2022年八種經(jīng)典線性規(guī)劃例題最全總結(jié)講解學(xué)習(xí)

1、此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 線 性 規(guī) 劃 常 見 題 型 及 解 法 由 已 知 條 件 寫 出 約 束 條 件 ，并 作 出 可 行 域 ，進(jìn) 而 通 過(guò) 平 移 直 線 在 可 行 域 內(nèi) 求 線 性 目 標(biāo) 函 數(shù) 的 最 優(yōu) 解 是 最 常 見 的 題 型 ， 除 此 之 外 ， 還 有 以 下 六 類 常 見 題 型 。一 、 求 線 性 目 標(biāo) 函 數(shù) 的 取 值 范 圍x2的 取 值 范 圍 是（）例 1、若 x 、 y 滿 足 約 束 條 件y2， 則 z=x+2yxy2y B y =2 A、 2,6 B、 2 ,5 C、 3,6 D、（ 3,5 2 解 ：

2、 如 圖 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 線 l ： x+2y 0， 將O 2 A x l 向 右 上 方 平 移 ， 過(guò) 點(diǎn) A（ 2,0 ） 時(shí) ， 有 最 小 值x=2 x + y =2 2， 過(guò) 點(diǎn) B（ 2,2 ） 時(shí) ， 有 最 大 值 6 ， 故 選 A 二 、 求 可 行 域 的 面 積2xy60A B y =2 例 2 、不 等 式 組xy30表 示 的 平 面 區(qū) 域 的 面 積 為（）A、 4 y2D、 無(wú) 窮 大y B、 1 C、 5 解 ： 如 圖 ， 作 出 可 行 域 ， ABC 的 面 積 即 為 所 求 ， 由 梯 形OMBCxy 3 = 0 的 面 積

3、減 去 梯 形 OMAC的 面 積 即 可 ， 選 B M O 三 、 求 可 行 域 中 整 點(diǎn) 個(gè) 數(shù)C x 2x + y 6= 0 = 5 x 例 3 、 滿 足 |x| |y| 2 的 點(diǎn) （ x ， y ） 中 整 點(diǎn) （ 橫 縱 坐 標(biāo) 都 是 整 數(shù) ） 有 （）A、 9 個(gè)B、 10 個(gè)C、 13 個(gè)D、 14 個(gè)xy2(x0,y0)解 ： |x| |y| 2 等 價(jià) 于xxyy22(xp0,yp0)y (x0,y0)xy2(xp0,yp0)作 出 可 行 域 如 右 圖 ， 是 正 方 形 內(nèi) 部 （ 包 括 邊 界 ）， 容 易 得 到 整 點(diǎn) 個(gè) 數(shù) 為 13 個(gè) ， 選

4、 D O 只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除 四 、 求 線 性 目 標(biāo) 函 數(shù) 中 參 數(shù) 的 取 值 范 圍xy5y x y + 5 = 0 例 4 、已 知 x 、 y 滿 足 以 下 約 束 條 件xy50，使z=x+ay(a0)x3x + y = 5 取 得 最 小 值 的 最 優(yōu) 解 有 無(wú) 數(shù) 個(gè) ， 則 a 的 值 為（）O x=3 x A、 3 B、 3 C、 1 D、 1 解 ： 如 圖 ， 作 出 可 行 域 ， 作 直 線 l ： x+ay 0 ， 要 使 目 標(biāo) 函 數(shù) z=x+ay(a0)取 得 最 小 值 的 最 優(yōu) 解有 無(wú) 數(shù) 個(gè) ，

