圖形學(xué)教案第四章曲線和曲面課件

1、第四章 曲線和曲面 第一節(jié) 曲線和曲面表示的基礎(chǔ)知識(shí)第二節(jié) Hermite多項(xiàng)式 第三節(jié) Coons曲面 第四節(jié) Bezier曲線和曲面 第五節(jié) B樣條曲線和曲面 第一節(jié) 曲線和曲面表示的基礎(chǔ)知識(shí) 曲線和曲面參數(shù)表示 （1）與坐標(biāo)軸相關(guān)的，不便于進(jìn)行坐標(biāo)變換；（2）會(huì)出現(xiàn)斜率為無窮大的情況；（3）難以靈活地構(gòu)造復(fù)雜的曲線、曲面（4）非參數(shù)的顯示方程只能描述平面曲線，空間曲線必須定義為兩張柱面的交線。（5）假如我們使用非參數(shù)化函數(shù)，在某個(gè)xoy坐標(biāo)系里一條曲線，一些x值對(duì)應(yīng)多個(gè)y值，而一些y值對(duì)應(yīng)多個(gè)x值。 在空間曲線的參數(shù)表示中，曲線上每一點(diǎn)的坐標(biāo)均要表示成某個(gè)參數(shù)t的一個(gè)函數(shù)式，則曲線上每一

2、點(diǎn)笛卡爾坐標(biāo)參數(shù)式是：， 把三個(gè)方程合寫到一起，曲線上一點(diǎn)坐標(biāo)的矢量表示是：關(guān)于參數(shù)t的切矢量或?qū)Ш瘮?shù)是：曲面寫為參數(shù)方程形式為: 曲線或曲面的某一部分，可以簡(jiǎn)單地用atb界定它的范圍 直線段 端點(diǎn)坐標(biāo)分別是 P1x1,y1,P2x2,y2， 直線段的參數(shù)表達(dá)式是：P(t)= P1+( P2- P1) t = (1-t)P1+ tP2 0t1；參數(shù)表示相應(yīng)的x,y坐標(biāo)分量是：x(t)= x1+(x2-x1) t y(t)= y1+(y2-y1) t 0t1 參數(shù)方程具有如下優(yōu)點(diǎn)。(1) 對(duì)參數(shù)表示的曲線、曲面可對(duì)其參數(shù)方程直接進(jìn)行幾何變換（如平移、比例、旋轉(zhuǎn)）。(2) 便于處理斜率為無限大的問

3、題。(3) 有更大的自由度來控制曲線、曲面的形狀。具有很強(qiáng)的描述能力和豐富的表達(dá)能力。(4) 參數(shù)方程中，代數(shù)、幾何相關(guān)和無關(guān)的變量是完全分離的，而且對(duì)變量個(gè)數(shù)不限，從而便于用戶把低維空間中的曲線、曲面擴(kuò)展到高維空間去。(5) 規(guī)格化的參數(shù)變量t0,1,使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義其邊界。便于曲線和曲面的分段、分片描述。易于實(shí)現(xiàn)光順連接。(6) 易于用矢量和矩陣表示幾何分量，計(jì)算處理簡(jiǎn)便易行。 曲線和曲面可以分為兩類。一類要求通過事先給定的離散的點(diǎn)，稱為是插值的曲線或曲面。另一類不要求通過事先給定的各離散點(diǎn)，而只是用給定各離散點(diǎn)形成的控制多邊形來控制形狀，稱為是逼近的曲

4、線或曲面。 基本概念插值 要求構(gòu)造一條曲線順序通過型值點(diǎn)，稱為對(duì)這些型值點(diǎn)進(jìn)行插值（interpolation）。逼近 構(gòu)造一條曲線，使它在某種意義上最佳逼近這些型值點(diǎn)，稱之為對(duì)這些型值點(diǎn)進(jìn)行逼近（approximation）。參數(shù)連續(xù)性 一函數(shù)在某一點(diǎn)x0處具有相等的直到k階的左右導(dǎo)數(shù)，稱它在x0處是k次連續(xù)可微的，或稱它在x0處是k階連續(xù)的，記作Ck。幾何上C0、C1、C2依次表示該函數(shù)的圖形、切線方向、曲率是連續(xù)的。幾何連續(xù)性 兩曲線段的相應(yīng)的弧長參數(shù)化在公共連接點(diǎn)處具有Ck連續(xù)性，則稱它們?cè)谠擖c(diǎn)處具有k階幾何連續(xù)性，記作Gk 。零階幾何連續(xù)G0與零階參數(shù)連續(xù)C0是一致的。一階幾何連續(xù)G

