橢圓軌道的量子化條件

1、玻爾理論的實(shí)驗(yàn)基礎(chǔ)玻爾模型玻爾理論的修正和推廣夫蘭克赫茲實(shí)驗(yàn)索末菲理論空間量子化與史特恩蓋拉赫實(shí)驗(yàn)教學(xué)內(nèi)容1教學(xué)要求 （1）掌握氫原子光譜規(guī)律及巴爾末公式。（2）掌握玻爾基本假設(shè)、圓軌道的量子化條件、半徑公式、能量公式、氫原子能級(jí)圖，以及一些有關(guān)的重要常數(shù)值。 （3）掌握玻爾氫原子理論，能夠解釋氫原子和類氫離子光譜的實(shí)驗(yàn)規(guī)律，掌握光譜項(xiàng)的物理意義。 （4）掌握夫蘭克赫茲實(shí)驗(yàn)的原理、方法、實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析及結(jié)論。 （5）了解索末菲量子化通則和電子橢圓軌道的特性。2 2.1 氫原子光譜光譜獲得或觀察光譜的儀器光譜儀一. 光譜知識(shí) 是電磁輻射的波長(zhǎng)成分和強(qiáng)度分布的記 錄，有時(shí)只是波長(zhǎng)成分的記錄。是研究

2、原 子結(jié)構(gòu)的重要途徑之一。光譜提供了研究原子核以外結(jié)構(gòu)的有力工具。3光 譜 種 類連續(xù)光譜線狀光譜帶狀光譜熾熱的固體或液體發(fā)出，具 有各種波長(zhǎng)成分。氣態(tài)原子發(fā)出，只有某些波長(zhǎng)，光譜由一條條清晰明亮的線組成。氣體分子發(fā)出，譜線分段密集，形成一個(gè)個(gè)帶。4連續(xù)光譜線狀光譜太陽(yáng)光譜鈉的吸收光譜NaHHgCu5棱鏡攝譜儀6棱鏡光譜儀示意圖狹縫棱鏡屏紅藍(lán)12光源準(zhǔn)直儀 接受裝置（照相底片或顯微鏡） 色散裝置（棱鏡或光柵）127拍攝氫光譜；鐵光譜8 光譜是光強(qiáng)度隨頻率的分布。用光譜儀測(cè)得氫的光譜如圖。 在可見光區(qū)，譜線的波數(shù) v 可表示為 B=364.56nm該式稱巴耳末公式，該組譜線稱巴耳末系。 1987

3、年里德堡給出了一個(gè)普遍公式RH=4/B 稱里德堡常數(shù)。T(n)= RH/n2稱光譜項(xiàng)。 是光譜項(xiàng)之差。 n=1,n =2、3、4稱賴曼系 n=3,n =4 、5 、6 稱帕邢系n=4,n =5、6、7稱布喇開系 n=5,n=6 、7 、8 稱普豐特系二. 氫原子光譜9 H6563H H H4861 4341 4102巴爾末線系的前4條譜線波長(zhǎng)埃101914年 賴曼發(fā)現(xiàn) 賴曼系： 1908年 帕邢發(fā)現(xiàn) 帕邢系：1922年布喇開發(fā)現(xiàn) 布喇開系:1924年普芳德發(fā)現(xiàn) 普芳德系:11氫原子光譜規(guī)律總結(jié)并合原則巴爾末線系里德伯公式光譜項(xiàng)其它原子光譜與氫原子類似:但是光譜項(xiàng)的n不一定是整數(shù)。12 盧瑟福將

4、行星模型用于原子世界，雖然都受反平方有心力支配但電子帶-e電荷，軌道加速運(yùn)動(dòng)會(huì)向外輻射電磁能，這樣電子將會(huì)在10-9s時(shí)間內(nèi)落入核內(nèi)，正負(fù)電荷中和，原子宣告崩潰(塌縮)。但現(xiàn)實(shí)世界原子是穩(wěn)定的。 原子結(jié)構(gòu)及其穩(wěn)定性是令人困惑的一大難題。玻爾深信量子化這一新概念，特別是當(dāng)它看到巴耳末氫光譜公式后，原子內(nèi)部結(jié)構(gòu)全然呈現(xiàn)在他們想象中。 玻爾的氫原子理論，可分三部分 1. 定態(tài)假設(shè) 2. 頻率條件 3. 角動(dòng)量量子化和能量量子化 2.2 玻爾模型13一、基本假設(shè)1.定態(tài)假設(shè) 玻爾認(rèn)為原子內(nèi)部存在一系列離散的穩(wěn)定狀態(tài)定態(tài)。電子在這些定態(tài)上運(yùn)動(dòng)量子化的能量能級(jí)守恒，電子不會(huì)輻射能量，這稱玻爾的定態(tài)假設(shè)。量

