用組合積分法對幾類積分進行求解求積分的捷徑,不得不看教學提綱

1、用組合積分法對幾類積分進行求解（求積分的捷徑，不得不看）精品文檔用組合積分法對幾類積分進行求解0引言及定義積分在微積分中占有極為重要的地位，它與微分比較，難度大，方法靈活，掌握積分 的基本方法(如換元法，分部積分法等)是十分必要的，但這是遠遠不夠的，還必須掌握一 些特殊的積分方法，以便能順利、快速、準備地計算出函數(shù)的積分來.組合積分法是一 種全新的積分方法，它能順利解決用傳統(tǒng)積分法很難求解甚至不能求解的各類函數(shù)有理 式的積分問題.華羅庚教授在他的著作高等數(shù)學引論一書中，舉出了這樣一個求不定積分的例子：sin xcosx求T1dx, T2dx .acosx bsin xacosx bsin xx

2、我們可以用代換t tan ,分別求出Ti與T2,但還有更簡單的方法，即2bT1 aT2 dx x C1，a sin x bcosx , d (a cosx bsin x) ,. 八,一aT1 bT2dx In a cosx bsin x C2, (2)a cosx bsin x (a cosx bsin x)由此可得，1.，-T12bx a ln acosx bsin x C,a bT2 1-2ax bln a cosx bsin x C , a b華教授的解法為什么可以簡化運算呢？在這里，他巧妙地兩個結構相似的積分組合收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系管理員刪除精品文檔在一起，成為一個以所求積分為變

3、量的 T1 , T2的二元方程組，解此方程組，即得所求不 定積分，像這樣用解方程組求解問題的方法稱為組合法，用組合法求積分的方法稱為組 合積分法.用組合法求解積分問題的關鍵，是在式(2)中利用了湊微分公式(- asinx+bcosx)dx=d(acosx+bsinx).下面給出一些定義：定義1設函數(shù)f (x)與g(x)為可導函數(shù)，如果f(x)g(x),且g(x) f (x),(為任意常數(shù))，那么稱f (x)與g(x)為互導函數(shù)，若f(x)g(x),且g(x) f(x)，則稱f(x)與g(x)為相反互導函數(shù)，為互導系數(shù). 、 、 一 . ,_. 一-、.、 .定義2 設函數(shù)yf(x)為可導函數(shù)，

4、如果f (x) f(x)(為任意常數(shù))，那么，稱函數(shù)y f(x)為自導函數(shù)，為自導系數(shù).組合積分法分為兩大類型，即參元組合法與分解組合法.在求一個積分I時，找出另一個與I結構相似的積分J,然后將兩個積分組合起來， 通過解I與J的方程組求解積分的方法叫做參元組合法.將一個積分分為兩個結構相似的積分為I與J,將I與J組成一個方程組，解方程 組即得積分I與J,最后將I與J聯(lián)合成所要求的積分，這種求積分的方法叫做分解組 合法.1三角函數(shù)有理式的積分1 . 1 含有 a sin x bcosx n的積分對于分母含有a sin x bcosx n的三角函數(shù)有理式的積分，可考慮使用組合積分法， 先證明兩個遞

5、推公式.定理 1 設 Jn dx-,(n 1, x karctan )(asin x bcosx)a收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系管理員刪除精品文檔Jn12r2T( n2)Jn 1(n 1)(a b )bsin x acosx(asin xbcosx)n 1.(asin x b cosx) dxd(bsinxacosx)(asinx bcosx)n 1所以有bsin xacosx(asinxbcosx)nbsin xacosx(asinxbcosx)n 1bsin xacosx(asinxbcosx)n 1asin x bcosx(n(n(bsinx acosx)d(asinxn 1bcosx)n

6、J n(n將n-2代替式中的n,得(n 2Jn 2)(n1)( a2故得遞推公式Jn12(n 1)(a二(n b )定理2Jndx(asin x bcosx)n1)1)2(bsinx acosx)(asin x bcosx)n 2(a2 b2)2(asin x bcosx)n 21)(ab2)Jn2)Jndxdx (n 1) Jnb2)Jn 2bsin xbsin x acosx(asin x b cosx)nacosx(asin x b cosx)bsinx acosxn 1.(asin x bcosx)aa1 bb12,2a bab1 ba12,2a bIa1 sinx b1 cosx(a

