控制工程基礎教案第七章

1、控制工程基礎教案第七章控制工程基礎教案第七章控制工程基礎教案第七章控制工程基礎 教 案 年至 年 第 學期 第 周 星期 課題名稱（含教材章節(jié)）： 第七章 線性離散系統(tǒng)分析 教學目的和要求：1、正確理解離散系統(tǒng)的基本概念,熟悉信號采樣定理； 2、理解Z變換原理,熟練離散系統(tǒng)數(shù)學模型的解法； 3、掌握離散系統(tǒng)穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差的判定與計算方法。 教學重點：信號采樣定理，Z變換 教學難點：離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差的計算方法 教 學 內(nèi) 容 （ 要 點 ）1. 基本概念；2. 信號的采樣定理；3. Z變換；4. 離散系統(tǒng)的數(shù)學模型；5. 離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差。X X X X 學 院 教 案 紙

2、第七章 線性離散系統(tǒng)71基本概念采樣控制系統(tǒng)數(shù)字控制系統(tǒng)離散控制系統(tǒng)的特點采 樣 信 號自動控制系統(tǒng)按信號形式劃分可分為以下三種類型（1）連續(xù)控制系統(tǒng)（2）采樣控制系統(tǒng)（3）數(shù)字控制系統(tǒng)采樣系統(tǒng)的特點在連續(xù)系統(tǒng)中的一處或幾處設置采樣開關(guān)，對被控對象進行斷續(xù)控制；通常采樣周期遠小于被控對象的時間常數(shù)；采樣開關(guān)合上的時間遠小于斷開的時間； 采樣周期通常是相同的。 72信號的采樣定理離散時間函數(shù)的數(shù)學表達式 先看一下原理示意圖：采樣函數(shù)的頻譜分析圖7-1 采樣過程圖7-2 控制框圖香農(nóng)（Shannon）采樣定理圖7-2 采樣信號頻譜為了使信號得到很好的復現(xiàn)，采樣頻率應大于等于原始信號最大頻率的二倍，

3、即信號的復現(xiàn)把采樣信號恢復為原來的連續(xù)信號稱為信號的復現(xiàn)。實用的辦法是加入保持器。常用的為零階保持器。零階保持器的傳遞函數(shù)為：零階保持器的幅頻與相頻特性如下圖所示：圖7-3 零階保持器的幅頻與相頻特性7.3 Z變換Z變換的性質(zhì)線性定理若，a為常數(shù)，則 實數(shù)位移定理實數(shù)位移定理又稱平移定理。實數(shù)位移的含意，是指整個采樣序列在時間軸上左右平移若干采樣周期，其中向左平移為超前，向右平移為滯后。實數(shù)位移定理如下：如果函數(shù)是可拉普拉斯變換的，其變換為，則有 其中，為正整數(shù)。 （3）復數(shù)位移定理如果函數(shù)是可拉普拉斯變換的，其變換為，則有 （4）終值定理如果函數(shù)的變換為，函數(shù)序列為有限值（n=0，1，2，.

4、），且極限存在，則函數(shù)序列的終值 （5）卷積定理設和為兩個采樣函數(shù)，其離散卷積定義為 則卷積定理：若必有 卷積定理指出，兩個采樣函數(shù)卷積的變換，就等于該兩個采樣函數(shù)相應變換的乘積。在離散系統(tǒng)分析中，卷積定理是溝通時域與域的橋梁。7.4離散系統(tǒng)的數(shù)學模型一、離散系統(tǒng)的數(shù)學定義線性離散系統(tǒng)如果離散系統(tǒng)（7.42）滿足疊加定理，則稱為線性離散系統(tǒng)，即有如下關(guān)系式：若，且有，其中a和b為任意常數(shù)。則線性定常離散系統(tǒng)輸入與輸出關(guān)系不隨時間而改變的線性離散系統(tǒng)，稱為線性定常離散系統(tǒng)。例如：當輸入序列為時，輸出序列為；如果輸入序列變?yōu)?，相應的輸出序列為，其中，則這樣的系統(tǒng)稱為線性定常離散系統(tǒng)。本章所研究的離

5、散系統(tǒng)為線性定常離散系統(tǒng)，可以用線性定常（常系數(shù)）差分方程描述。二、線性常系數(shù)的差分方程及其解法對于一般的線性定常離散系統(tǒng)，k時刻的輸出，不但與k時刻的輸入有關(guān)，而且與k時刻以前的輸入，等有關(guān)，同時還與k時刻以前的輸出，有關(guān)。這種關(guān)系一般可以用下列n階后向差分方程來描述： 式中，和為常系數(shù)，。式（7.43）稱為n階線性常系數(shù)差分方程，它在數(shù)學上代表一個線性定常離散系統(tǒng)。常系數(shù)線性差分方程的求解方法有經(jīng)典法、迭代法和Z變換法。與微分方程的經(jīng)典解法類似，差分方程的經(jīng)典解法也要求求出齊次方程的通解和非齊次方程的一個特解，非常不便，迭代法可以得到解序列的前幾拍數(shù)值，Z變換法可以獲得解函數(shù)的解析表達式。

