第六章無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)課件

1、第六章 無限脈沖響應(yīng)數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì) 數(shù)字濾波器的基本概念 模擬濾波器的設(shè)計(jì) 脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器 雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器的設(shè)計(jì) IIR 數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法7/19/20221一、數(shù)字濾波器 是指輸入、輸出均為數(shù)字信號，通過一定運(yùn)算關(guān)系改變輸入信號所含頻率成分的相對比列或者慮除某些頻率成分的器件。二、數(shù)字濾波器的分類經(jīng)典濾波器從功能上分：低通、高通、帶通、帶限從實(shí)現(xiàn)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)或單位脈沖響應(yīng)：IIR、FIR現(xiàn)代濾波器維納濾波器、卡爾曼濾波器、自適應(yīng)濾波器等最佳濾波器。第一節(jié) 數(shù)字濾波器的基本概念7/19/20222三、標(biāo)準(zhǔn)理想濾波器

2、的特性低通高通帶通帶阻01-01-01017/19/20223通帶截止頻率阻帶截止頻率四、濾波器的技術(shù)指標(biāo)過渡帶00.7073dB通帶截止頻率7/19/20224如將|H(ej0)|歸一化為1，上式則表示成：7/19/20225第二節(jié) 模擬濾波器的設(shè)計(jì) 模擬濾波器的理論和設(shè)計(jì)方法已發(fā)展得相當(dāng)成熟，且有若干典型的模擬濾波器供我們選擇，如巴特沃斯(Butterworth)濾波器、切比雪夫(Chebyshev)濾波器、橢圓(Cauer)濾波器、貝塞爾(Bessel)濾波器等。 7/19/20226模擬低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)有 ，其中 分別稱為通帶截止頻率和阻帶截止頻率， 是通帶 中的最大衰減系數(shù)， 是

3、阻帶 的最小衰減系數(shù)一、模擬低通濾波器設(shè)計(jì)指標(biāo)及逼近方法7/19/20227濾波器的技術(shù)指標(biāo)給定后，需要設(shè)計(jì)一個(gè)傳輸函數(shù)，希望其幅度平方函數(shù)滿足給定的指標(biāo) 和 ，一般濾波器的單位沖激響應(yīng)為實(shí)數(shù)，因此幅度平方函數(shù)可表示成：7/19/20228 巴特沃斯濾波器是指在通帶內(nèi)的幅度特性具有最大平坦特性，是一全極點(diǎn)型濾波器，巴特沃斯低通濾波器的幅度平方函數(shù)用下式表示：巴特沃斯幅度特性和N的關(guān)系二、巴特沃斯低通濾波器的設(shè)計(jì)7/19/20229將幅度平方函數(shù)寫成s的函數(shù)： 此式表明幅度平方函數(shù)有2N個(gè)極點(diǎn)，極點(diǎn)sk用下式表示：極點(diǎn)分布：2N個(gè)極點(diǎn)在S平面上是象限對稱分布在半徑為c的圓上； 極點(diǎn)間的角度間隔為

4、/N rad ； 極點(diǎn)決不會落在虛軸上； 保證了系統(tǒng)的穩(wěn)定性 N為奇數(shù)則實(shí)軸上有極點(diǎn)，N為偶數(shù)實(shí)軸上無極點(diǎn)。三階巴特沃斯濾波器極點(diǎn)分布7/19/202210 為形成穩(wěn)定的濾波器，2N個(gè)極點(diǎn)中只取s平面左半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)，而右半平面的N個(gè)極點(diǎn)構(gòu)成Ha(s)。 Ha(s)的表示式為：設(shè)N=3，極點(diǎn)有6個(gè)，它們分別為取s平面左半平面的極點(diǎn)s0,s1,s2組成Ha(s)： 7/19/202211 由于各濾波器的幅頻特性不同，為使設(shè)計(jì)統(tǒng)一，將所有的頻率歸一化。這里采用對3dB截止頻率c歸一化，歸一化后的Ha(s)表示為 式中，s/c=j/c。令=/c，稱為歸一化頻率；令p=j，p稱為歸一化

