現(xiàn)控-現(xiàn)控現(xiàn)控課件

1、第5章 機(jī)械工程自動(dòng)化系統(tǒng)的時(shí)域分析7/19/202215.1 單輸入單輸出系統(tǒng)時(shí)域分析5.2 線性定常齊次狀態(tài)方程的解5.3 矩陣指數(shù)5.4 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣5.5 線性常系數(shù)非齊次狀態(tài)方程的解5.6 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性5.7 系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型與可觀測標(biāo)準(zhǔn)型5.8 離散狀態(tài)方程的解5.9 離散系統(tǒng)的可控性與可觀測性5.10 MATLAB在狀態(tài)空間分析的應(yīng)用5.11 工程實(shí)例中的時(shí)域分析7/19/202225.1 單輸入單輸出系統(tǒng)時(shí)域分析5.1.1 一階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)可用一階微分方程描述的系統(tǒng)為一階系統(tǒng)，傳遞函數(shù)為（T 是一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)）一階系統(tǒng)的兩個(gè)例子kfRC(a)(b)7/19/

2、20223(1) 一階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)圖5.2 一階系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng) 一般把時(shí)間4T稱為系統(tǒng)的過渡過程。T稱為一階系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)。 為了得到較高的測試精度，希望脈沖信號(hào)的寬度 h 比系統(tǒng)的時(shí)間常數(shù)T足夠小，一般要求h0.1T。7/19/20224(2)一階系統(tǒng)的單位階躍響應(yīng)單位階躍函數(shù)(5.4) )0(1)()(1-o-=-tesXLtXTto時(shí)間響應(yīng)一階系統(tǒng)單位階躍響應(yīng)圖7/19/20225(3) 一階系統(tǒng)的單位斜坡響應(yīng)圖5.4 一階系統(tǒng)單位斜坡響應(yīng)誤差: 7/19/202265.1.2 二階系統(tǒng)的時(shí)間響應(yīng)典型二階系統(tǒng)的傳遞函數(shù)7/19/202270(1)7/19/20228二階系統(tǒng)特征根

3、的分布圖0(4)0(3)0(2)7/19/20229(1) 二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為二階系統(tǒng)的單位脈沖響應(yīng)函數(shù)可分為下面四種情況：有阻尼固有頻率:(1) 當(dāng)01 ，系統(tǒng)為過阻尼系統(tǒng)時(shí)7/19/202211 二階欠阻尼系統(tǒng)單位脈沖響應(yīng)7/19/202212(4) 二階系統(tǒng)時(shí)間響應(yīng)的性能指標(biāo)允許誤差0.05或0.027/19/2022137/19/202214允許誤差0.05或0.027/19/2022157/19/202216（4）調(diào)整時(shí)間ts7/19/202217二階系統(tǒng)計(jì)算舉例7/19/2022187/19/202219(3) 求c: 根據(jù)得7/19/2022205

4、.2 線性定常齊次狀態(tài)方程的解設(shè)線性定常齊次狀態(tài)方程、輸出方程及初始條件為 7/19/2022215.2.1 直接求解 其中bi (i =1, 2, .) 為待定系數(shù)。當(dāng) t = 0 時(shí) 設(shè)狀態(tài)方程的解為數(shù)學(xué)的常用方法將式（5.28）代入狀態(tài)方程，即：（5.28）（5.30）7/19/202222由初始條件及上式兩邊 t 的同次冪的系數(shù)相等可得（5.31）7/19/202223將（5.31）這些系數(shù) bi 代入所設(shè)的解中，得定義矩陣指數(shù)為所以:（5.32）（5.33）（5.34）7/19/202224例5.2 線性定常系統(tǒng)齊次狀態(tài)方程為，且求齊次狀態(tài)方程的解。解：將A陣代入式（5.33），即7

5、/19/202225所以： 7/19/2022265.2.2 利用拉氏變換求解取拉氏反變換得 又因?yàn)樗缘玫街笖?shù)矩陣7/19/202227例5.3 試用拉氏變換法計(jì)算矩陣A的矩陣指數(shù)。解：因?yàn)?/19/202228又因?yàn)椴槔狗醋儞Q表，故有7/19/2022295.3 矩陣指數(shù)5.3.1 矩陣指數(shù)的一般性質(zhì)，進(jìn)而可知 （4）矩陣指數(shù)對時(shí)間t求導(dǎo)一次，有 7/19/202230例5.4 已知某系統(tǒng)的矩陣指數(shù)為試求系統(tǒng)矩陣A。解：根據(jù)（5.47）式，則7/19/202231(5)如果 AB = BA, 則7/19/2022325.3.2 特殊矩陣指數(shù)的性質(zhì)(1) 如果矩陣A有不相等的特征值1, 2

