福建省廈門市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題-附答案

1、福建省廈門市2021-2022學(xué)年高二下學(xué)期期中考試數(shù)學(xué)試題題號(hào)一二三四五總分得分注意事項(xiàng)：1答題前填寫好自己的姓名、班級(jí)、考號(hào)等信息2請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上評(píng)卷人得分一、單選題1在等比數(shù)列中，則（）AB9CD272已知函數(shù)，則（）ABCD3已知雙曲線：的離心率為，則的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（）ABCD4將5名北京冬奧會(huì)志愿者分配到花樣滑冰、短道速滑、冰球和冰壺4個(gè)項(xiàng)目進(jìn)行培訓(xùn)，每名志愿者只分配到1個(gè)項(xiàng)目，每個(gè)項(xiàng)目至少分配1名志愿者，則不同的分配方案共有（）A60種B120種C240種D480種5函數(shù)，則不等式的解集是（）ABCD6已知數(shù)列的通項(xiàng)公式為，前項(xiàng)和為，則取得最小值時(shí)，的值等于（）A10B9

2、C8D47已知，則（）ABCD8若函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，則k的取值范圍是（）ABCD評(píng)卷人得分二、多選題9關(guān)于正態(tài)密度曲線，下列說法正確的是（）A曲線關(guān)于直線對(duì)稱B曲線的峰值為C越大，曲線越“矮胖”D對(duì)任意，曲線與軸圍成的面積總為110已知拋物線焦點(diǎn)與雙曲線點(diǎn)的一個(gè)焦點(diǎn)重合，點(diǎn)在拋物線上，則（）A雙曲線的離心率為2B雙曲線的漸近線為CD點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為611如圖的形狀出現(xiàn)在南宋數(shù)學(xué)家楊輝所著的詳解九章算法商功中，后人稱為“三角垛”.“三角垛”最上層有1個(gè)球，第二層有3個(gè)球，第三層有6個(gè)球，.設(shè)第層有個(gè)球，從上往下層球的總數(shù)為，則（）ABC，D12對(duì)于函數(shù)，下列說法正確的是（）A在處取得極大值

3、B有兩個(gè)不同的零點(diǎn)CD若在上恒成立，則評(píng)卷人得分三、填空題13已知隨機(jī)變量滿足,，_14如圖，在三棱錐中，點(diǎn)在上，且，為中點(diǎn)，構(gòu)成空間的一個(gè)基底，將用基底表示，=_.15已知函數(shù)若不等式對(duì)于任意的非負(fù)實(shí)數(shù)a都成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍是_.評(píng)卷人得分四、雙空題16甲袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球和1個(gè)黑球，乙袋中有4個(gè)紅球，1 個(gè)白球和1個(gè)黑球（除顏色外，球的大小、形狀完全相同）.先從甲袋中隨機(jī)取出1球放入乙袋，再從乙袋中隨機(jī)取出1球.分別以，表示由甲袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件，以表示由乙袋取出的球是紅球的事件，則P_，_.評(píng)卷人得分五、解答題17已知函數(shù)，.（1）若，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（

4、2）若函數(shù)在上是減函數(shù)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.18設(shè)是等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，是各項(xiàng)都為正數(shù)的等比數(shù)列，其前n項(xiàng)和為，且，.(1)求，的通項(xiàng)公式；(2)求的最小值.19在四棱臺(tái)底面ABCD是正方形，且側(cè)棱垂直于底面ABCD，O，E分別是AC與的中點(diǎn).(1)求證：OE/平面；(2)求直線AE與平面所成角的正弦值.20某校從高三年級(jí)中選拔一個(gè)班級(jí)代表學(xué)校參加“學(xué)習(xí)強(qiáng)國知識(shí)大賽”，經(jīng)過層層選拔，甲、乙兩個(gè)班級(jí)進(jìn)入最后決賽，規(guī)定回答1道相關(guān)問題做最后的評(píng)判選擇由哪個(gè)班級(jí)代表學(xué)校參加大賽每個(gè)班級(jí)4名選手，現(xiàn)從每個(gè)班級(jí)4名選手中隨機(jī)抽取2人回答這個(gè)問題已知這4人中，甲班級(jí)有3人可以正確回答這道題目，而乙班級(jí)4

