第六章梁的應(yīng)力(精講)

1、基 本 要 求1.明確純彎曲和橫力彎曲的概念，掌握推導(dǎo)彎曲正應(yīng)力公式的方法。2.熟練掌握彎曲正應(yīng)力的計算、強(qiáng)度條件(tiojin)及其應(yīng)用。3.掌握常用截面梁橫截面上最大切應(yīng)力計算和彎曲切應(yīng)力強(qiáng)度的校核方法。4.了解提高梁強(qiáng)度的一些主要措施。第六章 彎曲應(yīng)力共七十八頁6.1 純彎曲(wnq)時梁的正應(yīng)力6.2 橫力彎曲時梁的正應(yīng)力(yngl)及其 強(qiáng)度條件 梁的合理截面6.4 非對稱截面梁的平面彎曲 開口薄壁截面的彎曲中心6.3 梁的切應(yīng)力及其強(qiáng)度條件6.5 梁的極限彎矩目 錄共七十八頁6.1 純彎曲(wnq)時梁的正應(yīng)力請看一個(y )實例CD段：彎矩為常量，剪力為零。這種彎曲稱為純彎曲。A

2、C、DB兩段：這種彎曲稱為橫力彎曲。同時存在彎矩和剪力。因此純彎曲情況下，橫截面上只有正應(yīng)力共七十八頁共七十八頁（1）變形(bin xng)后，橫截面仍保持為平面。但橫截面間發(fā)生轉(zhuǎn)動。（2）同一層（同一高度）的纖維變形相同(xin tn)，即曲率相同(xin tn)。共七十八頁一、實驗(shyn)觀察（1）變形(bin xng)后，橫截面仍保持為平面。但橫截面間發(fā)生轉(zhuǎn)動。（2）同一層（同一高度）的纖維變形相同，即曲率相同。二、兩個假設(shè)（1）平面假設(shè)：梁的橫截面在梁發(fā)生彎曲變形后仍保持為平面，只是相鄰橫截面繞垂直于縱向?qū)ΨQ面的軸轉(zhuǎn)了一個小角度，并均和彎曲后的軸線保持正交。（2）縱向纖維互不擠壓假

3、設(shè)，即單向拉壓。共七十八頁三、理論(lln)分析1、變形幾何(j h)關(guān)系中性層：梁中間纖維即不伸長也不縮短的那層。中性軸：中性層與橫截面的交線。 ：中性層的曲率半徑。依然從以下三方面來分析：共七十八頁共七十八頁變形(bin xng)后：變形(bin xng)前： 求距中性層為 y 處的纖維 的變形：即：由實驗觀察，橫截面變形后仍保持為平面，且仍與軸線垂直，=0共七十八頁2、物理(wl)關(guān)系 由假設(shè)（2），知各縱向纖維(xinwi)為單向拉壓，所以在彈性范圍內(nèi)有：y說明： 到這一步，我們可推知正應(yīng)力s隨y的變化規(guī)律，但還不能確定其值。共七十八頁該空間(kngjin)力系由平行于x軸的平行力系組

4、成已經(jīng)自動(zdng)滿足。另外由分離體的平衡所以由（1）式：說明中性軸過形心3、靜力學(xué)關(guān)系由（2）式：由于y軸是對稱軸，此式自然滿足。共七十八頁由（3）式：由靜力學(xué)關(guān)系(gun x)得到由變形幾何關(guān)系(gun x)得到由物理關(guān)系得到綜上分析，可以得到梁純彎曲時橫截面上的彎曲正應(yīng)力計算公式：為中性層的曲率共七十八頁幾 點 說 明（2）公式適用(shyng)于比例極限范圍內(nèi) 。即（3）當(dāng)梁的 l 5h 時，上述(shngsh)公式可以推廣到橫力彎曲。（1）是拉應(yīng)力還是壓應(yīng)力由梁的變形情況直接判定。（4）由公式推導(dǎo)可知，公式不僅適用于矩形截面，而且適用于其它一些截面，如：T字形梁，工字形梁，圓截面