5、復(fù)變量，這樣歸一化巴特沃斯的傳輸函數(shù)為式中pk為歸一化極點(diǎn)，用下式表示：7/19/2022127/19/202213令,則N可表示為： 上式確定的N可能有小數(shù)部分，應(yīng)取大于等于N的最小整數(shù)。關(guān)于3dB截止頻率c，如果技術(shù)指標(biāo)中沒有給出，可以由下面推導(dǎo)得到： 7/19/202214 (1)根據(jù)技術(shù)指標(biāo)p,p,s和s，求出濾波器的階數(shù)N。 (2) 求出歸一化極點(diǎn)pk，得到歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)。 (3)將Ha(p)去歸一化。將p=s/c代入Ha(p)，得到實(shí)際的濾波器傳輸函數(shù)Ha(s)。 低通巴特沃斯濾波器的設(shè)計(jì)步驟如下：7/19/202215巴特沃斯歸一化低通濾波器參數(shù) 7/19/202216

6、7/19/2022177/19/202218 例 已知通帶截止頻率fp=5kHz，通帶最大衰減p=2dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=30dB，按以上技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。解 (1) 確定階數(shù)N。 7/19/202219 (2) 其極點(diǎn)為歸一化傳輸函數(shù)為 上式分母可以展開成為五階多項(xiàng)式，或者將共軛極點(diǎn)放在一起，形成因式分解形式。直接查表更簡單，由N=5，直接查表得到極點(diǎn)：-0.3090j0.9511,-0.8090j0.5878; -1.0000式 b0=1.0000,b1=3.2361,b2=5.2361,b3=5.2361,b4=3.23617/19/20222

7、0 (3) 為將Ha(p)去歸一化，先求3dB截止頻率c：將p=s/c代入Ha(p)中得到：7/19/202221切比雪夫型濾波器幅度平方函數(shù)可表示為： 三、切比雪夫型濾波器的設(shè)計(jì)切比雪夫型濾波器幅頻特性 7/19/202222式中為小于1的正數(shù)，表示通帶內(nèi)幅度波動的程度，愈大，波動幅度也愈大。p稱為通帶截止頻率。CN(x)稱為N階切比雪夫多項(xiàng)式，定義為當(dāng)N=0時(shí)，C0(x)=1； 當(dāng)N=1時(shí)，C1(x)=x；當(dāng)N=2時(shí)，C2(x)=2x 21； 當(dāng)N=3時(shí)，C3(x)=4x 3 3x。由此可歸納出高階切比雪夫多項(xiàng)式的遞推公式為C N+1 (x)=2xCN(x)C N-1 (x)7/19/20

8、2223 下圖為N=0,4,5時(shí)切比雪夫多項(xiàng)式特性，由圖可見： (1)切比雪夫多項(xiàng)式的過零點(diǎn)在|x|1的范圍內(nèi)； (2)當(dāng)|x|1時(shí)，|CN(x)|1,在|x|1時(shí)，CN(x)是雙曲線函數(shù)，隨x單調(diào)上升。 7/19/202224 平方幅度函數(shù)與三個(gè)參數(shù)即,p和N有關(guān)。其中與通帶內(nèi)允許的波動大小有關(guān)，定義允許的通帶波紋用下式表示： 切比雪夫型與巴特沃斯低通曲線7/19/202225 設(shè)阻帶的起始點(diǎn)頻率(阻帶截止頻率)用s表示，在s處的A2(s)為： 令s=s/p，由s1，有可以解出 7/19/202226 3dB截止頻率用c表示通常取c1，因此上式中僅取正號，得到3dB截止頻率計(jì)算公式： 以上p