5、人中能正確回答這道題目的概率均為，甲、乙兩班級(jí)每個(gè)人對(duì)問題的回答都是相互獨(dú)立、互不影響的(1)求甲、乙兩個(gè)班級(jí)抽取的4人都能正確回答的概率(2)設(shè)甲、乙兩個(gè)班級(jí)被抽取的選手中能正確回答題目的人數(shù)分別為，求隨機(jī)變量，的期望，和方差，并由此分析由哪個(gè)班級(jí)代表學(xué)校參加大賽更好21已知橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，上頂點(diǎn)為，且(1)求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程；(2)點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，為橢圓上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，線段的中點(diǎn)在直線上，求面積的最大值22已知函數(shù)，且函數(shù)與有相同的極值點(diǎn).（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若對(duì)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）求證.答案：1B【分析】利用等比中項(xiàng)的性質(zhì)可得，代入求解即可【詳解】由等比中項(xiàng)的

6、性質(zhì)可得：故則故選：B2A【分析】根據(jù)表達(dá)式，先求出，再求出，利用導(dǎo)數(shù)定義配湊，最終得解.【詳解】因?yàn)?，所以，所以故選：A.3D【分析】根據(jù)條件求出即可求解.【詳解】根據(jù)題意得，雙曲線：是焦點(diǎn)在軸的雙曲線，所以，所以，解得，所以，所以焦點(diǎn)坐標(biāo)為.故選：D.4C【分析】先確定有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，然后利用組合，排列，乘法原理求得.【詳解】根據(jù)題意，有一個(gè)項(xiàng)目中分配2名志愿者，其余各項(xiàng)目中分配1名志愿者，可以先從5名志愿者中任選2人，組成一個(gè)小組，有種選法；然后連同其余三人，看成四個(gè)元素，四個(gè)項(xiàng)目看成四個(gè)不同的位置，四個(gè)不同的元素在四個(gè)不同的位置的排列方法數(shù)有4！

7、種，根據(jù)乘法原理，完成這件事，共有種不同的分配方案，故選：C.本題考查排列組合的應(yīng)用問題，屬基礎(chǔ)題，關(guān)鍵是首先確定人數(shù)的分配情況，然后利用先選后排思想求解.5A【分析】利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)遞增，然后進(jìn)行求解.【詳解】對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)：，因?yàn)椋?，因?yàn)?，所以f(x)是奇函數(shù),所以在R上單調(diào)遞增，又因?yàn)?，所以的解集?故選：A6C【分析】求出數(shù)列在n的不同取值范圍的正負(fù)，判斷出的單調(diào)性，分析即可求出.【詳解】令，解得或，當(dāng)時(shí)，故當(dāng)時(shí)遞增，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)遞減，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)遞增，且故所以取得最小值時(shí)的值為8.故選：C.7C【分析】構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法判斷其單調(diào)性判斷.【詳解】令，則，又，所以在遞增，又，故

8、選：C8A【分析】把題意轉(zhuǎn)化為函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，即必有兩個(gè)不等于1的正實(shí)數(shù)根.利用導(dǎo)數(shù)求出，再驗(yàn)證其符合題意.【詳解】的定義域?yàn)?令，顯然x=1是方程的一個(gè)根.由函數(shù)有三個(gè)極值點(diǎn)，可知必有兩個(gè)不等于1的正實(shí)數(shù)根.令，則.令，有；令，有；所以，因此有.此時(shí)有兩個(gè)根a、b，其中，所以在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增；在上，單調(diào)遞減；在上，單調(diào)遞增.所以有三個(gè)極值點(diǎn)，符合題意.故.故選：A導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用主要有：（1）利用導(dǎo)函數(shù)幾何意義求切線方程；（2）利用導(dǎo)數(shù)研究原函數(shù)的單調(diào)性，求極值（最值）；（3）利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)的取值范圍；（4）利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)問題.9ACD【分析】根據(jù)密度曲線的解析式判斷ABC

