位置關(guān)系，求向量數(shù)量積，在解題的過程中，注意對直線方程的分類討論，屬于中檔題目.21（1）見解析（2）直線過定點.【解析】（1）設(shè)出兩點的坐標，利用導(dǎo)數(shù)求得切線的方程，設(shè)出點坐標并代入切線的方程，同理將點坐標代入切線的方程，利用韋達定理求得線段中點的橫坐標，由此判斷出軸.（2）求得點的縱坐標，由此求得點坐標，求得直線的斜率，由此求得直線的方程，化簡后可得直線過定點.【詳解】（1）設(shè)切點，切線的斜率為，切線：，設(shè)，則有，化簡得，同理可的.，是方程的兩根，軸.（