6、這里僅介紹工程上常用的后兩種解法。迭代法若已知差分方程（7.43），并且給定輸出序列的初值，則可以利用遞推關(guān)系，在計算機上一步一步地算出輸出序列。例7-1 已知差分方程輸入序列，初始條件為，試用迭代法求輸出序列。解： 根據(jù)初始條件及遞推關(guān)系，得Z變換法用Z變換法解差分方程的實質(zhì)，是對差分方程兩端取Z變換，并利用Z變換的實數(shù)位移定理，得到以Z為變量的代數(shù)方程，然后對代數(shù)方程的解取Z反變換，求得輸出序列。例7-2 試用Z變換法解下列二階差分方程設初始條件。解：對差分方程的每一項進行Z變換，根據(jù)實數(shù)位移定理：于是，差分方程變換為如下Z代數(shù)方程解出 查Z變換表，求出Z反變換 差分方程的解，可以提供線性

7、定常離散系統(tǒng)在給定輸入序列作用下的輸出序列響應特性，但不便于研究系統(tǒng)參數(shù)變化對離散系統(tǒng)性能的影響。因此，需要研究線性定常離散系統(tǒng)的另一種數(shù)學模型脈沖傳遞函數(shù)。7.5離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性與穩(wěn)態(tài)誤差正如在線性連續(xù)系統(tǒng)分析中的情況一樣，穩(wěn)定性和穩(wěn)態(tài)誤差也是線性定常離散系統(tǒng)分析的重要內(nèi)容。一個可以正常工作的離散系統(tǒng)必須是穩(wěn)定的，離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性是系統(tǒng)設計中首先要保證的條件。本節(jié)主要討論如何在Z域和S域中分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性，并給出離散系統(tǒng)穩(wěn)定的時域和Z域條件，以及各種判斷閉環(huán)穩(wěn)定性的方法，同時給出計算離散系統(tǒng)在采樣瞬時穩(wěn)態(tài)誤差的方法。為了把連續(xù)系統(tǒng)在S平面上分析穩(wěn)定性的結(jié)果移植到在Z平面上分析離散系統(tǒng)的穩(wěn)

8、定性，首先需要研究S平面與Z平面的映射關(guān)系。一、 S域到Z域的映射在Z變換定義中，給出了S域到Z域的關(guān)系。S域中的任意點可表示為，映射到Z域則為 于是，S域到Z域的基本映射關(guān)系式為 在特定的情況下，可分為以下三種情形：（1）令，相當于S平面的虛軸，當從變到時，映射到Z平面的軌跡是以原點為圓心的單位圓；（2）令，相當于S平面的左半平面，當從變到時，映射到Z平面的軌跡是以原點為圓心的單位圓內(nèi)部；（3）令，相當于S平面的右半平面，當從變到時，映射到Z平面的軌跡是以原點為圓心的單位圓外部；在采樣周期特定的情況下，由式（7.57）可知，S平面上的等水平線，映射到Z平面上的軌跡，是一簇從原點出發(fā)的射線，其

9、相角從正實軸計量。二、 離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件若離散系統(tǒng)在有界輸入序列作用下，其輸出序列也是有界的，則稱該離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。眾所周知，在線性定常連續(xù)系統(tǒng)中，系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是指：系統(tǒng)齊次微分方程的解是收斂的，或者系統(tǒng)特征方程式的根均具有負實部，或者系統(tǒng)傳遞函數(shù)的極點均位于左半S平面。連續(xù)系統(tǒng)這種在時域或S域描述系統(tǒng)穩(wěn)定性的方法同樣可以推廣到離散系統(tǒng)。對于線性定常離散系統(tǒng)，時域中的數(shù)學模型是線性定常差分方程，Z域中的數(shù)學模型是脈沖傳遞函數(shù)，因此在線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，可以從以下兩方面進行研究。1. 時域中離散系統(tǒng)的充分必要條件設線性定常差分方程為系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：

10、當且僅當差分方程所有特征根的模，則相應的的線性定常離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。2. Z域中離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件設典型離散系統(tǒng)結(jié)構(gòu)圖如圖7.10所示，其特征方程式為（7.55），即不失一般性，設特征方程的根或閉環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的極點為各不相同的。由S域到Z域的映射關(guān)系知：S左半平面映射為Z平面上的單位圓內(nèi)的區(qū)域，對應穩(wěn)定區(qū)域；S右半平面映射為Z平面上的單位圓外的區(qū)域，對應不穩(wěn)定區(qū)域；S平面上的虛軸，映射為Z平面上的單位圓周，對應臨界穩(wěn)定的情況。因此，在Z域中，線性定常離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：當且僅當離散系統(tǒng)特征方程的全部特征根均分布在Z平面上的單位圓內(nèi)，或者所有特征根的模均小于1，即，相應的

