使用廣義KYP綜合性的魯棒PID控制

1、科研訓(xùn)練報(bào)告姓名：段猛班級(jí)：電氣07-1使用廣義KYP綜合性的魯棒PID控制在多頻率范圍內(nèi)的直接開(kāi)環(huán)塑型設(shè)計(jì)由于PID控制器功能完善，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，允許簡(jiǎn)單的人工跟蹤和調(diào)試，它能夠使用許多工 程應(yīng)用。PID控制器的系統(tǒng)設(shè)計(jì)方法已經(jīng)被廣泛地研究，包括自動(dòng)調(diào)節(jié)PID參數(shù)，塑像材料和H控制，數(shù)字控制和魯棒控制。最近的發(fā)展和藝術(shù)形式將在本文中討論。在包括P(s)和控制器K(s)的單位反饋控制系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)塑型設(shè)計(jì)范例中，開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)是被塑型以達(dá)到根據(jù)在不同頻率范圍內(nèi)的FDIs的要求。例如，假設(shè)P(s)是臨界穩(wěn)定并且K(s)有一系列設(shè)計(jì)要求，這些要求都在奈氏曲線L(j如中提供。圖中三個(gè) 顏色區(qū)域表明奈氏曲線必須

2、符合不同頻率內(nèi)的設(shè)計(jì)要求。藍(lán)色半平面區(qū)域涉及低頻范圍靈敏 度降低的要求，并且，綠色小塊區(qū)域是在原點(diǎn)符合或在高頻爐幫穩(wěn)定下的小增益要求。另外， 一個(gè)臨界穩(wěn)定要求必須滿足中頻范圍，由黃色區(qū)域表示，在經(jīng)過(guò)-1+j0直線的下方。這種開(kāi)環(huán)，由于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)和PID增益成線性關(guān)系，塑性控制方式在應(yīng)用于PID控制 設(shè)計(jì)時(shí)中時(shí)常常導(dǎo)致一個(gè)連續(xù)函數(shù)最優(yōu)化問(wèn)題。這個(gè)作為結(jié)果的問(wèn)題，卻是無(wú)限大的空間并 且是難以解決的。特別的，PID增益被許多不等式約束，被重要的范圍的頻率變化參數(shù)化。 為了數(shù)字易于處理，這些在挑選出來(lái)的頻率點(diǎn)上的有限的FDIS近似化，或者被一個(gè)正常條件下頻率依賴重量的H近似化。8這篇論文展示了一個(gè)開(kāi)

3、環(huán)PID塑性的新方法。它是通過(guò)直接解決FDIs在有限和半有限 的頻率范圍內(nèi)。我們的方法允許一個(gè)直接的來(lái)自多重FDIs細(xì)節(jié)的描述，完全避免與頻率網(wǎng) 格和頻率重量的的近似關(guān)系。這個(gè)做為結(jié)果的綜合方法是被當(dāng)做一個(gè)有限的連續(xù)函數(shù)最優(yōu)化 問(wèn)題（用LMIs描述），對(duì)那些商業(yè)軟件是可行的。在這種條件下，F(xiàn)DI描述的可行性能夠被 檢測(cè)到。并且，如果LMI條件不能被滿足，那么就沒(méi)有滿足，那么就沒(méi)有PID控制器能符合 描述。因此，我們的方法允許設(shè)計(jì)者使用控制器去限制范例中的期望表現(xiàn)。設(shè)計(jì)方法下的關(guān) 鍵技術(shù)結(jié)果是使在有限或者半有限的頻率條件下的FDI轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI的廣義GKYP.GKYP定理是 標(biāo)準(zhǔn)KYP的延伸，在整

