高等數(shù)學(xué)-常微分方程課件

1、高等數(shù)學(xué)第一節(jié) 微分方程的基本概念第二節(jié) 一階微分方程第三節(jié) 可降階的高階微分方程第四節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程第八章 常微分方程1.微分方程的基本概念。2.一階微分方程。3.可降階的高階微分方程。4.二階常系數(shù)線性微分方程。學(xué)習(xí)重點(diǎn)第八章 常微分方程一曲線通過原點(diǎn)，且曲線上任一點(diǎn)(x,y)處的切線斜率等于該點(diǎn)橫坐標(biāo)的平方，求此曲線方程.【解】設(shè)所求曲線方程為y=f(x)，由導(dǎo)數(shù)的幾何意義及已知條件，得y=x2. 兩邊積分，得y=1/3x3+C.式中，C為任意常數(shù).由于所求曲線過原點(diǎn)，即將y|x=0=0代入式，得C=0，所以所求曲線方程為y=1/3x3.一、微分方程的引例第一節(jié) 微分方程的基本

2、概念1. 微分方程和微分方程的階定義1 若在一個(gè)方程中涉及的函數(shù)是未知的,自變量?jī)H有一個(gè),且在方程中含有未知函數(shù)的導(dǎo)數(shù)(或微分),則稱這樣的方程為常微分方程,簡(jiǎn)稱微分方程.定義2 微分方程中所出現(xiàn)的未知函數(shù)的最高階導(dǎo)數(shù)的階數(shù)，稱為微分方程的階.一般地,設(shè)x為自變量，y為未知函數(shù)，n階微分方程有如下形式：F(x,y,y，y，y(n)=0.二、微分方程的基本概念第一節(jié) 微分方程的基本概念2.微分方程的解與通解定義3 某個(gè)函數(shù)代入微分方程后,能成為自變量的恒等式,則稱這個(gè)函數(shù)滿足微分方程，滿足微分方程的函數(shù)稱為微分方程的解.因此求滿足微分方程的未知函數(shù),也就是求微分方程的解.第一節(jié) 微分方程的基本概

3、念若微分方程的解中所含獨(dú)立的任意常數(shù)的個(gè)數(shù)等于這個(gè)方程的階數(shù)，則稱此解為方程的通解. 當(dāng)通解中各任意常數(shù)都取定值時(shí)所得的解，稱為方程的特解. 用來確定通解中任意常數(shù)的附加條件，稱為初始條件.一個(gè)微分方程與初始條件構(gòu)成的問題，稱為初值問題，求解初值問題，就是求方程的特解.第一節(jié) 微分方程的基本概念在一階微分方程中，形如dy/dx=f(x)g(y)的方程，稱為可分離變量的方程.其中，函數(shù)f(x)和g(y)都是連續(xù)函數(shù),g(y)0.將方程變?yōu)閐y/g(y)=f(x)dx的形式,即方程各邊都只含有一個(gè)變量及它的微分,這樣變量就“分離”開了，再對(duì)式兩邊分別積分，得1/g(y)dy=f(x)dx.一、可分

4、離變量的一階微分方程第二節(jié) 一階微分方程若設(shè)G(y)及F(x)依次為1/g(y)及f(x)的原函數(shù)，于是有G(y)=F(x)+C.可以證明，G(y)=F(x)+C就是兩個(gè)方程的通解.值得說明的是，對(duì)方程求解時(shí)，總假設(shè)g(y)0.如果g(y)=0，則可由方程求得其一個(gè)解為y=y0，且可能它不包含在方程的通解之中.綜上所述，求解可分離變量的微分方程的步驟如下：(1) 分離變量；(2) 兩邊積分.第二節(jié) 一階微分方程二、一階線性微分方程第二節(jié) 一階微分方程第二節(jié) 一階微分方程第二節(jié) 一階微分方程這種類型的方程特點(diǎn)是其左端為未知函數(shù)y的高階導(dǎo)數(shù)，而右端不含y，兩邊積分得y=f(x)dx+C1.再積分，

