幾何概型及蒲豐投針試驗主講課件

1、幾何概型及蒲豐投針試驗主講：詹曉琳主要內(nèi)容幾何概型幾何概型的應(yīng)用蒲豐投針試驗蒙特卡羅方法幾何概型Geometric Probability古典概型的本質(zhì)特征：1、樣本空間的有限性2、樣本點的等可能性 一般地說，當試驗結(jié)果為無限時，會出現(xiàn)一些本質(zhì)的困難，使問題不像有限時那么容易解決，這里討論其中具有某種“等可能性”的一類問題。幾何概型Geometric Probability問題 1 ：假設(shè)車站每隔 10 分鐘發(fā)一班車，乘客隨機到達車站，問等車時間不超過 3 分鐘的概率 ？問題 2 ： 已確定失事飛機的黑匣子可能落在面積 1 000平方公里的海域，調(diào)查人員每次出海搜索的區(qū)域面積為 50 平方公里

2、，假設(shè)在這片海域隨機地選擇一點進行搜尋，問能夠找到黑匣子的概率是多少？幾何概型Geometric Probability“等可能”的確切意義：設(shè)在區(qū)域中有任意一個小區(qū)域的A,如果它的面積為S(A),則點落入A中的可能性大小與S(A)成正比，而與A的位置及形狀無關(guān)。A幾何概型Geometric Probability幾何概型：將古典概型中的有限性推廣到無限性，而保留等可能性，就得到幾何概型。注：幾何度量是指長度、面積、體積。幾何概型的應(yīng)用 例1：一個質(zhì)地均勻的陀螺的圓周上均勻地刻有0 , 5)上諸數(shù)字，在桌面上旋轉(zhuǎn)它，求當它停下來時，圓周與桌面接觸處的刻度位于區(qū)間 2 , 3 上的概率。幾何概型

3、的應(yīng)用例2：甲乙二人相約定6：00-6：30在預(yù)定地點會面，先到的人要等候另一人10分鐘后，方可離開。求甲乙二人能會面的概率，假定他們在6：00-6：30內(nèi)的任意時刻到達預(yù)定地點的機會是等可能的。30301010yx幾何概型的應(yīng)用思考題：一個圓的所有內(nèi)接三角形中，其中是銳角三角形的概率是多少？幾何概型總結(jié)幾何概型的特征：1、試驗E的樣本空間有一個可度量的幾何圖形；2、試驗E可以看成在中等可能地投擲一點；3、事件A就是所投擲的點落在中的可度量幾何圖形A中 。蒲豐Comte de Buffon 17071788， 法國數(shù)學(xué)家， 自然科學(xué)家， 幾何概率的 開創(chuàng)者，以 蒲豐投針問題 聞名于世。蒲豐投針

4、問題Buffons needleproblem 在平面上畫有等距離為 的一些平行線，向平面上隨機投一長 的針。1768年，蒲豐利用投針試驗估計值。蒲豐投針問題的求解解：設(shè)針投到平面上的位置可以用一組參數(shù) 來描述， 為針的中心距離最近一條平行線的距離， 為針與平行線正方向的夾角。 則該試驗的樣本空間為 設(shè)平行線與針相交為事件 ，因為針 與平行線相交的充要條件是 ， 即蒲豐投針問題的求解因為由幾何概型知蒲豐投針問題的求解針與平行線相交的概率與有關(guān)，現(xiàn)將m根長為 的針投向平面，記針與平行線相交的頻率為 ，其中n為相交的次數(shù)。由大數(shù)定律知： 故有： 即可以通過投針試驗求的近似值。試驗演示蒲豐投針試驗的

5、結(jié)果一些人進行了試驗，將結(jié)果列于下表： 蒙特卡羅的基本思想由蒲豐投針試驗可以看出：1、當所求問題的解是某個事件的概率，或者是某個隨機變量的數(shù)學(xué)期望；2、通過某種試驗的方法，可以得出該事件發(fā)生的頻率，或者該隨機變量的樣本均值；3、利用大數(shù)定理得到的關(guān)于頻率和樣本均值的收斂性，可以得到有關(guān)的解。蒙特卡羅方法Monte Carlo MethodMonte Carlo方法：亦稱統(tǒng)計模擬方法，statistical simulation method即利用隨機數(shù)進行數(shù)值模擬的方法。為了得到具有一定精確度的近似解，所需試驗的次數(shù)是很多的，通過人工方法作大量的試驗相當困難，甚至是不可能。本世紀四十年代以來，

6、由于電子計算機的出現(xiàn)，使得人們可以通過計算機來模擬隨機試驗過程，把巨大數(shù)目的隨機試驗交由計算機完成，因此又稱為計算機模擬。Monte Carlo名字的由來Monte Carl是由Metropolis在二次世界大戰(zhàn)期間提出的：Manhattan計劃，研究與原子彈有關(guān)的中子輸運過程。 Nicholas Metropolis (1915-1999)Monte Carlo是摩納哥（Monaco)的首都，該城以賭博聞名。 Monte-Carlo, Monaco蒙特卡羅方法的應(yīng)用用傳統(tǒng)方法難以解決的問題中，特別針對隨機模型由于這類模型含有不確定的隨機因素，分析起來通常比確定性的模型困難。有的模型難以作定量分析，得不到解析的結(jié)果，或者是雖有解析結(jié)果，但計算代價太大以至不能使用。在這種情況下