4、個(gè)頻率范圍內(nèi)都要被考慮。我們首先無(wú)根據(jù)地總結(jié)GKYP結(jié)果。這個(gè)結(jié)論包括一些新的問(wèn)題。首先，增加了 FDI/LMI 在連續(xù)時(shí)間（虛軸）和離散時(shí)間（單位圓）設(shè)置下的轉(zhuǎn)化方程。這個(gè)在0域的方程已經(jīng)給出。 通過(guò)z平面設(shè)計(jì)數(shù)字控制器有一些優(yōu)點(diǎn)，例如，連續(xù)時(shí)間環(huán)境和數(shù)字條件。第二，GKYP定 理被擴(kuò)展來(lái)提供FID在參數(shù)不確定下的魯棒特性。根據(jù)線性分式方式的參數(shù)的李雅普諾夫函 數(shù)來(lái)為一組FDIs獲得一個(gè)重要的LMI。一些數(shù)字的例子用來(lái)說(shuō)明設(shè)計(jì)程序與主導(dǎo)。平面和魯 棒開(kāi)環(huán)塑型，都是為了設(shè)計(jì)PID控制器。我們使用以下的概念。對(duì)于一個(gè)埃爾米特矩陣，M 0,M 0,M 0,M ； =0, 時(shí)咕如, 其中中和Wu H

5、 z對(duì)于一些技術(shù)因素，我們假設(shè)suA，如果A是無(wú)限的。我們現(xiàn)在呈現(xiàn)一個(gè)統(tǒng)一的GKYP定理的形式，建立FDI和LMIs之間的等式，這個(gè)結(jié)果【15】 中給出的特殊情況。定理1讓三H .，卜小三H：，定義如下合理的函數(shù)：G(i) := A)-】(B aF) + D,(5)其中，廣，廠3L J 3 頃，和。并且因此F=0和D=0被假設(shè)并沒(méi)有使由(5)式得到的合理函數(shù)變窄。然而，這些冗余能夠幫助獲得一個(gè)更小的 維數(shù)(A的大小)，導(dǎo)致更少的維數(shù)的L MIs以至于更少的變量。例如，： =能夠在當(dāng) A=C=F=1和B=D=E=0下實(shí)部化，維數(shù)為1.反之，如果F強(qiáng)迫為0，那么表明維數(shù)為2或者更 高。在平【15】

6、中有一個(gè)適應(yīng)多項(xiàng)式矩陣的GKYP的理想版本。接下來(lái)的結(jié)果，是定理1的雙重版本，比定理1更適應(yīng)綜合控制。定理2使ne H并且小三H-，這樣G是一個(gè)有理函數(shù)。G(X.) := (C XF) (A.E 乳廠| B + D.(7)這里和。假設(shè)c心 u 一 . = I A3EE是非奇異的或者 是無(wú)限的。那么參數(shù)化得不等式條件G(A)nG(X)* 0, 0. Z:=diag通P一礦 011）這里定義H為允 E Bl一|_C F D復(fù)雜平面中的曲線集合A（中,中）是一條曲線，或者在復(fù)雜平面中的一組曲線.我們討論的三個(gè)等級(jí)對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)分析很重要.特被強(qiáng)調(diào)，A（中,中）是虛軸，單位圓或者（-r+j0）為圓心，r為

7、半徑的圓的一個(gè)子集合。第一等級(jí)定義在連續(xù)時(shí)間（s變換）的頻率范圍內(nèi)），同樣定義二三等級(jí)為不連續(xù) 時(shí)間z和S變換環(huán)境下。連續(xù)時(shí)間和環(huán)境下的頻率范圍I table 1 Frequency ranges in the continuous-time setting. These choices ot w lead to six different frequency ranges in the s-domain （s ：= j（d） for continuous-time systems, where ：=（町 + ar2）/2. Low- and middle-frequency ranges a

8、re captured by the upper left （| 0.w|ht| |刎-10 0 uy2CE7 （WtU ElT20 -J1J 2 JEFjf TWq 可1a|ar| |E10 -0tET2CE7 W矽 1 三。二 EET20 JP -1J_ 2 GTLJ EETq BiTW表iFrequency ranges in the discrete-time (transform) setting. These choices ot w lead to six different frequency ranges in the z-domain (z ：= for discrete-

9、time systems, where &o ：=(西 + 如)/2 and ：=(如-)/2. Low- and middle-frequency ranges are captured by the upper left (| 山 and the lower right o (entries, respectively, with positive,分 and 為.A high-frequency range can be captured by either the lower left 伊 |仞)or the lower middle R 0.0Ml乏冏&。工酣。曙三為o 1_1 -2