7、sin x b cosx)ndx AJ1 (asin x bcosx)77 ,(n.1,xb k arctan-).a證 用組合積分法來證明.令sin x；了 dx, (asin x bcosx)cosx121n dx,(asin x bcosx)收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系管理員刪除精品文檔所以有于是有bI1 aI2I1a111AJn1d(asin x bcosx) (asin x bcosx)nJnn 1 (a sin x bcosx)n 11 2b n 1 (asin x b cosx)bl I 2a2 2 -a b naa1 bb1-2, 2 J na bn 1 .1 (asin x b

8、cosx)ab1 ba11a2 bn 1n 1 (asin x bcosx)n 1 (a sin x b cosx)n 1要記住這兩個遞推公式不是一件容易的事情,實際上只需記住遞推公式的證明思路直接用組合積分法求解即可.1 . 2 含有a+bsinx與c+dcosx的積分解法sinx , dx.sinxsinx ,dx.sinxsin x1 sinxdx.所以有解法2解法3所以有sin x1 sin x2sin2 x1 sin2 x2sin2 xdx.c sinx ,22-dxcos xcosx2,1 sin xcosxdx.用代換tan-2sinx ,dx.1 sin xdxtanx x八.

9、222 tan xdx 2 (sec x 1)dx 2tanx 2x一 一一 2 sin x sin x21cos xu, sin x2u1 u2dx1八tan x x C cosx2u1 u2 ,dx2du1 u2 ,2u 12u2du2 u4u2(1 u2)(1 u)2du.收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系管理員刪除精品文檔顯然以上解法太繁，不宜采用.事實上，將原積分化為(11 )dx. sinxdx再對后一積分做代換,x tan2u,sinx2u2， udx則有dx1 sin x11 2u 121 u2du2 u(1所以有sinx ,dx1 sinx顯然用解法所以有I1duu)22較簡單，但較

10、復雜的情形用解法a1 b1 cosxdxc d cos xc d)dxx tan2sin x2du-2，1 uC.1較好.I1I1I1_1_c2 d2dxd cosxarctandx,22d cos xd (ctan x)dxd cosx2c122c secdx,22x d cos x.2,、2d (ctan x)2d cosx , 2 dxc d cos x2_ c2 d, ctanx一 arctan 2.22.c d2 2dd(sinx), c2 d2 d2sin2x2d sin xarctan2,22,2, cdc d，, ctanx(arctan ,，c d2arctan_d sin

11、x_1d2ctanx d sin xc2 d2ctanx d sinx12222. c d . c darctan .c2 d2.c2 d2 sin xd ccosx收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系管理員刪除精品文檔上述結果與查表求得的結果一致，可見用組合積分法能順利地求出積分表中較難的 積分公式.此公式如用萬能代換，令 來求出，將是比較困難的.1.3 有 a+bsinxcosx 的積分cosx , 例3 求 I dx.1 sin xcosx解這里如果用萬能代換,設 tan：u,則cosxsin x 一 12u H2, dx u2du2， u原積分可變?yōu)?du2(1_222u 1 u2 1 u2(1

12、 u2)I u2)du2Z222u(1 u2)2(1 u2)du432u4 2u3 2u2 2u 1以上有理函數(shù)的積分，要求出開相當困難，如果改用組合積分法將能很快地求出sin x dx, 1 sin xcosx則有sin x cosx ,dx1 sin xcosxd (sin x cos x) 2 2sin xcosxc d (sin x cos x) 2cos x)3 (sin x.3731n 用sin x cosxsin x cosx, cosx sin x , 八I J dx 21 sin xcosxd (sin xcosx) 22 2sin xcosxd(sinx cosx)2 ,

