離散時間信號處理：第2章 離散時間系統(tǒng)變換域分析(1-3)

1、北京航空航天大學204教研室 孫國梁1第二章離散時間系統(tǒng)變換域分析2.1 序列的傅立葉變換2.2 Z變換及其性質2.3 系統(tǒng)函數(shù)及頻率響應2.4 LTI系統(tǒng)幅相特性分析北京航空航天大學204教研室 孫國梁2定義？基本序列的DTFT?DTFT的主要性質？2.1序列傅立葉變換(DTFT)北京航空航天大學204教研室 孫國梁3一、DTFT及逆變換定義序列的傅立葉變換（DTFT)用來表示離散時間非周期信號及其傅立葉頻譜之間的關系：正變換：反變換:由于三角函數(shù)的周期性，反變換右邊的積分區(qū)間可以為任何一個周期區(qū)間。 北京航空航天大學204教研室 孫國梁4二、DTFT反變換推導北京航空航天大學204教研室

2、孫國梁5（一）單位沖激序列（二）單位常數(shù)序列（三）單位階躍序列（四）指數(shù)序列三、典型序列的傅立葉變換：矩形窗的DTFT北京航空航天大學204教研室 孫國梁6北京航空航天大學204教研室 孫國梁7四、序列傅立葉變換的主要性質1、線性2、時域平移-頻域調制3、時域調制-頻域平移4、時域翻褶北京航空航天大學204教研室 孫國梁85、時域相乘6、時域卷積7、帕塞瓦爾定理北京航空航天大學204教研室 孫國梁9共軛對稱序列：共軛反對稱序列：可以證明：共軛反對稱序列的性質如何？8、DTFT的對稱性北京航空航天大學204教研室 孫國梁10序列共軛分量的傅立葉變換與序列傅立葉變換的共軛分量的關系北京航空航天大學

3、204教研室 孫國梁11 同理可得： 結論：對實序列而言，其傅立葉變換是共軛對稱的，即：實序列的傅立葉變換的實部是偶對稱，虛部是奇對稱；幅度是偶對稱，幅角是奇對稱。 北京航空航天大學204教研室 孫國梁12北京航空航天大學204教研室 孫國梁13北京航空航天大學204教研室 孫國梁142.2 Z變換及性質一、Z變換定義二、Z變換收斂域三、Z變換性質定理四、Z反變換北京航空航天大學204教研室 孫國梁15設序列為x(n)，則冪級數(shù)：稱為序列x(n)的Z變換，其中z為變量。也可記作：當冪級數(shù)收斂時，Z變換才有意義。Z變換收斂的所有z值的集合稱為收斂域。在收斂域內，Z變換處處解析，不含任何奇異點。一

4、、Z變換定義及收斂域北京航空航天大學204教研室 孫國梁16根據級數(shù)理論，冪級數(shù)收斂的充分且必要條件是該級數(shù)絕對可和，即要求：對于不同形式的序列，其收斂域的形式亦有所不同，分類討論如下二、不同序列的收斂域 北京航空航天大學204教研室 孫國梁17X(z)為有限項級數(shù)之和，只要級數(shù)的每一項有界，則級數(shù)就是收斂的。收斂域至少包括有限Z平面1、有限長序列x(n)n北京航空航天大學204教研室 孫國梁18根據區(qū)間的不同，級數(shù)有可能在原點和無窮遠出現(xiàn)奇異點，故仍可細分為如下三種情況：1）、正半軸有限長序列，其收斂域為有限Z平面和無窮遠點；2）、負半軸有限長序列，其收斂域為有限Z平面和原點；3）、跨原點有

5、限長序列，則收斂域僅為有限Z平面；北京航空航天大學204教研室 孫國梁19第一部分若存在，則為一負半軸有限長序列，其收斂域為不包括無窮遠點的所有Z平面。第二部分是z的負冪級數(shù)，由阿貝爾定理可知，存在一個最小的收斂半徑，在此半徑外的任何點級數(shù)都絕對收斂。 2、右邊序列x(n)n北京航空航天大學204教研室 孫國梁20右邊序列Z變換的收斂域至少從某一不為零的有限半徑處向外擴張的有限Z平面；若 ，還要包括無窮遠點。 時的右邊序列又稱為因果序列，是最重要的一種右邊序列。因此，在無窮遠處收斂是因果序列的重要特征。北京航空航天大學204教研室 孫國梁21x(n)n3、左邊序列若第一部分存在，則為正半軸有限