6、,n , 是由 A 經(jīng)相似變換得來的對角矩陣(相似變 換不改變特征值)那么：7/19/202233 (2) 如果矩陣 A 有不相等的特征值1, 2,n ， 那么存在非奇異矩陣P, 使得或者記為：7/19/202234例5.5：已知矩陣:求矩陣指數(shù) 。解：首先求A的特征值7/19/202235所以A的特征值為然后求對應(yīng)的特征向量可得由此求得變換矩陣P7/19/202236所以矩陣指數(shù)7/19/202237(3) 如果 Ji 為如下形式的 mm 階矩陣子塊則稱其為約當(dāng)塊或稱其為約當(dāng)子塊。7/19/202238約當(dāng)塊的矩陣指數(shù)為7/19/202239(4) 如果約當(dāng)矩陣 J 有如下形式那么7/19/

7、202240例5.6 求下列約當(dāng)矩陣的矩陣指數(shù) 解 矩陣J中有一個(gè)22的約當(dāng)塊1=-2和 一個(gè)11的約當(dāng)塊2=-1 。7/19/202241所以，由性質(zhì)（3）、（4）可得：7/19/202242(5) 如果 nn 矩陣 A 有重特征值, 可將 A 變 換成約當(dāng)矩陣 J, 即那么 7/19/202243例5.7 求下列矩陣A的矩陣指數(shù) 解 由 | A i I|=0 求得A的特征值為 1=2=-2, 3=-1,故其約當(dāng)矩陣及其指數(shù)為7/19/202244可求得P及P-1 為7/19/202245（6）設(shè)，則有7/19/202246（7）矩陣指數(shù)可表示為有限項(xiàng)之和其中，當(dāng)A的n個(gè)特征根互不相等時(shí)，滿

8、足：7/19/2022475.4 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣5.4.1 基本概念對于定常系統(tǒng)，前面式（5.35），即反映了兩個(gè)方面的問題：(1)x(t)是齊次狀態(tài)方程的解，是由狀態(tài)初始值所引起的系 統(tǒng)狀態(tài)的自由解；(2)它反映了從初始狀態(tài)向量x(t0)到任意tt0時(shí)，向量x(t)的 一種向量變換關(guān)系。 變換矩陣是x(t0)左邊的時(shí)間函數(shù)矩陣，隨著時(shí)間的推移，它將不斷地把狀態(tài)的初始值變換為其他時(shí)間的值，從而在狀態(tài)空間中形成一條軌跡。在這個(gè)意義上說，這個(gè)變換矩陣起著一種狀態(tài)轉(zhuǎn)移的作用，所以把稱作為狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣，用符號(hào)表示。 7/19/2022485.4.2 狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣的性質(zhì)（1）狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣滿足矩陣微分方程和

9、初始條件 （2）（3）有逆，且其逆為，即（5.65）7/19/2022495.5 線性常系數(shù)非齊次狀態(tài)方程的解5.5.1 直接求解法7/19/202250（5.73）7/19/202251當(dāng)初始時(shí)刻t0=0時(shí)，（5.73）變?yōu)椋?.73）（5.75）當(dāng)u(t)為幾種典型的控制輸入時(shí)，（5.75）有如下形式。（1）脈沖信號(hào)輸入，即 即 （5.77）7/19/202252（2）階躍信號(hào)輸入，即 即 （3）斜坡信號(hào)輸入，即，可以求得 （5.80）（5.79）7/19/202253例5.8 求下列狀態(tài)方程在單位階躍函數(shù)作用下的輸出。，解：根據(jù)（5.79）式其中，在例5.3中已求得故 7/19/2022

