福建福州八中115學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)理試題

1、福建省福州市第八中學(xué) 2014-2015學(xué)年高二上學(xué)期期末考試數(shù)學(xué)（理）試題、選擇題：（共10小題，每小題 5分，共50分）1.在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)2i1 i2i|對(duì)應(yīng)的點(diǎn)位于A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限2.用反證法證明命題：如果a Ab A0 ,那么a b ”時(shí)，假設(shè)的內(nèi)容應(yīng)是A.|a| =|b|B.|a|b|C.|a| 2附，第一步不.利用數(shù)學(xué)歸納法證明工十十+1 n n 1 n 2 2n等式左端是11211C.D.111-+- +23 42 -x,x 0,.函數(shù) f (x )= ( -4 -x ,0 :二 x b0 )的左、右焦點(diǎn)分別為RE,以F2為圓心，OF2 (O a

2、 b為橢圓中心)為半徑作圓F2，若它與橢圓的一個(gè)交點(diǎn)為 M ,且MF1恰好為圓F2的一條切線, 則橢圓的離心率為a. 73-1B. 2-33D.2PC =c，則 BE =10.當(dāng)a0時(shí)，函數(shù)f (x) = (x2-ax)ex的圖象大致是9.在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD是正方形，E為PD中點(diǎn)，若PA = a, PB = b , TOC o 1-5 h z HYPERLINK l bookmark0 o Current Document 1, 1a -bc22211,11 a - b - c 222小1 -3U 1八 a - b c2221,3a -bc222(B)二.填空題：(5小題，每

3、小題4分，共20分).函數(shù)y = ln x -x2的單調(diào)遞增區(qū)間為 .在正方體 ABCD- A1B1C1D1中，CC中點(diǎn)為E,則直線 AE與BG所成的角的大小 為.設(shè) a= , b= J7 -2 , c= y15 一72 ,則 a、b、c 的大小關(guān)系為.(按4從大到小的順序排列，否則不給分).已知點(diǎn)A(x1,ax1), B(x2,ax2)是函數(shù)y = ax(a1)的圖象上任意不同兩點(diǎn)，依據(jù)圖ax - ax2標(biāo)上象可知，線段AB總是位于A、B兩點(diǎn)之間函數(shù)圖象的上方，因此有結(jié)論aa 2成2立.運(yùn)用類比思想方法可知，若點(diǎn)A(xj ,ln xj B(x2,ln x2 )是函數(shù)y=lnx的圖象上任意不同

4、兩點(diǎn)，則類似地有.已知 f(x)=與，定義 fx) = f(x), f2(x)= fx),，fn由(x) =fn(x) ,nW N .經(jīng)計(jì)算 e_ xx _ pa _ x f1(x) =, f2(x) =, f3(x)=,照此規(guī)律，貝 fn(x)=eee三、解答題：(3小題，共30分)322.(本小題 10 分)復(fù)數(shù) z1 =+(10a)，z2=+(2a 5)i ,右 Z1 + Z2 是 實(shí)數(shù)，求實(shí)數(shù)a的值.(本小題 10 分)設(shè)函數(shù) f(x) =2x3 3(a+1)x2+6ax + 8 ,其中 aw R.若 f(x)在x =3處取得極值，求常數(shù) a的值；若f(x)在(1,3)上不單調(diào)，求a的

5、取值范圍.(本小題 10 分)如圖，在直三棱柱 ABC-A1B1C1 中，AC= 3, BC= 4, AB= 5, AA1 =4,點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，E為CB與BG的交點(diǎn).(1)求證：DE /平面 AC C A1；(2)求直線BCi與平面DBiC所成角的正弦值.第n卷(共50分)一、選擇題：(2個(gè)小題，每小題5分，共10分) 22.雙曲線4=1(a0,b0)的兩條漸近線將平面劃分為土、下、左、右”四個(gè)a b區(qū)域(不含邊界)，若點(diǎn)(1,2)在土 ”區(qū)域內(nèi)，則雙曲線離心率 e的取值范圍是A. (1, 3) B. 1, 5C. ( ., 5,二)D) (. 3,二)n J.已知數(shù)列小, an =31工