10、cosL 0一總-捧-拌整 2sin(i/2)_0_蝦 _-eJ0 2 cos %0ii 0時(shí)，復(fù)雜數(shù)入的集合如下：此時(shí)，等式強(qiáng)制入在虛軸上，同時(shí)，不等式強(qiáng)制。低頻和中頻范圍在表1中左上和右下的兩個(gè)部分。分別的，跟隨正參數(shù)和 。另一方面，在高頻范圍在表中的坐下和中部下面，使。剩下的部分不能直接地用作控制設(shè)計(jì)，但被用來(lái)補(bǔ)充完整。非連續(xù)時(shí)間環(huán)境（z變化）下的頻率范圍。單位圓上的圓弧被下面代替：A（中注W）=杷月：9三中二：其中，閂二是甲指定的。表2概括甲的選擇導(dǎo)致指定的頻率范圍。，其中-，并且.。集合。以表中第1列和第3列為特征，另有一個(gè)附加條件15 :。在離散時(shí)間和(5環(huán)境下的頻率范圍6變換是z

11、變換的特殊形式，被用作數(shù)字控制綜合。不同于標(biāo)準(zhǔn)的z變換量二=,變量符合拉普拉斯變換，當(dāng)采樣時(shí)間T接近于0，-：=并不是這樣。在6變換下的收斂性質(zhì)將離散時(shí)間和連續(xù)時(shí)間頻率區(qū)域設(shè)計(jì)細(xì)節(jié)結(jié)合起來(lái)，從 而保持了他們的物理性質(zhì)。給出6變量在頻率范圍下的3集合：A(.a,W)=:如：=? 11其中1,二 由3決定。它可以被看做A典.E是以(-i+j0)為圓心， 為半徑 的圓，并且A必.E代表圓上的一段弧。表3概括了不同頻率范圍3下的幾個(gè)甲選擇，其中f一【三滿足亍 一 r cl 一_ .十亍 一，并且_ 15 := sin(可c := cos(ftrT), 弟：= (:=1, 2).集合w在表中每一個(gè)入口，

12、附加條件。一般情況，-包括另外兩種情況?？杀蛔C實(shí)，和甲可以在T接近于0時(shí)重新獲得。使用GKYP定理控制綜合Frequency ranges in the discrete-time (-transform) setting. These choices of w lead to six different frequency ranges in the -domain 0 ：=(嘉-1)/T) for discrete-time systems, where s ：= sin(niT), c ：= cos(gtT), and 8/ := 1,2).表3對(duì)于綜合體的LMI方程我們現(xiàn)在運(yùn)用GKYP

13、定理進(jìn)行控制系統(tǒng)設(shè)計(jì)。設(shè)計(jì)難題是我們找到一系列控制參數(shù)，由 根據(jù)多個(gè)FDI所表達(dá)的設(shè)計(jì)細(xì)節(jié)所決定。Gjt(Xn；-Gjt(X)+ 0, for all a g A仲卜也) 適用于所用的k=i，I，其中所有的被設(shè)計(jì)。在附加假設(shè)條件下我們沒(méi)有保守 而去減少了問(wèn)題，使之成為L(zhǎng)MIs。為了簡(jiǎn)潔，我們考慮i=1的情況（只有一個(gè)FDI描述）并 且去掉。（8）式中的下表k移動(dòng)到（8）中。多個(gè)細(xì)節(jié)通過(guò)解決由FDIs產(chǎn)生的LMIs被控制。對(duì)于控制綜合體，我們考慮（8）式。 TOC o 1-5 h z G（A） = L（A）上:L（a） := CL（U-AL）iBL + DLl（10）其中是一個(gè) 的轉(zhuǎn)換函數(shù)。我們

