歷年數學奧賽的選擇及填空題

1、1、設a 2 + 1 = 3 a，b 2 + 1 = 3 b，且a b，則代數式+的值為（ ）（A）5 （B）7 （C）9 （D）112、如圖，設AD，BE，CF為ABC的三條高，若AB = 6，BC = 5，EF = 3，則線段BE的長為（ ）（A） （B）4 （C） （D）3、從分別寫有數字1，2，3，4，5的5張卡片中任意取出兩張，把第一張卡片上的數字作為十位數字，第二張卡片上的數字作為個位數字，組成一個兩位數，則所組成的數是3的倍數的概率是（ ）（A） （B） （C） （D）4、在ABC中，ABC = 12，ACB = 132，BM和CN分別是這兩個角的外角平分線，且點M，N分別在直線

2、AC和直線AB上，則（ ）（A）BM CN （B）BM = CN （C）BM 0，且= = =3。已知a1999x2000，b1999x2001，c1999x2002，則多項式a2b2c2abbcca的值為( )。A、0 B、1 C、2 D、3答案：原式= (a-b)2+(b-c)2+(c-a)2= 1+1+4=3。如圖，點E、F分別是矩形ABCD的邊AB、BC的中點，連AF、CE交于點G，則等于( )。A、 B、 C、 D、答案：設S矩形ABCD=1。因為E、F是矩形ABCD中邊AB、BC的中點，所以SGCF=SGBF，設為x；SGAE=SGBE，設為y。則 ,得2x+2y= .所以S四邊形

3、AGCD= .從而S四邊形AGCDS矩形ABCD=23.設a、b、c為實數，xa22b，yb22c，zc22a，則x、y、z中至少有一個值( )。A、大于0 B、等于0 C、不大于0 D、小于0答案：由題意:x+y+z=a2+b2+c2-2a-2b-2c+=(a-1)2+(b-1)2+(c-1)2+-30,所以x、y、z中至少有一 個大于0.設關于x的方程ax2(a2)x9a0，有兩個不等的實數根x1、x2，且x11x2，那么a的取值范圍是( )。A、a B、a C、a D、a0答案：由題知:(x1-1)(x2-1)0, 即x1x2-(x1+x2)+10,代入韋達定理并整理得0知a為一切實數.

4、由韋達定理,得原式=9x1x2-2(x1+x2)2=-2a2+9a-18- .已知a、b為拋物線y(xc)(xcd)2與x軸交點的橫坐標，ab，則的值為 。答案：由題知:(a-c)(a-c-d)-2=0, (b-c)(b-c-d)-2=0.所以a-c和b-c是方程 t(t-d)-2=0(即t2-dt-2=0)的兩實根.所以(a-c)(b-c)= -20.而ab,即a-cb-c.所以a-c0.所以原式=b-a.如圖，在ABC中，ABC600，點P是ABC內的一點，使得APBBPCCPA，且PA8，PC6，則PB 。答案：易證:PABBCP,所以= ,得PB=4如圖，大圓O的直徑ABacm，分別以

5、OA、OB為直徑作O1、O2，并在O與O1和O2的空隙間作兩個等圓O3和O4，這些圓互相內切或外切，則四邊形O1O2O3O4的面積為 cm2。答案：設O3的半徑為x,則O1O3= +x，O1O= ,O3O= - x. 所以( +x)2=( )2+（ - x）2,解得x= ,易得菱形O1O3O2O4的面積為 a2.滿足(n2n1)n21的整數n有 個。答案：由題設得n2-n-1=1,有5個根:0,1,-1,2.和-2某商品的標價比成本高p%，當該商品降價出售時，為了不虧本，售價的折扣（即降價的百分數）不得超過d%，則d可以用p表示為 。答案：設成本為a,則a(1+p%)(1-d%)=a,得d=.