9、,和N確定后，可以求出濾波器的極點(diǎn)，并確定Ha(p)，p=s/p。7/19/202227 設(shè)Ha(s)的極點(diǎn)為si=i+ji，可以證明： 上式是一個(gè)橢圓方程，長半軸為pch(在虛軸上)，短半軸為psh(在實(shí)軸上)。令bp和ap分別表示長半軸和短半軸，可推導(dǎo)出：7/19/202228設(shè)N=3，平方幅度函數(shù)的極點(diǎn)分布如圖所示。為穩(wěn)定，用左半平面的極點(diǎn)構(gòu)成Ha(p)，即由上式可導(dǎo)出：c=2 N-1，從而得歸一化的傳輸函數(shù)為：去歸一化后的傳輸函數(shù)為7/19/2022291) 確定技術(shù)要求p,p,s和p是=p時(shí)的衰減系數(shù)，s是=s時(shí)的衰減系數(shù)： 這里p就是前面定義的通帶波紋。歸一化頻率切比雪夫型濾波器設(shè)

10、計(jì)步驟：7/19/2022302) 求濾波器階數(shù)N和參數(shù) 由幅度平方函數(shù)可得：7/19/2022313) 求歸一化傳輸函數(shù)Ha(p) 為求Ha(p)，先求出歸一化極點(diǎn)pk,k=1,2,:,N。 根據(jù)定義可得： 將極點(diǎn)pk代入即得： 4) 將Ha(p)去歸一化，得到實(shí)際的Ha(s)，即 其中p=7/19/202232 例 設(shè)計(jì)低通切比雪夫?yàn)V波器，要求通帶截止頻率fp=3kHz，通帶最大衰減p=0.1dB，阻帶截止頻率fs=12kHz，阻帶最小衰減s=60dB。 (2) 求階數(shù)N和：解： (1) 濾波器的技術(shù)要求： 7/19/202233 (3) 求Ha(p):求出N=5時(shí)的極點(diǎn)pi，代入上式，得

11、到： (4)將Ha(p)去歸一化，得到：7/19/2022341) 低通到高通的頻率變換 和之間的關(guān)系為上式即是低通到高通的頻率變換公式，如果已知低通G(j)，高通H(j)則用下式轉(zhuǎn)換：四、模擬濾波器的頻率變換 模擬高通、帶通、帶阻濾波器的設(shè)計(jì)7/19/202235 模擬高通濾波器的設(shè)計(jì)步驟： (1)由高通濾波器的技術(shù)指標(biāo)（通帶下限頻率p，阻帶上限頻率s，通帶最大衰減p，阻帶最小衰減s）確定相應(yīng)低通濾波器的設(shè)計(jì)指標(biāo)： 低通濾波器通帶截止頻率p=1/p； 低通濾波器阻帶截止頻率s=1/s； 通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減仍為s。(2)設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器G(p)。(3)求模擬高通的H(s)。將

12、G(p)轉(zhuǎn)換成歸一化高通H(q)，為去歸一化，將q=s/c代入H(q)中，得 7/19/202236 解 高通技術(shù)要求： fp=200Hz,p=3dB; fs=100Hz,s=15dB 歸一化頻率：低通技術(shù)要求：例 設(shè)計(jì)高通濾波器：fp=200Hz,fs=100Hz，幅度特性單調(diào)下降，fp處最大衰減為3dB，阻帶最小衰減s=15dB。7/19/202237 設(shè)計(jì)歸一化低通巴特沃斯濾波器G(p) 求模擬高通H(s)：7/19/2022382) 低通到帶通的頻率變換 低通與帶通濾波器的幅度特性如圖所示帶通與低通濾波器的幅度特性 7/19/202239由對應(yīng)關(guān)系可得與的關(guān)系為：由上表及上式有：上式稱