5、子化能級(jí)的出現(xiàn)是原子穩(wěn)定性的基石，因?yàn)槟芗?jí)之間是禁區(qū)。2.頻率條件 原子內(nèi)部狀態(tài)的任何變化，只能是從一個(gè)定態(tài)到另一個(gè)定態(tài)的躍遷。例如兩個(gè)定態(tài)，En1的正電荷，Z不同代表不同的類氫體系。類氫離子譜線的波數(shù)公式類氫離子31天文望遠(yuǎn)鏡 錄像1，2，33233畢克林系與巴爾末系比較圖譜系限HHHHH25000厘米-1200001500034 類氫離子指原子被電離后核外只剩一個(gè)電子的離子。核外一個(gè)電子在+Ze的核庫(kù)侖力作用下運(yùn)動(dòng)。例如He+、Li2+、Be3+等。將氫公式中的e2 Ze2,就可給出類氫離子的相應(yīng)的能量和光譜公式。例如He+,Z=2,對(duì)于n4上式為 它與氫的巴耳末系公式相似，差別僅僅是n1

6、可取半整數(shù)，所以譜線比氫的多。由于RHeRH，所以譜線相對(duì)氫紫移。3536例題3738 玻爾理論成功的解釋了氫原子和類氫離子光譜的實(shí)驗(yàn)規(guī)律。關(guān)鍵在于：這個(gè)理論中提出了能量量子化的假設(shè)，即原子內(nèi)部存在著一系列不連續(xù)的穩(wěn)定狀態(tài)能級(jí)。39 類氫原子指帶有-e電荷的 子和 介子，被質(zhì)子或原子核俘獲后形成的 原子和 原子，以及正負(fù)電子形成的束縛系統(tǒng)電子偶素。對(duì)于類氫原子需考慮兩體運(yùn)動(dòng)，即引入折合質(zhì)量代替氫公式中的m。3.類氫原子例題14041例題242434.里德堡原子 當(dāng)多電子原子的外層一個(gè)電子被激發(fā)到n=105630高激發(fā)態(tài)上時(shí)，它看到內(nèi)層電子屏蔽后的剩余電荷是+e，所以可以借助玻爾氫原子理論描述。

7、這樣的原子稱里德堡原子。這樣的原子半徑很大 ，對(duì)n=250，r2503.3m接近細(xì)菌大??；其壽命也很長(zhǎng) 正比于 n4.5 ；但能級(jí)間距十分小，如 ，而實(shí)溫對(duì)應(yīng)的能量為kBT(=300)=0.026eV，所以易受外界電磁場(chǎng)、溫度等的影響。445.堿金屬原子 堿金屬原子可以看作是一個(gè)外層價(jià)電子圍繞一個(gè)個(gè)子很大的原子實(shí)在運(yùn)動(dòng)，它感受到+e庫(kù)侖力作用，所以也可用玻爾氫原子理論近似描述。不過由于原子實(shí)內(nèi)有結(jié)構(gòu)，很易在價(jià)電子電場(chǎng)作用下產(chǎn)生極化。由于原子實(shí)個(gè)子較大，作橢圓軌道運(yùn)動(dòng)的價(jià)電子還可以進(jìn)入原子實(shí)內(nèi)，發(fā)生較強(qiáng)的束縛作用。所以同一主量子數(shù)n的不同橢圓軌道會(huì)有不同的能結(jié)合，氫原子能級(jí)簡(jiǎn)并度被解除了。見圖：

8、 4546 2.4 夫蘭克赫茲實(shí)驗(yàn) 一、夫蘭克赫茲實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、原理、裝置 二、實(shí)驗(yàn)過程三、實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析47一、夫蘭克赫茲實(shí)驗(yàn)?zāi)康?、原理、裝置 原子光譜，特別是氫原子光譜驗(yàn)證了玻爾的理論。獨(dú)立于光譜方法的另一種驗(yàn)證方法是夫蘭克、赫茲設(shè)計(jì)并改進(jìn)的電子非彈性碰撞實(shí)驗(yàn)。通過測(cè)量碰撞后電子的電流，證明了原子內(nèi)部的能量是量子化的。由此獲1925年諾貝爾物理獎(jiǎng)。48陰極網(wǎng)狀柵極陽(yáng)極真空管內(nèi)充入所要研究的水銀蒸汽49 他們讓加速后的低能電子與 汞原子碰撞，發(fā)現(xiàn)當(dāng)柵壓小于4.9v時(shí)，碰撞是彈性的，電子與汞原子（質(zhì)量很大）碰撞損失能量很少。板極電流隨柵壓v增加而上升；當(dāng)柵壓上升到4.9伏時(shí)，電流突然下降。如圖所示