6、1、已知a=-1，b=2-，c=-2，那么a，b，c的大小關系是（ ）(A) abc(B) bac (C) cba(D)ca0 (B)M0 (C)M 0 (D)不能確定M為正、為負或為04、直角三角形BC的面積為120，且BAC=90，AD是斜邊上的中線，過D作DEAB于E，連CE交AD于F，則AFE的面積為（ ） (A)18 (B)20 (C)22 (D)245、圓O1與O2圓外切于點A，兩圓的一條外公切線與圓O1相切于點B，若AB與兩圓的另一條外公切線平行，則圓O1與圓O2的半徑之比為（ ）(A)2：5 (B)1：2 (C)1：3 (D)2：36、如果對于不小于8的自然數n，當3n+1是一

7、個完全平方數是，n+1都能表示成個k完全平方數的和，那么k的最小值為（ ）BAO1O2(A)1 (B)2 (C)3 (D)4-11yOx一、BDCBCC1、已知a0，ab0，化簡， .2、如圖，7根圓形筷子的橫截面圓的半徑均為r，則捆扎這7根筷子一周的繩子和長度為 3、甲乙兩人到特價商店購買商品，已知兩人購買商品的件數相等，且每件商品的單價只有8元和9元，若兩人購買商品一共花費了172元，則其中單價為9元的商品有 件。4、設N=23x+92y為完全平方數，且不超過2392，則滿足上述條件的一切正整數對（x，y）共有 對。二、1、 2、 3、12 4、271若4x3y6z=0，x+2y7z=0(

8、xyz0)，則的值等于 ( ).(A) (B) (C) (D) 2在本埠投寄平信，每封信質量不超過20g時付郵費0.80元，超過20g而不超過40g時付郵費1.60元，依次類推，每增加20g需增加郵費0.80元（信的質量在100g以內）。如果所寄一封信的質量為72.5g，那么應付郵費 ( ).(A) 2.4元 (B) 2.8元 (C) 3元 (D) 3.2元3如下圖所示，A+B+C+D+E+F+G=（ ）. (A)360 (B) 450 (C) 540 (D) 720 （第3題圖）（第4題圖）4四條線段的長分別為9，5，x，1（其中x為正實數），用它們拼成兩個直角三角形，且AB與CD是其中的兩

9、條線段（如上圖），則x可取值的個數為（ ）.(A)2個 (B)3個 (C)4個 (D) 6個5某校初三兩個畢業(yè)班的學生和教師共100人一起在臺階上拍畢業(yè)照留念，攝影師要將其排列成前多后少的梯形隊陣（排數3），且要求各行的人數必須是連續(xù)的自然數，這樣才能使后一排的人均站在前一排兩人間的空擋處，那么，滿足上述要求的排法的方案有( ).(A)1種 (B)2種 (C)4種 (D) 0種6已知，那么 .7若實數x，y，z滿足，則xyz的值為 . 8觀察下列圖形： 根據圖、的規(guī)律，圖中三角形的個數為 . （第9題圖）9如圖所示，已知電線桿AB直立于地面上，它的影子恰好照在土坡的坡面CD和地面BC上，如果C

10、D與地面成45，A=60 CD=4m，BC=m，則電線桿AB的長為_m.已知二次函數（其中a是正整數）的圖象經 過點A（1，4）與點B（2，1），并且與x軸有兩個不同的交點，則b+c的最大值為 .1D由 解得 代入即得.2D因為20372.5204，所以根據題意，可知需付郵費0.84=3.2（元）.3C如圖所示，B+BMN+E+G=360，F(xiàn)NM+F+A+C=360，而BMN +FNM =D180，所以A+B+C+D+E+F+G=540.(第3題圖)(第4題圖)4D顯然AB是四條線段中最長的，故AB=9或AB=x。（1）若AB=9，當CD=x時，；當CD=5時，；當CD=1時，.（2）若AB=x，當CD=9時，；當CD=5時，；當CD=1時，.故x可取值的個數為6個.5B設最后一排有k個人，共有n排，那么從后往前各排的人數分別為k，k+1，k+2，k+（n1），由題意可知，即. 因為k，n都是正整數，且n3，所以n0.設拋物線與x軸的兩個交點的橫坐標為，即為方程的兩個根.由題設，知，所以.根據對稱軸x=4，即有，知b0時，方程無實根；（2）當xAD)，BC=CD=12, ，若AE=10，則CE的長為 .答：4或6（第9題圖）解：延長DA至M，使BMBE. 過B作BGAM，G為垂足.易知四邊形BCDG為正方形， 所以BC=