幾種常見曲面以及其方程(2)

1、關(guān)于幾種常見的曲面及其方程 (2)第一張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月即動點為 定點為 ，由兩點間距離公式得特別,當(dāng)M在原點時,球面方程為定值為 R表示上(下)球面 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 一、幾種常見的曲面及其方程1.球面第二張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 例1 方程表示怎樣的曲面. 解 通過配方，把原方程寫成對比（1）式知，它表示球心在點（2,0,-1）,半徑為的球面.第三張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月三、柱面引例. 分析方程表示怎樣的曲面 .的坐標(biāo)也滿足方程解:在 xoy 面上，表示圓C, 沿曲線C平行于 z 軸的一切直線所形成的曲面稱為圓

2、故在空間過此點作柱面.對任意z,平行z軸的直線l,表示圓柱面在圓C上任取一點 其上所有點的坐標(biāo)都滿足此方程,機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第四張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月定義3.平行定直線并沿定曲線 C 移動的直線l 形成的軌跡叫做柱面. 表示拋物柱面,母線平行于 z 軸;準(zhǔn)線為xoy 面上的拋物線. z 軸的橢圓柱面.z 軸的平面.表示母線平行于 (且 z 軸在平面上)表示母線平行于C 叫做準(zhǔn)線, l叫做母線.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第五張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月一般地,在三維空間柱面,柱面,平行于 x 軸;平行于 y 軸;平行于 z 軸;準(zhǔn)線

3、 xoz 面上的曲線 l3.母線柱面,準(zhǔn)線 xoy 面上的曲線 l1.母線準(zhǔn)線 yoz 面上的曲線 l2. 母線機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第六張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月定義2. 一條平面曲線3.旋轉(zhuǎn)曲面 繞其平面上一條定直線旋轉(zhuǎn)一周所形成的曲面叫做旋轉(zhuǎn)曲面.該定直線稱為旋轉(zhuǎn)軸 .例如 :機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第七張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月建立yoz面上曲線C 繞 z 軸旋轉(zhuǎn)所成曲面的方程:故旋轉(zhuǎn)曲面方程為當(dāng)繞 z 軸旋轉(zhuǎn)時,若點給定 yoz 面上曲線 C: 則有則有該點轉(zhuǎn)到機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第八張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作

4、于2022年6月思考：當(dāng)曲線 C 繞 y 軸旋轉(zhuǎn)時，方程如何？機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第九張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例2 將面上的橢圓分別繞軸和軸旋轉(zhuǎn)，求所形成的旋轉(zhuǎn)曲面方程。解 繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為即即繞 軸旋轉(zhuǎn)而成的旋轉(zhuǎn)曲面方程為第十張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月 例3 求面上的拋物線繞x軸旋轉(zhuǎn)所形成的旋轉(zhuǎn)拋物面（圖7-28）的方程。 解 方程中的x不變，換成便得到旋轉(zhuǎn)拋物線的方程為 例4 求面上的直線繞z軸旋轉(zhuǎn)一周而成的圓錐面的方程。 解 所求圓錐面的方程為即第十一張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月二、二次曲面三元二次方程 適當(dāng)選

5、取直角坐標(biāo)系可得它們的標(biāo)準(zhǔn)方程,下面僅 就幾種常見標(biāo)準(zhǔn)型的特點進(jìn)行介紹 .研究二次曲面特性的基本方法: 截痕法 其基本類型有: 橢球面、拋物面、雙曲面、錐面的圖形通常為二次曲面. (二次項系數(shù)不全為 0 )機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十二張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月1. 橢球面(1)范圍：(2)與坐標(biāo)面的交線：橢圓機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 黃綠紅第十三張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月與的交線為橢圓：(4) 當(dāng) ab 時為旋轉(zhuǎn)橢球面;同樣的截痕及也為橢圓.當(dāng)abc 時為球面.(3) 截痕:為正數(shù))機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十四張，PPT共二

6、十四頁，創(chuàng)作于2022年6月2.橢圓拋物面( p , q 同號)特別,當(dāng) p = q 時為繞 z 軸的旋轉(zhuǎn)拋物面.機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十五張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月三、曲線1.曲線方程空間曲線可視為兩曲面的交線,其一般方程為方程組例如,方程組表示圓柱面與平面的交線 C. C機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十六張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月又如,方程組表示上半球面與圓柱面的交線C. 機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十七張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月空間曲線的參數(shù)方程將曲線C上的動點坐標(biāo)x, y, z表示成參數(shù)t 的函數(shù):稱它為

7、空間曲線的 參數(shù)方程.例如,圓柱螺旋線的參數(shù)方程為上升高度, 稱為螺距 .機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第十八張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例5 設(shè)一動點M在圓柱面上以角速度繞z軸旋轉(zhuǎn)，同時又以線速度沿平行于z軸的正方向上升( 都是常數(shù))則點M的幾何軌跡叫做螺旋線（圖7-34），試圖建立其參數(shù)方程。解 取時間t為參數(shù)，設(shè)t=0時動點在處，動點在點處，過點M作xoy面的垂線，則垂足的坐標(biāo)為由于是動點在時間t內(nèi)轉(zhuǎn)過的角度，而線段的長是時間t內(nèi)動點上升的高度，所以經(jīng)過時間t，得第十九張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月從而因此螺旋線的參數(shù)方程為第二十張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月2.空間曲線在坐標(biāo)面上的投影設(shè)空間曲線 C 的一般方程為消去 z 得投影柱面則C 在xoy 面上的投影曲線 C為消去 x 得C 在yoz 面上的投影曲線方程消去y 得C 在zox 面上的投影曲線方程機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十一張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例如,在xoy 面上的投影曲線方程為機動 目錄 上頁 下頁 返回 結(jié)束 第二十二張，PPT共二十四頁，創(chuàng)作于2022年6月例6 求曲線關(guān)于面的投影柱面及投影的方程。解 將方程