13、為低通到帶通的頻率變換公式。利用該式將帶通的邊界頻率轉(zhuǎn)換成低通的邊界頻率。7/19/202240 1) 確定模擬帶通濾波器的技術(shù)指標(biāo)： 帶通上限頻率u，帶通下限頻率l 下阻帶上限頻率 s1 ,上阻帶下限頻率 s2 通帶中心頻率20=lu，通帶寬度B=ul 與以上邊界頻率對應(yīng)的歸一化邊界頻率如下：模擬帶通的設(shè)計(jì)步驟7/19/202241 (2) 確定歸一化低通技術(shù)要求：s與-s的絕對值可能不相等，一般取絕對值小的s，這樣保證在較大的s處更能滿足要求。通帶最大衰減仍為p，阻帶最小衰減亦為s。 (3) 設(shè)計(jì)歸一化低通G(p)。 (4) 將G(p)轉(zhuǎn)換成帶通H(s)： 7/19/202242 例 設(shè)計(jì)

14、模擬帶通濾波器，通帶帶寬B=2200rad/s，中心頻率0=21000rad/s，通帶內(nèi)最大衰減p=3dB，阻帶s1=2830rad/s,s2=21200rad/s，阻帶最小衰減s=15dB。 解：1) 模擬帶通的技術(shù)要求： 0=21000rad/s,p=3dB s1 =2830rad/s,s2=21200rad/s,s=15dB B=2200rad/s; 0=5,s1=4.15,s2=67/19/202243 2) 模擬歸一化低通技術(shù)要求： 取s=1.833,p=3dB,s=15dB。 3)設(shè)計(jì)模擬歸一化巴特沃斯低通濾波器G(p)： 7/19/202244 取N=3，查表得：(4) 求模擬帶

15、通H(s)： 7/19/202245 3) 低通到帶阻的變換 低通與帶阻濾波器的幅頻特性如圖所示。 l和u分別是下通帶和上通帶截止頻率，s1和s2分別為阻帶的下限頻率和上限頻率，0為阻帶中心頻率，20=ul，阻帶帶寬B=ul，B作為歸一化參考頻率。相應(yīng)的歸一化邊界頻率為： u=u/B,l=l/B,s1=s1/B,s2=s2/B;20=ul 7/19/202246 根據(jù)與的對應(yīng)關(guān)系，可得到：7/19/2022471)確定模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求，即：下通帶截止頻率l,上通帶截止頻率u阻帶下限頻率s1，阻帶上限頻率s2阻帶中心頻率 ，阻帶寬度B=ul它們相應(yīng)的歸一化邊界頻率為 l=l/B,u=u/

16、B,s1=s1/B; s2=s2/B,20=ul以及通帶最大衰減p和阻帶最小衰減s。 帶阻濾波器設(shè)計(jì)步驟7/19/202248 (2) 確定歸一化模擬低通技術(shù)要求，即： 取s和s的絕對值較小的s；通帶最大衰減為p，阻帶最小衰減為s。 (3) 設(shè)計(jì)歸一化模擬低通G(p)。 (4) 將G(p)轉(zhuǎn)換成帶阻濾波器H(s)。7/19/202249 例 設(shè)計(jì)模擬帶阻濾波器，其技術(shù)要求為： l=2905rad/s, s1=2980rad/s, s2= 21020rad/s,u=21105rad/s,p=3dB, s=25dB。試設(shè)計(jì)巴特沃斯帶阻濾波器。 解 (1) 模擬帶阻濾波器的技術(shù)要求： l=2905,

17、u=21105; s1=2980,s2=21020; 20=lu=4+21000025,B=ul=2200; l=l/B=4.525,u=u/B=5.525; s1=s1/B=4.9,s2=5.1; 20=lu=257/19/202250 (2) 歸一化低通的技術(shù)要求：(3)設(shè)計(jì)歸一化低通濾波器G(p): (4) 帶阻濾波器的H(s)為7/19/202251第三節(jié) 脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器 數(shù)字濾波器的設(shè)計(jì)可先按設(shè)計(jì)要求設(shè)計(jì)一個(gè)模擬濾波器，再按一定轉(zhuǎn)換關(guān)系將模擬濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。 為了保證轉(zhuǎn)換后的H(z)穩(wěn)定且滿足技術(shù)要求，對轉(zhuǎn)換關(guān)系提出兩點(diǎn)要求： 1) 因果穩(wěn)定的模擬濾波