6、長序列，其收斂域為不包括原點的所有Z平面。第二部分是z的正冪級數(shù)，由阿貝爾定理知，存在一個最大的收斂半徑 ，在此半徑內的任何點級數(shù)都絕對收斂。北京航空航天大學204教研室 孫國梁22左邊序列的收斂域至少從某一不有限半徑處向內收斂的圓形區(qū)域 ；在 時（反因果序列），還包括原點。北京航空航天大學204教研室 孫國梁234、雙邊序列在全部時軸上皆有定義的序列，可以看作左邊序列和右邊序列之和（或者因果序列與反因果序列之和）。其收斂域應該是正半軸序列與負半軸序列收斂域的重疊北京航空航天大學204教研室 孫國梁24設第一項的收斂區(qū)域為： ，第二項的收斂區(qū)域為： ； 1）、若 ,則雙邊序列Z變換的收斂域為環(huán)

7、狀區(qū)域： ； 2）、若 ，則雙邊序列Z變換在Z平面上處處不收斂。 北京航空航天大學204教研室 孫國梁25解： 這是一個無窮項等比級數(shù)求和，由比例判定法可知，只有在 ，即 時，級數(shù)收斂為：Ex:求 Z變換及收斂域。北京航空航天大學204教研室 孫國梁26 Ex:求 Z變換及收斂域。解： 這是一個無窮項等比級數(shù)求和，由比例判定法可知，只有在 ，即 時，級數(shù)收斂為：北京航空航天大學204教研室 孫國梁27結論：不同的序列其Z變換的數(shù)學表達式可以完全一致。對于一個序列而言，僅僅用其Z變換來表示是不夠充分的，必須同時給出其Z變換的收斂范圍。同一個Z變換函數(shù)，當收斂域不同時，代表時軸上性質不同的序列。對

8、于僅具有三個極點的Z變換，可以代表四種序列。如下圖所示： 北京航空航天大學204教研室 孫國梁28 北京航空航天大學204教研室 孫國梁29三、Z變換性質定理1、線性需要注意的是若參與和運算的序列在時域上不重合，則相加后的和序列的收斂域為各個序列的收斂域的交集若不滿足上述條件，則線性組合過程中兩個序列Z變換的零、極點可能會互相抵消，導致收斂域的擴大。北京航空航天大學204教研室 孫國梁302、序列的移位序列的移位僅對有限長、單邊序列（左邊序列、右邊序列）在原點和無窮遠點處的是否收斂有影響。對于雙邊序列，由于它的收斂域為環(huán)形域，不包括原點和無窮遠點，所以收斂域不發(fā)生變化。 北京航空航天大學204

9、教研室 孫國梁31在尺度變換中，若a為實數(shù)，則零、極點在Z平面上沿徑向運動；若a為單位復數(shù)，則零、極點在以原點為圓心的園上旋轉；若a為任意復數(shù)，則零、極點既有徑向伸縮，又有角度旋轉。3、Z域尺度變換北京航空航天大學204教研室 孫國梁324、序列線性加權（Z域求導）序列的線性加權對收斂域的影響與序列的移位相類似，僅對有限長、單邊序列（左邊序列、右邊序列）在原點和無窮遠點的是否收斂有影響。對于雙邊序列，由于它的收斂域為環(huán)形域，不包括原點和無窮遠點，所以收斂域也不發(fā)生變化。北京航空航天大學204教研室 孫國梁335、共軛序列此處要注意，原序列Z變換極點的共軛是共軛序列Z變換的極點。由于共軛關系僅關

