河南省鄭州市1062022年高三最后一卷數(shù)學試卷含解析

1、2021-2022高考數(shù)學模擬試卷請考生注意：1請用2B鉛筆將選擇題答案涂填在答題紙相應位置上，請用05毫米及以上黑色字跡的鋼筆或簽字筆將主觀題的答案寫在答題紙相應的答題區(qū)內。寫在試題卷、草稿紙上均無效。2答題前，認真閱讀答題紙上的注意事項，按規(guī)定答題。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1已知函數(shù)，則下列判斷錯誤的是（ ）A的最小正周期為B的值域為C的圖象關于直線對稱D的圖象關于點對稱2一小商販準備用元錢在一批發(fā)市場購買甲、乙兩種小商品，甲每件進價元，乙每件進價元，甲商品每賣出去件可賺元，乙商品每賣出去件可賺元.該商販若想獲取

2、最大收益，則購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別為（ ）A甲件，乙件B甲件，乙件C甲件，乙件D甲件，乙件3如圖，在直角梯形ABCD中，ABDC，ADDC，ADDC2AB，E為AD的中點，若，則的值為（）A BCD4已知定義在上的函數(shù)，則，的大小關系為（ ）ABCD5記集合和集合表示的平面區(qū)域分別是和,若在區(qū)域內任取一點,則該點落在區(qū)域的概率為( )ABCD6一艘海輪從A處出發(fā)，以每小時24海里的速度沿南偏東40的方向直線航行，30分鐘后到達B處，在C處有一座燈塔，海輪在A處觀察燈塔，其方向是南偏東70，在B處觀察燈塔，其方向是北偏東65，那么B，C兩點間的距離是（ ）A6 海里B6海里C8海里D8海

3、里7函數(shù)的圖象大致為（ ）ABCD8袋中裝有標號為1，2，3，4，5，6且大小相同的6個小球，從袋子中一次性摸出兩個球，記下號碼并放回，如果兩個號碼的和是3的倍數(shù)，則獲獎，若有5人參與摸球，則恰好2人獲獎的概率是（ ）ABCD9已知函數(shù)，若曲線在點處的切線方程為，則實數(shù)的取值為（ ）A-2B-1C1D210若的二項展開式中的系數(shù)是40，則正整數(shù)的值為（ ）A4B5C6D711公差不為零的等差數(shù)列an中，a1+a2+a5=13，且a1、a2、a5成等比數(shù)列，則數(shù)列an的公差等于( )A1B2C3D412在等差數(shù)列中，若，則（ ）A8B12C14D10二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分

4、。13九章算術中記載了“今有共買豕，人出一百，盈一百；人出九十，適足。問人數(shù)、豕價各幾何？”.其意思是“若干個人合買一頭豬，若每人出100，則會剩下100；若每人出90，則不多也不少。問人數(shù)、豬價各多少？”.設分別為人數(shù)、豬價，則_，_.14設為橢圓在第一象限上的點，則的最小值為_.15若函數(shù)的圖像與直線的三個相鄰交點的橫坐標分別是,則實數(shù)的值為_16已知正數(shù)a，b滿足a+b=1，則的最小值等于_ ，此時a=_.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（12分）如圖，焦點在軸上的橢圓與焦點在軸上的橢圓都過點，中心都在坐標原點，且橢圓與的離心率均為（）求橢圓與橢圓的標準

5、方程；（）過點M的互相垂直的兩直線分別與，交于點A，B（點A、B不同于點M），當?shù)拿娣e取最大值時，求兩直線MA，MB斜率的比值.18（12分）已知函數(shù)，曲線在點處的切線方程為求a，b的值；證明：19（12分）在四棱錐中，底面為直角梯形，面.（1）在線段上是否存在點，使面，說明理由；（2）求二面角的余弦值.20（12分）已知等差數(shù)列滿足，.（l）求等差數(shù)列的通項公式；（2）設，求數(shù)列的前項和.21（12分）如圖，在中，已知，為線段的中點，是由繞直線旋轉而成，記二面角的大小為.（1）當平面平面時，求的值；（2）當時，求二面角的余弦值.22（10分）某社區(qū)服務中心計劃按月訂購一種酸奶，每天進貨量相同

