隨機過程理論：05 功率譜密度和白噪聲過程

1、青春 塞繆爾厄爾曼青春不是年華，而是心境；青春不是桃面、丹唇、柔膝，而是深沉的意志、恢宏的想像、熾熱的感情；青春是生命的深泉在涌流。青春氣貫長虹，勇銳蓋過怯弱，進取壓倒茍安。如此銳氣，弱冠后生有之，耳順之年亦多見。年歲有加，并非垂老；理想丟棄，方墮暮年。歲月悠悠，衰微只及肌膚；熱忱拋卻，頹唐必致靈魂。憂煩、惶恐、喪失自信，定使心靈扭曲，意氣如灰。無論年屆花甲，抑或二八芳齡，心中皆有生命之歡樂，奇跡之誘惑，孩童般天真久盛不衰。人的心靈應(yīng)如浩淼翰海，只有不斷接納美好、希望、歡樂、勇氣和力量的百川，才能青春永駐、風(fēng)華長存。一旦心?？萁?，銳氣便被冰雪覆蓋，玩世不恭、自暴自棄油然而生，即便年方二十，實已

2、垂垂老矣；然則只要虛懷若谷，讓喜悅、達觀、仁愛充盈其間，你就有望在八十高齡告別塵寰時仍覺年輕。平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度 白噪聲隨機過程主講人：張有光電 話：82314978辦公室：新主樓F806第五講：主要內(nèi)容一、平穩(wěn)過程的功率譜密度二、譜密度與自相關(guān)函數(shù)三、平穩(wěn)過程的互譜密度四、白噪聲過程一、平穩(wěn)過程的功率譜密度 能量型信號 信號的頻譜 信號的能譜 功率型信號 平均功率的譜表示和功率譜密度 平穩(wěn)過程的功率譜密度1、能量型信號能量型信號 其中，s(t)為信號，W為總能量。2、信號的頻譜在的情況下，能量型信號s(t)的傅里葉變換存在，即 稱F()為信號s(t)的頻譜。？3、信號的能譜密度能量型信

3、號的能譜E()為由巴塞伐爾等式，可得到能量守恒！信號的總能量信號的能譜密度4、功率型信號能量無限，平均功率有限的信號稱為功率型信號, 即Ps為信號的平均功率。5、平均功率的譜表示功率型信號不滿足絕對可積條件為了能夠利用傅里葉變換給出平均功率的譜表示式，構(gòu)造截尾函數(shù)：平均功率的譜表示sT(t)能夠滿足絕對可積條件， sT(t)的頻域結(jié)構(gòu)sT(t)的平均功率：平均功率的譜表示由巴塞伐爾等式，可得到兩邊同除以2T，并由截尾函數(shù)的定義，得到平均功率的譜表示令T趨于無窮，功率型信號s(t)在 (-, )上的平均功率可表示為功率型信號的平均功率譜密度功率譜密度功率型信號的平均功率譜密度，簡稱功率譜密度，定

4、義為：6、平穩(wěn)過程的功率譜密度平穩(wěn)隨機過程的樣本函數(shù)是功率型的為平穩(wěn)過程X(t)的平均功率。定義6、平穩(wěn)過程的功率譜密度由于平穩(wěn)隨機過程的均方值是常數(shù)平穩(wěn)過程的功率譜密度定義 為平穩(wěn)隨機過程X(t)的功率譜密度。這樣，Px又可以寫成平均功率譜的表達式平穩(wěn)過程的功率譜密度 為雙邊功率譜密度，但在實際應(yīng)用中，負(fù)頻率不存在，故引入 單邊譜密度二、譜密度與自相關(guān)函數(shù)1、功率譜密度與自相關(guān)函數(shù)2、功率譜密度的兩種定義3、功率譜密度的性質(zhì)1、譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系平穩(wěn)隨機過程的功率譜密度是它的自相關(guān)函數(shù)的傅立葉變換：由于是實函數(shù)譜密度與自相關(guān)函數(shù)的關(guān)系由傅里葉逆變換公式，有上述兩式統(tǒng)稱為 維納-辛欽公式