9、4.9V二、實(shí)驗(yàn)過程50 這個(gè)現(xiàn)象說明發(fā)生了非彈性碰撞，電子的4.9ev能量被汞原子全部吸收了。這個(gè)能量正是汞原子從基態(tài)躍遷至低激發(fā)態(tài)所需的能量，它正對(duì)應(yīng)著兩個(gè)能級(jí)之差。當(dāng)汞原子從該激發(fā)態(tài)向下躍遷時(shí)，還會(huì)出現(xiàn)相應(yīng)的253.7nm的紫外光譜線。 在這個(gè)實(shí)驗(yàn)裝置中，加速電子只要達(dá)到4.9ev，就被汞原子全部吸收了；因此不可能出現(xiàn)大于4.9ev能量以上的非彈性碰撞，故不能觀察汞原子的更高激發(fā)態(tài)。為此他們作了進(jìn)一步改進(jìn)，如圖所示三、實(shí)驗(yàn)結(jié)果與分析5152 改進(jìn)的實(shí)驗(yàn)裝置主要是把加速電子（不碰撞）與電子和汞原子的碰撞（不加速）分別在兩個(gè)區(qū)域進(jìn)行。在加速區(qū)電子被加速，獲得較高的能量。在寬闊的碰撞區(qū)較高能量

10、的電子與汞原子進(jìn)行充分有效的碰撞。凡發(fā)生非彈性碰撞,電流突然下降，這時(shí)的加速電壓都對(duì)應(yīng)汞原子向較高能級(jí)的躍遷，包括向亞穩(wěn)態(tài)的躍遷。當(dāng)加速電壓升至8v，可以出現(xiàn)六個(gè)低的激發(fā)態(tài)；當(dāng)加速電壓升至10v時(shí)，可以出現(xiàn)十四個(gè)激發(fā)態(tài)，對(duì)應(yīng)的汞原子發(fā)射光譜相應(yīng)出現(xiàn)13條譜線（見圖）。5354f是自由度數(shù)目，p是廣義動(dòng)量, qi是廣義坐標(biāo),積分號(hào)是對(duì)一個(gè)周期的積分一、量子化通則55二、對(duì)圓軌道的修正 索末非考慮了更一般的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，發(fā)現(xiàn)對(duì)同一個(gè)由n標(biāo)定的能級(jí)(n稱主量子數(shù))，可以有n個(gè)不同偏心率的橢圓軌道運(yùn)動(dòng)，但它們是能量簡(jiǎn)并的態(tài)。56橢圓軌道的量子化條件半長(zhǎng)軸57半長(zhǎng)軸半短軸能 量量子數(shù)58橢圓軌道的特征能

11、級(jí)是簡(jiǎn)并的：即一個(gè)能級(jí)對(duì)應(yīng)著n個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)狀態(tài),簡(jiǎn)并度為n,當(dāng)n確定時(shí)，能量就確定了，半長(zhǎng)軸也確定了，但是由于n可取由1 n共n個(gè)可能值,所以半短軸有n個(gè)，因而有n個(gè)不同形狀的軌道,其中一個(gè)是圓，(n-1)個(gè)是橢圓。59橢圓軌道的相對(duì)大小a1n=1,n=1n=2,n=2n=2 ,n=12a14a16a13a19a1n=3,n=3n=3,n=2n=3,n=1例如 n =1,2,3時(shí)，各種可能的軌道形狀如下：60例題1616263按相對(duì)論原理，物體質(zhì)量隨它的運(yùn)動(dòng)速度而改變：物體動(dòng)能：橢圓軌道運(yùn)動(dòng)時(shí)電子的軌道不是閉合的，而是連續(xù)的進(jìn)動(dòng)。三、相對(duì)論修正64 一個(gè)電子軌道的進(jìn)動(dòng)65 玻爾軌道速度為vn=

