高中數學數學歸納法的應用檢測試題（附答案）

1、高中數學數學歸納法的應用檢測試題附答案題目高中數學復習專題講座數學歸納法的解題應用高考要求數學歸納法是高考考察的重點內容之一類比與猜測是應用數學歸納法所表達的比較突出的思想，抽象與概括，從特殊到一般是應用的一種主要思想方法重難點歸納1數學歸納法的根本形式設Pn是關于自然數n的命題，假設1Pn0成立奠基2假設Pk成立kn0，可以推出Pk+1成立歸納，那么Pn對一切大于等于n0的自然數n都成立2數學歸納法的應用詳細常用數學歸納法證明恒等式，不等式，數的整除性，幾何中計算問題，數列的通項與和等典型題例示范講解例1試證明不管正數a、b、c是等差數列還是等比數列，當n1,nN*且a、b、c互不相等時，均

2、有an+cn2bn命題意圖此題主要考察數學歸納法證明不等式知識依托等差數列、等比數列的性質及數學歸納法證明不等式的一般步驟錯解分析應分別證明不等式對等比數列或等差數列均成立，不應只證明一種情況技巧與方法此題中使用到結論 akckac0恒成立a、b、c為正數，從而ak+1+ck+1akc+cka證明 1設a、b、c為等比數列，a= ,c=bqq0且q1an+cn= +bnqn=bn +qn2bn2設a、b、c為等差數列，那么2b=a+c猜測 nn2且nN*下面用數學歸納法證明當n=2時，由2a2+c2a+c2，設n=k時成立，即那么當n=k+1時， ak+1+ck+1+ak+1+ck+1 ak+

3、1+ck+1+akc+cka= ak+cka+c k = k+1也就是說，等式對n=k+1也成立由知，an+cn2bn對一切自然數n均成立例2在數列an中，a1=1，當n2時，an,Sn,Sn 成等比數列1求a2,a3,a4，并推出an的表達式；2用數學歸納法證明所得的結論；3求數列an所有項的和命題意圖此題考察了數列、數學歸納法、數列極限等根底知識知識依托等比數列的性質及數學歸納法的一般步驟采用的方法是歸納、猜測、證明錯解分析 2中，Sk= 應舍去，這一點往往容易被無視技巧與方法求通項可證明 是以 為首項， 為公差的等差數列，進而求得通項公式解an,Sn,Sn 成等比數列，Sn2=anSn

4、n *1由a1=1,S2=a1+a2=1+a2,代入*式得:a2=由a1=1，a2= ,S3= +a3代入*式得a3=同理可得a4= ,由此可推出an=2當n=1,2,3,4時，由*知猜測成立假設n=kk2時，ak= 成立故Sk2= Sk 2k32k1Sk2+2Sk1=0Sk= 舍由Sk+12=ak+1Sk+1 ,得Sk+ak+12=ak+1ak+1+Sk 由知，an= 對一切nN成立3由2得數列前n項和Sn= ,S= Sn=0例3是否存在a、b、c使得等式122+232+nn+12= an2+bn+c解假設存在a、b、c使題設的等式成立，這時令n=1,2,3,有于是，對n=1,2,3下面等式

5、成立122+232+nn+12=記Sn=122+232+nn+12設n=k時上式成立，即Sk= 3k2+11k+10那么Sk+1=Sk+k+1k+22= k+23k+5+k+1k+22= 3k2+5k+12k+24= 3k+12+11k+1+10也就是說，等式對n=k+1也成立綜上所述，當a=3,b=11,c=10時，題設對一切自然數n均成立學生穩(wěn)固練習1fn=2n+73n+9,存在自然數m,使得對任意nN,都能使m整除fn，那么最大的m的值為 A30 B26 C36 D62用數學歸納法證明3k3,nN第一步應驗證 An=1 Bn=2 C n=3 Dn=43觀察以下式子 那么可歸納出_4a1=

6、 ,an+1= ,那么a2,a3,a4,a5的值分別為_，由此猜測an=_5用數學歸納法證明4 +3n+2能被13整除，其中nN*6假設n為大于1的自然數，求證7數列bn是等差數列，b1=1,b1+b2+b10=1451求數列bn的通項公式bn;2設數列an的通項an=loga1+ 其中a0且a1記Sn是數列an的前n項和，試比較Sn與 logabn+1的大小，并證明你的結論8設實數q滿足|q|1,數列an滿足a1=2,a20,anan+1=qn,求an表達式，又假如 S2n3,求q的取值范圍參考答案1解析f1=36,f2=108=336,f3=360=1036f1,f2,f3能被36整除，猜