9、，由密度曲線的特點(diǎn)判斷D即可得解.【詳解】對(duì)于A，根據(jù)正態(tài)密度曲線可知，故，所以曲線關(guān)于直線對(duì)稱正確；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，的峰值為，故不正確；對(duì)于C，當(dāng)越大時(shí)，的峰值越小，所以曲線形狀“矮胖”，故正確；對(duì)于D，由正態(tài)曲線的特點(diǎn)知，曲線與軸圍成的面積總為1，故正確.故選：ACD10AC【分析】由雙曲線的方程，求得，利用雙曲線的幾何性質(zhì)，可判定A正確，B錯(cuò)誤；根據(jù)題意，列出方程，可判定C正確；根據(jù)拋物線的定義，可判定D錯(cuò)誤.【詳解】由雙曲線，可得，則，所以雙曲線的離心率為，所以A正確；由雙曲線的漸近線為，所以B錯(cuò)誤；由拋物線焦點(diǎn)與雙曲線點(diǎn)的一個(gè)焦點(diǎn)重合，可得，解得，所以C正確；由拋物線的準(zhǔn)線方程為，則點(diǎn)

10、到其準(zhǔn)線的距離為，到焦點(diǎn)的距離也為4，所以D錯(cuò)誤.故選：AC.11BCD【分析】根據(jù)的值可得，利用累加法可得，再計(jì)算前5項(xiàng)的和即可判斷B；由遞推公式即可判斷A；由即可判斷C；利用裂項(xiàng)相消求和法即可判斷D.【詳解】因?yàn)椋陨蟼€(gè)式子累加可得：，所以，故選項(xiàng)B正確；由遞推關(guān)系可知：，故選項(xiàng)A不正確；當(dāng)，故選項(xiàng)C正確；因?yàn)?，所以，故選項(xiàng)D正確；故選：BCD.12ACD【分析】利用導(dǎo)數(shù)求出函數(shù)的極大值，即可判斷A；結(jié)合圖像分析，即可判斷B；結(jié)合圖像和對(duì)數(shù)的運(yùn)算公式即可判斷C；分離參數(shù)k，構(gòu)造新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求出最大值即可判斷D.【詳解】函數(shù)，定義域?yàn)椋瑒t，令，解得，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減；所以

11、函數(shù)在處取得極大值，極大值為，故A正確；又，時(shí)，時(shí)，作出函數(shù)圖像如下：可得函數(shù)只有一個(gè)零點(diǎn)，故B錯(cuò)誤；結(jié)合圖像可得，又，得，得，所以，故C正確；若在上恒成立，即在上恒成立，令，則，令，所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，故D正確.故選：ACD13【分析】利用公式直接計(jì)算即可.【詳解】因?yàn)?，所以，所以，?一般地，如果，那么，.14連接，根據(jù)向量的加減運(yùn)算法則，求得，進(jìn)而求得向量，得到答案.【詳解】由題意，連接，根據(jù)向量的線性運(yùn)算法則，可得，因?yàn)闉橹悬c(diǎn)，又由點(diǎn)在上，且，可得，所以.15【分析】由已知條件可得對(duì)于任意的非負(fù)實(shí)數(shù)都成立，令，結(jié)合一次函數(shù)的單調(diào)性，可得恒成立，令，求得導(dǎo)數(shù)和單

12、調(diào)性，可得的最大值，進(jìn)而得到的范圍【詳解】不等式對(duì)于任意的非負(fù)實(shí)數(shù)都成立，即對(duì)于任意的非負(fù)實(shí)數(shù)都成立，令，因?yàn)椋栽?，上遞減，所以，所以問題轉(zhuǎn)化為恒成立，令，則，由，可得；，可得所以在上遞增，在上遞減所以，所以故16 【分析】先分別求出，再由，能求出；分別求出，從而求出，再由（B），能求出（B）【詳解】甲袋中有3個(gè)紅球，2個(gè)白球和1個(gè)黑球，乙袋中有4個(gè)紅球，1個(gè)白球和1個(gè)黑球（除顏色外，球的大小、形狀完全相同）先從甲袋中隨機(jī)取出1球放入乙袋，再從乙袋中隨機(jī)取出1球分別以，表示由甲袋取出的球是紅球，白球和黑球的事件，以表示由乙袋取出的球是紅球的事件，則，（B）故；本題主要考查概率的求法，考查條

