線性代數(shù)試卷二含答案

1、線性代數(shù)綜合練習(xí)題（二）一、選擇題1. 設(shè)是四維列向量，且，則（ ）。（A） （B） （C） （D） 2. 如果為三階方陣，且，則（ ）。（A） 4 （B） 8 （C） 2 （D） 16 3. 設(shè)為階方陣，且，則（ ）。（A）中必有兩行（列）的元素對應(yīng)成比例 ，（B）中至少有一行（列）的元素全為0 ， （C）中必有一行（列）向量是其余各行（列）向量的線性組合， （D）中任意一行（列）向量是其余各行（列）向量的線性組合。4. 設(shè)矩陣、的秩分別為，則分塊矩陣的秩滿足（ ）。（A） （B） （C） （D） 5. 設(shè)為階方陣，是階正交陣，且，則下列結(jié)論不成立的是（ ）。（A）與相似 （B）與等價(jià)（C）

2、與有相同的特征值 （D）與有相同的特征向量二、填空題1. 階行列式 。2. 設(shè)，則 。3. 設(shè)三階矩陣，滿足，且，則 。4. 設(shè)四階方陣，則 。5. 設(shè)向量組，線性相關(guān)，則 。6. 設(shè)三階方陣的特征值為1，2，3，則 ，的特征值為 ，的特征值為 。7. 設(shè)二次型為正定二次型，則的范圍是 。三、計(jì)算題1. 求向量組，的秩與一個最大無關(guān)組，并把其他向量用最大無關(guān)組線性表示。2. 為何值時(shí)，方程組有惟一解，無解或有無窮多解？并在有無窮多解時(shí)求出方程組的通解。3. 三階實(shí)對稱矩陣的特征值為，對應(yīng)于特征值的特征向量為, 求。4. 已知二次型，（1）寫出二次型的矩陣表達(dá)式，（2）用正交變換把化為標(biāo)準(zhǔn)形并寫

3、出相應(yīng)的正交變換。四、證明題1. 設(shè)為階方陣，如果存在正整數(shù)，使得，證明可逆，并求逆。2. 設(shè)是階方陣的特征值，對應(yīng)的特征向量分別為，證明不是的特征向量。線性代數(shù)綜合練習(xí)題（二）參考答案一、選擇題1. C 2. A 3. C 4. A 5. D二、填空題（每空3分）1. ； 2. ； 3. ；4. ； 5. 6. ， ，6，3，2 ；7. .三、計(jì)算題1. 解： ， 所以，是一個最大無關(guān)組，并且有 ，. 2. 解： ， 當(dāng)，即且時(shí)，方程組有惟一解. 當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組有無限多個解.，并且通解為 ， 當(dāng)時(shí)，此時(shí)，方程組無解. 3. 解：先求對應(yīng)于特征值1的特征向量，設(shè)是對應(yīng)于1的特征向量，則有，因而，為不等于0的任意常數(shù). 取，令，則有 ， 因此，. 4. 解：（1） （2） ，所以的特征值為， 當(dāng)時(shí)，由得對應(yīng)于5的特征向量，當(dāng)時(shí)，由得對應(yīng)于的特征向量，. 取，令，則為正交矩陣，且 ， 因此，所求的正交變換為，并且 四、證明題1. 證： 所以，可逆，并且.2. 證：