6、I ,把數(shù)列的各項(xiàng)排成三角形狀，如圖所示.記 2A(m,n)表示第 m行，第n列的項(xiàng)，則 A(10,8)=.明二、填空題：(1個(gè)小題，共4分).設(shè)定義在 D上的函數(shù)y=h(x)在點(diǎn)P(x0,h(x。)處的切線方 程為l : y =g(x),當(dāng)x 時(shí)，若h(x) -g(x) 0在D內(nèi)恒成立，則稱 x 1%. .x2一P點(diǎn)為函數(shù)y =h(x)的 類對(duì)稱中心點(diǎn)，則函數(shù)f(x)=2 + lnx的 2e類對(duì)稱中心點(diǎn)”的坐標(biāo)是.三、解答題：(3個(gè)小題，共36分).(本小題12分)在四棱錐 P-ABCD中，PD_L底面ABCD 底 面 ABCD是直角梯形，AB/ DC, ADC =90 , AB = AD

7、= PD = 1 , CD =2 .(I)求證：BC_L平面PBD;(II)問側(cè)棱PC上是否存在異于端點(diǎn)的一點(diǎn)6E,使得二面角E-BD- P的余弦值為 .若3存在，試確定點(diǎn)E的位置；若不存在，說明理由.若不能,2.(本小題12分)如圖，直線l : y = x +b(b 0),拋物線C : y =2px(p 0),已知點(diǎn)P(2,2)在拋物線C上，且拋物線C上的點(diǎn)到直線l的距離的最小值為 3匹.4(I)求直線l及拋物線C的方程；(II)過點(diǎn)Q(2,1)的任一直線(不經(jīng)過點(diǎn) P )與拋物線C交于A . B兩點(diǎn)，直線AB與直 線l相交于點(diǎn)M ,記直線PA, PB, PM的斜率分別為k1, k2, k3

8、,判斷由k1、k2、k3這三個(gè)數(shù)(可隨意改變順序)能否構(gòu)成等差數(shù)列，若能構(gòu)成等差數(shù)列，請(qǐng)證明之; 請(qǐng)說明理由.(本小題 12 分)已知 f(x)=xlnx, g(x) = x2 + ax 6 .(I )求函數(shù)f (x)的最小值；(n)對(duì)一切x w b,)恒有f (x) 之g(x)成立，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；(in)當(dāng) xw (0,2冗)，求證：ln x + cosx +翟 sin-x .2x x福州八中20142015學(xué)年第一學(xué)期期末考試高二數(shù)學(xué)(理)試卷參考答案及評(píng)分標(biāo)準(zhǔn)第I卷(共100分) (其10小題，每小試題S分，共可分)B 2,C 3D 4,D 5.A 6.D 7.A 8.A 9.C

9、10,B 二、一 1八也) 兀 .一 足天+1口小 , (再 1 - b1 z - 1. 0# 12 I3.ca b 14 導(dǎo).=%. = 1當(dāng)aWl時(shí)，由= 60-1)ff90,知丁在T3為增函期不合題意1 6分當(dāng) 14父3 時(shí)，i/*(x) = 6(x-l)(x-fl)0 得 ax%= 6(x-l)Cx-fl) 0,得1 X 31符合題意Z分當(dāng)心3時(shí)，由/= 6O-D(x-G 0,知/在口 3,為減函數(shù)不合題意標(biāo)上所述，當(dāng)la3時(shí)，/在口3,上不單調(diào)1U分.【解析】(本小題10分)【解析】(I)：E為CB與BG的交點(diǎn)，：E為BC的中點(diǎn)，又點(diǎn)D是AB的中點(diǎn)，即DE為三角形ABC的中位線，DE

10、 /AG分2又DES平面AC C A1.DE /平面AC C A1分/用向量法酌情給分)(II)直三棱柱 ABC- A1B1C1,底面三邊長(zhǎng) AC= 3, BC= 4, AB=5, v AC2+BC2 = AB2,AC，BC,而由條件知，ACGC,且 BC，GC= C, 分因此，以CA.CB.CC分別為x, y, z軸建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，V AC= 3, BC= 4, AA1=4, _ _3 _ _A(3,0,0), B(0,4,0), C(0,0,0), D 3,2,0 ,B1(0,4,4),C1 0,0,4CD =d20 |3 =(0,4,4 ),BCi =(0,4,4)設(shè)平面DB

