相似圖形提高講義全

1、圖形相似線段的比、黃金分割及形狀相同的圖形知識要點(diǎn)要點(diǎn)1 線段的比(1)線段的比：在同一單位下，兩條線的長度的比叫做這兩條線段的比。a c(2)成比例線段：四條線段a、b、c、d中，如果a與b的比等于c與d的比，即一 一，b da b那么這四條線段成比例線段，當(dāng)b = c時(shí)，有一 一，稱b為a與d的比例中項(xiàng)。b d(3)比例尺：比例尺=圖上距離：實(shí)際距離(4)兩條線段被一組平行線所截的線段成比例。說明：判斷四條線段是否成比例，首先要把四條線段的單位化成同一單位，再計(jì)算它們的比值來判斷，要注意它們的順序。要點(diǎn)2 比例的性質(zhì)比例的基本性質(zhì)：acab.2-ad bc a、b、c、d 0 ,-bac

2、a、b、c、d 0bdbc要點(diǎn)3 黃金分割 ACBC 概念：若點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段 AC、BC (AC BC),若，我們稱線段 ABAB AC被點(diǎn)C黃金分割，C點(diǎn)為該條線段的黃金分割點(diǎn)，較短線段與較長線段(或較長線段與原，一 .5 1線段)的比叫做黃金比 0.618。2說明：(1)一條線段有兩個(gè)黃金分割點(diǎn)。黃金分割比是兩個(gè)線段的比，沒有單位；(2) 一條線段黃金分割后，原線段、較長線段、較短線段有其固定關(guān)系：若AB=1,則AC BC22專業(yè)word可編輯相似多邊形相似三角形及三角形相似的條件知識要點(diǎn)相似多邊形要點(diǎn)1各角對應(yīng)相等，各邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)多邊形叫做相似多邊形。相似多邊形對應(yīng)邊的

3、比叫做多邊形的相似比。說明：（1）相似多邊形的定義既可以看作是相似多邊形的性質(zhì)，又可以看作相似多邊形的判定；（2）判定相似的兩個(gè)條件，一個(gè)是各角對應(yīng)相等，另一個(gè)是各邊對應(yīng)成比例；二者 缺一不可。相似三角形要點(diǎn)2三個(gè)角對應(yīng)相等，三條邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形叫做相似三角形。說明：（1）相似三角形的各角對應(yīng)相等，各邊對應(yīng)成比例；（2）兩個(gè)三角形的相似比為1時(shí)，這兩個(gè)三角形就是全等三角形，故全等三角形是相似三角形的特殊情況；（3） AABC與Nb/q7相似和 ABCsA/B/C/的含義有所不同，前者沒有指明這兩個(gè)相似三角形的對 應(yīng)關(guān)系，而后者表明了對應(yīng)關(guān)系。要點(diǎn)3三角形相似的判別方法 TOC o 1-

4、5 h z 方法1 :平行于三角形一邊的直線與其他兩邊相交，所構(gòu)成的三角形與原三角形相似.方法2:兩角對應(yīng)相等的兩個(gè)三角形相似：方法3 :三邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)三角形相似;方法4 :兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個(gè)三角形相似。專業(yè)word可編輯引申直角三角形除了具有以上3種判別方法，還有以下方法：一條直角邊和一條斜邊對應(yīng)成比例的兩個(gè)直角三角形相似；斜邊上的高分成的兩個(gè)直角三角形與原三角形相似。說明：（1）相似三角形判定的三種判別方法中，角角“邊邊邊”用的最廣泛。在用邊角邊”時(shí)要注意，必須是夾角”的兩邊對應(yīng)成比例；（2）要找準(zhǔn)對應(yīng)邊，一般對應(yīng)角所對的邊是對應(yīng)邊，最長的邊或最短的邊是對應(yīng)邊，公共邊一般

5、不是對應(yīng)邊。在找對應(yīng)角時(shí)，公共角、對頂角一般是對應(yīng)角。相似形的應(yīng)用、相似多邊形的性質(zhì)、圖形的放大與縮小知識要點(diǎn)要點(diǎn)1測量旗桿高度的三種方法（1）方法1:利用陽光下的影子（如圖1）（還可利用結(jié)論：同一時(shí)刻某物體的實(shí)際高度 它的影長被測物體的實(shí)際高度被測物體的影長（2）方法2:利用標(biāo)桿；（如圖2,本方法主要注意人與標(biāo)桿及被測旗桿應(yīng)都與地面垂直，故三者平行，由此構(gòu)造相似三角形）（3）方法3:利用鏡子反射（如圖3,本方法用鏡面反射，由反射角等于入射角，人與被測旗桿與地面垂直）專業(yè)word可編輯說明：在測量旗桿高度的三種方法中，都是利用三角形相似的知識解決，根據(jù)實(shí)際情 TOC o 1-5 h z 況，構(gòu)