18、器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器，仍是因果穩(wěn)定的。 2)數(shù)字濾波器的頻率響應(yīng)模仿模擬濾波器，s平面的虛軸映射z平面的單位圓，相應(yīng)的頻率之間成線性關(guān)系。7/19/202252 設(shè)模擬濾波器的傳輸函數(shù)為Ha(s),相應(yīng)的單位沖激響應(yīng)是ha(t) 設(shè)模擬濾波器Ha(s)只有單階極點(diǎn)，且分母多項(xiàng)式的階次高于分子多項(xiàng)式的階次，將Ha(s)用部分分式表示： 式中si為Ha(s)的單階極點(diǎn)。將Ha(s)進(jìn)行逆拉氏變換得： 對ha(t)進(jìn)行等間隔采樣，采樣間隔為T，得到： 7/19/202253對h(n) 進(jìn)行Z變換，得到數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H(z)： 設(shè)ha(t)的采樣信號用 表示：對 進(jìn)行拉氏變換，得到: 上式表示采樣

19、信號的拉氏變換與相應(yīng)的序列的Z變換之間的映射關(guān)系可用下式表示： 7/19/202254 模擬信號ha(t)的傅里葉變換Ha(j)和其采樣信號的傅里葉變換之間的關(guān)系如下：將s=j代入上式，得上式表明將模擬信號ha(t)的拉氏變換在s平面上沿虛軸按照周期s=2/T延拓后，再按 映射關(guān)系映射到z平面上，就得到H(z)。 可稱為標(biāo)準(zhǔn)映射關(guān)系。7/19/202255下面進(jìn)一步分析這種映射關(guān)系。設(shè)得到:因此得到: 那么 =0,r=1 0,r0,r1 另外，注意到z=esT是一個(gè)周期函數(shù)，可寫成為任意整數(shù)7/19/202256z=esT,s平面與z平面之間的映射關(guān)系頻率混疊現(xiàn)象7/19/202257 假設(shè)

20、沒有頻率混疊現(xiàn)象，即滿足由 ，并將關(guān)系式s=j代入，=T，代入得到：為避免采樣間隔較小而導(dǎo)致 H(z)過大，令： 則：7/19/202258 如果模擬濾波器的二階基本節(jié)的形式為極點(diǎn)為 可以推導(dǎo)出相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)為： 如果模擬濾波器二階基本節(jié)的形式為 極點(diǎn)為 相應(yīng)的數(shù)字濾波器二階基本節(jié)為：一般Ha(s)的極點(diǎn)是復(fù)數(shù)且共軛成對的形式出現(xiàn)，將一對復(fù)數(shù)共軛極點(diǎn)放在一起，形成一個(gè)二階基本節(jié)。7/19/202259 例 已知模擬濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為用脈沖響應(yīng)不變法將其轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)。 解 首先將Ha(s)寫成部分分式：極點(diǎn)為：那么H(z)的極點(diǎn)為：由上式并經(jīng)整理得：7/19/

21、202260也可以首先將Ha(s)寫成如下形式，如極點(diǎn)s1，2=1j1,則再由上分析得H(z)為：T=1sT=0.1s7/19/202261脈沖響應(yīng)不變法的特點(diǎn)：優(yōu)點(diǎn)：T保證了模擬角頻率與數(shù)字角頻率之間的線性關(guān)系缺點(diǎn)：在附近產(chǎn)生混疊失真所以，一般只適用于帶限濾波器，高通、帶阻濾波器不能直接進(jìn)行變換所以，脈沖響應(yīng)不變法適用情況：帶限濾波器H(s)要能用部分分式展開成單階極點(diǎn)7/19/202262雙線性變換的含義第一次映射:將整個(gè)S平面壓縮到S1平面的一條橫帶內(nèi)（ -/T, +/T ）第二次映射:將S1平面映射到Z平面雙線性映射的變換式第一次映射：正切變換實(shí)現(xiàn)頻率壓縮第二次映射:雙線性變換法的公式