5、返回注釋：對比“信號與系統(tǒng)”中維納辛欽公式2、功率譜密度兩種定義的等價條件對于第一種定義，將其展開功率譜密度兩種定義的等價條件通過變量置換，最后得到：只要則上式中第二項為零，故此時平穩(wěn)隨機過程在自相關(guān)函數(shù)絕對可積的情況下，維納-辛欽公式成立。此時功率譜密度的兩種定義等價。功率譜密度兩種定義的等價條件功率譜的意義3、功率譜密度的性質(zhì)若過程X(t)是實平穩(wěn)的，則自相關(guān)函數(shù)是實偶函數(shù)，因此功率譜密度也是實偶函數(shù)，即證明：功率譜密度的性質(zhì)由于R()和S()都是偶數(shù)，于是維納-辛欽公式還可以寫成：例 2.4-1設(shè)隨機相位余波 的功率譜密度，其 是在區(qū)間 內(nèi)均勻分布.解：例 2.4-2隨機電報信號自相關(guān)函

6、數(shù)求功率譜密度例 2.4-3已知功率譜留數(shù)和應(yīng)用留數(shù)定理例 2.4-4若平穩(wěn)隨機過程功率譜三、互譜密度1、互譜密度的定義2、互譜密度的維納-辛欽公式3、互譜密度的性質(zhì)1、互譜密度的定義定義：設(shè)隨機過程X(t)和Y(t)是聯(lián)合平穩(wěn)的，則定義互譜密度為2、互譜密度的維納-辛欽公式隨機過程X(t)和Y(t)的互譜密度是它們的互相關(guān)函數(shù)RXY()的傅里葉變換：2、互譜密度的維納-辛欽公式當(dāng)若X(t)是一個二端電壓、Y(t)是流經(jīng)該器件的電流，則上式左邊就是消耗的功率。兩個正交隨機過程性質(zhì)隨機過程X(t)和Y(t)正交此時有：隨機過程X(t)和Y(t)正交3、互譜密度的性質(zhì)1）2）3）奇函數(shù)偶函數(shù)先證明

7、：令：互譜密度函數(shù)不是實的、正的偶函數(shù)從定義和施瓦茨不等式3)四、白噪聲過程1、白噪聲過程的定義2、白噪聲過程的自相關(guān)函數(shù)3、白噪聲的相關(guān)系數(shù)1、白噪聲過程的定義若一個均值為零的平穩(wěn)過程 具有恒定功率譜密度則稱W(t)為白噪聲過程,其中N0表示單邊功率譜密度相當(dāng)于信號與系統(tǒng)中的脈沖函數(shù)2、白噪聲過程的自相關(guān)函數(shù)根據(jù)維納-辛欽公式，白噪聲過程的自相關(guān)函數(shù)：2、白噪聲過程的自相關(guān)函數(shù)白噪聲的自相關(guān)函數(shù)和功率譜密度3、白噪聲過程的相關(guān)系數(shù)白噪聲的相關(guān)系數(shù)：可見白噪聲在任意兩個相鄰時刻的取值都不相關(guān)。換句話說，白噪聲隨時間的起伏變化較快，頻域來說頻譜很寬。注釋：白噪聲平均功率白噪聲是一種理想化的數(shù)學(xué)模型，在物理上不可實現(xiàn)，因為按照白噪聲的定義它的平均功率是無限大。 由于白噪聲數(shù)學(xué)表述上的簡潔性，是很多物理現(xiàn)象的一種近似。如電子管中的散彈噪聲，通信傳播中的信道干擾。顯然白噪聲是各態(tài)歷經(jīng)過程，它可以看成是大數(shù)定律中隨機序列推廣到連續(xù)時間的情形。4、非白噪聲非白噪聲成為有色噪聲，或相關(guān)噪聲，其功率譜密度：其功率譜密度不再是均勻的，而是頻率