《現(xiàn)代數(shù)值計算》課件4.5 Gauss求積公式

1、4.5 Gauss求積公式4.5.3 Gauss求積公式的余項與穩(wěn)定性4.5.2 常用Gauss求積公式4.5.1 Gauss求積公式的基本理論4.5 Gauss求積公式學習目標：掌握高斯求積公式的用法。會用高斯勒讓德求積公式。 前面我們限定把積分區(qū)間的等分點作為求積節(jié)點,從而構造出一類特殊的插值求積公式，即NewtonCotes公式。這種做法雖然簡化了算法，但卻降低了所得公式的代數(shù)精度。例如：在構造形如 的兩點積分公式時，如果限定求積節(jié)點 ，那么所得插值型求積公式 ，其代數(shù)精度僅為1。 （*）但是，如果我們對公式（*）中系數(shù) 和節(jié)點 都不加限制，那么就可以適當選取 使所得公式的代數(shù)精度 m1

2、。 事實上，若要求（*）對f(x)=1，x都準確成立，只要 滿足方程組：由第二式和第四式可得結合第一式和第三式得易驗證，這是代數(shù)精度為m=3的插值型求積公式。代入（*）得：取得 由上例可知，在節(jié)點數(shù)目固定為n 的條件下，可以通過適當選取求積節(jié)點xk的位置以及相應的求積系數(shù)Ak，使機械求積公式具有盡可能高(最高2n+1)的代數(shù)精度。 當求積系數(shù)Ak、求積節(jié)點xk都可以自由選取時,其代數(shù)精確度最高可以達到多少次? 下面的引理可以回答上述問題.(4.5.1)考慮帶權求積公式引理4.5.1 當求積系數(shù)Ak、求積節(jié)點xk都可以自由選取時, n點的求積公式(4.5.1)的代數(shù)精確度最高可以達到2n+1次.

3、怎樣適當選擇求積系數(shù)Ak、求積節(jié)點xk ，使求積公式的代數(shù)精度達到最高，在上面的例子中討論了一種方法-待定系數(shù)法。定義4.5.1 如果求積公式（4.5.1）具有2n+1次代數(shù)精度, 則稱該公式為Gauss型公式。稱其節(jié)點 為Gauss點.例4.5.1 確定下列求積公式中的待定參數(shù)，使其代數(shù)精度盡量高.(4.5.5)解: 在構造形如 的兩點公式時,如果限定求積節(jié)點,那么所得插值求積公式 的代數(shù)精度僅為1。但是,如果對式(4.5.5)中的系數(shù) 和 節(jié)點 都不加限制，由引理1知就可適當選取 和 ,使所得公式的代數(shù)精度m1(最高為n-1=3)。即求積公式(4.5.2)對函數(shù) 都準確成立，只要 和 滿足

4、方程組 由第二式和第四式可得 ，結合第一式和第三式得 取 得代入(4.5.5)即得(4.5.6)可以驗證，所得公式（4.5.6）是具有3次代數(shù)精度的求積公式。 例4.5.1是直接利用代數(shù)精度的概念去求n+1個Gauss點和n+1個求積系數(shù)，即對于插值型求積公式(4.5.2), 分別取 f(x)=1, x, x2, x3, x2n+1, 用待定系數(shù)法來確定參數(shù)xk和Ak ,(k=0,1,n)從而構造n+1個點高斯求積公式。但是，這種做法是要聯(lián)立求解一個包含2n+2個未知數(shù)的非線性方程組，方程組是可解的，但當n稍大時，解析的求解就很難，數(shù)值求解非線性方程組也不容易。其計算工作量是相當大的。另一類較

5、簡單的方法是：先利用區(qū)間a,b上的n+1次正交多項式確定高斯點 xk a,b, (k=0,1,n) (2) 然后利用高斯點確定求積系數(shù)Ak ,(k=0,1,n) 下面從分析Gauss點的特性著手研究Gauss公式的構造問題 。插值求積公式節(jié)點一經確定，相應的求積系數(shù)就確定了，定理 4.5.1 對于插值求積公式(4.5.1),其節(jié)點 是Gauss點的充分必要條件是以這些點為零點的多項式 與任意不超過n次的多項式 P(x)帶權正交,即 （4.5.7）由于n+1次正交多項式與比它次數(shù)低的任意多項式正交，并且n+1次正交多項式恰好有n+1個互異的實的單根，我們有下面的推論。推論4.5.2 n+1次正交