22、：第四節(jié) 雙線性變換法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器7/19/202263S平面S1平面Z平面7/19/202264雙線性變換法的頻率變換關(guān)系雙線性變換法幅度和相位特性非線性映射7/19/202265系數(shù)關(guān)系表 7/19/2022667/19/202267 例 試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性不變法將下圖所示的RC低通濾波器轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器。 解 首先按照圖寫出該濾波器的傳輸函數(shù)Ha(s)為 利用脈沖響應(yīng)不變法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)為 利用雙線性變換法轉(zhuǎn)換，數(shù)字濾波器的系統(tǒng)函數(shù)H2(z)為7/19/202268H1(z)和H2(z)的網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)分別如圖所示數(shù)字濾波器H1(z)和H2(z)的幅頻特性

23、7/19/202269 利用模擬濾波器設(shè)計(jì)IIR數(shù)字低通濾波器的步驟1)確定數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)：通帶截止頻率p、通帶衰減p、阻帶截止頻率s、阻帶衰減s。2)將數(shù)字低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)。如果采用雙線性變換法，邊界頻率的轉(zhuǎn)換關(guān)系為 3)按照模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。 4)將模擬濾波器Ha(s)，從s平面轉(zhuǎn)換到z平面，得到數(shù)字低通濾波器系統(tǒng)函數(shù)H(z)。7/19/202270 解 (1) 用脈沖響應(yīng)不變法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。 數(shù)字低通的技術(shù)指標(biāo)為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為 T=1s,p=

24、0.2rad/s,p=1dB; s=0.3rad/s,s=15dB例 設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，要求在通帶內(nèi)頻率低于0.2時(shí)，幅度誤差不大于1dB；在頻率0.3到之間的阻帶衰減大于15dB。指定采用巴特沃斯低通濾波器。試分別用脈沖響應(yīng)不變法和雙線性變換法設(shè)計(jì)濾波器。7/19/202271 設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器，先計(jì)算階數(shù)N及3dB截止頻率c。 取N=6。由p和p求得3dB截止頻率c=0.7032rad/s。 根據(jù)階數(shù)N=6，查表得歸一化傳輸函數(shù)為7/19/202272用脈沖響應(yīng)不變法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成H(z)。首先將Ha(s)進(jìn)行部分分式，并按脈沖響應(yīng)不變法得到： 去歸一化：將p=s/c代入Ha(

25、p)中，得實(shí)際傳輸函數(shù)：7/19/202273 (2) 用雙線性變換法設(shè)計(jì)數(shù)字低通濾波器。 數(shù)字低通技術(shù)指標(biāo)仍為 p=0.2rad,p=1dB; s=0.3rad,s=15dB 模擬低通的技術(shù)指標(biāo)為7/19/202274 設(shè)計(jì)巴特沃斯低通濾波器。階數(shù)N計(jì)算如下：取N=6。由s和s求c=0.7662rad/s。 查表得歸一化傳輸函數(shù)Ha(p)，去歸一化，將p=s/c代入Ha(p)，得實(shí)際的Ha(s)7/19/202275 用雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字濾波器H(z)：雙線性變換法的幅度特性脈沖響應(yīng)不變法的幅度特性7/19/202276第五節(jié) 數(shù)字高通、帶通和帶阻濾波器設(shè)計(jì)具體設(shè)計(jì)步驟如下：