6、，進貨成本每瓶5元，售價每瓶7元，未售出的酸奶降價處理，以每瓶2元的價格當天全部處理完.根據往年銷售經驗，每天需求量與當天最高氣溫（單位：攝氏度）有關.如果最高氣溫不低于25，需求量為600瓶；如果最高氣溫位于區(qū)間，需求量為500瓶；如果最高氣溫低于20，需求量為300瓶.為了確定六月份的訂購計劃，統(tǒng)計了前三年六月份各天的最高氣溫數(shù)據，得下面的頻數(shù)分布表：最高氣溫天數(shù)414362763以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.（1）求六月份這種酸奶一天的需求量（單位：瓶）的分布列；（2）設六月份一天銷售這種酸奶的利潤為（單位：元），當六月份這種酸奶一天的進貨量為（單位：瓶）時，的

7、數(shù)學期望的取值范圍？參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1D【解析】先將函數(shù)化為，再由三角函數(shù)的性質，逐項判斷，即可得出結果.【詳解】可得對于A，的最小正周期為,故A正確；對于B，由，可得，故B正確；對于C，正弦函數(shù)對稱軸可得：解得：，當，故C正確；對于D，正弦函數(shù)對稱中心的橫坐標為：解得：若圖象關于點對稱，則解得：，故D錯誤；故選：D.【點睛】本題考查三角恒等變換，三角函數(shù)的性質，熟記三角函數(shù)基本公式和基本性質，考查了分析能力和計算能力，屬于基礎題.2D【解析】由題意列出約束條件和目標函數(shù)，數(shù)形結合即可解決.【詳解】設

8、購買甲、乙兩種商品的件數(shù)應分別，利潤為元，由題意，畫出可行域如圖所示，顯然當經過時，最大.故選：D.【點睛】本題考查線性目標函數(shù)的線性規(guī)劃問題，解決此類問題要注意判斷，是否是整數(shù)，是否是非負數(shù)，并準確的畫出可行域，本題是一道基礎題.3B【解析】建立平面直角坐標系，用坐標表示，利用，列出方程組求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則D(0，0).不妨設AB1，則CDAD2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)， (2，2)(2，1)(1，2)，解得則.故選：B【點睛】本題主要考查了由平面向量線性運算的結果求參數(shù)，屬于中檔題.4D【解析】先判斷函數(shù)在時的單調性，可以

9、判斷出函數(shù)是奇函數(shù)，利用奇函數(shù)的性質可以得到，比較三個數(shù)的大小，然后根據函數(shù)在時的單調性，比較出三個數(shù)的大小.【詳解】當時，函數(shù)在時，是增函數(shù).因為，所以函數(shù)是奇函數(shù)，所以有，因為，函數(shù)在時，是增函數(shù)，所以，故本題選D.【點睛】本題考查了利用函數(shù)的單調性判斷函數(shù)值大小問題，判斷出函數(shù)的奇偶性、單調性是解題的關鍵.5C【解析】據題意可知，是與面積有關的幾何概率，要求落在區(qū)域內的概率，只要求、所表示區(qū)域的面積，然后代入概率公式，計算即可得答案【詳解】根據題意可得集合所表示的區(qū)域即為如圖所表示：的圓及內部的平面區(qū)域，面積為，集合，表示的平面區(qū)域即為圖中的，根據幾何概率的計算公式可得，故選：C【點睛】