13、(sin x cosx)2arctan(sin x cosx).所以1 1-ln.3 sin x cosxsin x cosx2arctan(sin x cosx)C.3 sin x cosxsin x cosx2arctan(sin x cosx)收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系管理員刪除精品文檔還有許多含有 asecx+btanx、 acscx+bcotx b+atanx、 atanx+bcotx 等形式的積分 可化為以上類型進行積分計算2指數(shù)函數(shù)有理式的積分指數(shù)函數(shù)ex與ax具有自導性，ex與e x、ax與a x的代數(shù)和具有互導性，這就為湊微分提供條件，這里主要用到以下的湊微分公式:xxxx

14、x(e e ) d(e e ),xxxx x(e e ) d(e e ),般的指數(shù)函數(shù)ax與a x(a 0,a1)也有類似的湊微分公式:1x _ xx _(a a )d(a aIn a1x _ xx _ x、), (a a ) d(a a ), In a這就為使用組合積分法提供了保證2.1 有(aex be x)n 積分.，也和三角函數(shù)有理式的積分一樣,對于分母(ae be x)n的指數(shù)函數(shù)有理式的積分可以考慮使用組合積分法求解.證明兩個遞推公式定理1 設JnJn證 因為dxxx n(ae be )11(n 2)Jn4ab(n 1)Jndx(aex be(n 1, ab)n0)xxae bex

15、x n 1(ae be )(nx aex(ae1)bex x、 n 1 , be )d(aex be x)xx n 1(ae be )xx 2(ae be ),dxxx n 2(ae be )xxae bexx n 1(ae be )(n1)xx 2xx 2W上 dx (n 1)Jn(ae be )xxae bexrvr (n 1)xx n(ae be )4abdx(ae、bey 2dx (n 1)Jn收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系管理員刪除精品文檔xx所以有ae benJn 4ab(n 1)Jn 2 x1(ae be )用n-2代替上式中的n,得(n 2)Jn 2 4ab(n 1)Jnxxae

16、bex(aex n 1 be )故得遞推公式則有所以定理2 設 Jb1(aexal 1 bI2于是有4a(ndxxx n(ae be )bex)ndxAJn2)Jn 2xaebe x(aexx n be )彳A ba ab1 b ab ba12ab ， 2abBn 1 (aex1xx n 1be ),(n 1,n則N,ab 0).exdxe xdx(aex be x)n，2 (axe be x)aI1 bI2 Jn1aex be x ,d(aex be x)dx - xx nxx n(ae be ) (ae be )1 丁 J n17 x z xr7,2a n 1 (ae be )n 1Jn

17、1xx2b n 1 (ae be )n 1I a111b1 12ba1 b1a j2ab11n 1 (aex be x)1 ab1 ba11n 1 2ab (aex be x)n 1AJn1B1xx . n 1n 1 (ae be )這兩個定理主要是給出用組合積分法求解此類積分問題的解題思路2 . 2含有（pax qa x）n的積分用組合積分法證明下列遞推公式給出解題思路.收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系管理員刪除精品文檔定理1 設n為正整數(shù)，且n 1, pq0,并另則有遞推公式Jndxxx n(pa qa )所以有Jn(padxx qa)nlna(paxxpa qaqa(n1)2)Jnxxpa q

18、aln a (pax n 1 qa )1ln ax )n 1(nd(pax_ x qa )xx n 1(pa qa )1)ln a(pax qa(paxx)2x n 2qa )dxxpa qaln a (paxx1 pax n 1 qa )xqaln a (pax qa x)n(n(n1)xx 2xx、(pa qa ) (pa qa )nJn 4pq(n1)JnxpaIn a (pax用n-2代替上式中的n,得(n2)Jn 24pq(n1)Jn故得遞推公式Jn4pq(n 1)(n2)Jn定理2設n1, n N, pq 0 ,并令(pax4pqqax )n 12-dx (n 1)Jnx n 2q