26、1) 確定所需類型數(shù)字濾波器的技術(shù)指標(biāo)。2) 將數(shù)字濾波器技術(shù)指標(biāo)轉(zhuǎn)換成相應(yīng)的模擬濾波器技術(shù)指標(biāo)，轉(zhuǎn)換公式為3)將所需模擬濾波器指標(biāo)轉(zhuǎn)換成模擬低通濾波器技術(shù)指標(biāo)4)設(shè)計(jì)模擬低通濾波器。5)將模擬低通轉(zhuǎn)換成所需類型的模擬濾波器。6)采用雙線性變換法，將所需類型的模擬濾波器轉(zhuǎn)換成所需類型的數(shù)字濾波器。7/19/202277 例 設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字高通濾波器，要求通帶截止頻率p=0.8rad，通帶衰減不大于3dB，阻帶截止頻率s=0.44rad,阻帶衰減不小于15dB。希望采用巴特沃斯型濾波器。 解 (1)數(shù)字高通的技術(shù)指標(biāo)為 p=0.8rad,p=3dB; s=0.44rad,s=15dB (2) 模擬

27、高通的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下： 令T=1，則有7/19/202278(3)模擬低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)計(jì)算如下： 將p和s對3dB截止頻率c歸一化，這里c=p, (4)設(shè)計(jì)歸一化模擬低通濾波器G(p)。模擬低通濾波器的階數(shù)N計(jì)算如下：7/19/202279 查表得到歸一化模擬低通傳輸函數(shù)G(p)為 去歸一化，將p=s/c代入上式得到： (5) 將模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬高通。將上式中G(s)的變量換成1/s，得到模擬高通Ha(s)： (6)用雙線性變換法將模擬高通轉(zhuǎn)換成數(shù)字高通H(z)：實(shí)際上(5)、(6)兩步可合并成一步，即7/19/202280 例 設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶通濾波器，通帶范圍為0.3rad到0.4r

28、ad，通帶內(nèi)最大衰減為3dB，0.2rad以下和0.5rad以上為阻帶，阻帶內(nèi)最小衰減為18dB。采用巴特沃斯型模擬低通濾波器。 解 (1)數(shù)字帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)為 通帶上截止頻率 u=0.4rad 通帶下截止頻率 l=0.3rad 阻帶上截止頻率 s2=0.5rad 阻帶下截止頻率 s1=0.2rad 通帶內(nèi)最大衰減p=3dB，阻帶內(nèi)最小衰減s=18dB。 7/19/202281 (2) 模擬帶通濾波器技術(shù)指標(biāo)如下： 設(shè)T=1，則有(通帶中心頻率) (帶寬) 將以上邊界頻率對帶寬B歸一化，得到 u=3.348,l=2.348; s2=4.608,s1=1.498; 0=2.8047/19/2

29、02282 (3) 模擬歸一化低通濾波器技術(shù)指標(biāo)： 歸一化阻帶截止頻率歸一化通帶截止頻率p=1p=3dB,s=18dB (4) 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：查表得歸一化低通傳輸函數(shù)G(p)7/19/202283 (5) 將歸一化模擬低通轉(zhuǎn)換成模擬帶通： (6)通過雙線性變換法將Ha(s)轉(zhuǎn)換成數(shù)字帶通濾波器H(z)。下面將(5)、(6)兩步合成一步計(jì)算：將上式代入(5)中的轉(zhuǎn)換公式，得將上面的p等式代入G(p)中，得 7/19/202284 例 設(shè)計(jì)一個(gè)數(shù)字帶阻濾波器，通帶下限頻率l=0.19,阻帶下截止頻率s1=0.198，阻帶上截止頻率s2=0.202，通帶上限頻率u=0.21，阻帶最小衰減s=1

30、3dB，l和u處衰減p=3dB。采用巴特沃斯型。 解 (1) 數(shù)字帶阻濾波器技術(shù)指標(biāo)： l=0.19rad,u=0.21rad,p=3dB; s1=0.198rad,s2=0.202rad,s=13dB (2) 模擬帶阻濾波器的技術(shù)指標(biāo)： 設(shè)T=1，則有7/19/202285阻帶中心頻率平方為 20=lu=0.421阻帶帶寬為 B=u-l=0.07rad/s 將以上邊界頻率對B歸一化： l=8.786,u=9.786, s1=9.186,s2=9.386; 20=lu=85.98 (3) 模擬歸一化低通濾波器的技術(shù)指標(biāo)： p=1,p=3dB7/19/202286 (4) 設(shè)計(jì)模擬低通濾波器：(