14、分割權(quán)矩陣為=段 * 斗 *叫.（11）為了問(wèn)題的易處理，我們有以下假設(shè)：假設(shè)1.a）仿射根據(jù)設(shè)計(jì)參數(shù)向量。b）門(mén)二 |；|在假設(shè)（a）下，我們使用概念來(lái)明確地指出對(duì)P的依賴。狀態(tài)空間的實(shí)現(xiàn)能夠如此被選擇，當(dāng)Al和Cl獨(dú)立于 時(shí) 和為仿射函數(shù)。假設(shè)（b）保證集合L滿足（8）是凸面的。特別的，當(dāng)q=p=1時(shí)，設(shè)計(jì)細(xì)節(jié)（8）定義一個(gè)凸面區(qū)域在 復(fù)雜平面上，此時(shí) 是希望展現(xiàn)的。在這些假設(shè)下，參數(shù)P可行的區(qū)域由（8）和（10） 指派的是凸面的。矩陣n可以被定義為期望的頻率響應(yīng)性質(zhì)，例如，正實(shí)部或者小增益條件ym。這些性質(zhì)被下式同時(shí)表達(dá)出來(lái)：I】匕 L（/ 0.對(duì)于但輸入但輸出系統(tǒng)，在由描述的頻率范圍內(nèi)

15、每一個(gè)條件能被解釋為奈奎斯特曲線上一部分的性質(zhì)，位于由n描述的復(fù)雜平面內(nèi)。特別的，這個(gè)區(qū)域是正實(shí)部 的右半平面和小增益條件下以原點(diǎn)為圓心半徑為r的圓的內(nèi)部。一般的說(shuō)，由收集的點(diǎn)一-所定義的平面，例如-由下式表達(dá)L I a + jb alcb LI =2（湖億）+ 紈0 + 匚）) / nL(k; p) I* 0是一個(gè)小的時(shí)間常數(shù)，用來(lái)通過(guò)一個(gè)合適的傳遞函數(shù)，接近于微分器，為了修復(fù)Td0，設(shè)計(jì)參數(shù)在K（s）的分子中。實(shí)際上，K（s）的標(biāo)準(zhǔn)可觀形式和（15）的形式一樣。同時(shí)將（14）和（15）結(jié)合起來(lái)，一個(gè)開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的狀態(tài)空間表達(dá)式：=:頃1表示為現(xiàn)在肯定（10）式中的L有（17）式中的狀態(tài)空間

16、表達(dá)式頊：。明顯的，Bl和Dl， 依賴于P，滿足假設(shè)1a，所以，如果，那么整體問(wèn)題是凸面的，而且 根據(jù)LMIs計(jì)算。通過(guò)框架描述的開(kāi)環(huán)塑型可以得到閉環(huán)傳遞函數(shù)的細(xì)節(jié)。特別的，我們考慮高頻下補(bǔ)充 靈敏度函數(shù)丁 =】1 - 中小增益條件1：11。這樣被描述為IL 11 牛1 M代0. 111注意是非負(fù)的，并且。是在實(shí)際中出現(xiàn)的情況。另一方面，在低頻下的靈敏度.=-:一,不能劃成我們的框架，因?yàn)? = I I 是和 下式等價(jià)的：L心1汁。低靈敏度要求對(duì)低增益的L是必須的，L的可行區(qū)域是圓的外部，它不是連續(xù)的。因此 命題1不是直接的應(yīng)用到細(xì)節(jié)上的，指明了接近方法的限制。然而，一個(gè)L的高增益要求必 須考

17、慮將一個(gè)半平面看成二選一的可行區(qū)域，這將在下面解釋。使用GYKP定理的開(kāi)環(huán)塑型為了說(shuō)明，我們將設(shè)計(jì)中開(kāi)環(huán)塑型的難題降低到LMI問(wèn)題。我們考慮單輸入單輸出系統(tǒng) 三個(gè)頻率條件下的三種細(xì)節(jié)。傳遞函數(shù)L（s）。在圖1中介紹的。在低頻范圍下的細(xì)節(jié)殺死 靈敏度降低。表達(dá)式如下口瀏L(j/) 一 b島L加)1 y, for all 砂口 蘭 口 蘭叫財(cái)(18)中頻段臨界穩(wěn)定amL(j() + bmL(jd) %,(19)高頻段的魯棒效應(yīng)(20)Uj) 在咨盡管臨界條件下的中頻段可以用來(lái)描述，我們選擇作為說(shuō)明的目的。為了簡(jiǎn)潔，我們考慮和:. = I的情況。從（18）和（19）中看出，較小的 和給出更好的靈敏度