5、得方程通解y=f(x)dxdx+C1x+C2.其中，C1,C2為任意常數(shù).一、y=f(x)類型的方程第三節(jié) 可降階的高階微分方程若二階微分方程中不顯含未知函數(shù)y，則可以通過變量代換，降為一階微分方程求解.將y看作未知函數(shù)p(x)，即令y=p(x)，則y=dp/dx，代入原方程得到關(guān)于x和未知函數(shù)p(x)的一階微分方程dp/dx=f(x,p).設(shè)其通解為p=(x，C1)或y=(x，C1),積分得原方程通解y=(x，C1)dx+C2.二、y=f(x,y)類型的方程第三節(jié) 可降階的高階微分方程若二階微分方程中不顯含自變量x，此時(shí)可將y看作未知函數(shù)p(y)，即令y=p(y)，兩邊對(duì)x求導(dǎo)得y=dp/d

6、ydy/dx=pdp/dy.代入原方程得到關(guān)于y和未知函數(shù)p(y)的一階微分方程Pdp/dy=f(y,p).設(shè)其通解為p=(y，C1)或dydx=(y，C1).三、y=f(y,y)類型的方程第三節(jié) 可降階的高階微分方程這是關(guān)于x和未知函數(shù)y(x)的可分離變量的一階微分方程，若(y，C1)0，分離變量dy/(y，C1)=dx.積分得原方程的通解dy/(y，C1)=x+C2.其中，C1,C2是任意常數(shù).第三節(jié) 可降階的高階微分方程y+py+qy=f(x)(p，q為常數(shù))的微分方程，稱為二階常系數(shù)線性微分方程.定理1 (齊次線性方程解的疊加性)若函數(shù)y1，y2是齊次線性方程的兩個(gè)解，則函數(shù)y=C1y

7、1+C2y2(C1，C2為任意常數(shù))也是方程的解.定理2 (齊次線性方程通解的結(jié)構(gòu))若函數(shù)y1,y2是方程的兩個(gè)線性無關(guān)的特解,則y=C1y1+C2y2(C1，C2為任意常數(shù))是方程的通解.由此可見,求二階常系數(shù)齊次線性方程通解的關(guān)鍵是求它的兩個(gè)線性無關(guān)的特解.一、二階常系數(shù)線性微分方程通解的結(jié)構(gòu)第四節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程定理3 (非齊次線性方程通解的結(jié)構(gòu))設(shè)y*是二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的一個(gè)特解,Y是對(duì)應(yīng)的齊次方程的通解,則y=Y+y*是非齊次方程的通解.定理4 (線性非齊次方程解的疊加性)設(shè)二階常系數(shù)非齊次線性方程的右端f(x)是幾個(gè)函數(shù)之和.第四節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程設(shè)二階

8、常系數(shù)齊次線性微分方程為y+py+qy=0.由于方程左端是未知函數(shù)y及y，y的線性代數(shù)和，所以函數(shù)y必須滿足求一、二階導(dǎo)數(shù)后函數(shù)形式不變，最多相差常系數(shù)，代入左端整理后才可能為零.因此，我們猜測(cè)y=erx可能是方程的解，其中常數(shù)r需要待定，它表示了該解的特征.二、二階常系數(shù)齊次線性微分方程的解法第四節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程將y=erx，y=rerx，y=r2erx代入方程(8-19)中，得(r2+pr+q)erx=0.由于erx0，所以r2+pr+q=0.若函數(shù)y=erx是方程的解，則r必須滿足方程，稱方程為微分方程.第四節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程1. f(x)=Pm(x)ex型其中，Pm(

9、x)為m次多項(xiàng)式Pm(x)=a0 xm+a1xm-1+am-1x+am，為常數(shù).這時(shí)，微分方程為y+py+qy=Pm(x)ex.根據(jù)方程兩端的特征，可以猜想方程有形如y*=Q(x)ex的特解，其中Q(x)是需待定的多項(xiàng)式.將y*的一階、二階導(dǎo)數(shù)y*，y*及y*代入方程中，得Q(x)+(2+p)Q(x)+(2+p+q)Q(x)=Pm(x).式的左端應(yīng)是m次多項(xiàng)式.三、二階常系數(shù)非齊次線性微分方程的解法第四節(jié) 二階常系數(shù)線性微分方程2. f(x)=expm(x)cosx或f(x)=expm(x)sinx型設(shè)方程y+py+qy=expm(x)cosx，或y+py+qy=expm(x)sinx.其中，p，q，0均為常數(shù)，pm(x)為m次多項(xiàng)式，可以證明(從略)方程具有形如y*=xkexQm(x)c