5、1指一階導(dǎo)數(shù)在兩個(gè)相鄰曲線段的交點(diǎn)處成比例，即方向相同，大小不同。二階幾何連續(xù)G2指兩個(gè)曲線段在交點(diǎn)處其一階和二階導(dǎo)數(shù)均成比例。 光順 光順（smoothness）是指曲線的拐點(diǎn)不能太多，要光滑順暢。對(duì)于平面曲線相對(duì)光順的條件應(yīng)該是：（1）具有二階幾何連續(xù)（G2）；（2）不存在多余拐點(diǎn)和奇異點(diǎn)；（3）曲率變化較小。 拉格朗日n階多項(xiàng)式： 令P0(x0,y0),Pn(xn,yn)表示n+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，t0,t1,t2為任意數(shù)字，其拉格朗日n階多項(xiàng)式如下： 對(duì)任意j i ,有Li(xi)=1且Lj(xj)=0拉格朗日插值： 令P0(x0,y0),Pn(xn,yn)表示n+1個(gè)數(shù)據(jù)點(diǎn)，希望找出通過這些

6、點(diǎn)的曲線。 這里： Li(xi)是拉格朗日多項(xiàng)式， L(x)是插值各數(shù)據(jù)點(diǎn)的第n階拉格朗日多項(xiàng)式第二節(jié) Hermite多項(xiàng)式 已知函數(shù)f(t)在k+1個(gè)點(diǎn)ti處的函數(shù)值和導(dǎo)數(shù)值f (j)(ti)，i=0,1,k，j=0,1,mi-1，要求確定一個(gè)N = m0 + m1 + + mk - 1次的多項(xiàng)式P(t)，滿足下面的插值條件： 考查k=1，m0 = m1 = 2的情形。 已知表示一條曲線的某個(gè)函數(shù)f(t)在兩點(diǎn)t0，t1的函數(shù)值f(t0), f(t1)和一階導(dǎo)數(shù)值f(t0), f(t1)，求三次多項(xiàng)式P(t): 把a(bǔ)0，a1，a2和a3代入則有： 經(jīng)整理，所求多項(xiàng)式P 0(t)可以寫出如下：

7、式中選取兩個(gè)端點(diǎn)及其及其切向量作為曲線構(gòu)造條件 混合函數(shù)如下： 設(shè)表示一條曲線的某個(gè)函數(shù)f(t)在四點(diǎn)t0，t1，t2，t3的函數(shù)值f(t0), f(t1),f(t2), f(t3)，根據(jù)Lagrange插值法，則三次多項(xiàng)式P(t)可表示為： 選擇四個(gè)不同的點(diǎn)作為構(gòu)造曲線的條件 混合函數(shù)如下：經(jīng)驗(yàn)證可知： 為了使P0(t)的定義區(qū)間t0tt1變?yōu)閰^(qū)間0u1，可以做如下變換解出 ，代入混合函數(shù)式中，得： 將關(guān)于u的混合函數(shù)代入，所求的三次多項(xiàng)式成為：令得 對(duì)一般的Hermite插值問題，一般來說得到的插值多項(xiàng)式次數(shù)較高，應(yīng)用起來不方便。通常的處理辦法是將前面給出的參數(shù)的三次多項(xiàng)式逐段光滑地連接，

8、如此來確定一般情況下的插值多項(xiàng)式。 將前面t0和t1視為ti和ti+1，設(shè)給定f(ti)，f(ti+1)，f(ti)，f(ti+1)，則在區(qū)間ti，ti+1的Hermite三次插值多項(xiàng)式Pi(t)是： 為了完整地寫出這個(gè)插值多項(xiàng)式，可以在區(qū)間ti，ti+1中引入如下一些基本函數(shù)： 完整的插值多項(xiàng)式可寫為： 上式區(qū)間t0，tn中有定義，且為分段定義。在每個(gè)區(qū)間 ti，ti+1上，都恰有四項(xiàng)。滿足插值條件 每段曲線Pi(t)只在ti，ti+1中有定義： 自變量的線性變換 用逆變換 代入，將所得關(guān)于u的多項(xiàng)式記為 ，得 其中 = = 設(shè)在平面上有兩點(diǎn)P0，Pl，它們的位置向量分別為(1，1)，(4，