6、造相似三角形，通過測量三角形的邊，利用對應(yīng)邊成比例計(jì)算出要求的目標(biāo)。要點(diǎn)2相似三角形與相似多邊形的性質(zhì)相似三角形的性質(zhì)：(1)相似三角形對應(yīng)高的比等于相似比；(2)相似三角形對應(yīng)角平分線的比等于相似比；(3)相似三角形對應(yīng)中線的比等于相似比；(4)相似三角形周長的比等于相似比；(5)相似三角形面積的比等于相似比的平方。說明：這里的高線、角平分線、中線必須是對應(yīng)的。相似多邊形的性質(zhì)：(1)相似多邊形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方；(2)相似多邊形中，對應(yīng)的三角形相似，相似比等于原多邊形的相似比。要點(diǎn)3位似圖形定義：如果兩個(gè)圖形不僅是相似圖形，而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一點(diǎn)，那么

7、這樣的兩個(gè)圖形叫做位似圖形。每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過的點(diǎn)叫位似中心。在已確定的兩位似圖形中，只有一個(gè)位似中心，兩位似圖形可在位似中心的同側(cè)，也可在位似中心的兩側(cè)。兩個(gè)位似圖形的相似比又稱為位似比。如圖(1)、(2)、(3)、(4)、(5)。位似圖形的性質(zhì)：(1)對應(yīng)邊的比等于位似比；(2)周長的比等于位似比，面積的比等于 位似比.的平方(3).,位似圖形上任意不對對應(yīng)點(diǎn)到位似史心的距離之比等壬位似比.，*專業(yè)word可編輯說明：（1）位似圖形一定是相似圖形，而相似圖形不一定是位似圖形；（2）判斷兩個(gè)圖形是位似圖形，先判斷兩個(gè)圖形相似，再看它們的對應(yīng)點(diǎn)的連線或其延長線是否經(jīng)過同一點(diǎn)；（3）將一

8、個(gè)圖形放大或縮小時(shí)，位似中心可以在圖形內(nèi)或邊上，也可以在圖形的頂點(diǎn)上。例題精講：abcq a b變形1 : 已知一一一，求345 c專業(yè)word可編輯x 3y z工例2 已知x： y： z= 1 ： 3 : 5,求的值。x 3y z變形 1:若 4x= 7y+5z, 2x+y=z,那么 x： y： z=()A. 2 : 1 : (-3)B. 2: 1 : 3 C. 2 : (-1): 3 D. 3 : 2 : 1x 3 y 1 z 2變形 2：右 ,且 x+y+z=18,求 x, y, z。234例3若點(diǎn)C是線段AB的分割點(diǎn)(ACBC) , AB =16,則AC= BC=如果D是線段AB的另一

9、個(gè)黃金分割點(diǎn)，則CD=變形：如果線段上一點(diǎn) P把線段分割為兩條線段 PA, PB.當(dāng)PA2=PBAB時(shí)，則稱點(diǎn)P是線段AB的黃金分割點(diǎn),現(xiàn)已知線段 AB=10,點(diǎn)P是線段ABAP B的黃金分割點(diǎn)，如圖所示，那么線段PB的長約為（）A. 6.18 B. 0.382 C. 0.618 D. 3.82例4、如圖，D, E分別為4ABC的邊AB, AC上一點(diǎn)，HAADEAABC, F為AD上一點(diǎn)，且 AAEFs AACD, （1） AD2=AFAB 嗎？請說明理由。（2）若 AF = 4, AB=9,求 AD。變形：如圖所示，已知梯形 ABCD, AD/BC,若EF/ZBC,且所分成的梯形 AEFD和

10、梯形專業(yè)word可編輯EBCF 相似，AD = 4, BC=9,求 EF 的長。例5、如圖XS11所示，在4ABC中，AD，BC于D, DEAB于E, DFAC于F,試證AE AB= AF AC。AB變形1:如圖XS11-1, ABC中，BEAC AB 5AC , CB 5 , D 為 AB 上一點(diǎn),若 BDEEC AC 3八八ABsBAC,則BD變形 2:如圖 XS11-2, AOBsCOD,ZA=ZC,下列各式正確的有（）個(gè)AB CD AB CDOB AD AO BO一 一：BO CO AO ODOC OD CO ODXS11-1A. 1 B. 2 C. 3D. 4例6、如圖ZJ26,興趣