5、則 將 l 向 右 上 方 平 移 后 與 直 線 x+y 5 重 合 ， 故 a=1 ， 選 D 五 、 求 非 線 性 目 標(biāo) 函 數(shù) 的 最 值例 5 、 已 知 x 、 y 滿 足 以 下 約 束 條 件2x2y20， 則 z=x2 +y2 的 最 大 值 和 最 小 值 分 別 是 （）xy403xy30y A A、 13 ， 1 B、 13 ， 2 C、 13 ，4 5D、13 ，2 5 5解 ： 如 圖 ， 作 出 可 行 域 ,x2+y2 是 點(diǎn) （ x ， y ） 到 原 點(diǎn) 的 距 離 的O x 2y + 4 = 0 x 2x + y - 2= 0 = 5 平 方 ， 故

6、最 大 值 為 點(diǎn)A（ 2, 3 ） 到 原 點(diǎn) 的 距 離 的 平 方 ， 即3x y 3 = 0 |AO|2=13 ，最 小 值 為 原 點(diǎn) 到 直 線 2x y 2=0 的 距 離 的 平 方 ，即 為4 5， 選 C 六 、 求 約 束 條 件 中 參 數(shù) 的 取 值 范 圍例 6 、已 知 |2x y m| 3 表 示 的 平 面 區(qū) 域 包 含 點(diǎn)（ 0,0 ）和（ 1,1 ），則 m 的 取 值 范 圍 是（）A、（ -3,6）B、（ 0,6 ）C、（ 0,3 ）D、（ -3,3）y 2x y + 3 = 0 2x y = 0 解 ： |2x y m| 3 等 價(jià) 于2 xym3

7、0O 2 xym30由 右 圖 可 知m33, 故 0 m 3 ， 選 C m30只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除七、比值問(wèn)題當(dāng)目標(biāo)函數(shù)形如 z y a 時(shí), 可把 z 看作是動(dòng)點(diǎn) P x y 與定點(diǎn) Q b a 連線的斜率，這樣目標(biāo)函數(shù)的最值就轉(zhuǎn)x b化為 PQ連線斜率的最值。xy20，例 已知變量 x，y 滿足約束條件 x1，xy70，則y x的取值范圍是（）. （A） 9 5，6 （ B）（，9 5 6 ，）（C）（， 3 6 ，）（ D）3 ，6 y解析 x是可行域內(nèi)的點(diǎn) M（x， y）與原點(diǎn) O （0，0）連線的斜率，當(dāng)直線 OM過(guò)點(diǎn)（5 2，9 2）時(shí)，

8、y x取得最小值 5；當(dāng)直線 OM過(guò)點(diǎn)（ 1， 6）時(shí)， y x取得最大值 6. 答案 A 八、線性規(guī)劃應(yīng)用例 1、某工廠利用兩種燃料生產(chǎn)三種不同的產(chǎn)品 A、 B 、C，每消耗一噸燃料與產(chǎn)品 A 、 B 、C有下列關(guān)系：現(xiàn)知每噸燃料甲與燃料乙的價(jià)格之比為 2 : 3，現(xiàn)需要三種產(chǎn)品 A 、 B 、C各 50 噸、 63 噸、 65 噸問(wèn)如何使用兩種燃料，才能使該廠成本最低？分析：由于該廠成本與兩種燃料使用量有關(guān)，而產(chǎn)品A 、 B 、C又與這兩種燃料有關(guān)，且這三種產(chǎn)品的產(chǎn)量也有限制，因此這是一道求線性目標(biāo)函數(shù)在線性約束條件下的最小值問(wèn)題，這類簡(jiǎn)單的線性規(guī)劃問(wèn)題一般都可以 利用二元一次不等式求在可

9、行域上的最優(yōu)解解：設(shè)該廠使用燃料甲x 噸，燃料乙y 噸，甲每噸2t2 元，的最小值即可則成本為z2 tx3 tyt(2x3y )因此只須求x3y10 x5y50,7x9y63 ,又由題意可得x 、y滿足條件5x13y65.作出不等式組所表示的平面區(qū)域（如圖）只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除由10 x5y50 ,得A(27,56)7x9y63 .1111由7x9y63 ,得B(117,70)B 時(shí)，5x13y65 .2323作直線l：x3y0，把直線l向右上方平移至可行域中的點(diǎn)z2x3y2117370444232323最小成本為444t2311770答：應(yīng)用燃料甲23噸