10、54圖5.14 系統(tǒng)狀態(tài)軌跡圖7/19/2022555.5.2 利用拉氏變換求解（5.83）7/19/202256例5.9設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 輸入u為單位階躍函數(shù)，求此系統(tǒng)狀態(tài)方程的解。 7/19/202257解用拉氏變換求解，因?yàn)?/19/2022587/19/202259兩邊取拉氏反變換，得狀態(tài)方程的解為7/19/2022605.6 線性系統(tǒng)的可控性與可觀測性 1960年由卡爾曼（Kalman）最先提出的系統(tǒng)的能控性與能觀性，已成為控制系統(tǒng)中的兩個(gè)基礎(chǔ)性概念，特別是多變量系統(tǒng)，必須回答的兩個(gè)基本問題是：一、在有限的時(shí)間內(nèi)，控制作用能否使系統(tǒng)從初始狀態(tài)轉(zhuǎn)移到要求的狀態(tài)？ 二、在有限的時(shí)間內(nèi)，

11、能否通過對系統(tǒng)輸出的測定來估計(jì)系統(tǒng)的初始狀態(tài)？前面一個(gè)問題是指控制作用對狀態(tài)變量的支配能力，稱之為狀態(tài)的能控性問題；后面一個(gè)問題是指系統(tǒng)的輸出量（或觀測量）能否反映狀態(tài)變量，稱之為狀態(tài)的能觀性問題。7/19/2022615.6.1 線性連續(xù)系統(tǒng)的可控性判別準(zhǔn)則(1) 第一種形式的可控性判據(jù) 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 初始狀態(tài) x(t0) 終端狀態(tài) x(te) 7/19/202262由5.73式知 的解為由于 x(te)=0，令 t = te 7/19/202263根據(jù)矩陣指數(shù)的定義：令( j = 0, 1, 2, , n-1) 7/19/2022647/19/202265若 nn 矩陣 滿秩, 即

12、系統(tǒng)可控，否則不可控。 則 有解結(jié)論： 7/19/202266例5.10 設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)方程為 確定它的可控性。解 不可控。 7/19/202267(2) 第二種形式的可控性判據(jù)式中 i (i = 1, 2, . n) 是系統(tǒng)的相互不等的特征值。 如果系統(tǒng)的輸入矩陣B中沒有一行是全為零時(shí), 則系統(tǒng)是可控的，否則不可控。7/19/202268例5.11確定下述系統(tǒng)的可控性。解 B 中第二行為0，不可控。7/19/202269 B 中對應(yīng)每個(gè)約當(dāng)塊 Ji (i =1, ., k) 最后一行的元素不全為零時(shí), 則系統(tǒng)可控，否則不可控。對于狀態(tài)方程為如下約當(dāng)標(biāo)準(zhǔn)型(3) 第三種形式的可控性判據(jù)7/19/

13、202270例 5.12 確定下列系統(tǒng)是否可控。 （1）（2）7/19/2022715.6.2 線性連續(xù)系統(tǒng)的可觀測性判別準(zhǔn)則(1) 第一種形式可觀測性判據(jù) 系統(tǒng)的輸出為由觀測時(shí)刻的輸出 系統(tǒng)的初始狀態(tài)設(shè)則7/19/2022727/19/202273因此系統(tǒng)可觀測性的判據(jù)為矩陣 Qo 是否滿秩。 即 7/19/202274例5.13 確定下列系統(tǒng)的可觀測性解 顯然，Rank Qo = 2 = n，滿秩，此系統(tǒng)可測。 7/19/202275(2) 第二種形式可觀測性判據(jù) 在輸出矩陣C中沒有全為零的列，則系統(tǒng)是可觀測的。7/19/202276例5.14 試確定下列系統(tǒng)是否可觀測。解 的第一列為零，

14、此系統(tǒng)不可觀測。7/19/202277如果系統(tǒng)有重根, 其狀態(tài)方程和輸出方程 輸出矩陣 C 中與各約當(dāng)塊 Ji (i=1，2，. ，k)首列所相對應(yīng)列的元素不全為零, 則系統(tǒng)是可觀測。（3）第三種形式的可觀測性判據(jù)7/19/202278例 5.15 試確定下列系統(tǒng)是否可觀測 解 C 中第一列不為零, 所以系統(tǒng)可測。7/19/2022795.6.3 可控性與可觀測性的對偶關(guān)系設(shè)系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為若系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為 則稱系統(tǒng) 和系統(tǒng)是互為對偶的，即系統(tǒng) 是系統(tǒng)的對偶系統(tǒng)，反之，系統(tǒng)是系統(tǒng) 的對偶系統(tǒng)。 7/19/202280對偶原理：系統(tǒng)狀態(tài)完全能控的充要條件是對偶系統(tǒng)的狀態(tài)完全能觀測；