5、梁，等等。同時我們可以給出各種梁的正應(yīng)力分布情況。（5）一些工程實例： 大橋做成拱狀。趙州橋，最早的石拱橋。 水泥預(yù)制板，中間做空，下面加筋（鋼筋或竹筋） 梁式起重機(jī)大梁，箱形截面或工字形截面。共七十八頁6.2 橫力彎曲(wnq)時的正應(yīng)力橫力彎曲時，在彎矩最大的橫截面上離中性軸最遠(yuǎn)處（即上下邊緣(binyun)處）產(chǎn)生最大正應(yīng)力 當(dāng)l5h時，由于切應(yīng)力對橫截面上各點的彎曲正應(yīng)力影響很小，所以對于橫力彎曲仍可以沿用純彎曲正應(yīng)力公式：Wz稱為彎曲截面系數(shù)，單位是m3或mm3 。共七十八頁共七十八頁對于寬為b高為h的矩形(jxng)截面：對于(duy)直徑為d的圓形截面：形心若梁的橫截面對中性軸不

6、對稱，例如T形截面。則對同一橫截面上的最大拉應(yīng)力和最大壓應(yīng)力之值不相等。則直接將y1和y2的絕對值代入共七十八頁共七十八頁限定最大彎曲正應(yīng)力(yngl)不得超過許用應(yīng)力(yngl)，于是強(qiáng)度條件為：設(shè)t 表示(biosh)拉應(yīng)力，c 表示壓應(yīng)力，則：塑性材料， t= c= ； 所以，工程中，一般對塑性材料選用中性軸同截面對稱軸重合的截面形狀。對脆性材料，則不將對稱軸作中性軸，以充分利用材料的性能，使設(shè)計更經(jīng)濟(jì)合理。脆性材料， t c，且tb時，切應(yīng)力沿橫截面寬度變化不至于太大，所以假設(shè)(2)合理。共七十八頁共七十八頁x共七十八頁yA共七十八頁帶入并整理(zhngl)得到共七十八頁計算(j su

7、n)時Sz和FS都以絕對值代入計算yASz是距中性軸為y的橫線以下(yxi)(或是以上)部分的橫截面面積對中性軸的靜面矩。FS為橫截面上的剪力；Iz為橫截面對中性軸的慣性矩；b為橫截面的寬度；共七十八頁共七十八頁若FS已知, 則有:2、工字形梁的切應(yīng)力(yngl) 此部分相當(dāng)于三個矩形所構(gòu)成，可近似運(yùn)用矩形截面(jimin)梁的切應(yīng)力公式，但僅有腹板可以直接用。 利用和矩形截面相似的推導(dǎo)過程，可以得到翼緣的切應(yīng)力分布及其計算公式dzydzy共七十八頁作圖示截面(jimin)的切應(yīng)力流圖切應(yīng)力(yngl)的指向猶如兩股水流從上翼緣開始，流經(jīng)腹板，在下翼緣再分成兩股。通常把切應(yīng)力(yngl)的這一

8、特點稱為切應(yīng)力流。共七十八頁二、彎曲切應(yīng)力(yngl)強(qiáng)度校核1、彎曲(wnq)最大切應(yīng)力其中， 是中性軸一側(cè)的橫截面面積對中性軸的靜面矩。2、強(qiáng)度校核中性軸上的受力狀態(tài)是純剪切，故有 細(xì)長梁的強(qiáng)度控制因素主要是正應(yīng)力，滿足正應(yīng)力強(qiáng)度的橫截面一般都能滿足切應(yīng)力強(qiáng)度。所以一般先進(jìn)行正應(yīng)力強(qiáng)度相關(guān)計算，然后再是切應(yīng)力強(qiáng)度問題。共七十八頁例4 由三根木條膠合(jioh)而成的懸臂梁如圖所示，若膠合(jioh)面上的許用切應(yīng)力為t膠0.34MPa，木材許用正應(yīng)力為s10MPa ，許用切應(yīng)力為t1MPa。試求許用載荷F。1mBAF505050100解：（1）首先(shuxin)求出（2）計算截面的幾何性

9、質(zhì)（3）確定許用載荷正應(yīng)力強(qiáng)度條件：共七十八頁木板最大切應(yīng)力(yngl)條件： 膠合(jioh)縫的切應(yīng)力強(qiáng)度條件： 因為膠合縫是關(guān)于中性軸對稱的，所以可以只計算一條膠合縫的切應(yīng)力值。505050100zSz靜面矩 共七十八頁例5 梁由鋼板焊接而成，許用正應(yīng)力s120MPa ，許用切應(yīng)力為t60MPa，其中橫截面對z軸的慣性矩Iz39.7106mm4。試校核(xio h)其強(qiáng)度。并作C截面右側(cè)切應(yīng)力分布圖。0.5m2mBAC解：（1）求支座(zh zu)反力并畫內(nèi)力圖208040140202020yzC82118共七十八頁14082118202020yz C截面(jimin)的最大正應(yīng)力發(fā)生在