10、，燃料乙23噸，才能使成本最低說(shuō)明：本題中燃料的使用不需要是整數(shù)噸，若有些實(shí)際應(yīng)用問(wèn)題中的解是整數(shù)解，又該如何來(lái)考慮呢？例 2、 咖啡館配制兩種飲料，甲種飲料每杯含奶粉9 克、咖啡4 克、糖 3 克，乙種飲料每杯含奶粉4 克、咖啡5 克、糖 10 克已知每天原料的使用限額為奶粉3600 克、咖啡 2000 克、糖 3000 克如果甲種飲料每杯能獲利0.7 元，乙種飲料每杯能獲利 1.2 元，每天在原料的使用限額內(nèi)飲料能全部售出，每天應(yīng)配制兩種飲料各多少杯能獲利最大？分析：這是一道線性規(guī)劃的應(yīng)用題，求解的困難在于從實(shí)際問(wèn)題中抽象出不等式組只要能正確地抽象出不等式組，即可得到正確的答案解：設(shè)每天配

11、制甲各飲料1x 杯、乙種飲料y 杯可獲得最大利潤(rùn)，利潤(rùn)總額為z 元由條件知：z07.x2.y變量x、y滿足9x4y3600,4x5y2000,3x10y3000,x,0y0.作出不等式組所表示的可行域（如圖）只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除作直線l：7.x1 .2y0，把直線l向右上方平移至經(jīng)過(guò)A 點(diǎn)的位置時(shí)，z0.7x1 .2y取最大值3 x 10 y 3000 ,0由方程組：4 x 5 y 2000 .0得 A 點(diǎn)坐標(biāo) A ( 200 , 240 )答：應(yīng)每天配制甲種飲料 200 杯，乙種飲料 240 杯方可獲利最大高考真題練習(xí)x 3 y 3 0,1. （2010

12、 年浙江理 7） 若實(shí)數(shù) x ， y 滿足不等式組 2 x y 3 0, 且 x y 的最大值為 9，則實(shí)數(shù) mx my 1 0,（A）2（B）1（C）1 （D）2 解析： 將最大值轉(zhuǎn)化為 y 軸上的截距，將 m等價(jià)為斜率的倒數(shù)，數(shù)形結(jié)合可知答案選 C，本題主要考察了用平面區(qū)域二元一次不等式組，以及簡(jiǎn)單的轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合的思想，屬中檔題xy1a2.(2009年陜西理 11) 若 x，y 滿足約束條件xy1，目標(biāo)函數(shù)zax2y 僅在點(diǎn)（ 1，0）處取得最小值，則2xy2的取值范圍是w.w.w.k.s.5.u.c.o.m w.w.w.k.s.5.u.c.o.m (A) （1，2 ） (B) （4

13、，2 ） (C) ( 4,0 (D) ( 2,4)答案： B解析： 根據(jù)圖像判斷，目標(biāo)函數(shù)需要和xy1， 2xy2平行，由圖像知函數(shù)a 的取值范圍是（4，2 ）3xy603.(2009年山東理 12)設(shè) x，y 滿足約束條件xy20，y x-y+2=x0,y0若目標(biāo)函數(shù)z=ax+by （a0，b0）的值是最大值為12，-2 2 2 x z=ax+b則2 a3的最小值為 ( ). bO A.25 B. 68 C. 311 D. 4 33x-y-6=0 只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除【解析】 : 不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分, 當(dāng)直線 ax+by= z （a0，