18、較低和臨界穩(wěn)定。例如，（19）說(shuō)明，增益臨界至少驀V 5這時(shí)r0.因?yàn)椋?9）式描述的平面的邊界穿過(guò)了負(fù)實(shí)軸。更小的 帶 來(lái)了高頻段更好的魯棒效應(yīng)。式（18）-（20）在低、中、高頻段的描述可用下式表示頃 Im頃 ip o,for i = f, m. hf with0- jbe+ jbt -2y .0 11i-i皿。-現(xiàn)切 _皿皿W-am +用o r1 0 其中一 :.同時(shí)，相應(yīng)的在（13）式中的LMI條件如下式給出I -Qt Pt+j Al Cl 0 J L - J toQt 一以皿hQe Cl .F 0(at-jbt)BM_(at 十如Bl3V 匝S3)_ 2棒 JM戶3用十 jbqBHA

19、iTP* + jQm 血 2可hcQik _ _q (k 2nmDL(P)- 2ym(22)AlClBl(P)1Dl(p) J-1 0 and如卜巳y。其中X和Y都是實(shí)數(shù)方陣，代表了復(fù)雜LMI的實(shí)部和虛部。如果頻率集合AK ：和 L的可行區(qū)域或全部都關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，那么直接從GKYP中得到的LMI有實(shí)參數(shù)。PID控制整體圖2我們通過(guò)一個(gè)三面扭轉(zhuǎn)系統(tǒng)的PID數(shù)字控制來(lái)介紹GKYP總體。這個(gè)設(shè)備是由三個(gè)面組 成每個(gè)面由固定在低摩擦的滾珠軸承上的易彎曲的桿上。每個(gè)桿用剛性帶和滑輪系統(tǒng)連接到 無(wú)刷伺服電動(dòng)機(jī)上來(lái)驅(qū)動(dòng)。每個(gè)桿的底端連接一個(gè)譯碼器用來(lái)測(cè)量底面的角位移，即最靠近 電機(jī)的面。因此，控制輸入u(t

20、)和測(cè)量輸出y(t)是底面的扭轉(zhuǎn)和角位移。一個(gè)不確定 的模型已經(jīng)給出：_440.5(/ + 0.748s 540)(7 + 0.7493s 3668)=+ 2002MS3 + 2.3665 1277)(中 + 1.1885 4099),(24)這個(gè)系統(tǒng)有兩個(gè)輕微衰減靈活模式，分別是3 =36是64rad/s和3 =23時(shí)的61rad/s.連續(xù)時(shí)間的PID控制整體這里的目標(biāo)是Td=0.001來(lái)設(shè)計(jì)一個(gè)連續(xù)時(shí)間的PID控制器，這里通過(guò)最下滑r，然而r1受制于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的設(shè)計(jì)細(xì)節(jié)，細(xì)節(jié)如下：況磯十削頊腫)壬肉，foraH 1 w 5, 29iL(jto) + 5,(25) 150.最小化r1意味著

21、在低頻段將靈敏度降低最大化(因?yàn)樽顑?yōu)值r1是負(fù)的)。第二個(gè)不等式要求臨界增益至少6dB，第三區(qū)域參考高頻下有魯棒特性要求。它證明最優(yōu)化 控制有PD結(jié)構(gòu)，因?yàn)槠矫嬗蟹e分器。為了保證重要的干擾衰減，我們?cè)黾恿肆硪粋€(gè)限制，。最終，我們得到這樣一個(gè)控制器門(mén) “C010.0645s“K(s) = 0.4489 H ,(26)s 1 0.001sr1的最優(yōu)化值為-4.540.盡管控制器（26）能夠符合所有的細(xì)節(jié)。奈奎斯特曲線繪制描繪了兩個(gè)大圓，兩個(gè)大圓 的頻率范圍包括兩個(gè)容易實(shí)現(xiàn)的平面模式，在圖（2） a中紅色曲線表示。為了減少可行模 式的振蕩，我們考慮一個(gè)額外的細(xì)節(jié)來(lái)減少圓的尺寸。特別的，我們?cè)黾恿讼拗?/p>