6、多項式的零點是n+1個Gauss公式的Gauss點。 推論4.5.2實際上給出了構造Gauss型求積公式的一種方法. 這種方法,當給定了積分區(qū)間a,b和權函數(shù)(x)以后構造n+1個點的Gauss型求積公式. 先求出區(qū)間a,b上帶權函數(shù)(x)的n+1次正交多項式Pn(x) ,然后用多項式求根的方法求出Pn(x)的n+1個根 xk (k=0,1,n)從而獲得了求積節(jié)點xk ( k = 0, 1, , n). 為了求得求積系數(shù)Ak (k=0,1,n) ,將n+1個求積節(jié)點xk (k=0,1,n)代入方程組(4.5.4)中的前n+1個方程并加以求解,即解線性代數(shù)方程組求得求積系數(shù)Ak (k=0,1,n

7、),完成Gauss型求積公式的構造.讓我們看下一個例子討論用以上方法進行Gauss型求積公式的構造. 例 4.5.2 確定 使下列公式為Gauss公式：解 方法1 ：像例4.5.1一樣,直接由代數(shù)精度的概念構造Gauss公式。方法2：用正交多項式的零點作為Gauss點的辦法構造該Gauss公式。先構造區(qū)間0，1上權函數(shù) 的正交多項式 這里我們直接用正交性求解。設 則由得a=-2/5.由由此解得 從而得到Gauss求積公式。由得b=-8/9，從而得c=-8/63。由 的零點按代數(shù)精度的概念，分別令f (x)=1，x時公式準確成立，得4.5.2 常用Gauss求積公式1.GaussLegendre

8、求積公式不失一般性，可取a-1，b1而考察區(qū)間-1，1上的高斯公式 在區(qū)間-1，1上取權函數(shù) 那么相應的正交多項式為Legendre多項式。以Legendre多項式的零點為Gauss點的求積公式為 （4.5.8）稱之為Gauss-Legendre求積公式。令它對f(x)=1準確成立。 即可得出 。這樣構造出的一點Gauss-Legendre公式是中矩形公式。若取 的零點 作節(jié)點構造求積公式Legendre多項式組:1,x,(3x2-1)/2,(5x3-3x)/2,再取 的兩個零點 構造求積公式：令它對f（x）=1，x均準確成立，即從而得兩點GaussLegendre公式：此時，公式（4.5.8

9、）即為例4.5.1所給出的公式。當n=2時，三次Legendre多項式零點為以此為Gauss點，仿兩點Gauss-Legendre求積公式，求相應的求積系數(shù)，可構造出具有五次代數(shù)精度的3點Gauss-Legendre求積公式Guass-Legendre求積公式中的Gauss點 xk ( k = 0, 1, , n).和求積系數(shù) Ak (k=0,1,n)見表3-5。xxkAk00.00000002.000000010.57735031.000000020.77459670.00000000.55555560.888888930.86113630.33998100.34785480.6521452

10、40.90617980.53846930.00000000.23692690.47862870.5688889對于一般區(qū)間a，b上的求積，如果用Gauss-Legendre求積公式，那么務必須作變量替換對于上式右邊的積分可以應用Guss-Legendre求積公式，有：就可將求積區(qū)間a,b變換到-1,1上，這時即有 其中 即 代入（A）得：其中系數(shù) 和節(jié)點 可查表3-5得出，由變量替換公式 易見，由于求積公式（C）對變量t不高于2n+1 的多項式準確成立，從而求積公式（D）對自變量x的不高于2n+1 的多項式也準確成立，即（D）是Gauss型求積公式。 例4.5.3 用Gauss-Legendr

11、e求積公式(n=1,2)計算積分解 由于區(qū)間為0,1,所以先作變量替換x=(1+t)/2,得對于n=2,由三點Gauss-Legendre公式有令 對于n=1,由兩點Gauss-Legendre公式有容易求出定積分的精確值為 I=e-2=0.718281828，由此可見,n=1時的實際誤差為0.0063340054, n=2時的實際誤差為0.000030049。練：利用四點Gauss求積公式計算 的近似值。解：Gauss型求積公式（D）得：其中a=0，b=1.= -0.86113631，= -0.33998104，將上述各數(shù)據(jù)代入上公式中有：由表3-5，可得 優(yōu)點：在此例計算過程中，只涉及到