31、5) 將G(p)轉(zhuǎn)換成模擬阻帶濾波器Ha(s)： (6) 將Ha(s)通過雙線性變換，得到數(shù)字阻帶濾波器H(z)。7/19/202287第六節(jié) IIR 數(shù)字濾波器的直接設(shè)計(jì)法 1. 零極點(diǎn)累試法稱為零極點(diǎn)累試法。在確定零極點(diǎn)位置時(shí)要注意：1)極點(diǎn)必須位于單位圓內(nèi)，保證數(shù)字濾波器因果穩(wěn)定；2)復(fù)數(shù)零極點(diǎn)必須共軛成對，保證系統(tǒng)函數(shù)有理式的系數(shù)是實(shí)的。a)零極點(diǎn)分布； b)幅度特性 7/19/202288 2.頻域幅度平方誤差最小法設(shè)計(jì)IIR數(shù)字濾波器 設(shè)IIR濾波器由K個(gè)二階網(wǎng)絡(luò)級聯(lián)而成，系統(tǒng)函數(shù)用H(z)表示， 式中A是常數(shù)；ai,bi,ci,di是待求的系數(shù)；Hd(e j)是希望設(shè)計(jì)的濾波器頻

32、響。如果在(0，)區(qū)間取N點(diǎn)數(shù)字頻率i,i=1,2,:,N，在這N點(diǎn)頻率上，比較|Hd(e j)|和|H(e j)|，寫出兩者的幅度平方誤差E為第一式中共有(4K+1)個(gè)待定的系數(shù)，求它們的原則是使E最小。下面研究采用第一式網(wǎng)絡(luò)結(jié)構(gòu)，如何求出(4K+1)系數(shù)。7/19/202289由上式可知E是(4K+1)個(gè)未知數(shù)的函數(shù)，用下式表示： 上式表示4K個(gè)系數(shù)組成的系數(shù)向量。為推導(dǎo)公式方便，令 為選擇A使E最小，令7/19/202290 設(shè)k是 的第k個(gè)分量(ak或bk或ck或dk)， 因?yàn)?,式中H*i表示對Hi函數(shù)共軛。 將上式具體寫成對ak,bk,ck,dk的偏導(dǎo)，得到：式中，k=1,2,3,

33、:,K；i=1,2,3,:,N。7/19/202291同理求得 由于系統(tǒng)函數(shù)是一個(gè)有理函數(shù)，極、零點(diǎn)均以共軛成對的形式存在，對于極點(diǎn)z1,一定有下面關(guān)系：7/19/202292 例 設(shè)計(jì)低通數(shù)字濾波器，其幅度特性如圖所示。截止頻率s=0.1rad。 解 考慮到通帶和過渡帶的重要，在00.2區(qū)間，每隔0.01取一點(diǎn)i值，在0.2區(qū)間每隔0.1取一點(diǎn)i值，并增加一點(diǎn)過渡帶，在=0.1處 |Hd(e j)|=0.5。 1.0,=0,0.01,0.02,:,0.09 0.5,=0.1 0.0,=0.11,0.12,:,0.19 0.0,=0.2,0.3,:,7/19/202293 待求的參數(shù)是A，a1,b1,c1,d1。設(shè)初始值=(0000.25)T經(jīng)過90次迭代，求得E=1.2611，系統(tǒng)函數(shù)零、極點(diǎn)位置為 零點(diǎn)0.67834430j0.73474418; 極點(diǎn)0.75677793j1.3213916 為使濾波器因果穩(wěn)定，將極點(diǎn)按