杯賽秋季班第二冊(cè)pc08-統(tǒng)籌優(yōu)化與操作教師版

1、第八講 統(tǒng)籌優(yōu)化與操作1、解決“時(shí)間最少”、“費(fèi)用最低”、“效率最高”等問題；2、培養(yǎng)學(xué)員的動(dòng)手操作能力；3、培養(yǎng)學(xué)員手腦并用的協(xié)調(diào)能力。最優(yōu)化概念反映了人類實(shí)踐活動(dòng)中十分普遍的現(xiàn)象，即要在盡可能節(jié)省人力、物力和時(shí)間前提下，爭(zhēng)取獲得在可能范圍內(nèi)的最佳效果，因此，最優(yōu)化問題成為現(xiàn)代數(shù)學(xué)的一個(gè)重要課題，涉及統(tǒng)籌、線性規(guī)劃一排序不等式等內(nèi)容。最優(yōu)化問題不僅具有趣味性，而且由于解題方法靈活，技巧性強(qiáng)，因此對(duì)于開拓解題思路，增強(qiáng)數(shù)學(xué)能力很有益處。但解決這類問題需要的基礎(chǔ)知識(shí)相當(dāng)廣泛，很難做到一一列舉。因此，主要是以例題的方式讓大家體會(huì)解決這些問題的方法和經(jīng)驗(yàn)。操作問題在于通過觀察、枚舉、計(jì)算、推理發(fā)現(xiàn)隱

2、藏的規(guī)律。25 分鐘講演者：得分：將長為 48 厘米寬為 2 厘米的紙帶沿著長對(duì)折二次，然后從一端開始，每隔 2 厘米剪一刀，最后到個(gè)正方形。(2010 年第 8 屆走美杯 3 年級(jí)初賽)【】對(duì)折兩次，折成 4 層紙，切成 21 段，有 3 個(gè)折痕，這 3 個(gè)折痕處的是長方形，剩下都是正方形，有 21-3=18 個(gè)正方形?！尽?8講演者：得分：中午放學(xué)回家煮飯。淘米要 3 分鐘，煮飯要 25 分鐘，洗菜要 8 分鐘，切菜要 5 分鐘，炒菜要 10 分鐘。如果煮飯和炒菜用不同的鍋?zhàn)雍蜖t子。要將飯、菜都煮好，最少需要多少分鐘？【】解題前先要分析，要做的這些事，有些事有先后順序、不能同時(shí)做的，例如必

3、須要先淘米再煮飯；而有些事是可以同時(shí)做的，例如煮飯一般不需要人看的，而且煮飯、炒菜用不同的鍋和爐子，所以煮飯、燒菜可以同時(shí)進(jìn)行?？梢粤谐鋈缦卤砀瘢嚎梢韵忍悦自僦箫?，在煮飯的同時(shí)洗菜、切菜、燒菜，最少需要時(shí)間：3+25=28（分鐘）。55 分鐘黑板上寫著 115 共 15 個(gè)數(shù)，每次任意擦去兩個(gè)數(shù)，再寫上這兩個(gè)數(shù)的和減 1。例如，擦掉 5 和 11，要寫上 15。經(jīng)過若干次后，黑板上就會(huì)只剩下一個(gè)數(shù)，這個(gè)數(shù)是幾？【】每次兩個(gè)數(shù)的和減少 1，那么 15 個(gè)數(shù)一共算 14 次，減少 14 次 1，所以（1+15）152-14=10610 個(gè)人各提 1 只水桶，同時(shí)到水龍頭前打水。設(shè)水龍頭注滿第一個(gè)人

4、的桶需要 1 分鐘，注滿第二個(gè)人的桶需要 2 分鐘，依此類推，注滿第幾個(gè)人的桶就需要幾分鐘。如果只有一只水龍頭，適當(dāng)安排這 10 個(gè)人的順序，就可以使每個(gè)人所費(fèi)時(shí)間的總和盡可能小，問這個(gè)總費(fèi)時(shí)至少是多少分鐘？【】每個(gè)人所費(fèi)時(shí)間包括這個(gè)人打水的時(shí)間和等待的時(shí)間。10 個(gè)人的總費(fèi)時(shí)指的是 10 個(gè)人打水時(shí)間和等待時(shí)間的總和。按照打水的先后順序，把 10 個(gè)桶依次為一號(hào)、二號(hào)十號(hào)。則一號(hào)桶打水時(shí)，有 9 個(gè)人等待，一號(hào)桶打水，總費(fèi)時(shí)為打水時(shí)間的 10 倍；二號(hào)桶打水時(shí)有 8 個(gè)人等待，二號(hào)打水總費(fèi)時(shí)是打水時(shí)間的 9倍；依次類推，十號(hào)桶打水時(shí)，無人等待，只有打水人費(fèi)時(shí)是打水時(shí)間的 1 倍。總費(fèi)時(shí)是：一

