2022高考總復習 數(shù)學(人教A理一輪)2.5　指數(shù)與指數(shù)函數(shù)

1、高考總復習優(yōu)化設計GAO KAO ZONG FU XI YOU HUA SHE JI2.5指數(shù)與指數(shù)函數(shù)第二章2022內容索引0102必備知識 預案自診關鍵能力 學案突破必備知識 預案自診【知識梳理】 1.根式(1)根式的概念(2)根式的性質 2.實數(shù)指數(shù)冪(1)分數(shù)指數(shù)冪的表示0的正分數(shù)指數(shù)冪等于,0的負分數(shù)指數(shù)冪沒有意義.(2)有理數(shù)指數(shù)冪的運算性質aras=(a0,r,sQ).(ar)s=(a0,r,sQ).(ab)r=(a0,b0,rQ).0 ar+s ars arbr (3)無理數(shù)指數(shù)冪一般地,無理數(shù)指數(shù)冪a(a0,為無理數(shù))是一個的實數(shù).整數(shù)指數(shù)冪的運算性質于實數(shù)指數(shù)冪.確定同樣適

2、用3.指數(shù)函數(shù)的圖象和性質 函數(shù)y=ax(a0,且a1)0a1圖象圖象特征在x軸,過定點當x逐漸增大時,圖象逐漸下降當x逐漸增大時,圖象逐漸上升上方(0,1)函數(shù)y=ax(a0,且a1)0a1性質定義域值域單調性在R上 在R上 函數(shù)值變化規(guī)律當x=0時,當x0時,當x0時,R(0,+)單調遞減單調遞增y=1 y1 0y1 0y1 常用結論1.指數(shù)函數(shù)y=ax(a0,且a1)的圖象過三個定點:(1,a),(0,1), .2.指數(shù)函數(shù)y=ax與y=bx的圖象特征,在第一象限內,圖象越高,底數(shù)越大;在第二象限內,圖象越高,底數(shù)越小.【考點自診】 1.判斷下列結論是否正確,正確的畫“”,錯誤的畫“”.

3、(4)函數(shù)y=32x與y=2x+1都不是指數(shù)函數(shù).()(5)若aman,則mn.()A.mn0B.0mnC.nm0D.0nm 答案 A 3.(2020廣東廣州模擬,4)已知函數(shù)f(x)=( )x,則不等式f(a2-4)f(3a)的解集為()A.(-4,1) B.(-1,4) C.(1,4) D.(0,4)答案 B 4.(2020天津卷,6)設a=30.7, ,c=log0.70.8,則a,b,c的大小關系為()A.abcB.bacC.bcaD.ca3或x0,且a1)的圖象,應抓住三個關鍵點:(1,a),(0,1),(-1, ).2.已知函數(shù)解析式判斷其圖象一般是依據(jù)函數(shù)的單調性、奇偶性,再結合

4、一些特殊點,判斷所給的圖象是否符合,若不符合則排除.對點訓練2函數(shù)f(x)=1-e|x|的圖象大致是() 答案 A解析 由題知f(x)=1-e|x|是偶函數(shù),圖象關于y軸對稱,故排除B,D,又e|x|1,則f(x)0,故排除C,故選A.考向2指數(shù)函數(shù)圖象的應用【例3】 (1)若函數(shù)y=|3x-1|的圖象與直線y=m有兩個不同交點,則實數(shù)m的取值范圍是.(2)若曲線|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點,則b的取值范圍是.答案 (1)(0,1)(2)-1,1 解析 (1)如圖,函數(shù)y=|3x-1|的圖象是由函數(shù)y=3x的圖象向下平移一個單位長度后,再把位于x軸下方的圖象沿x軸翻折到x軸上方得到的