9、2)，在P0的導(dǎo)數(shù)值即在該點(diǎn)的切線向量P0 =(1，1)，在Pl處P1 =(1，-1) 第三節(jié) Coons曲面 uw表示了曲面片的方程0w，1w，u0，u1表示四條邊界曲線u0u表示在邊界線u0上的點(diǎn)沿u向的一階偏導(dǎo)數(shù)向量，稱邊界線的切向量u0w表示邊界線u0上的點(diǎn)沿w向的一階偏導(dǎo)數(shù)向量，稱邊界線的跨界切向量。uwuu ，uwuw，uwww分別表示曲面片uw關(guān)于u和w的二階偏導(dǎo)數(shù)向量，于是u0uu表示邊界線u0上的二階切向量，u0ww表示邊界線u0上的二階跨界切向量。 uwuw為曲面片P在點(diǎn)(u,w)處的扭曲向量。特別，用00，01，10，11分別表示曲面片四個(gè)角點(diǎn)時(shí)，00uw，01uw，10

10、uw，11uw就分別表示在四個(gè)角點(diǎn)的扭曲向量。 構(gòu)造具有指定邊界曲線的曲面片 Coons給出的一個(gè)解法是：尋找兩個(gè)混合函數(shù)f0(t)和f1(t)，它們是連續(xù)的，并且滿足f0(0)=1，f0(1)=0，f1(0)=0，f1(1)=1，且f0(t)+f1(t)=1，0t1。 利用這樣的混合函數(shù)，通過四條邊界構(gòu)造曲面片，并通過疊加修正曲面片，產(chǎn)生滿足用戶需要的曲面。 若給定四條邊界曲線u0，u1，0w，1w，且0u1，0w1 在u向進(jìn)行線性插值，得到直紋面為： 在w向進(jìn)行線性插值，得到直紋面為： 若把這兩張直紋面疊加可得到一張新曲面Ps(u,w)： Ps(u,w)上的任意一點(diǎn)，其位移矢量包含兩個(gè)部分

11、，一部分是由于線性插值而產(chǎn)生的位移，另一部分是由于邊界曲線而產(chǎn)生的位移。 為消除Ps(u,w)中由于線性插值而產(chǎn)生的位移，需要構(gòu)造一個(gè)新的曲面P3(u,w) 構(gòu)造曲面P3(u,w)后，從Ps(u,w)中去除P3(u,w)，即去除線性插值的成分，則得到Coons構(gòu)造曲面 P(u,w)= Ps(u,w) -P3(u,w) =P1(u,w)+ P2(u,w)- P3(u,w)可寫成如下形式： 其中矩陣M是： 矩陣中四個(gè)元素是四個(gè)角點(diǎn)的位置向量，可用已知四條邊界曲線計(jì)算求出。 u0，u1可以是關(guān)于u的三次多項(xiàng)式，0w，1w可以是關(guān)于w的三次多項(xiàng)式，混合函數(shù)也是不超過三次的關(guān)于u或w的三次多項(xiàng)式，這時(shí)公

12、式關(guān)于u看，或關(guān)于w看，都是三次多項(xiàng)式，是關(guān)于u或w的雙三次多項(xiàng)式 不難驗(yàn)證它們符合所提問題的要求，例如我們來驗(yàn)證0w是它的一條邊界線，這只要把u=0代入公式右端，得 曲面片以指定的曲線為其邊界曲線，且有指定的跨界切向量 。 利用本章第二節(jié)定義的四個(gè)混合函數(shù)q00(t), q01(t), q10(t), q11(t)。這四個(gè)函數(shù)均是三次多項(xiàng)式 ，連續(xù)可微，并且還滿足下面的條件： 設(shè)已經(jīng)給定四條邊界曲線u0，u1，0w，1w及沿這四條邊界曲線的跨界切向量u0w，u1w，0wu，1wu。 這時(shí)可以計(jì)算求得四個(gè)角點(diǎn)的位置向量00，01，10，11，切向量00w，01w，10w，11w，00u，01u

13、，10u，11u，以及扭曲向量00uw，01uw，10uw，11uw，可以寫出符合要求曲面片的數(shù)學(xué)表達(dá)式如下： 容易地驗(yàn)證所寫出的公式滿足要求，例如以u(píng)=0代入該式右端，得： 曲面片沿邊界線取給定的各跨界切向量，可先對(duì)該式關(guān)于某一變量求導(dǎo)，例如對(duì)u求導(dǎo)，然后再代入u=0，這時(shí)有 指定四個(gè)角點(diǎn)以及在這些點(diǎn)上的切向量和扭曲向量后，求解曲面的表達(dá)式。 已知角點(diǎn)位置向量00，10以及在這兩點(diǎn)關(guān)于u的切向量00u和01u，可以用Hermite插值公式來指定一條u邊界線：將上兩式代入前式，就可以得到： 給出四個(gè)角點(diǎn)以及在該角點(diǎn)上的切向量和扭曲向量來構(gòu)造Coons曲面表達(dá)式。設(shè)在平面上有四點(diǎn)P0，Pl，P2