5、號(hào)桶注水時(shí)間10+二號(hào)桶注水時(shí)間9+九號(hào)桶注水時(shí)間2+十號(hào)桶注水時(shí)間要使總費(fèi)時(shí)最少，顯然應(yīng)該按注水時(shí)間從少多的順序，安排先后順序，盡可能讓注水時(shí)間短的先打水，這個(gè)總費(fèi)時(shí)至少是：110+29+38+47+56+65+74+83+92+101=220（分鐘）。某工地 A 有 20 輛卡車，要把 60 車渣土從 A 運(yùn)到 B，把 40 車磚從 C 運(yùn)到 D（工地道路圖如下圖所示），問如何調(diào)運(yùn)最?。俊尽堪言翉?A 運(yùn)到 B 或把磚從 C 運(yùn)到 D，都無法節(jié)省。只有設(shè)法減少跑空車的距離，才能省。解：如果各派 10 輛車分別運(yùn)渣土和磚，那么每運(yùn)一車渣土要空車跑回 300 米，每運(yùn)一車磚則要空車跑回360

6、 米，這樣到完成任務(wù)總共空車跑了3006036040=32400（米）。如果一輛車從 ABCDA 跑一圈，那么每運(yùn)一車渣土、再運(yùn)一車磚要空車跑240+90330（米）。因此，先派 20 輛車都從 A 開始運(yùn)渣土到 B，再空車開往 C 運(yùn)磚到D 后空車返回 A，這樣每輛車跑兩圈就完成了運(yùn)磚任務(wù)。然后再派這 20 輛車都從 A 運(yùn)渣土到 B 再空車返回 A，則運(yùn)渣土任務(wù)也完成了。這時(shí)總共空車跑了33040+3002019200（米）。后一種調(diào)運(yùn)方案比前一種減少跑空車 13200 米，這是最佳節(jié)油的調(diào)運(yùn)方案。三個(gè)旅游團(tuán)同時(shí)去旅游，分別有 84、97、58 人，要求其中一個(gè)旅游團(tuán)乘大車，一個(gè)乘中巴車，

7、另一個(gè)乘小車，已知小、中、大車分別能容納 12，14，17 人，每種車每輛分別為 75 元、85 元、100 元。那么這三個(gè)旅游團(tuán)一共至少要花多少元車費(fèi)？【】每輛車的是固定的，空位越少，人均費(fèi)用就越低，三個(gè)團(tuán)對(duì)應(yīng)地選擇 3 種車，應(yīng)盡可能地使空位少。先計(jì)算：小車：8412=7（沒有空位）9712=81（11 個(gè)空位）5812=410（2 個(gè)空位）中巴車：8414=6（沒有空位）9714=613（1 個(gè)空位）5814=42（12 空位）大車：8417=416 （1 個(gè)空位）9717=512（5 個(gè)空位）5817=37（10 個(gè)空位）結(jié)合上面的計(jì)算結(jié)果，97 人應(yīng)該選擇中巴車 7 輛；58 人應(yīng)該

8、選擇小車 5 輛；最后 84 人選擇大車 5 輛，總空位最少，只有 4 個(gè)空位。至少要費(fèi)：785+575+5100=1470（元）。現(xiàn)有 5 段鐵鏈，每段上有 4 個(gè)封閉的鐵環(huán)?，F(xiàn)在要打開一些鐵環(huán)，把這 20 個(gè)鐵環(huán)焊接成一個(gè)一環(huán)套一環(huán)的圓圈。如果每打開一個(gè)鐵環(huán)要 2 分鐘，焊接上一個(gè)鐵環(huán)要 3 分鐘。那么焊成這個(gè)圓圈，至少需要分鐘。（2008 年“迎春杯”試題）【】打開一個(gè)鐵環(huán)，再焊接上一個(gè)鐵環(huán)需要 2+3=5 分鐘。要焊成這個(gè)圓圈，至少需要打開 4 個(gè)鐵環(huán)并焊接上，54=20(分鐘)?！尽?0 分鐘5 分鐘歇后語在一定的語言環(huán)境中，通常說出前半截，“歇”去后半截，就可以和猜想出它的本意。將

9、同學(xué)們編為兩組，一組說一個(gè)歇后語的前半截，另一組回答后半截，輪流進(jìn)行。有很多這樣的題目，謹(jǐn)舉兩例，拋磚引玉。(龍)王跳?；乩霞掖?蛇)打七寸找要害【】?jī)蓛杉?1 操作（除去左上角的數(shù)字 5）即可使余下的數(shù)字均為 2010。所以，A 處的數(shù)字是 5。表變?yōu)橛蚁卤?，那么右下表中A 處的數(shù)量是。在左下表中，在有公共邊的兩的數(shù)同時(shí)加上 1 或同時(shí)減去 1 叫做一次操作。經(jīng)過有限次操作后由左下三個(gè)老師為 7 位不同的扮演者化妝，這 7 位同學(xué)化妝需要的時(shí)間分別為 8、12、14、17、18、23、30 分鐘。如果三位老師化妝速度相同，問最少經(jīng)過多少時(shí)間完成化妝任務(wù)？【】（8+12+14+17+18+23+30）3=40 (分)2(分)三人分別完成，30+12，17+23，8+14+18，最少經(jīng)過 42 分。一次，與大將賽馬，每人有四匹馬，分為四等。知道這次比賽馬的出場(chǎng)順序依次為一等，二等，三等，四等，而且還知道這八匹得最快的是的一等馬，接著依次為自己的一等，的二等，的四等自己的四等。有 種方法安排自己的自己的二等，的三等，自己的三等，馬出場(chǎng)順序，保證自己至少能贏得