11、線性定常離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的。應當指出：上述穩(wěn)定條件雖然是從特征方程無重特征根情況下推導出來的，但是對于有重根的情況，也是正確的。此外，在現(xiàn)實系統(tǒng)中，不存在臨界穩(wěn)定情況，設若或，在經(jīng)典控制理論中，系統(tǒng)也屬于不穩(wěn)定范疇。三、離散系統(tǒng)的穩(wěn)定性判據(jù)連續(xù)系統(tǒng)的勞斯穩(wěn)定判據(jù)，是通過系統(tǒng)特征方程的系數(shù)及其符號來判別系統(tǒng)穩(wěn)定性的。這種對特征方程系數(shù)和符號以及系數(shù)之間滿足某些關(guān)系的判據(jù)，實質(zhì)是判斷系統(tǒng)特征方程的根是否都在左半W平面。但是，在離散系統(tǒng)中需要判斷系統(tǒng)特征方程的根是否都在z平面上的單位圓內(nèi)。因此，連續(xù)系統(tǒng)的中的勞斯判據(jù)不能直接套用，必須引入另一種Z域到S域的線性變換，使Z平面上的單位圓內(nèi)區(qū)域，映射成W平

12、面上的左半平面，這種新的坐標變換，稱為S變換，或稱為雙線性變換。如果令 則有 上兩式表明，復變量Z與S互為線性變換，故S變換又稱雙線性變換。令復變量，代入式（7.59），得顯然由于上式的分母始終為正，因此等價為，表明S平面的虛軸對應于Z平面上的單位圓周；等價為，表明左半S平面對應于Z平面上單位圓內(nèi)的區(qū)域；等價為，表明右半S平面對應于Z平面上單位圓外的區(qū)域。Z平面和S平面的這種對應關(guān)系，如圖7-4所示。圖7-4 Z平面與S平面的對應關(guān)系由S變換可知，可將線性定常離散系統(tǒng)在Z平面上的特征方程，轉(zhuǎn)換為在S平面上的特征方程。于是，離散系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件，由特征方程的所有根位于Z平面上的單位圓內(nèi)，轉(zhuǎn)

13、換為特征方程的所有根位于左半S平面。這后一種情況正好與連續(xù)系統(tǒng)應用勞斯穩(wěn)定判據(jù)的情況一樣，所以根據(jù)S域中的特征方程系數(shù)，可以直接應用勞斯表判斷系統(tǒng)的穩(wěn)定性。例7-3 設閉環(huán)離散系統(tǒng)如圖7-5所示，其中采樣周期，試求系統(tǒng)穩(wěn)定時K的臨界值。r(t)c(t)T圖7-5 閉環(huán)離散系統(tǒng)解：求出的Z變換因閉環(huán)脈沖傳遞函數(shù)故閉環(huán)特征方程令，得化簡后，得S域特征方程列出勞斯表從勞斯表第一列系數(shù)可以看出，為保證系統(tǒng)穩(wěn)定，必須使和，即。故系統(tǒng)的臨界增益。四、離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差在連續(xù)系統(tǒng)中，可以利用建立在拉普拉斯變換終值定理基礎上的計算方法，求出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。這種計算穩(wěn)態(tài)誤差的方法，在一定條件下可以推廣到離散系統(tǒng)

14、。由于離散系統(tǒng)沒有唯一的典型結(jié)構(gòu)圖形式，所以誤差脈沖傳遞函數(shù)也給不出一般的計算公式。離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差需要針對不同形式的離散系統(tǒng)來求取。這里僅介紹利用Z變換的終值定理方法，求取誤差采樣的離散系統(tǒng)在采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差。r(t)c(t)Te(t)e*(t)E(z)圖7-6 單位反饋離散系統(tǒng)設單位反饋誤差采樣系統(tǒng)如上圖所示，其中為連續(xù)部分的傳遞函數(shù)，為系統(tǒng)連續(xù)誤差信號，為系統(tǒng)采樣誤差信號，其Z變換函數(shù)為其中 為系統(tǒng)誤差脈沖傳遞函數(shù)。如果的極點全部位于Z平面上的單位圓內(nèi)，即若離散系統(tǒng)是穩(wěn)定的，則可用Z變換的終值定理求出采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)誤差 上式表明，線性定常離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，不但與系統(tǒng)本身的結(jié)構(gòu)和參數(shù)