10、本題主要考查了幾何概率的計算，本題是與面積有關的幾何概率模型解決本題的關鍵是要準確求出兩區(qū)域的面積6A【解析】先根據給的條件求出三角形ABC的三個內角，再結合AB可求，應用正弦定理即可求解.【詳解】由題意可知：BAC704030.ACD110，ACB1106545，ABC1803045105.又AB240.512.在ABC中，由正弦定理得，即，.故選：A.【點睛】本題考查正弦定理的實際應用，關鍵是將給的角度、線段長度轉化為三角形的邊角關系，利用正余弦定理求解.屬于中檔題.7A【解析】用偶函數(shù)的圖象關于軸對稱排除,用排除,用排除.故只能選.【詳解】因為 ,所以函數(shù)為偶函數(shù),圖象關于軸對稱,故可以

11、排除;因為,故排除,因為由圖象知,排除.故選:A【點睛】本題考查了根據函數(shù)的性質,辨析函數(shù)的圖像,排除法,屬于中檔題.8C【解析】先確定摸一次中獎的概率，5個人摸獎，相當于發(fā)生5次試驗，根據每一次發(fā)生的概率，利用獨立重復試驗的公式得到結果【詳解】從6個球中摸出2個，共有種結果，兩個球的號碼之和是3的倍數(shù)，共有摸一次中獎的概率是，5個人摸獎，相當于發(fā)生5次試驗，且每一次發(fā)生的概率是，有5人參與摸獎，恰好有2人獲獎的概率是，故選：【點睛】本題主要考查了次獨立重復試驗中恰好發(fā)生次的概率，考查獨立重復試驗的概率，解題時主要是看清摸獎5次，相當于做了5次獨立重復試驗，利用公式做出結果，屬于中檔題9B【解

12、析】求出函數(shù)的導數(shù)，利用切線方程通過f（0），求解即可；【詳解】f （x）的定義域為（1，+），因為f（x）a，曲線yf（x）在點（0，f（0）處的切線方程為y2x，可得1a2，解得a1，故選：B【點睛】本題考查函數(shù)的導數(shù)的幾何意義，切線方程的求法，考查計算能力10B【解析】先化簡的二項展開式中第項，然后直接求解即可【詳解】的二項展開式中第項.令，則，（舍）或.【點睛】本題考查二項展開式問題，屬于基礎題11B【解析】設數(shù)列的公差為.由，成等比數(shù)列，列關于的方程組，即求公差.【詳解】設數(shù)列的公差為，.成等比數(shù)列，解可得.故選：.【點睛】本題考查等差數(shù)列基本量的計算，屬于基礎題.12C【解析】將，

13、分別用和的形式表示，然后求解出和的值即可表示.【詳解】設等差數(shù)列的首項為，公差為，則由，得解得，所以故選C【點睛】本題考查等差數(shù)列的基本量的求解，難度較易.已知等差數(shù)列的任意兩項的值，可通過構建和的方程組求通項公式.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。1310 900 【解析】由題意列出方程組，求解即可.【詳解】由題意可得，解得.故答案為10 900【點睛】本題主要考查二元一次方程組的解法，用消元法來求解即可，屬于基礎題型.14【解析】利用橢圓的參數(shù)方程，將所求代數(shù)式的最值問題轉化為求三角函數(shù)最值問題，利用兩角和的正弦公式和三角函數(shù)的性質，以及求導數(shù)、單調性和極值，即可得到所求最小

14、值【詳解】解：設點，其中，由，可設，導數(shù)為，由，可得，可得或，由，可得，即，可得，由可得函數(shù)遞減；由，可得函數(shù)遞增，可得時，函數(shù)取得最小值，且為，則的最小值為1故答案為：1【點睛】本題考查橢圓參數(shù)方程的應用，利用三角函數(shù)的恒等變換和導數(shù)法求函數(shù)最值的方法，考查化簡變形能力和運算能力，屬于難題154【解析】由題可分析函數(shù)與的三個相鄰交點中不相鄰的兩個交點距離為,即,進而求解即可【詳解】由題意得函數(shù)的最小正周期,解得故答案為：4【點睛】本題考查正弦型函數(shù)周期的應用,考查求正弦型函數(shù)中的163 【解析】根據題意，分析可得，由基本不等式的性質可得最小值，進而分析基本不等式成立的條件可得a的值，即可得答