13、件概率公式等基礎(chǔ)知識(shí)，考查運(yùn)算求解能力，屬于中檔題17(1) .(2) .【詳解】分析：（1）由和可由點(diǎn)斜式得切線方程；（2）由函數(shù)在上是減函數(shù)，可得在上恒成立，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得解.詳解：（1）當(dāng)時(shí)， 所以， 所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（2）因?yàn)楹瘮?shù)在上是減函數(shù)，所以在上恒成立. 做法一：令,有，得故.實(shí)數(shù)的取值范圍為 做法二：即在上恒成立，則在上恒成立，令，顯然在上單調(diào)遞減，則，得實(shí)數(shù)的取值范圍為 點(diǎn)睛：導(dǎo)數(shù)問題經(jīng)常會(huì)遇見恒成立的問題：（1）根據(jù)參變分離，轉(zhuǎn)化為不含參數(shù)的函數(shù)的最值問題；（2）若就可討論參數(shù)不同取值下的函數(shù)的單調(diào)性和極值以及最值，最終轉(zhuǎn)化為 ，若恒成立；（3）若 恒成立

14、，可轉(zhuǎn)化為（需在同一處取得最值） .18(1)；(2).【分析】（1）利用等差數(shù)列，等比數(shù)列的基本量計(jì)算即得；（2）由題可得，進(jìn)而可得當(dāng)時(shí)，遞增，即得.(1)設(shè)的公差為d，數(shù)列的公比為，則，解得，由，解得，（舍去），；(2)由題可知，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，遞增，即，的最小值為.19(1)證明見解析；(2).【分析】（1）連接，由中位線的性質(zhì)知，再由線面平行的判定證明結(jié)論.（2）構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求直線AE與平面的方向向量、法向量，應(yīng)用空間向量夾角的坐標(biāo)表示求線面角的正弦值.(1)如下圖，連接，易知：與交于，且是中點(diǎn)，又E是的中點(diǎn).所以，又面，面，所以面.(2)由側(cè)棱垂直于底面AB

15、CD，面ABCD，則，又ABCD是正方形，即，可構(gòu)建以為原點(diǎn)，為x、y、z軸的空間直角坐標(biāo)系，所以，則，若是面的一個(gè)法向量，則，令，則，所以，即直線AE與平面所成角的正弦值為.20(1)(2)，甲班級(jí)代表學(xué)校參加大賽更好.【分析】（1）根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式即可求出答案；（2）結(jié)合超幾何分布和二項(xiàng)分布，根據(jù)數(shù)學(xué)期望和方差的定義依次求出，由此可求出答案(1)解：甲、乙兩個(gè)班級(jí)抽取的4人都能正確回答的概率；(2)解：甲班級(jí)能正確回答題目人數(shù)為，則的可能取值為1，2，則，乙班級(jí)能正確回答題目人數(shù)為，則的可能取值為0，1，2所以，由，可知，由甲班級(jí)代表學(xué)校參加大賽更好21(1)；(2).【分析

16、】（1）由題可得，即得；（2）由題可設(shè)，聯(lián)立橢圓方程利用韋達(dá)定理，結(jié)合條件可得，進(jìn)而可得，再利用基本不等式即得.(1)由題知：，由得：，即，所以，故橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為；(2)若直線不存在斜率，且線段的中點(diǎn)在直線上，則直線為軸，此時(shí)不存在.故直線存在斜率，且不過原點(diǎn)；設(shè)直線，與橢圓聯(lián)立，化簡得：，由，整理可得，即，且，的中點(diǎn)在直線上，得，；，記到直線的距離為，則當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)，面積有最大值為.22（1）1；（2）；（3）證明見解析.【分析】（1）先求得的極大值點(diǎn)為，由可得，經(jīng)檢驗(yàn)可確定；（2）先求得在上的最大值和最小值，然后分和兩種情況可得的取值范圍；（3）所證不等式即為，通過證明和即可證得結(jié)果.【詳解】（1）的定義域?yàn)椋傻?，易知函?shù)在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故函數(shù)的極大值點(diǎn)為，依題意有，解得，經(jīng)驗(yàn)證符合題意，故.（2