幾何概型及蒲豐投針試驗(yàn)主講課件

1、幾何概型及蒲豐投針試驗(yàn)主講：詹曉琳主要內(nèi)容幾何概型幾何概型的應(yīng)用蒲豐投針試驗(yàn)蒙特卡羅方法幾何概型Geometric Probability古典概型的本質(zhì)特征：1、樣本空間的有限性2、樣本點(diǎn)的等可能性 一般地說，當(dāng)試驗(yàn)結(jié)果為無限時(shí)，會(huì)出現(xiàn)一些本質(zhì)的困難，使問題不像有限時(shí)那么容易解決，這里討論其中具有某種“等可能性”的一類問題。幾何概型Geometric Probability問題 1 ：假設(shè)車站每隔 10 分鐘發(fā)一班車，乘客隨機(jī)到達(dá)車站，問等車時(shí)間不超過 3 分鐘的概率 ？問題 2 ： 已確定失事飛機(jī)的黑匣子可能落在面積 1 000平方公里的海域，調(diào)查人員每次出海搜索的區(qū)域面積為 50 平方公里

2、，假設(shè)在這片海域隨機(jī)地選擇一點(diǎn)進(jìn)行搜尋，問能夠找到黑匣子的概率是多少？幾何概型Geometric Probability“等可能”的確切意義：設(shè)在區(qū)域中有任意一個(gè)小區(qū)域的A,如果它的面積為S(A),則點(diǎn)落入A中的可能性大小與S(A)成正比，而與A的位置及形狀無關(guān)。A幾何概型Geometric Probability幾何概型：將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保留等可能性，就得到幾何概型。注：幾何度量是指長(zhǎng)度、面積、體積。幾何概型的應(yīng)用 例1：一個(gè)質(zhì)地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有0 , 5)上諸數(shù)字，在桌面上旋轉(zhuǎn)它，求當(dāng)它停下來時(shí)，圓周與桌面接觸處的刻度位于區(qū)間 2 , 3 上的概率。幾何概型

3、的應(yīng)用例2：甲乙二人相約定6：00-6：30在預(yù)定地點(diǎn)會(huì)面，先到的人要等候另一人10分鐘后，方可離開。求甲乙二人能會(huì)面的概率，假定他們?cè)?：00-6：30內(nèi)的任意時(shí)刻到達(dá)預(yù)定地點(diǎn)的機(jī)會(huì)是等可能的。30301010yx幾何概型的應(yīng)用思考題：一個(gè)圓的所有內(nèi)接三角形中，其中是銳角三角形的概率是多少？幾何概型總結(jié)幾何概型的特征：1、試驗(yàn)E的樣本空間有一個(gè)可度量的幾何圖形；2、試驗(yàn)E可以看成在中等可能地投擲一點(diǎn)；3、事件A就是所投擲的點(diǎn)落在中的可度量幾何圖形A中 。蒲豐Comte de Buffon 17071788， 法國(guó)數(shù)學(xué)家， 自然科學(xué)家， 幾何概率的 開創(chuàng)者，以 蒲豐投針問題 聞名于世。蒲豐投針

4、問題Buffons needleproblem 在平面上畫有等距離為 的一些平行線，向平面上隨機(jī)投一長(zhǎng) 的針。1768年，蒲豐利用投針試驗(yàn)估計(jì)值。蒲豐投針問題的求解解：設(shè)針投到平面上的位置可以用一組參數(shù) 來描述， 為針的中心距離最近一條平行線的距離， 為針與平行線正方向的夾角。 則該試驗(yàn)的樣本空間為 設(shè)平行線與針相交為事件 ，因?yàn)獒?與平行線相交的充要條件是 ， 即蒲豐投針問題的求解因?yàn)橛蓭缀胃判椭沿S投針問題的求解針與平行線相交的概率與有關(guān)，現(xiàn)將m根長(zhǎng)為 的針投向平面，記針與平行線相交的頻率為 ，其中n為相交的次數(shù)。由大數(shù)定律知： 故有： 即可以通過投針試驗(yàn)求的近似值。試驗(yàn)演示蒲豐投針試驗(yàn)的

5、結(jié)果一些人進(jìn)行了試驗(yàn)，將結(jié)果列于下表： 蒙特卡羅的基本思想由蒲豐投針試驗(yàn)可以看出：1、當(dāng)所求問題的解是某個(gè)事件的概率，或者是某個(gè)隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望；2、通過某種試驗(yàn)的方法，可以得出該事件發(fā)生的頻率，或者該隨機(jī)變量的樣本均值；3、利用大數(shù)定理得到的關(guān)于頻率和樣本均值的收斂性，可以得到有關(guān)的解。蒙特卡羅方法Monte Carlo MethodMonte Carlo方法：亦稱統(tǒng)計(jì)模擬方法，statistical simulation method即利用隨機(jī)數(shù)進(jìn)行數(shù)值模擬的方法。為了得到具有一定精確度的近似解，所需試驗(yàn)的次數(shù)是很多的，通過人工方法作大量的試驗(yàn)相當(dāng)困難，甚至是不可能。本世紀(jì)四十年代以來，

6、由于電子計(jì)算機(jī)的出現(xiàn)，使得人們可以通過計(jì)算機(jī)來模擬隨機(jī)試驗(yàn)過程，把巨大數(shù)目的隨機(jī)試驗(yàn)交由計(jì)算機(jī)完成，因此又稱為計(jì)算機(jī)模擬。Monte Carlo名字的由來Monte Carl是由Metropolis在二次世界大戰(zhàn)期間提出的：Manhattan計(jì)劃，研究與原子彈有關(guān)的中子輸運(yùn)過程。 Nicholas Metropolis (1915-1999)Monte Carlo是摩納哥（Monaco)的首都，該城以賭博聞名。 Monte-Carlo, Monaco蒙特卡羅方法的應(yīng)用用傳統(tǒng)方法難以解決的問題中，特別針對(duì)隨機(jī)模型由于這類模型含有不確定的隨機(jī)因素，分析起來通常比確定性的模型困難。有的模型難以作定量分析，得不到解析的結(jié)果，或者是雖有解析結(jié)果，但計(jì)算代價(jià)太大以至不能使用。在這種情況下