11、小組的同學(xué)要測量樹的高度，在陽光下，一名同學(xué)測得一根長為1m的竹竿的影長為0.4m,同時(shí)另一名同學(xué)測量樹的高度時(shí)，發(fā)現(xiàn)樹的影子不全落在地面上，有一部分落在教學(xué)樓的第一級臺階上，測得此影子長為0.2m , 一級臺階高為0.3m ,如圖所示，若此時(shí)落在地面上的影長為4.4m ,則樹高為（）D. 12.25mA. 11.5m B. 11.75m C. 11.8m一、選擇題ZJ26專業(yè)word可編輯1 .梯形兩底分別為m、n,過梯形的對角線的交點(diǎn)，引平行于底邊的直線被兩腰所截得的線段長為)(A)(B)mn2mnm n(C)mn(D)m n2mn2 .如圖，在正三角形 ABC中，D , E分別在AC,

12、AB上，且=一AC 3有）（AE= BE,則(A) AAED ABED(B) AAED ACBD ( C) AAEDAABD(D) A BADABCD. P是RtABC斜邊BC上異于B、C的一點(diǎn)，過點(diǎn)P作直線截AABC,使截得的三角形與 ABC相似，滿足這樣條件的直線共有 （）（A） 1 條（B） 2 條 （C） 3條 （D） 4 條.如圖，/ABD=/ACD,圖中相似三角形的對數(shù)是 （）（A） 2（B） 3（C） 4（D） 5.如圖，ABCD是正方形，E是CD的中點(diǎn)，P是BC邊上的一點(diǎn)，下列條件中，不能推出4ABP與4ECP相似的是）（(A) /APB= /EPC(B) /APE= 90 C

13、) P 是 BC 的中點(diǎn)(D) BP： BC= 2 ： 3AD6.如圖， ABC中，ADXBC于D,且有下列條件ZB+ZDAC=90CD AC(3) = ；AD AB/B= /DAC;(4) AB2=BD BC其中一定能夠判定 ABC是直角三角形的共有（A） 3 個(gè)（B） 2 個(gè)（C） 1 個(gè)(D) 0 個(gè)7.如圖，將4ADE繞正方形ABCD頂點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90 ,得4人8巳 連結(jié)EF交AB于H,則下列結(jié)論)(中錯(cuò)誤的是專業(yè)word可編輯(A) AEXAF(B) EF： AF= 22 ： 1(C) AF2=FHFE(D) FB： FC=HB : EC.如圖，在矩形ABCD中，點(diǎn)E是AD上任意一

14、點(diǎn)，則有4ABE的周長十CDE的周長= BCE的周長4ABE的面積十4CDE的面積=4BCE的面積AABEADECAABEAEBC11題.如圖，直線 a/b, AF ： FB= 3 ： 5, BC ： CD=3 ： 1,則 AE ： EC為().(A) 5 ： 12(B) 9 ： 5(C) 12 ： 5(D) 3 ： 2110.如圖，在ABC中，M是AC邊中點(diǎn)，E是AB上一點(diǎn)，且AE= AB,連結(jié)EM并延長，父BC的延4長線于D,此時(shí)BC : CD為()2 ： 1(B) 3 ： 2(C) 3 ： 1(D) 5 ： 2DE的長和折痕EF的長分別為(A) 4 cm、(C) 4 cm、11.如圖，矩

15、形紙片ABCD的長AD=9 cm,寬AB= 3 cm ,將其折疊，使點(diǎn)D與點(diǎn)B重合，那么折疊后()5 cm、 ,10 cm(D) 5 cm、2 J3 cm、填空題12 .已知線段 a= 6 cm , b = 2 cm 項(xiàng)是 cm.則a、b、a+b的第四比例項(xiàng)是cm, a+ b與a b的比例中# a b13.若ca c =m2,則 m =bC.如圖，在4ABC中，AB=AC= 27, D 在 AC上，且 BD = BC= 18 , DE/BC交 AB于 E,貝U DE=1 一.如圖，DABCD中，E是AB中點(diǎn)，F(xiàn)在AD上，且AF= FD,2EF交 AC 于 G,貝U AG : AC=16題.如圖，已知ABC, P是AB上一點(diǎn)，連結(jié)CP,要使ACRc ABC,只需添加條件 （只要 寫出一種合適的條件）.如圖,AD是4ABC的角平分線,DE/AC, EF/BC, AB= 15 , AF= 4 ,則 DE的長等于.如圖，4ABC 中，AB=AC, ADBC 于 D, AE= EC, AD=18, BE= 15,則 ABC的面積是、證明題專業(yè)word可編輯1、如圖，在4ABC中，AB= AC,延長BC至D,使得CD= BC, CE，BD交AD于E,連結(jié)BE交AC于F, 求證AF=FC.2、如圖，/ABC= ZCDB=90 ,AC= a,