22、 r| X2， for all 30 w 150.其中c=1.5-0.5j，當(dāng)r1=-3時(shí)最小化r2.注意，r2是奈奎斯特曲線下圓盤(pán)的半徑，曲線要 求符合給定的頻率范圍。完成這些細(xì)節(jié)的話，PID最優(yōu)控制器如下：心十010-0391 s（s）= +V + 1 + 0.001s（）在圖2b中的奈奎斯特曲線中展示的圖更小了，想期望的一樣。離散化下的數(shù)字控制器我們現(xiàn)在數(shù)字控制器PID是通過(guò)將連續(xù)時(shí)間PID控制器離散化。我們首先按照式（25） 設(shè)計(jì)一個(gè)連續(xù)控制器，這時(shí)第三個(gè)限制被放寬至：ILI 湖 I ISO.最優(yōu)化控制器變?yōu)椋?.27710.07605(28)Kjs) = 0.42071-s 1 0.

23、001sPID數(shù)字控制器是通過(guò)將離散化得到的，使用的是突斯汀轉(zhuǎn)換，即1.1 一 I L - I |，采樣時(shí)間為 T=0.01,0.02 和 0.03.圖 3a 展示了數(shù)字反饋系統(tǒng)的階躍響應(yīng)變差。特別的，T=0.003時(shí)的響應(yīng)是振蕩和設(shè)計(jì)是不穩(wěn)定的。我們需要改 變?cè)O(shè)計(jì)細(xì)節(jié)來(lái)符合采樣時(shí)間的改變?nèi)ケ苊獯蟛蓸訒r(shí)間下不理想的振蕩。然而，這讓系統(tǒng)結(jié)構(gòu)適應(yīng)設(shè)計(jì)細(xì)節(jié)很難實(shí)現(xiàn)。我們使用基于5變換的GKYP定理的方法 來(lái)代替。離散時(shí)間控制器整體我們直接地使用0變換的GKYP定理將0趨于開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)的奈奎斯特曲線塑型來(lái)設(shè)計(jì) 數(shù)字PID控制器。開(kāi)環(huán)傳遞函數(shù)由:： 給出，其中 表示0區(qū)域下零 階保持等價(jià)的不連續(xù)平面，是

24、被設(shè)計(jì)的PID控制器。盡管和 是不一樣的函數(shù)，我們使用相同的符號(hào)Kd。0域下的PID控制器由（29）式給出(29)玦 0）：=加 + 亨 + Q一* 件1 5, kl 150,我們的目標(biāo)是得到一個(gè)數(shù)字PID控制器，能夠最優(yōu)化低頻時(shí)的靈敏度降低等級(jí)，同時(shí)保 持高頻時(shí)的臨界穩(wěn)定和魯棒效應(yīng)，整體進(jìn)程和連續(xù)時(shí)間情況下相同。我們最優(yōu)化r來(lái)服從細(xì)for allfor allfor all卅切0） &切0） 0,0,乙：=diag(T Pa + 中丁 Q” n、 (30)其中 是由定理2定義的矩陣，現(xiàn)在由參數(shù)：。決定。我們考慮每一個(gè) 的情況都是。 的有理函數(shù)。我們假設(shè)結(jié)構(gòu)P.=5尊,嶗， (3D其中A&是一