14、，P3，它們的位置向量分別為(0，0，0)，(0，0.75，0)，(0.75，0，0)，(0.75，0.75，0)。該四點(diǎn)的切向量、跨界切向量和扭曲向量，定義在關(guān)于角點(diǎn)的信息矩陣M中： 第四節(jié) Bezier曲線和曲面Bezier曲線 給出型值點(diǎn)P0，P1，Pn，它們所確定的n次Bezier曲線是： 涉及到的0!及00，按約定均為1。在n=1時(shí),公式成為： 在n=2時(shí)，公式成為： 在n=3時(shí)，公式成為：Bezier曲線的一些重要性質(zhì) P(0)= P0，P(1)= P1，曲線通過所給出型值點(diǎn)列的起點(diǎn)和終點(diǎn)。 Bezier曲線的對(duì)稱性 曲線的凸包性 對(duì)給定的型值點(diǎn)P0，P1，Pn點(diǎn)集 分段的三次Be

15、zier曲線光滑連接 設(shè)給出兩個(gè)Bezier多邊形P0P1P2P3和Q0QlQ2Q3，顯然，使所決定的兩條Bezier曲線在連接點(diǎn)處連續(xù)的條件是P3=Q0。 Bezier曲線在連接點(diǎn)處G1連續(xù)，即一階導(dǎo)數(shù)幾何連續(xù)，就要求Q0=aP3，這里a應(yīng)該是一個(gè)正數(shù)。由前面的公式，知Q0=3(Q1Q0)，P3=3(P3P2)，因此可知使在連接點(diǎn)處G1連續(xù)的條件是： 由此得 連接點(diǎn)處達(dá)到C2連續(xù)，即二階導(dǎo)數(shù)參數(shù)連續(xù)的條件 對(duì)前面的公式求兩次導(dǎo)數(shù)，可得， 于是知，要求， 即 ，注意到Q0=P3，由此得： 繪制Bezier曲線時(shí)，可以利用其定義式，對(duì)參數(shù)t選取足夠多的值，計(jì)算曲線上的一些點(diǎn)，然后用折線連接來近似

16、畫出實(shí)際的曲線。隨著選取點(diǎn)增多，折線和曲線可以任意接近。 假設(shè)給定的四個(gè)型值點(diǎn)是P0=(1，1)，Pl=(2，3)，P2=(4，3)， P3=(3，1)，則計(jì)算結(jié)果見表 t(1-t)33t(1-t)23t2 (1-t)t3P(t)01000(1,1)0.150.6140.3250.05740.0034(1.5058,1.765)0.350.2750.4440.2390.043(2.248,2.376)0.50.1250.3750.3750.125(2.75,2.5)0.650.0430.2390.4440.275(3.122,2.36)0.850.00340.05740.3250.614(3.

17、248,1.75)10001(3,1)繪制Bezier曲線的方法幾何作圖法分裂法記點(diǎn)Pk，Pk+l，Pl可以生成的Bezier曲線為Pk,l(t)，0t1，則成立下面的遞推關(guān)系： 證明上式，要用到組合等式： void bez_to_points(int n,int npoints,double P,double points) / P為控制點(diǎn)坐標(biāo) points為采用幾何作圖算法生成的Bezier曲線上的離散點(diǎn)序列離散點(diǎn)序列points的個(gè)數(shù)為npoints 控制點(diǎn)P的個(gè)數(shù)為n +1 double t,delt;delt=1.0/(double)npoints;/將參數(shù)t npoints等分t=

18、0.0;for(int i=0;i=npoints;i+)pointsi=decas(n, P, t); /分別求出npoints+1個(gè)離散點(diǎn)points的坐標(biāo)t+=delt;double decas(int n,double P,double t)int m,i;double *R, *Q, P0;R = new doublen +1; Q = new doublen +1;for(i=0;i0;m-) /n次Bezier曲線在點(diǎn)t的值，可由兩條n-1次Bezier曲線/在點(diǎn)t的值通過線性組合而求得。 Qi= R i+t*( R i+1- R i); for(i=0;i= m -1;i+)R