15、有關(guān)，而且與輸入序列的形式及幅值有關(guān)。除此以外，由于還與采樣周期T有關(guān)，以及多數(shù)的典型輸入也與T有關(guān)，因此離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差數(shù)值與采樣周期的選取有關(guān)。例7-4 設離散系統(tǒng)如圖7-6所示，其中，輸入連續(xù)信號分別為和，試求離散系統(tǒng)相應的穩(wěn)態(tài)誤差。解： 不難求出相應的Z變換為因此，系統(tǒng)的誤差脈沖傳遞函數(shù)由于閉環(huán)極點，全部位于Z平面上的單位圓內(nèi)，因此可以應用終值定理方法求穩(wěn)態(tài)誤差。當，于是由式求得當，于是由式求得如果希望求出其他結(jié)構(gòu)形式離散系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差，或者希望求出離散系統(tǒng)在擾動作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，只要求出系統(tǒng)誤差的Z變換函數(shù)，在離散系統(tǒng)穩(wěn)定的前提下，同樣可以應用Z變換的終值定理算出系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)誤差。上

16、式只是計算單位反饋誤差采樣離散系統(tǒng)的基本公式，當開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)比較復雜時，計算仍有一定的計算量，因此希望把線性定常連續(xù)系統(tǒng)中系統(tǒng)型別及靜態(tài)誤差系數(shù)的概念推廣到線性定常離散系統(tǒng)，以簡化穩(wěn)態(tài)誤差的計算過程。五、 離散系統(tǒng)的型別與靜態(tài)誤差系數(shù)在討論零階保持器對開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的影響時，我們曾經(jīng)指出，零階保持器不影響開環(huán)系統(tǒng)脈沖傳遞函數(shù)的極點。因此，開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)的極點，與相應的連續(xù)傳遞函數(shù)的極點是一一對應的。如果有個的極點，即個積分環(huán)節(jié)，則由Z變換算子關(guān)系式可知，與相應的必有個的極點。在連續(xù)系統(tǒng)中，我們把開環(huán)傳遞函數(shù)具有的極點數(shù)作為劃分系統(tǒng)型別的標準，并分別把的系統(tǒng)稱為型、型和型系統(tǒng)等。因此

17、，在離散系統(tǒng)中，也可以把開環(huán)脈沖傳遞函數(shù)具有的極點數(shù)作為劃分離散系統(tǒng)型別的標準，類似地把中的系統(tǒng)，稱為型、型和型離散系統(tǒng)等。下面討論圖7-6所示的不同型別的離散系統(tǒng)在三中典型輸入信號作用下的穩(wěn)態(tài)誤差，并建立離散系統(tǒng)靜態(tài)誤差系數(shù)的概念。1. 單位階躍輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差當系統(tǒng)輸入為單位階躍函數(shù)時，其Z變換函數(shù)為，因而，由上式知，穩(wěn)態(tài)誤差為 上式代表離散系統(tǒng)在采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)位置誤差。式中 稱為靜態(tài)位置誤差系數(shù)。若沒有的極點，則，從而，這樣的系統(tǒng)稱為型離散系統(tǒng)；若有一個或一個以上的極點，則，從而，這樣的系統(tǒng)相應稱為型或型以上的離散系統(tǒng)。因此，在單位階躍函數(shù)作用下，型離散系統(tǒng)在采樣瞬時存在位置誤差；型或型

18、以上的離散系統(tǒng)，在采樣瞬時沒有位置誤差。這與連續(xù)系統(tǒng)十分相似。2. 單位斜坡輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差當系統(tǒng)輸入為單位斜坡函數(shù)時，其Z變換函數(shù)為，因而穩(wěn)態(tài)誤差為 上式也是離散系統(tǒng)在采樣瞬時的穩(wěn)態(tài)速度誤差。式中 稱為靜態(tài)速度誤差系數(shù)。因而型系統(tǒng)的，型系統(tǒng)的為有限值，型及型以上系統(tǒng)的，所以有如下結(jié)論：在單位斜坡函數(shù)作用下，型離散系統(tǒng)不能承受單位斜坡函數(shù)作用；型離散系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下存在速度誤差；型及型以上離散系統(tǒng)在單位斜坡函數(shù)作用下不存在穩(wěn)態(tài)誤差。3. 單位加速度輸入時的穩(wěn)態(tài)誤差當系統(tǒng)輸入為單位加速度函數(shù)時，其Z變換函數(shù)，因而穩(wěn)態(tài)誤差為 當然，式（7.65）也是系統(tǒng)的穩(wěn)態(tài)加速度誤差。式中 稱為靜態(tài)加速度誤差系數(shù)。由于型及型系統(tǒng)的，型系統(tǒng)的為常值，型及型以上系統(tǒng)的，因此有如下結(jié)論成立