15、系統(tǒng)狀態(tài)完全能觀測的充要條件是對偶系統(tǒng)狀態(tài)完全能控。證明：系統(tǒng)的可控性和可觀測性矩陣分別為7/19/202281系統(tǒng)的可控性和可觀測性矩陣分別為所以 7/19/2022825.7 系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型與可觀測標(biāo)準(zhǔn)型5.7.1 系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型（1）單輸入單輸出系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型設(shè)A的特征多項(xiàng)式為設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為7/19/202283其可控標(biāo)準(zhǔn)型為 7/19/202284 如果一個(gè)系統(tǒng)是可控的，但不是標(biāo)準(zhǔn)型, 則可通過線性變換將其變成標(biāo)準(zhǔn)型，其變換方法是： 令式中， ai( i = 1, 2, , n-1 )是系數(shù)矩陣A的特征多項(xiàng)式系數(shù)。線性等效變換后，可控標(biāo)準(zhǔn)型為7/19/202

16、285其中，7/19/202286例5.16 將下列可控的線性定常系統(tǒng)方程變成可控標(biāo)準(zhǔn)型 解：首先題目已知該系統(tǒng)是可控的，下面我們開始將其化成可控標(biāo)準(zhǔn)型。（注意：如果題目沒有告訴是否可控，必須首先判斷其可控性，因?yàn)椴豢煽叵到y(tǒng)是不存在可控標(biāo)準(zhǔn)型的。）7/19/202287（1）A的特征多項(xiàng)式為 由特征多項(xiàng)式的系數(shù)可知: （2）計(jì)算變換矩陣T和T-17/19/202288（3）計(jì)算（4）可控標(biāo)準(zhǔn)型為7/19/202289線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為(2) 多輸入多輸出系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型設(shè)A的特征多項(xiàng)式為7/19/202290如果狀態(tài)空間表達(dá)式中的狀態(tài)方程滿足 其中，0和I分別表示rr零矩陣和單位矩

17、陣,則該狀態(tài)空間表達(dá)式稱為可控標(biāo)準(zhǔn)型。7/19/2022915.7.2 系統(tǒng)的可觀標(biāo)準(zhǔn)型(1) 單輸入單輸出系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型 設(shè)單輸入單輸出系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為設(shè)A的特征多項(xiàng)式為7/19/202292如果狀態(tài)空間表達(dá)式中的狀態(tài)方程有則該狀態(tài)空間表達(dá)式稱為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型。 如果系統(tǒng)是可觀測的，但狀態(tài)空間表達(dá)式不是可觀測標(biāo)準(zhǔn)型，則可通過線性變換將其變成標(biāo)準(zhǔn)型，其變換方法是：7/19/202293令式中， ai( i = 1, 2, , n-1 )是系數(shù)矩陣A的特征多項(xiàng)式系數(shù)。線性等效變換后，可觀測標(biāo)準(zhǔn)型為7/19/202294其中，7/19/202295例 5.17 將下列系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式變成

18、可觀測標(biāo)準(zhǔn)型。 解 滿秩，所以系統(tǒng)是可測的。 7/19/2022967/19/202297此系統(tǒng)的可控標(biāo)準(zhǔn)型可寫為7/19/202298(2) 多輸入多輸出系統(tǒng)的可觀測標(biāo)準(zhǔn)型線性定常系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式為設(shè)A的特征多項(xiàng)式為7/19/202299如果狀態(tài)空間表達(dá)式中的滿足 其中，0m和Im分別表示mm零矩陣和單位矩陣,則該狀態(tài)空間表達(dá)式稱為可觀測標(biāo)準(zhǔn)型 7/19/20221005.8離散狀態(tài)方程的解 1. 遞推法上述 ， ， ， 即為狀態(tài)方程在各采樣時(shí)刻的解 7/19/2022101可表示為 2. Z 變換法 對 方程兩邊作Z變換得 7/19/2022102即 作Z反變換,得離散狀態(tài)方程解的表達(dá)式為7/1