19、i= Q i;P0=R0;delete R;delete Q;return (P0); 設(shè)給出四點(diǎn)的坐標(biāo)是(1，1)，(2，3)，(4，3)，(3，1)，求所確定三次Bezier曲線在t=1/3時(shí)的值P(1/3)，算法的計(jì)算過程 Bezier幾何作圖算法計(jì)算過程 設(shè)控制點(diǎn)序列P0，P1，Pn確定的n次Bezier曲線是P(t)，用如下遞歸方式計(jì)算另一組點(diǎn)集： 如果令Pa(s)和Pb(s)分別是以控制點(diǎn)序列 和 確定的Bezier曲線，其中0s1，那么就有： 己知四點(diǎn)P0，P1，P2，P3，確定了一條三次Bezier曲線P(t)，可寫出下式， 分裂法中的遞歸計(jì)算 分裂法的示意圖 可通過計(jì)算驗(yàn)證B

20、ezier曲線由前后兩段構(gòu)成。現(xiàn)以P0的系數(shù)為例，驗(yàn)證兩端它的系數(shù)是相等的。 左端顯然就是 。先看右端。若0t ，這時(shí)就用前半段的表達(dá)式，觀察分裂計(jì)算圖注意到 中有1份P0， 中有 份， 中是 份， 中是 份，因此全部P0的系數(shù)是： 右端對(duì) t1，注意到僅 中有 份的P0，知P0的系數(shù)是： 設(shè)己知三次Bezier曲線P(t)的控制頂點(diǎn)是P0，P1，P2，P3，在P( )處將曲線分為兩段，求出前半段的控制頂點(diǎn)Q0，Ql，Q2，Q3和后半段的控制頂點(diǎn)R0，R1，R2，R3，。有算法如下void split_Bezier(Point P)Point R4,Q4;int i,j;for(i=0;i=3

21、;i+)Ri=Pi; for(i=0;i=2;i+) Qi=R0; for(j=0;j0，可以取max(d(P1，P0P3)，d(P2，P0P3)為分裂停止的條件。 void new_split_Bezier(Point P)Point R4,Q4;int i,j;const double epsilon=0.01;if(maxdistance(P)epsilon) /*maxdistance(P) 為求max(d(P1,P0P3)，d(P2,P0P3)的函數(shù)*/ MoveTo(P0.x,P0.y);LineTo(P3.x,P3.y);elsefor(i=0;i=3;i+) Ri=Pi;for

22、(i=0;i=2;i+)Qi=R0;for(j=0;j2時(shí)的Ni,1(0.5)=0，所以知N2,2(0.5)=N3,2(0.5)=0。這樣代入公式計(jì)算P(0.5)，有： 再取u其它一些值進(jìn)行計(jì)算，結(jié)果如表所示。 u00.511.522.53N0,2(u)10.500000N1,2(u)00.510.5000N2,2(u)0000.510.50N3,2(u)000000.51P(u)P00.5(P0+ P1)P10.5(P1+ P2)P20.5(P2+ P3)P3 選取n=3，k=4，平面上四個(gè)控制頂點(diǎn)P0，P1，P2，P3的坐標(biāo)依次是(1，1)，(2，3),(4，3)，(3，1)，這時(shí)應(yīng)取參數(shù)

23、節(jié)點(diǎn)n+k+1=8個(gè)，設(shè)選取節(jié)點(diǎn)向量為(0，0，0，0，1，1，1，1)，畫出所確定的4階B樣條曲線。 計(jì)算N1,4(0.5) ，其中0.50，1=u3，u4 N3,1(0.5)=1，而對(duì)i3，Ni,1(0.5)=0。 用類似的過程可計(jì)算求出： 曲線上對(duì)應(yīng)參數(shù)u=0.5的點(diǎn)是： 可以證明更一般的結(jié)論，即，n+1個(gè)控制點(diǎn)P0，P1，Pn所確定的最高階的B樣條曲線是k=n+1階的，這時(shí)由節(jié)點(diǎn)向量(0，0，0，1，1，1)所確定的B樣條曲線，與該n+1個(gè)控制點(diǎn)所確定的Bezier曲線相同。 在參數(shù)節(jié)點(diǎn)的眾多選取方法中，最多使用的是選擇參數(shù)u的每一區(qū)間為等長的情況，這時(shí)所得到的B樣條函數(shù)稱為是等距的，或均勻的。以下我們轉(zhuǎn)入討論等距的B樣條曲線?？紤]使用較多的情況，可假定ui=i,i=0，1，n+k，再引入tj=u-ui+j，因?yàn)檫@可以使得 ui+juui+j+1與0tj1是一致的。 遞歸式，經(jīng)過計(jì)算，可以寫出： 如果固定在ui+3uui+4區(qū)間，可以