7、測fn能被36整除證明n=1,2時，由上得證，設n=kk2時，fk=2k+73k+9能被36整除，那么n=k+1時，fk+1fk=2k+93k+1?2k+73k=6k+273k2k+73k=4k+203k=36k+53k2?k2fk+1能被36整除f1不能被大于36的數整除，所求最大的m值等于36答案C2解析由題意知n3，應驗證n=3答案C3解析nN*nN*5證明 1當n=1時，421+1+31+2=91能被13整除2假設當n=k時，42k+1+3k+2能被13整除，那么當n=k+1時，42k+1+1+3k+3=42k+142+3k+2342k+13+42k+13=42k+113+342k+1

8、+3k+2?42k+113能被13整除，42k+1+3k+2能被13整除當n=k+1時也成立由知，當nN*時，42n+1+3n+2能被13整除6證明 1當n=2時，2假設當n=k時成立，即7 1解設數列bn的公差為d,由題意得 ,bn=3n22證明由bn=3n2知Sn=loga1+1+loga1+ +loga1+ =loga1+11+ 1+ 而 logabn+1=loga ,于是，比較Sn與 logabn+1?的大小比較1+11+ 1+ 與 的大小取n=1，有1+1=取n=2，有1+11+推測 1+11+ 1+ *當n=1時，已驗證*式成立假設n=kk1時*式成立，即1+11+ 1+ 那么當n

9、=k+1時，即當n=k+1時，*式成立由知，*式對任意正整數n都成立于是，當a1時，Sn logabn+1?,當 0a1時，Sn logabn+1?8 解a1a2=q,a1=2,a20,q0,a2= ,anan+1=qn,an+1an+2=qn+1?兩式相除，得 ,即an+2=qan于是，a1=2,a3=2q,a5=2qn猜測a2n+1= qnn=1,2,3,綜合，猜測通項公式為an=下證1當n=1,2時猜測成立2設n=2k1時，a2k1=2qk1那么n=2k+1時，由于a2k+1=qa2k1?a2k+1=2qk即n=2k1成立可推知n=2k+1也成立設n=2k時，a2k= qk,那么n=2k

10、+2時，由于a2k+2=qa2k?,所以a2k+2= qk+1,這說明n=2k成立，可推知n=2k+2也成立綜上所述，對一切自然數n,猜測都成立這樣所求通項公式為an=S2n=a1+a3+a2n1+a2+a4+a2n=21+q+q2+qn-1? q+q2+qn由于|q|1, =依題意知 3,死記硬背是一種傳統(tǒng)的教學方式,在我國有悠久的歷史。但隨著素質教育的開展,死記硬背被作為一種僵化的、阻礙學生才能開展的教學方式,漸漸為人們所摒棄;而另一方面,老師們又為進步學生的語文素養(yǎng)煞費苦心。其實,只要應用得當,“死記硬背與進步學生素質并不矛盾。相反,它恰是進步學生語文程度的重要前提和根底。觀察內容的選擇

11、，我本著先靜后動，由近及遠的原那么，有目的、有方案的先安排與幼兒生活接近的，能理解的觀察內容。隨機觀察也是不可少的，是相當有趣的，如蜻蜓、蚯蚓、毛毛蟲等，孩子一邊觀察，一邊提問，興趣很濃。我提供的觀察對象，注意形象逼真，色彩鮮明，大小適中，引導幼兒多角度多層面地進展觀察，保證每個幼兒看得到，看得清?？吹们宀拍苷f得正確。在觀察過程中指導。我注意幫助幼兒學習正確的觀察方法，即按順序觀察和抓住事物的不同特征重點觀察，觀察與說話相結合，在觀察中積累詞匯，理解詞匯，如一次我抓住時機，引導幼兒觀察雷雨，雷雨前天空急劇變化，烏云密布，我問幼兒烏云是什么樣子的，有的孩子說：烏云像大海的波浪。有的孩子說“烏云跑得飛快。我加以肯定說“這是烏云滾滾。當幼兒看到閃電時，我告訴他“這叫電光閃閃。接著幼兒聽到雷聲驚叫起來，我抓住時機說：“這就是雷聲隆隆。一會兒下起了大雨，我問：“雨下得怎樣?幼兒說大極了，我就舀一盆水往下一倒，作比較觀察，讓幼兒掌握“傾盆大雨這個詞。雨后，我又帶幼兒觀察晴朗的天空，朗讀自編的一首兒歌：“藍天高，白云飄，鳥兒飛，樹兒