第7次課非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的相似、積分分析(共6頁(yè))

1、非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的相似、積分(jfn)分析第一(dy)部分：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱(dor)的相似性解一、相似性變換基礎(chǔ)為了達(dá)到使自變量數(shù)目減少的目的，以某種方式對(duì)偏微分方程的自變量進(jìn)行變換，這種變換稱之為相似性變換。使自變量的數(shù)目得以減少的變量稱之為相似性變量。經(jīng)過(guò)相似性變換，可以讓非線性的偏微分方程變換成常微分方程，但這樣的變換只在一定條件下才能應(yīng)用。導(dǎo)熱問(wèn)題具有相似性解的條件：經(jīng)相似變換后，邊界條件及初始條件的函數(shù)形式可轉(zhuǎn)化為常數(shù)時(shí)，則此定解問(wèn)題存在相似解。在建立相似性變量方面有一系列的方法，他們包括自由參數(shù)法、分離變量法以及數(shù)群理論法。用自由參數(shù)法時(shí)，在分析一開(kāi)始就得考慮邊界條件與初始條件，并且要構(gòu)造因

2、變量的變換函數(shù)。其方法是，在變換過(guò)程中，邊界條件及初始條件與微分方程一起也作變換。因而，沒(méi)有一種常規(guī)的程序，而需要對(duì)問(wèn)題的本質(zhì)都深入的領(lǐng)悟。分離變量法包括經(jīng)典的分離變量法，它在很多方面與自由參數(shù)法相似，分析一開(kāi)始就得考慮邊界條件的變換。數(shù)群理論法在它的形成過(guò)程中數(shù)學(xué)上是最復(fù)雜的，但在應(yīng)用時(shí)，它是最直接最簡(jiǎn)單的。也即，只要遵循這個(gè)理論所建立起來(lái)的規(guī)則，不難得到相似性變換，且在變換時(shí)不必考慮邊界條件與初始條件就可將微分方程進(jìn)行變換。這個(gè)方法的優(yōu)點(diǎn)是應(yīng)用簡(jiǎn)單，沒(méi)有猜測(cè)的成分。但是，在變換過(guò)程中沒(méi)有考慮問(wèn)題的邊界條件和初始條件的變換。只是在相似性變換建立起來(lái)之后，才討論邊界條件與初始條件的變換。為了達(dá)

3、到對(duì)邊界條件和初始條件變換的目的，在相似性變換時(shí)，要對(duì)他們作某些合并。一般地說(shuō)，若相似性變換消去的自變量的范圍為從0到無(wú)限大，則對(duì)邊界條件與初始條件作變換時(shí)較易合并。二、定壁溫邊界條件下半無(wú)限大物體的溫度響應(yīng)一半無(wú)限大物體處理的導(dǎo)熱體, 初始溫度均勻?yàn)閠0，在t=0時(shí)刻，在x=0的一側(cè)表面溫度突然升高到tw，并保持不變，現(xiàn)在要確定物體內(nèi)部溫度隨時(shí)間的變化。數(shù)學(xué)表達(dá)式引入相似性變量把以上結(jié)果(ji gu)帶入導(dǎo)熱微分方程中得：此時(shí)得到(d do)常微分方程。代入定解條件(tiojin)得：得到原問(wèn)題的解erf（）稱為(chn wi)誤差函數(shù)，erfc（）稱為余誤差函數(shù)或誤差函數(shù)的補(bǔ)函數(shù)。第二(d

4、 r)部分：積分法求偏微分方程的分析解通常是困難的，在涉及(shj)非線性或其他復(fù)雜的邊界條件時(shí)尤其如此，因此常常需要借助各種近似的方法。積分方程法就是被采用的一種求解偏微分方程的近似方法，積分方程法同樣可應(yīng)用于多維穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱和費(fèi)穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱中。近似分析解法既具有分析解的特征，又具有近似解的特征。分析解的特征是指它提供的結(jié)果是解析函數(shù)形式，近似解的特征則是指它提供的結(jié)果只能近似地滿足導(dǎo)熱定解問(wèn)題，即對(duì)于微元體整體滿足能量守衡，但各點(diǎn)的溫度分布則是近似的。一、積分方法分析問(wèn)題的基本步驟確定積分方程；假設(shè)熱滲透層內(nèi)的溫度分布；確定熱滲透層厚度()；確定溫度分布。二、常壁溫邊界條件下半無(wú)限大物體1.熱滲透

5、層厚度()對(duì)于半無(wú)限大物體中的非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱，從上圖可以看出(kn ch)，隨著時(shí)間的推移，邊界的熱作用逐漸向物體內(nèi)部傳播，形成一個(gè)厚度為“熱滲透(shntu)層”。當(dāng)然，它的厚度(hud)是時(shí)間的函數(shù)。在的區(qū)域，可以認(rèn)為還沒(méi)有受邊界熱作用的影響，溫度沒(méi)有變化。即近似地認(rèn)為2.積分方程的推導(dǎo)一般來(lái)說(shuō)，積分方程可以從相應(yīng)的偏微分方程對(duì)某一個(gè)自變量積分一次導(dǎo)得，也可以從一般的守恒關(guān)系（對(duì)于導(dǎo)熱問(wèn)題是能量守恒）直接建立方程。前者給出了積分方程與偏微分方程之間的內(nèi)在聯(lián)系，后者的物理概念清晰。以上面介紹的半無(wú)限大平壁導(dǎo)熱問(wèn)題為例:由該問(wèn)題(wnt)的邊界條件式（3-3-9），以上積分方程簡(jiǎn)化為3. 假設(shè)熱滲

6、透層內(nèi)的溫度(wnd)分布通常選溫度分布(fnb)為某一多項(xiàng)式函數(shù)。多項(xiàng)式中的系數(shù)可根據(jù)實(shí)際的(有時(shí)還需補(bǔ)充幾個(gè)推導(dǎo)得到的)邊界條件予以確定。用熱滲透層厚度()來(lái)表示。4.具體問(wèn)題分析求解。半無(wú)限大物體(x0)的瞬態(tài)熱傳導(dǎo)問(wèn)題。數(shù)學(xué)描述： ，熱滲透層內(nèi)溫度分布的假設(shè)：，能量積分方程：將溫度剖面代入能量積分方程，得有關(guān)()的常微分方程：由此得到邊界上的熱流密度為不同溫度分布（多項(xiàng)式冪次）的假設(shè)，得到的結(jié)果也不同。當(dāng)參數(shù)的值較小時(shí)，相互的一致性都比較好；在的值較大時(shí)，四次多項(xiàng)式與精確解的一致性比用其它多項(xiàng)式好。 半無(wú)限大區(qū)域的精確解與近似解比較由圖可見(jiàn)，四次多項(xiàng)式的解與精確解最接近。三、常熱流邊界條件下的半無(wú)限大物體精確解：近似(jn s)解：數(shù)學(xué)(shxu)描述：，內(nèi)容總結(jié)（1）非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的相似、積分分析第一部分：非穩(wěn)態(tài)導(dǎo)熱的相似性解一、相似性變換基礎(chǔ)為了達(dá)到使自變量數(shù)目減少的目的，以某種方式對(duì)偏微分方程的自變量進(jìn)行變換，這種變換稱之為相似性變換（2）在建立相似性變量方面有