5、,而直線y=m的圖象是平行于x軸的一條直線.如圖所示,由圖象可得,如果曲線y=|3x-1|與直線y=m有兩個公共點,則m的取值范圍是(0,1).(2)曲線|y|=2x+1與直線y=b的圖象如圖所示.由圖象可得,若|y|=2x+1與直線y=b沒有公共點,則-1b1.故b的取值范圍是-1,1.變式發(fā)散1若本例(1)的條件變?yōu)?方程3|x|-1=m有兩個不同實根,則實數(shù)m的取值范圍是.答案 (0,+)解析 作出函數(shù)y=3|x|-1與y=m的圖象如圖所示,數(shù)形結合可得m的取值范圍是(0,+).變式發(fā)散2若本例(1)的條件變?yōu)?函數(shù)y=|3x-1|+m的圖象不經(jīng)過第二象限,則實數(shù)m的取值范圍是.答案(-

6、,-1解析 作出函數(shù)y=|3x-1|+m的圖象如圖所示.由圖象知m-1,即m(-,-1.解題心得1.對于有關指數(shù)型函數(shù)圖象的應用問題,一般是從最基本的指數(shù)函數(shù)的圖象入手,通過平移、對稱變換而得到.特別地,當?shù)讛?shù)a與1的大小關系不確定時應注意分類討論.2.一些指數(shù)方程、不等式問題的求解,往往利用相應的指數(shù)型函數(shù)圖象數(shù)形結合求解.對點訓練3(1)(2020安徽蒙城月考,4)已知0a1,b1,b1,b0C.0a0D.0a1,b0,且a1)的圖象有兩個公共點,則a的取值范圍是.解析 (1)因為0a1,b-1,則函數(shù)y=ax+b的大致圖象如圖.由圖象可知,y=ax+b的圖象必定不經(jīng)過第一象限.故選A.(

7、2)由圖象知f(x)是減函數(shù),所以0a1,又由圖象在y軸上的截距小于1,則a-b0,所以b0.故選D.(3)當0a1時,y=|ax-1|的圖象如下圖, 因為y=2a與y=|ax-1|的圖象有兩個交點,所以02a1.所以0a1時,y=|ax-1|的圖象如下圖,而此時直線y=2a不可能與y=|ax-1|的圖象有兩個交點.考點3指數(shù)函數(shù)的性質及其應用(多考向探究)考向1指數(shù)函數(shù)單調性的應用【例4】 (1)(2020湖南永州二模,理3)已知a=0.40.3,b=0.30.3,c=0.30.4,則()A.acbB.abcC.cabD.bca答案 (1)B(2)C 解題心得比較兩個指數(shù)冪大小時,盡量化同底

8、或同指,當?shù)讛?shù)相同,指數(shù)不同時,構造同一指數(shù)函數(shù),然后比較大小;當指數(shù)相同,底數(shù)不同時,構造兩個指數(shù)函數(shù),利用圖象比較大小;當?shù)讛?shù)、指數(shù)均不同時,可以利用中間值比較.對點訓練4(1)(2019全國1,文3,理3)已知a=log20.2,b=20.2,c=0.20.3,則()A.abcB.acbC.cabD.bca(2)當x(-,-1時,不等式(m2-m)4x-2x0恒成立,則實數(shù)m的取值范圍是()A.(-2,1)B.(-4,3)C.(-3,4)D.(-1,2)答案 (1)B(2)D解析 (1)因為a=log20.220=1,又0c=0.20.30.20=1,所以ac3,或xag(x),當a1時

9、,等價于f(x)g(x);當0a1時,等價于f(x)g(x).(2)當x0時,原方程化為4x+2x-12=0,即(2x)2+2x-12=(2x-3)(2x+4)=0,解得2x=3,或2x=-4(舍).x=log23.當x0時,原方程化為4x-2x-10=0.令t=2x,則t2-t-10=0(0t0在x(-,1時恒成立,則實數(shù)a的取值范圍是.解題心得指數(shù)函數(shù)的綜合問題,主要涉及單調性、奇偶性、最值問題,應在有關性質的基礎上,結合指數(shù)函數(shù)的性質進行解決,而指數(shù)函數(shù)性質的重點是單調性,注意利用單調性實現(xiàn)問題的轉化.要點歸納小結1.比較大小問題,常利用指數(shù)函數(shù)的單調性及中間值.2.指數(shù)型函數(shù)、方程及不