10、截面(jimin)的下邊緣處(2) 強(qiáng)度(qingd)校核正應(yīng)力滿足強(qiáng)度要求；最大切應(yīng)力發(fā)生在C截面的中性軸處可以計算z線以下或是以上部分對z軸的靜矩。 切應(yīng)力亦滿足強(qiáng)度要求。該梁安全。共七十八頁（3）切應(yīng)力(yngl)分布圖14082118202020yzac取a線以右的那一塊(y kui)矩形取c線以下，左邊那一塊矩形共七十八頁例6 該梁是由四塊木板(m bn)膠合而成。許用正應(yīng)力s=10MPa，順紋許用切應(yīng)力t=1.1MPa；膠合縫許用切應(yīng)力t膠=0.35MPa 。試求該梁的許用荷載q的值。Iz1.474108mm4 。解: (1)首先(shuxin)可以計算出 （其中q的單位：kN/m

11、）(2) 按正應(yīng)力強(qiáng)度計算q的值 所以 共七十八頁(3) 再按切應(yīng)力強(qiáng)度進(jìn)行(jnxng)校核 中性軸以下(yxi)半個截面面積對中性軸的靜面矩為：橫截面在中性軸處寬度b24590mm底板的面積對中性軸的靜面矩為：底板在膠合縫處的寬度b24590 mm，故膠合縫的切應(yīng)力為：故該梁的許用荷載集度q6.14 kN/m。共七十八頁6.4 非對稱截面梁的平面(pngmin)彎曲 開口薄壁截面的彎曲中心一、非對稱截面(jimin)梁的平面彎曲 現(xiàn)在討論沒有對稱軸，而外力偶作用在形心主慣性平面（橫截面的形心主軸與梁的軸線所構(gòu)成的平面）內(nèi)（或作用在與形心主慣性平面平行的平面內(nèi)）的彎曲問題。及 即z1軸仍然為

12、形心軸共七十八頁將微面積的坐標(biāo)(zubio)用形心主坐標(biāo)(zubio)表示，得因為而Iy為正值，故 這說明，即使是非對稱截面(jimin)梁，只要外力偶作用在與形心主慣性平面xy相平行的平面內(nèi)，中性軸也和形心主軸z軸重合。所以有 即 共七十八頁二、開口(ki ku)薄壁截面的彎曲中心 對于薄壁截面梁，若橫向力作用在縱向?qū)ΨQ面內(nèi)，梁將發(fā)生平面彎曲。若橫向力沒作用在對稱平面內(nèi)，則力必須通過截面上某一特定的點，該點稱為彎曲中心，且平行于形心主軸時，梁才能發(fā)生平面彎曲。否則，梁在發(fā)生彎曲的同時，還將發(fā)生扭轉(zhuǎn)。共七十八頁共七十八頁共七十八頁所以彎曲(wnq)中心是平面彎曲(wnq)時橫截面上切應(yīng)力的合力

13、作用點。共七十八頁共七十八頁對于沒有對稱軸的薄壁截面應(yīng)這樣(zhyng)求彎曲中心：（1）確定(qudng)形心主軸。 （2）設(shè)橫向力平行于某一形心主軸，并使梁產(chǎn)生平面彎曲，求出截面上彎曲切應(yīng)力合力作用線的位置。 （3）設(shè)橫向力平行于另一形心主軸，并使梁產(chǎn)生平面彎曲，求出對于此平面彎曲截面上剪應(yīng)力合力作用線的位置。（4）兩合力作用線的交點即為彎曲中心的位置。共七十八頁共七十八頁共七十八頁共七十八頁共七十八頁共七十八頁共七十八頁共七十八頁共七十八頁共七十八頁共七十八頁例7 懸臂梁橫截面采用圖示三種形式。指出(zh ch)他們產(chǎn)生何種變形。aBACFACFACF(A)F與y軸重和，產(chǎn)生(chnshng)平面彎曲；但是沒有通過彎心，產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)；F與形心主軸不平行，產(chǎn)生斜彎曲；但是沒有通過彎心，產(chǎn)生扭轉(zhuǎn)；F與形心主軸不平行，產(chǎn)生斜彎曲；(a)(b)(c)共七十八頁共七十八頁共七十八頁共七十八頁共七十八頁共七十八頁內(nèi)容摘要基 本 要 求。彎矩為常量，剪力為零。中性層：梁中間(zhngjin)纖維即不伸長也不縮短的那層。中性軸：中性層與橫截面的交線。綜上分析，可以得到梁純彎曲時橫截面上的彎曲正應(yīng)力計算公式：。（1）是