數(shù)學(xué)建模連續(xù)模型類型和講解

1、數(shù)學(xué)建模連續(xù)模型類型和講解 2.1 微分方程模型2.2 變分法模型2.1.1 微分方程建模的基本方法 1、根據(jù)規(guī)律列方程例：質(zhì)量為m的球，用長為l的細(xì)線懸掛在O點(diǎn)，在地球引力下作往復(fù)運(yùn)動，若不計(jì)懸線的質(zhì)量，求擺球m的運(yùn)動方程式。2、微元法分析例：將一水平的金屬桿的兩端置于支架上，其間的距離為L，設(shè)桿件的左端維持在一固定溫度，右端也維持在另一固定溫度，假定右端溫度小于左端溫度，且溫度與時(shí)間無關(guān)。此桿的導(dǎo)熱系數(shù)為k，形狀類似一個(gè)扁鐵條，截面面積為A，截面周界為P，桿件表面對周圍介質(zhì)的傳熱系數(shù)設(shè)為常數(shù)a，介質(zhì)桿的周圍介質(zhì)溫度為 ， 試確定桿件中任何點(diǎn)的溫度與此點(diǎn)離熱端的距離之間的關(guān)系。3、模擬近似法

2、例：生物種群數(shù)的增長 4、微分方程建模的基本步驟由實(shí)際問題建立相應(yīng)的微分方程模型。求解與分析這一模型，即求出相應(yīng)的微分方程的解，或是精確解，或是近似解，其中還包括分析解的特性。利用所得的數(shù)學(xué)結(jié)果，利用解的形式和數(shù)值，利用解的定性分析，解釋實(shí)際問題，從而預(yù)測某些自然現(xiàn)象甚至社會現(xiàn)象中的特定性質(zhì)，以便達(dá)到能動地改造世界解決實(shí)際問題的目的。2.1.2 超聲速流與沖擊波從交通流模型談起城市交通擁阻的分析與治理（2001年全國大學(xué)生數(shù)學(xué)建模夏令營數(shù)學(xué)建模題目）許多大中城市的交通擁阻造成了時(shí)間的浪費(fèi)、工作的耽誤和心理的煩躁，直接、間接帶來了相當(dāng)大的經(jīng)濟(jì)損失。緩解擁阻需要多方努力、綜合治理，現(xiàn)在請就你所了解

3、的城市的情況，應(yīng)用數(shù)學(xué)建模方法提出、分析并探討解決城市交通擁阻問題的辦法。下面的問題只是一個(gè)十字路口的典型環(huán)境下相當(dāng)簡化的情形，不一定限于此。1）在你的所在城市選擇一個(gè)交通堵塞比較嚴(yán)重的十字路口，如圖，到達(dá)十字路口的四隊(duì)車流的每一隊(duì)，都有直行、左轉(zhuǎn)、右轉(zhuǎn)三個(gè)方向。在交通高峰時(shí)間實(shí)際調(diào)查這些車流的數(shù)據(jù)，以及現(xiàn)行的交通調(diào)度方案（包括路口三個(gè)方向行車道的劃分、紅綠燈的控制等）。2）分析交通堵塞的原因，提出治理方案。3）對你的方案作計(jì)算機(jī)模擬，評價(jià)其效果。交通模型考察高速公路上形勢的交通車輛的流動模型假設(shè)無窮長公路單向運(yùn)動不允許超車公路無岔路符號q(x,t):時(shí)刻t單位時(shí)間內(nèi)通過點(diǎn)x的車輛數(shù) :時(shí)刻t

4、點(diǎn)x處單位長度內(nèi)的車輛數(shù)u(x,t):時(shí)刻t通過點(diǎn)x的車流速度 為速度最大值 為密度最大值流量與速度和密度的關(guān)系連續(xù)流模型車輛數(shù)守恒：時(shí)段t,t+dt中在區(qū)間x,x+dx內(nèi)車輛數(shù)的增量應(yīng)等于時(shí)段t,t+dt中通過點(diǎn)x的車流量減去時(shí)段t,t+dt中通過點(diǎn)x+dx的車輛流量（6）規(guī)格化的參數(shù)變量t0, 1，使其相應(yīng)的幾何分量是有界的，而不必用另外的參數(shù)去定義邊界；（7）易于用矢量和矩陣表示幾何分量，簡化了計(jì)算。 基于以上原因，目前表示自由形狀大都采用參數(shù)形式。隨著計(jì)算機(jī)輔助幾何設(shè)計(jì)的研究，人們提出了許多自由形狀的表示方法，下面就介紹幾種有代表性的表示方法。假設(shè)有關(guān)函數(shù)連續(xù)可微Greenshield