14、b0）過(guò)直線 x-y+2=0 與直線 3x-y-6=0的交點(diǎn)（ 4,6 ）時(shí) , k目標(biāo)函數(shù) z=ax+by （a0，b0）取得最大12, 即 4a+6b=12, 即 2a+3b=6, 而2 a3=2 a3 2 )ba63 b13(ba)13225, 故選 A. b6ab66【命題立意】 : 本題綜合地考查了線性規(guī)劃問(wèn)題和由基本不等式求函數(shù)的最值問(wèn)題. 要求能準(zhǔn)確地畫出不等式表示的平面區(qū)域 , 并且能夠求得目標(biāo)函數(shù)的最值, 對(duì)于形如已知2a+3b=6, 求2 a3的最小值常用乘積進(jìn)而用基本不等式解答b4. （2009 年安徽理 7） 若不等式組xx0y4所表示的平面區(qū)域被直線ykx4分為面積相

15、等的兩部分，則x333y4的值是（A）7 3（B）3（C）4 3（D）3高資源網(wǎng)M ，x 74 解析 ：不等式表示的平面區(qū)域如圖所示陰影部分ABC 由x3y4得 A（ 1，1），又 B（0， 4），C（ 0，4 3）y y=kx+4 D 33 xy4 S ABC=1 2(44) 14，設(shè) ykx 與 3xDy14的yD5C A 33O BCD1S ABC2 3知x，交點(diǎn)為 D，則由S2225 2k14,k7選 A。233x2y190，5.(2008年山東理 12) 設(shè)二元一次不等式組xy80，所表示的平面區(qū)域?yàn)?xy140使函數(shù)yax(a0，a1)的圖象過(guò)區(qū)域M 的 a 的取值范圍是（）A 1

16、 3B 2，10 C 2 9， D 10 9解： C, 區(qū)域 M 是三條直線相交構(gòu)成的三角形（如圖）顯 然 a 1，只 需 研 究 過(guò) (1,9)、(3,8) 兩 種 情 形，1 3a 9 且 a 8 即 2 a 9.2 x y 2 06.(2010 年 安 徽 理 13) 設(shè) ,x y 滿 足約 束 條件 8 x y 4 0， 若 目標(biāo) 函 數(shù)x 0 , y 0z abx y a 0, b 0 的最大值為 8，則 a b 的最小值為 _?！敬鸢浮?4【解析】 不等式表示的區(qū)域是一個(gè)四邊形，4 個(gè)頂點(diǎn)是只供學(xué)習(xí)與交流此文檔僅供收集于網(wǎng)絡(luò)，如有侵權(quán)請(qǐng)聯(lián)系網(wǎng)站刪除1 (0,0),(0, 2),(2

17、所以 8 ab,0),(1, 4)，易見目標(biāo)函數(shù)在a(1,4) 取最大值 8，ab 的最小值為b2時(shí)是等號(hào)成立。所以4ab4，所以，在4. 【規(guī)律總結(jié)】線性規(guī)劃問(wèn)題首先作出可行域，若為封閉區(qū)域（即幾條直線圍成的區(qū)域）則區(qū)域端點(diǎn)的值是目標(biāo)函數(shù)取得最大或最小值，求出直線交點(diǎn)坐標(biāo)代入得 ab 4，要想求 a b 的最小值，顯然要利用基本不等式 . 7.( 2010 年陜西理 14) 鐵礦石 A 和 B 的含鐵率 a , 冶煉每萬(wàn)噸鐵礦石的 CO 的排放量 b 及每萬(wàn)噸鐵礦石的價(jià)格 c 如下表：a b ( 萬(wàn)噸 ) c （百萬(wàn)元）A 50% 1 3 B 70% 05 6 某 冶 煉 廠 至 少 要 生 產(chǎn) 1.9( 萬(wàn) 噸 ) 鐵 , 若 要 求 CO 2 的 排 放 量 不 超 過(guò) 2 ( 萬(wàn) 噸 ), 則 購(gòu) 買 鐵 礦 石 的 最 少 費(fèi) 用 為_ _ ( 百萬(wàn)元 ). 【解析】 設(shè)鐵礦石 A 購(gòu)買了 x 萬(wàn)噸，鐵礦石 B購(gòu)買了y萬(wàn)噸，購(gòu)買鐵礦石