12、c/n(vn/c= /n)，玻爾第一軌道速度是最大的,為v1= c=c/137,所以應(yīng)考慮相對(duì)論效應(yīng)。對(duì)于圓軌道相對(duì)論的修正是 索末非對(duì)橢圓軌道也作了相對(duì)論修正，計(jì)算結(jié)果表明系統(tǒng)的總能量不僅與n有關(guān)，而且還與橢圓的角動(dòng)量有關(guān)(不同的偏心率橢圓對(duì)應(yīng)有不同的角動(dòng)量)。66軌道的進(jìn)動(dòng)使得在n相同n不同的軌道上運(yùn)動(dòng)時(shí)能量略有差別。索末菲按相對(duì)論力學(xué)原理推得：式中67展成級(jí)數(shù)形式得：68 2 .6 空間量子化與史特恩蓋拉赫實(shí)驗(yàn)一、電子軌道運(yùn)動(dòng)的磁矩二、軌道取向量子化理論三、史特恩蓋拉赫實(shí)驗(yàn)69一、電子軌道運(yùn)動(dòng)的磁矩dre-70 1.電子的軌道磁矩的經(jīng)典表示式又稱旋磁比ri-enoL71磁矩在磁場(chǎng)B中受力

13、矩 ，將引起角動(dòng)量的變化 其中=B是拉莫爾進(jìn)動(dòng)的角速度。拉莫爾進(jìn)動(dòng)（見圖）是角動(dòng)量L旋進(jìn)的運(yùn)動(dòng)。 磁矩在磁場(chǎng)中的 相互作用能為 72 因?yàn)?-L，量子力學(xué)的角動(dòng)量是量子化的，所以2. 的量子表示73二、軌道取向量子化理論： 2、三維空間中運(yùn)動(dòng)時(shí)，量子 化條件為：1、 原子處于磁場(chǎng)中時(shí)，電 子受到一個(gè)力矩作用：BM74描述電子三維運(yùn)動(dòng)的極坐標(biāo)NHrpp-eZe7576軌道的方向量子化n=+1n =1n=+2n =2n=+3n=30-1+10-1-2+2+10-1-2-377三、史特恩蓋拉赫實(shí)驗(yàn)?zāi)康模鹤C明原子在外磁場(chǎng)中具有空間量子化 特征。原理：磁矩為的小磁體（或線圈），在非 均勻磁場(chǎng)中受到的合力

14、不為零：78無磁場(chǎng)有磁場(chǎng)NS79史特恩蓋拉赫實(shí)驗(yàn)的儀器示意圖pc）os1s2sNa)pAcANb) s 80方法：基態(tài)銀原子束以相同的速度方向通過 與速度方向垂直的不均勻磁場(chǎng)，不同 Z的原子受力不同，因而落在照相底 片上位置不同。由底片上銀原子的分布 情況可以判斷Z的分布情況。結(jié)論：（1）基態(tài)銀原子有磁矩，且Z=B。 （2）磁矩相對(duì)于磁場(chǎng)的取向有兩種可 能，偏離直線前進(jìn)應(yīng)到達(dá)的c點(diǎn)的 距離： 結(jié)果：相片P上有兩條黑斑，兩者對(duì)稱分布。81（3）用其它原子來做實(shí)驗(yàn)時(shí)，測(cè)出等 于B的整數(shù)倍，原子束也分成若干 束。具有空間量子化特性。存在問題：理論上預(yù)言應(yīng)分為2n+1束,即 奇數(shù)束。實(shí)驗(yàn)上是兩束，為偶

15、數(shù)。為什么？82實(shí)驗(yàn)裝置例83 磁矩在非均勻磁場(chǎng)B中如同電偶極子在非均勻電場(chǎng)中一樣，質(zhì)心會(huì)受力作用產(chǎn)生運(yùn)動(dòng)，如沿z方向磁場(chǎng)不均勻，則有 原子進(jìn)入非均勻磁場(chǎng)l中，沿x方向不受力,作勻速運(yùn)動(dòng)。xv0t。沿Z方向作勻加速運(yùn)動(dòng)：在xl1處84原子不受力，作自由運(yùn)動(dòng)。經(jīng)l后沿Z偏移為在l段原子沿Z總位移85 原子蒸氣被送入不均勻磁場(chǎng)后，發(fā)射的原子束將分裂為多束。這證明了原子磁矩 z 的空間量子化行為。但實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)H（基態(tài)）原子（T=7104K,kT=9.0eV10.2eV）進(jìn)入史特恩蓋拉赫裝置后分裂為兩束；基態(tài)氧原子分裂為五束，汞原子束不分裂。 按照H原子理論，基態(tài)H是1s，l0，m0, z 0,不受力，