10、于X軸對稱，不影響極點矢徑的長度，因而不改變收斂半徑和收斂域。北京航空航天大學204教研室 孫國梁346、序列翻褶序列的翻褶導致Z變換的收斂域以單位圓為基準作了鏡像映射北京航空航天大學204教研室 孫國梁357、初值定理（因果序列）北京航空航天大學204教研室 孫國梁368、終值定理若序列為因果序列，并且極點處于單位圓以內（若恰好在單位圓上，則最多可在z=1處有一階極點），則：北京航空航天大學204教研室 孫國梁37北京航空航天大學204教研室 孫國梁389、時域累加（因果序列）北京航空航天大學204教研室 孫國梁3910、時域卷積和若時域為卷積和，則Z域是相乘，乘積的收斂域是X(z)收斂域和

11、H(z)收斂域的交集。需要注意的是，上述結論是在兩個卷積和序列無零、極點對消的情況下才成立。若出現(xiàn)零、極點對消，則收斂域將會擴大。 利用卷積和定理，可以求得LTI系統(tǒng)的響應北京航空航天大學204教研室 孫國梁4011、時域相乘（Z域復卷積）北京航空航天大學204教研室 孫國梁41 證明：北京航空航天大學204教研室 孫國梁42為了使復卷積數(shù)學意義明顯，令圍線為一個以原點為圓心的圓，即： 則復卷積公式變?yōu)椋河捎诜e分是在 到 的周期上進行的，所以稱為周期卷積。 北京航空航天大學204教研室 孫國梁4312、帕塞瓦定理北京航空航天大學204教研室 孫國梁44 若積分圍線取為單位圓，即： 則有： 再進

12、一步，若令 ，則有： 上式表明：時域中序列的能量與變換域中頻譜的能量是一致的。 北京航空航天大學204教研室 孫國梁45從給定的Z變換及其收斂域中還原出原始序列x(n)，稱為Z反變換Z反變換的實質是求X(Z)的冪級數(shù)展開式，通常有三種方法：長除法、部分分式法、留數(shù)法（圍線積分法）。四、Z反變換北京航空航天大學204教研室 孫國梁46部分分式法在實際應用中，一般X(z)是z的有理分式：A(z)及B(z)都是變量z的實系數(shù)多項式，并且沒有公因式，則可展成部分分式形式北京航空航天大學204教研室 孫國梁47例題： 求x(n)解：由可知有兩個一階極點， 可展成由所給的收斂域可知，對應第一極點z1=2為

13、反因果序列，對應第二極點z2=0.5為因果序列,所以原始序列為：北京航空航天大學204教研室 孫國梁48作業(yè)：2.82.112.172.443.1(b)、(g) 3.3 3.43.6(c) 3.93.28 2.3.1 LTI的系統(tǒng)函數(shù)北京航空航天大學204教研室 孫國梁49一、 系統(tǒng)函數(shù)定義LTI系統(tǒng)可以由其單位沖激響應來完整表示，即：H(z)描述了系統(tǒng)輸入輸出之間的關系，稱之為傳遞函數(shù)或系統(tǒng)函數(shù)。北京航空航天大學204教研室 孫國梁50線性時不變系統(tǒng)穩(wěn)定的充分必要條件是：系統(tǒng)的單位沖激響應絕對可和如果系統(tǒng)函數(shù)的收斂域包括單位圓，則系統(tǒng)是穩(wěn)定的，反之亦成立；即系統(tǒng)的頻率響應存在且連續(xù)。二、 系

14、統(tǒng)函數(shù)與因果、穩(wěn)定性的關系北京航空航天大學204教研室 孫國梁51對于因果系統(tǒng)而言，其收斂域： 。LTI因果穩(wěn)定的充分必要條件是：收斂域必須包括單位圓及單位圓外的所有區(qū)域，系統(tǒng)函數(shù)的全部極點必須在單位圓內部。 ZS不穩(wěn)定穩(wěn)定北京航空航天大學204教研室 孫國梁52常系數(shù)線性差分方程處于零狀態(tài)時，可描述線性時不變系統(tǒng)。系統(tǒng)函數(shù)為：三、系統(tǒng)函數(shù)與差分方程的關系結論差分方程和系統(tǒng)函數(shù)的系數(shù)對應；僅由差分方程得來的系統(tǒng)函數(shù)并沒有給定收斂域，因而可代表不同的系統(tǒng)；差分方程并不唯一地確定一個LTI系統(tǒng)的單位抽樣響應,需要有相應的邊界條件；系統(tǒng)函數(shù)實際上僅描述了系統(tǒng)在零狀態(tài)下的情況，即可以用于解決零狀態(tài)的常