11、C的法向量n=（xo, yo, z0）,n_CD=0則由一勺 i=r 43八八x02y0 =0q *.-.、期末考試卷答案4yo 4zo = 0，令欹彳,H /賢3 W：n = （4, 3, 3）,分9又直線BG與平面DBiC所成角8的正弦值即直線 BG與平面DBC的法向量夾角的余 弦值，:sinH = cos n膽G17直線BG與平面DBC所成角的正弦值為 竺7.17第II卷（共50分）一.選擇題：（共2小題，每小試題 5分，共10分）分 10三，解答題:2工【解析】（本小題12分）C I ）證明：以。為廬：分別以DA、軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則月（L0Q,現(xiàn)LL。），CQ40）,尸

12、作.所以說=（LLD 而=（-LL。）.所以無反=。，所以由PD_L底面CD，可得PDLHC，又因?yàn)槭珼PI=管，所以FUJ平而正改?(n)因?yàn)?PC =(0,2, -1),又 PE =1PC且 (0,1 ),設(shè) E(x0,y0,z0) 則(%,丫0,4-1) =(0,2 )所以，E(0,2九,14即 DE =(0,2k,1-X).分6設(shè)平面EBD的法向量為n=（a,b,c）,因?yàn)?DB =(1,1,0),由 n8B=0 , nE=0,/日 a b = 0得W,2 b (1 - )c 0令a = -1 ,則可得平面EBD的一個(gè)法向量為n=-11 2n .,一，.4分而平面PDB的法向量即為 B

13、C =（-1,1,0） 106所以，3nBC.2- 11()21解得九=或九=1 ,3分11又由題意知 人三(0,1),故九=1,即點(diǎn)E在靠近點(diǎn)P的三等分處。23.( I ) v 點(diǎn)尸(2,2)在拋物級(jí)C上，二尸二 L 一所求拋物線方程為1r - 2m1分設(shè)與直線E平行且與拋物線禹切的古線丁卉7為 y=t+網(wǎng)，得/ +(2m-2i -Fm3 =() v A = (2w-2)a-4w? = 4-8w.1 ,舄直線：程為21y = x 十一，2.3分兩直線八間的距離即為拋物差e上的點(diǎn)Q直線/的三起o距離 有上或臺(tái)=-L (舍去).直線/的方程為步=汽+ 2,拋物線C的方程為y工=2底.5分(n)可

14、以構(gòu)成等差數(shù)列，即k1 + k2 = 2k3丫直線AB的斜率存在，二設(shè)直線AB的方程為y-1=k(x-2), IP y =kx-2k +1 , y = kx -2k 1,2由 2 2得 ky22y 4k+2 = 0,y =2x,設(shè)點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別為 A(x1,必)、B(x2, y2),則y +y22 4k7公yy2 二kki =y1 -2y1 -2c -2x -2y o一 22&k2 =w 2y2 2,- kik2 =2(y - y2) 82 2+84k +2 .汾y1 2 y2 2 ym 2(y1 , y2) 4,y = kx - 2k 1, 由y = x 2,4k -1 - -2得xM2k 1k -1yM2 -4k232-43 k k4k-1=,k -1k -12k 12k 1 323分11k -1二 k1 +k2 =2k3 ,即由 k1、 k2、k3這三個(gè)數(shù)可構(gòu)成等差數(shù)列. TOC o 1-5 h z 24.【解析】(I )由條件知，/(X)的定義域?yàn)?0,+00 /r(x) = l+lnx1分 /1 當(dāng)0,-時(shí)，八力 0 /(五)單調(diào)遞增2分1/1X1所以，當(dāng)才=一時(shí)，Ah(x)= / 一 =-3分eye Je(II)對(duì)一切xw3,4ooi，匕g(x)已成立，xln x之-+公-6恒成立，