19、a )xqax、n 1 .qa )xxpa qaIn a (paxqaxpadxx,n 1 .xqa2 xIna (pa qax)n 1(n 1)Jn.A qaB2pqp“ qa2pq收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系管理員刪除精品文檔則有遞推公式xxa1ab1a(pax一 x qa )ndxAJn 2； ； 一, xxrnr.n 11n a (pa qa )則有pl1I1qi(pax qa x)ndx, 12xxpa qa(paxx、qa )ndx(pax qa x)ndx，1In ad(pax qa x)(pax qa)nx _ x n 1In a n 1 (pa qa )所以有l(wèi)1Jn1 2pI

20、n a n11x x n 1,1 (pa qa )于是aj工Jn 12qIn a nxx n 11(pa qa ).b1 1 2qa11 pb qa1 12pq1 n 1 2pq In a (pax qa x)n 1AJn 1xx n 1 .n 1 In a (pa qa )3 一類無理函數(shù)的積分對一類無理式的積分，可考慮使用組合積分法求解，特別對比較復雜的情形用組合 積分法更為方便，對于這類無理函數(shù)的積分，其求法如下:有理式積分收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系管理員刪除無理函數(shù)積分精品文檔再令則有blal所以有又由 sint=x,所以再令bI解得sht所以dxax b 1 x2sint，則dx=c

21、osxdt,于是原積分可變?yōu)镮aJbJaJsintdtasint bcostbcost asint , dtasint bcosta cost bsint 口dtasint bcostcostdtasintb costt,d(asint bcost)asint bcostIn asintbcost.bt aln asint bcost Ccost . 1 x2 ,t arcsinx,axasht,dxx ,cht a1-22sa b1barcsinx alnax b%1achtasht 1:b2b)achtdt,則原積分可變?yōu)閍cht , dta sht abcht-hdt, asht bch

22、tbsht ,xdtbchtaln(asht12一.： xaa2 , taln(ax證aln(ax-h.dt asht bchtd (asht bcht) ln( ashtasht bchtbcht).bcht) bt C1 ,由 x asht,得,x x arsh - ln b . x2 a2)b x2 a2)dx()2 1 ln(x Vx2 a2、, a ) ln a.aln abln(x,(m n)bln(x , x2n)a2)(CCi)bln alna(a2- aCi1 o2斛設 Jax b t,則 x (t b),dx - tdt,收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系管理員刪除精品文檔于是原積

23、分可變?yōu)?dta(t m)(t n)tdt(t m)(t n)再令(ttdt,12m)(t n)則有I1mI2dtt nlntn,所以有I1(nlnt mmln tdt,(t m)(t n)I1 nI2m) Ci所以 It,I1(nln VaXbdtt mlntm)m.Ci2I1 aa(n m)(n ln 7 ax b nmln Tax b m) C(C-C1). a4用積分法求拉普拉斯逆變換求拉普拉斯逆變換是工程數(shù)學中的難點，用組合求逆法求拉普拉斯逆變換，無須用部分分式法將像函數(shù)F(P)分解為幾個分式,然后查逆變換表再分別求之.在一定程度上,這種求逆變換的方法具有較多的優(yōu)越性，特別是對于比較

24、復雜的情形更是如此.例7 求F(P) 一 (P12的逆變換5)( P 4)解法1令 f(t)L1(P 5)3L1(P 5)1p2 4).則 g(t) 4f(t) L1P2 42-(P 5)(P2 4)5t e.1 P 25g(t) 25f (t) L1 匚2-(P 5)(P2 4)L1-PT-5- L1 5L1-P2 4P2 4 2 P2 4所以5 . cos2tsin2t.2f (t) (e5t cos2t 5sin2t)292為所請求的逆變換1解法2用傳統(tǒng)的方法.設三一(P 5)(P2 4)A BP CP 5 P2 4收集于網(wǎng)絡，如有侵權請聯(lián)系管理員刪除精品文檔去分母_ 21 A(P4) (P 5)( BP C),令 P=-5，得1A 一 .比較P2項的系數(shù), 29比較常數(shù)項，得4A 5C 0B-1,2914C -(1 一)529529,所以有1-Z2(P 5)( P4)11 P 5、一().29 P 5 P