15、系數(shù)線性差分方程，對于非零狀態(tài)則無法解決北京航空航天大學204教研室 孫國梁53北京航空航天大學204教研室 孫國梁54單邊Z變換系統(tǒng)函數(shù)實際上僅僅描述了系統(tǒng)在零狀態(tài)下的情況，即可以用于解決零狀態(tài)的常系數(shù)線性差分方程，對于非零狀態(tài)則無法解決。主要原因在于采用的是雙邊Z變換。為了能夠完整地解決系統(tǒng)的非零狀態(tài)解的問題，將對雙邊Z變換進行變形，構成單邊Z變換,如下：北京航空航天大學204教研室 孫國梁55其時移特性如下：北京航空航天大學204教研室 孫國梁56單邊Z變換的時移特性比雙邊Z變換的時移特性復雜，但卻可以用來解決差分方程非零狀態(tài)的問題。 Ex:求解差分方程： 其中： 初始條件為： 。 解：

16、對差分方程兩邊同時進行單邊Z變換，得到：北京航空航天大學204教研室 孫國梁57將初始條件代入后可得：所以：2.3.2 頻率響應同樣道理北京航空航天大學204教研室 孫國梁581、單位圓上的系統(tǒng)函數(shù)是頻率響應。2、傳遞函數(shù)存在，頻率響應未必存在；3、任意信號通過LTI系統(tǒng)不會產生新頻率分量。一、LTI對信號頻譜的作用北京航空航天大學204教研室 孫國梁59設LTI輸入的復指數(shù)序列為： 1、輸出信號與輸入為同頻信號， 2、輸出信號幅度受頻率響應的幅值加權， 3、輸出信號相位為輸入信號的“相位”與系統(tǒng)相位響應之和頻譜及頻率響應的再解釋信號的頻率分量（DTFT再解釋）北京航空航天大學204教研室 孫

17、國梁601、輸入信號可看作在頻域上分段劃分的許多個復指數(shù)分量信號2、系統(tǒng)響應是系統(tǒng)對輸入信號的每一個復指數(shù)分量響應之和北京航空航天大學204教研室 孫國梁61輸入為正、余弦信號設由復信號的情況，則得系統(tǒng)的輸出為：北京航空航天大學204教研室 孫國梁62假設 是實序列，則 滿足共軛對稱條件， 幅度 為偶對稱，相角 為奇對稱。所以有：增益和群延遲的理解北京航空航天大學204教研室 孫國梁63北京航空航天大學204教研室 孫國梁64北京航空航天大學204教研室 孫國梁65式中 是系統(tǒng)的零點， 是系統(tǒng)的極點，它們都由差分方程的系數(shù) 和 決定。另外也可以看出，除比例常數(shù)K以外，系統(tǒng)函數(shù)完全由它的全部零點、極點來確定。二、系統(tǒng)零極點與頻率響應的關系幅度響應原點處的零、極點對幅度響應無任何影響。經過單位圓上的一個零點，幅度響應就變?yōu)榱?，經過靠近單位圓的零點則會出現(xiàn)谷點；經過單位圓附近的極點時幅度響應就會出現(xiàn)峰點遠離極點和零點的區(qū)域幅度特性會比較平坦相位響應北京航空航天大學204教研室 孫國梁67原點處的零、極點對相位響應為線性作用，極點為正群延遲（滯后），零點為負群延遲（超前）。單位圓內部的零點或極點會造成相位的連續(xù)增長或變化，而單位圓外的零極點對相位的影響則隨頻率周期性變化歸零靠近單位圓的零點和極點會造成相位的劇烈變化，導致較大的群延遲；遠離極