5、模型流量與密度的關(guān)系連續(xù)交通流方程模型求解各種不同身高的人在一條直線上前進(jìn)，人的數(shù)目足夠多，可以看成是一個(gè)連續(xù)模型。以h(t,x)表示t時(shí)刻位于x處（或其附近）的人的身高。考察函數(shù)h(t,x)所滿足的方程。模型一:所有的人以勻速a沿x軸正方向運(yùn)動在直線x-at=c上，h取常數(shù)值（對應(yīng)于同一個(gè)人！）故沿此方向?qū)的導(dǎo)數(shù)滿足h(t,x)滿足的偏微分方程通解公式模型二:速度a隨時(shí)間t以及空間坐標(biāo)x變化每個(gè)人的運(yùn)動規(guī)律 為此人的初始位置沿著此常微分方程的任一積分曲線x=x(t)，h=h(t,x(t)=常數(shù)。特例：速度和身高成正比為簡單起見，比例系數(shù)設(shè)為1，即h=h(t,x)滿足求解求解常微分方程沿著此

6、常微分方程的任一積分曲線x=x(t)，h=h(t,x(t)=常數(shù)于是左邊常微分方程的積分曲線為直線，在其上h取常數(shù)值,且其斜率即為此常數(shù)值。解的表達(dá)式過 點(diǎn)的積分曲線為在其上疏散波初始時(shí)高個(gè)子在前，矮個(gè)子在后，人群越來越疏散，永遠(yuǎn)不會出現(xiàn)追趕上的現(xiàn)象壓縮波初始時(shí)，高個(gè)子在后，矮個(gè)子在前，人群將變得越來越密集，最終要出現(xiàn)追趕上的現(xiàn)象兩種波的復(fù)合間斷交通流模型任取一時(shí)間段 及區(qū)間段 進(jìn)行考慮，在時(shí)段 中在 上車輛數(shù)的增加量應(yīng)等于在時(shí)段 中經(jīng)過 處的流量減去經(jīng)過 處的流量，車輛數(shù)守恒的積分形式在連續(xù)可微流場中解出現(xiàn)間斷間斷連接條件或者2.1.3 金融衍生物的定價(jià)一、期權(quán)基礎(chǔ)概念歐式期權(quán)(Europe

7、an Option) 在未來某一確定的時(shí)間買賣某種金融資產(chǎn)的權(quán)利美式期權(quán)(American Option) 在未來一定時(shí)期內(nèi)買賣某種金融資產(chǎn)的權(quán)利歐式期權(quán)歐式認(rèn)購期權(quán) 在某一個(gè)確定的到期日，以確定的價(jià)格購買某種確定的金融資產(chǎn)的權(quán)利歐式認(rèn)沽期權(quán) 在某一個(gè)確定的到期日，以確定的價(jià)格賣出某種確定的金融資產(chǎn)的權(quán)利美式期權(quán)美式認(rèn)購期權(quán) 在未來某一段時(shí)間范圍內(nèi)以確定的價(jià)格購買某種確定的金融資產(chǎn)的權(quán)利美式認(rèn)沽期權(quán) 在未來某一段時(shí)間范圍內(nèi)以確定的價(jià)格賣出某種確定的金融資產(chǎn)的權(quán)利期權(quán)價(jià)格買賣合約的雙方確定的關(guān)于合約的價(jià)格問題一例：今天是2003年5月5日， X股票今天的價(jià)格為每股25元，現(xiàn)有一認(rèn)購期權(quán)合約，其投

8、資者可以在半年以后以25元的價(jià)格購買一股X股票，則這一合約的價(jià)格是多少呢？問題一解答忽略其他因素，只考慮基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格變化的影響 如果半年后，該股票的價(jià)格變?yōu)?7元，該期權(quán)合約的持有者選擇執(zhí)行該合約，盈利2元如果半年后，該股票的價(jià)格下降為23元，合約無利可圖，持有者不執(zhí)行該合約規(guī)定股票價(jià)格變化只有兩種可能，上升為27元的概率和下降為23元的概率相同，都是，則該合約的價(jià)格應(yīng)該為例一中購買認(rèn)購期權(quán)與直接購買股票的不同點(diǎn)說明以1元購買認(rèn)購期權(quán)，半年后可能盈利1元，也可能損失1元，盈利和損失的比例都是初始投資的100%。但是如果投資者現(xiàn)在就以25元購買股票，盈利或者損失的比例都只有8%。影響期權(quán)價(jià)格的因

9、素基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格執(zhí)行價(jià)格到期期限基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格波動率無風(fēng)險(xiǎn)利率擬派發(fā)紅利單一因素變化對期權(quán)價(jià)格的影響變量歐式認(rèn)購期權(quán)歐式認(rèn)沽期權(quán)美式認(rèn)購期權(quán)美式認(rèn)沽期權(quán)股票價(jià)格+-+-執(zhí)行價(jià)格-+-+到期期限？+波動率+無風(fēng)險(xiǎn)利率+-+-紅利-+-+期權(quán)的作用投機(jī)保值期權(quán)定價(jià)理論的一般性期權(quán)定價(jià)理論不僅僅可以用來為期權(quán)定價(jià)，原則上，只要一種資產(chǎn)的價(jià)格隨著另一種資產(chǎn)的變化，期權(quán)定價(jià)理論都可以用來為該衍生產(chǎn)品定價(jià)。例1：煤礦的價(jià)值定價(jià)例2：菜地的價(jià)值定價(jià)利率的作用一般假定無風(fēng)險(xiǎn)利率為常數(shù)，如有必要，再放松這一假設(shè)。貼現(xiàn)公式 假定在T時(shí)刻，為了得到數(shù)量為E的貨幣，在T之前的t時(shí)刻，應(yīng)投入的貨幣數(shù)量為二、金融資產(chǎn)變化模型