15、案【詳解】根據題意，正數(shù)a、b滿足，則，當且僅當時，等號成立，故的最小值為3，此時.故答案為：3；.【點睛】本題考查基本不等式及其應用，考查轉化與化歸能力，屬于基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17（1），（2）【解析】分析：(1)根據題的條件，得到對應的橢圓的上頂點，即可以求得橢圓中相應的參數(shù)，結合橢圓的離心率的大小，求得相應的參數(shù)，從而求得橢圓的方程；(2)設出一條直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，消元，利用求根公式求得對應點的坐標，進一步求得向量的坐標，將S表示為關于k的函數(shù)關系，從眼角函數(shù)的角度去求最值，從而求得結果.詳解：（）依題意得對：，得：； 同理

16、：. （）設直線的斜率分別為，則MA：，與橢圓方程聯(lián)立得： ，得，得,，所以同理可得.所以,從而可以求得因為，所以，不妨設，所以當最大時，此時兩直線MA，MB斜率的比值.點睛：該題考查的是有關橢圓與直線的綜合題，在解題的過程中，注意橢圓的對稱性，以及其特殊性，與y軸的交點即為橢圓的上頂點，結合橢圓焦點所在軸，得到相應的參數(shù)的值，再者就是應用離心率的大小找參數(shù)之間的關系，在研究直線與橢圓相交的問題時，首先設出直線的方程，與橢圓的方程聯(lián)立，求得結果，注意從函數(shù)的角度研究問題.18（1）；（2）見解析【解析】分析：第一問結合導數(shù)的幾何意義以及切點在切線上也在函數(shù)圖像上，從而建立關于的等量關系式，從而

17、求得結果；第二問可以有兩種方法，一是將不等式轉化，構造新函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)的最值，從而求得結果，二是利用中間量來完成，這樣利用不等式的傳遞性來完成，再者這種方法可以簡化運算.詳解：（1）解：，由題意有，解得（2）證明：（方法一）由（1）知，.設則只需證明 ，設則， 在上單調遞增，使得且當時，當時，當時，單調遞減當時，單調遞增 ，由，得， ，設， 當時，在單調遞減， ，因此（方法二）先證當時， ，即證設，則，且，在單調遞增，在單調遞增，則當時，（也可直接分析 顯然成立）再證設，則，令，得且當時，單調遞減；當時，單調遞增. ，即又，點睛：該題考查的是有關利用導數(shù)研究函數(shù)的綜合問題，在求解的過程

18、中，涉及到的知識點有導數(shù)的幾何意義，有關切線的問題，還有就是應用導數(shù)證明不等式，可以構造新函數(shù)，轉化為最值問題來解決，也可以借用不等式的傳遞性，借助中間量來完成.19（1）存在；詳見解析（2）【解析】（1）利用面面平行的性質定理可得，為上靠近點的三等分點，中點，證明平面平面即得；（2）過作交于，可得兩兩垂直，以分別為軸建立空間直角坐標系，求出長，寫出各點坐標，用向量法求二面角【詳解】解：（1）當為上靠近點的三等分點時，滿足面.證明如下，取中點，連結.即易得所以面面，即面（2）過作交于面，兩兩垂直，以分別為軸建立空間直角坐標系，如圖，設面法向量，則，即取同理可得面的法向量綜上可知銳二面角的余弦值為【點睛】本題考查立體幾何中的存探索性命題，考查用空間向量法求二面角線面平行問題可通過面面平行解決，一定要掌握：立體幾何中線線平行、線面平行、面面平行是相互轉化、相互依存的求空間角一般是建立空間直角坐標系，用空間向量法求空間角20 (1)；