16、不會(huì)分裂為二。實(shí)驗(yàn)發(fā)現(xiàn)如何解釋這一矛盾呢？86一、電子軌道運(yùn)動(dòng)的磁矩二、軌道取向量子化理論三、史特恩蓋拉赫實(shí)驗(yàn)小 結(jié)872 .7 玻爾對(duì)應(yīng)原理一、玻爾對(duì)應(yīng)原理二、玻爾理論的成功之處三、玻爾理論的困難四、波爾理論與量子力學(xué)主要結(jié)論對(duì)比表88一、玻爾對(duì)應(yīng)原理899091929394二、玻爾理論的成功之處（1）應(yīng)用于氫原子和類氫離子光譜時(shí)， 理論計(jì)算與實(shí)驗(yàn)測(cè)量結(jié)果符合得很好。（2）里德堡常數(shù)的理論值與實(shí)驗(yàn)值符合極好。 R實(shí)=10967758m-1， R理=10973731m-1（3）原子定態(tài)假設(shè)至今有效。（4）輻射頻率法則是正確的。95原 因?qū)嶒?yàn)基礎(chǔ)理論基礎(chǔ)光譜實(shí)驗(yàn)規(guī)律；黑體輻射實(shí)驗(yàn)；光電效應(yīng)實(shí)驗(yàn)。

17、原子核式結(jié)構(gòu)模型；普朗克量子假 說；愛因斯坦光子假說。96三、玻爾理論的困難3、軌道的概念不正確。2、角動(dòng)量量子化條件 與現(xiàn)代實(shí)驗(yàn)結(jié)果不符只是人們的假 設(shè)， 無理論根據(jù)。1、只能計(jì)算氫原子和類氫離子的光譜線的 頻率，對(duì)于多于一個(gè)電子的氦原子。理 論完全不適 用，且不能計(jì)算譜線的強(qiáng)度。97原 因1、理論內(nèi)在的不統(tǒng)一，不是自洽的。一方面提出了與經(jīng)典理論完全矛盾的假設(shè)。另一方面又認(rèn)為經(jīng)典理論（牛頓定律、侖定律）適用。所以不是一貫的量子理論，也不是一貫的經(jīng)典理論，而是量子論 + 經(jīng)典理論的混合物。2、沒有抓住微觀粒子的根本特性：波粒二象性，仍然把微觀粒子看作經(jīng)典理論中的質(zhì)點(diǎn)。更完整、更準(zhǔn)確的、應(yīng)用面更

18、廣的關(guān)于原子的理論是1925年建 立起來的量子力學(xué)。98 四、波爾理論與量子力學(xué)主要結(jié)論對(duì)比表99一、玻爾的氫原子理論橢圓軌道量子化橢圓軌道特征二、玻爾理論應(yīng)用于類氫離子三、索末菲理論四、相對(duì)論效應(yīng)小結(jié)五、玻爾對(duì)應(yīng)原理和地位100 思考題 （1）19世紀(jì)末經(jīng)典物理出現(xiàn)哪些無法解決的矛盾？（1999長(zhǎng)春光機(jī)所）（2）用簡(jiǎn)要的語(yǔ)言敘述玻爾理論，并根據(jù)你的敘述導(dǎo)出氫原子基態(tài)能量表達(dá)式.（1998南開大學(xué)）（3）寫出下列物理量的符號(hào)及其推薦值（用國(guó)際單位制）：真空的光速、普朗克常數(shù)、玻爾半徑、玻爾磁子、玻爾茲曼常數(shù)、萬有引力恒量. （2000南開大學(xué)）101（4）解釋下列概念：光譜項(xiàng)、定態(tài)、簡(jiǎn)并、電子

19、的軌道磁矩、對(duì)應(yīng)原理.（5）簡(jiǎn)述夫蘭克赫茲實(shí)驗(yàn)的原理、方法、實(shí)驗(yàn)結(jié)果的分析及結(jié)論。（6）簡(jiǎn)述玻爾對(duì)原子結(jié)構(gòu)的理論的貢獻(xiàn)和玻爾理論的地位與不足。（7）在玻爾模型的理論框架下，導(dǎo)出氫原子中電子作圓周運(yùn)動(dòng)時(shí)能量的相對(duì)論修正。（吉林大學(xué)2000）（8）何謂里德伯原子？為什么在現(xiàn)代生命科學(xué)、同位素分離、激光等研究領(lǐng)域中要研究里德伯原子？102作業(yè)題 （1）單色光照射使處于基態(tài)的氫原子激發(fā),受激發(fā)的氫原子向低能級(jí)躍遷時(shí)可能發(fā)出10條譜線。問：入射光的能量為多少？其中波長(zhǎng)最長(zhǎng)的一條譜線的波長(zhǎng)為多少？（hc=12400eV）（2）已知一對(duì)正負(fù)電子繞共同質(zhì)心轉(zhuǎn)動(dòng)會(huì)形成類似氫原子結(jié)構(gòu)-正電子素.試求：正電子素處于基態(tài)時(shí)