12、四個點上的函數(shù)值，可見Gauss型求積公式具有計算工作量小，所得近似值精確度高的優(yōu)點，是一種高精度的求積公式。 Gauss型求積公式的缺點是：當n改變大小時，系數(shù)和節(jié)點幾乎都在改變。雖然可以通過其他資料查到較大n的系數(shù)和節(jié)點，但應用時卻十分不便。同時，余項卻涉及到高階導數(shù)（被積函數(shù)的），要利用它們來控制精度也十分困難。 為克服這些缺點，在實際計算中較多地采用復合求積的方法。例如，先把積分區(qū)間 分成m個等長的小 區(qū)間 然后，在每個小區(qū)間上使用同一低階（如二點的，三點的， ）高斯型求積公式算出積分近似值，再相加即將積分 的近似值： 其中， 由查表可得。同時在實際計算中，還常用相鄰兩次計算結果 和

13、的關系式 來控制運算（當 時，相當于相對誤差）即算出 后，觀察 是否成立，以判定是否終止計算。可據(jù)此編程計算。以此為Gauss點,利用Chebyshev多項式的性質可得相應的求積系數(shù) 為其中 是關于Gauss點的Lagrange插值基函數(shù).從而有Gauss-Chebyshev求積公式:2.Guass-Chebyshev求積公式 在區(qū)間-1,1上取權函數(shù) 的正交多項式是Chebyshev正交多項式。n+1次Chebyshev多項式 的零點為 (4.5.9)對于n=1,二點Gauss-Chebyshev求積公式為對于n=2,三點Gauss-Chebyshev求積公式為例4.5.4 計算積分解 選用

14、n=2的Gauss-Chebyshev求積公式計算,這時 于是有4.5.3 Gauss求積公式的余項與穩(wěn)定性定理 4.5.2 設 ,則Guass公式(4.5.1)的余項是(4.5.10)特別地， 對于兩點Gauss-Legendre求積公式有對比Newton-Cotes求積公式,Gauss求積公式不但具有高精度,而且是數(shù)值穩(wěn)定的.Gauss公式的穩(wěn)定性之所以能夠得到保證,是由于它的求積系數(shù)具有非負性.引理4.5.2 Gauss求積公式(4.5.1)中的系數(shù) 全部為正.對于兩點Gauss-Chebyshev求積公式有在實際計算積分的近似值 時， 不能精確地取到，一般只能是近似值，設 實際求得的積

15、分值為定理 4.5.3 對于函數(shù)值的變化所引起的求積公式的誤差有(4.5.11) 由定理4.5.3可知，數(shù)據(jù)誤差對于求積公式計算值的影響是可以控制的，即Gauss求積公式在數(shù)值計算中是穩(wěn)定的。 例1：選取常數(shù)a，求使積分公式的代數(shù)精度盡量高，并問其代數(shù)精度為幾次？解：取f(x)=1.則對上求積公式，左端f(x)=x. 則 ，左端= 綜合舉例:令左端=右端左端=再取故，當取時，求積公式具有3次代數(shù)精度。例2 若用復化梯形公式計算積分問積分區(qū)間要多少等分才能保證有6位有效數(shù)字？ 解：由復化梯形公式截斷誤差式知由于該積分有一位整數(shù)，所以要求使近似積分有6位有效數(shù)字，只需取n滿足：（有效數(shù)字定義見第一

16、章，表示不超過某一位數(shù)字的一半）即即 因此，至少要將0，1區(qū)間212等分。若將同一問題改為復化Simpson公式，則由復化Simpson公式截斷誤差式同樣可得： 由此可見，Simpson公式復化型比復化梯形公式計算量少得多。 的近似值，要求誤差例3 用Romberg求積法計算解：此時積分限為a=0,b=1.而 (本例主要說明Romberg過程） 如此繼續(xù)算得：由于 這個實例表明,Romberg求積法計算過程不便于手工計算，但由于計算程序具有規(guī)律性，不必存儲求積系數(shù)和節(jié)點，而且精度較高，因此適合于在電子計算機上進行計算。 用Romberg方法計算時，是把區(qū)間逐次分半的，因此有時稱該法為逐次分半加

17、速法。例4 構造三個節(jié)點的Gauss-Legendre求積公式，并給出余項估計式。 解：由于三次Legendre多項式為：其三個零點分別為：令它對準確成立則三點Gauss-Legendre求積公式為：余項為：（節(jié)點數(shù)）例如，若要計算的近似值，則由上積分公式得：上述積分準確值為：若利用三點Simpson求積公式。則可見在節(jié)點數(shù)目相同的情況下，Gauss求積公式的精度是相當高的。例5 給出計算積分的兩點計算 公式， 使得對f(x)為三次多項式時精確成立。 解：設取 為二次多項式，對w（x） 上式應精確成立：顯然 則但因而 即不妨令 且 于是令積分公式對f（x）=1，x準確成立 得：解之得a=b=故所求積分公式為：顯然，由上述過