10、S 金融資產(chǎn)價(jià)格t 時(shí)間 資產(chǎn)價(jià)值的平均增長率 收益變動的標(biāo)準(zhǔn)差，描述價(jià)格變動的波動程度dx 取自正態(tài)分布中的一個(gè)樣本值描述金融資產(chǎn)變化的簡單方程Wiener過程物理學(xué)中的Brown 運(yùn)動數(shù)學(xué)中用Wiener過程描述Brown運(yùn)動滿足下列性質(zhì)的dx稱標(biāo)準(zhǔn)Wiener過程dx是隨機(jī)變量，遵從正態(tài)分布dx的均值為零dx的值相互獨(dú)立dx的表達(dá)式是在標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布中取值的隨機(jī)變量標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布具有零均值、單位方差并且概率密度函數(shù)為正態(tài)分布函數(shù)數(shù)學(xué)期望如果是離散型隨機(jī)變量，它的可能值為 且 定義其數(shù)學(xué)期望為如果是連續(xù)型隨機(jī)變量，它的分布函數(shù)為 定義其數(shù)學(xué)期望為方差離散型隨機(jī)變量連續(xù)型隨機(jī)變量一段相當(dāng)長的時(shí)間

11、T中x的變化數(shù)學(xué)期望為0方差為T標(biāo)準(zhǔn)差為任意變量S的一般的Wiener過程均值為方差為標(biāo)準(zhǔn)差為稱S遵從幾何Brown運(yùn)動，其均值為Sdt，方差為 ，標(biāo)準(zhǔn)差為對數(shù)正態(tài)分布遵從幾何Brown運(yùn)動的隨機(jī)變量S的密度函數(shù)遵從對數(shù)正態(tài)分布，變量S的概率密度函數(shù)是：估計(jì)假定有n+1個(gè)S的歷史數(shù)據(jù)，定義則有Ito定理假定f(S,t)是S的光滑函數(shù)，隨機(jī)變量S遵從幾何Brown運(yùn)動，則期權(quán)定價(jià)的基本假定基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格遵從對數(shù)正態(tài)隨機(jī)過程在期權(quán)有效期內(nèi)，無風(fēng)險(xiǎn)利率r和基礎(chǔ)資產(chǎn)價(jià)格波動方差是時(shí)間的已知函數(shù)。套期保值沒有交易成本期權(quán)有效期內(nèi)，基礎(chǔ)資產(chǎn)不付紅利沒有套利機(jī)會基礎(chǔ)資產(chǎn)可以連續(xù)交易允許賣空，資產(chǎn)可以細(xì)分各種符

12、號說明S表示基礎(chǔ)資產(chǎn)t表示時(shí)間V=V(S,t)表示期權(quán)的價(jià)值C=C(S,t)表示認(rèn)購期權(quán)P=P(S,t)表示認(rèn)沽期權(quán)E表示執(zhí)行價(jià)格T表示到期日r表示利率表示基礎(chǔ)資產(chǎn)的變動程度無風(fēng)險(xiǎn)投資組合在小時(shí)間間隔中構(gòu)造投資組合消除隨機(jī)因素設(shè)在dt時(shí)間間隔內(nèi)有一常量，并假定則利用Ito定理，得到構(gòu)造無風(fēng)險(xiǎn)投資組合，取= 套利原理假定無風(fēng)險(xiǎn)利率為r，則 考慮到 并選取 得到Black-Scholes公式邊界條件 標(biāo)準(zhǔn)歐式期權(quán)邊界條件認(rèn)購期權(quán)C(S,t)邊界條件認(rèn)沽期權(quán)P(S,t)邊界條件認(rèn)購期權(quán)定價(jià)公式 認(rèn)沽期權(quán)定價(jià)公式問題二有一個(gè)6個(gè)月到期的認(rèn)購期權(quán)，相關(guān)股價(jià)是110，執(zhí)行價(jià)是100，股票收益率波幅為，無風(fēng)險(xiǎn)利率為6%，求期權(quán)價(jià)值。S=110,E=100,r=0.06,T-t=0.5,代入期權(quán)價(jià)格公式得到微分方程模型習(xí)題試按年齡分組，建立用常微分方程組描述的人口模型。試對病愈后有一段時(shí)間免疫力，但不能終身免疫的傳染病，建立用偏微分方程表示的數(shù)學(xué)模型。許多海生甲殼類動物通過在水中揮動生有一排排化學(xué)感覺器官的觸角來捕獲氣味分子。在這個(gè)過程中，包含平流輸送和分子擴(kuò)散兩