25、個(gè)給定的。的有理矩陣，此時(shí)P和Q使和。無(wú)關(guān)的。在式(30)中，P和q 不必須是有理的，因此，P和口烏的嚴(yán)格要求能夠會(huì)引出討論。式(30)可以這樣寫(xiě)N必0、 0,(32)S := diag(tT P + 4 Q ，Ma ：= & diagGV, A4，I).(33)讓M和.代替M和N即= Mm + (Mu AfjV (o)(A123V(ff) M22)MmAtj = Nu + (N? N3 A(cr )(N23 () N22 Nk t (34)其中 和是。的任何矩陣值參數(shù)，那么，使用【20】中的定理10,我們有以下結(jié)論。定理3考慮式(30)中的不等式，其中 是向量。的一個(gè)矩陣值有理函數(shù)，O的值由

26、集合r -給出。讓有理矩陣 給出并在(33)中定義 。讓 和 為一些修正的系數(shù) 矩陣MH和氣和一些矩陣值函數(shù)A(s)和V(。)，那么，存在式(31)的有理矩陣已和Qh滿足式(30)，這時(shí)，且存在唯一的矩陣P、Q、X、Y如下式MX 0,V 1V IV o,A 1A ly T 胃 + W丁 ，H,(35)(36)(37)(38)Y:=diag(q), for all V c Vh for all A g A,其中M和N是由 和給出的常規(guī)矩陣，和 由下式定義:A := (A(a) : a g E |s V := V(cr) : a g E ).當(dāng)不確定的集合E是實(shí)數(shù)并且由變化超過(guò)給定間隔的獨(dú)立參數(shù)組

27、成集合E能夠標(biāo)準(zhǔn) 化成向量集合，每一個(gè)的量級(jí)都小于或等于另一個(gè).不確定矩陣是一個(gè)典型的，重復(fù)的對(duì) 角線矩陣，即蘭=.二婦，其中每一個(gè) 的量級(jí)都被標(biāo)準(zhǔn)化至小于或等于另一個(gè).這種情況下，式(38)中限制能夠強(qiáng)制一個(gè)確定的結(jié)構(gòu)體滿足y或考慮頂點(diǎn)條件.例如, 衡量(21)中的(D,G),(38)中的限制可以被下式替換：= g 第、D = D*0，G + G*=0,其中D和G有一個(gè)結(jié)構(gòu)體能夠和 交換.限制(38)能夠被頂點(diǎn)條件限制：Ajt J Ajc 1+ 0, for all t = 1,2,. .并且.其中是的頂點(diǎn),m是至高點(diǎn)的數(shù)字，是矩陣的左上部分.這些頂點(diǎn)結(jié)果和它們的擴(kuò)展都以LFT檢測(cè)22和二次

28、分離器2223,全平頭乘法器24,積分二次限 制25被介紹.到現(xiàn)在為止，我們展示了一個(gè)魯棒FDI條件被簡(jiǎn)化至LMIs在一定概念程度上.為了計(jì)算,我們考慮 和線性關(guān)系的情況。給出實(shí)現(xiàn)的方程。在這種情況下，它也許能合理找 到和。通過(guò)一個(gè)線性基點(diǎn)方程，因此考慮刊宙=一 Hi 也M=A，5 + MAAS（3?）它能被證實(shí)式（34）中 和被實(shí)現(xiàn)，下式給出:=di&g(M，Np, I),V := diag(A, A, ),0 -N := 0 AS_ 00 _0 AVI 0 _(40)(41)(42)為了魯棒整體，我們考慮要求（9）-（11），其中和和線性設(shè)計(jì)參數(shù)。向量P和上 呈線性關(guān)系。這種情況下，和 由（39）式給出，結(jié)合一下條件:這些要求是魯棒地滿足參數(shù)擾動(dòng)三，如果定理3中的條件滿足由（40）和（41）定義的 和這些條件是二次的，是根據(jù)由得到的二次項(xiàng)得到的參數(shù)矩陣和得到的。因此，條件能夠通過(guò)舒爾補(bǔ)充使設(shè)計(jì)參數(shù)P線性化。這個(gè)設(shè)計(jì)難題能被方程 轉(zhuǎn)化為L(zhǎng)MI問(wèn)題。魯棒PID控制整體為了說(shuō)明以上的方法，我們考慮下式的兩個(gè)平面集合:U3)(44)10(8 +1)(# (1 a)s + 10