3無窮小量4函數(shù)的連續(xù)性課件

1、第三講 (一) 無窮小量與無窮大量 (二) 連續(xù)函數(shù)二、三個(gè)重要關(guān)系三、無窮小量的比較四、求極限舉例五、函數(shù)的連續(xù)性一、無窮小量與無窮大量7/23/20221定義1： 在某個(gè)變化過程中,極限為零 的函數(shù),稱為在此變化過程中的 無窮小量（無窮?。?。五、無窮小量與無窮大量（一）定義例如：注意：無窮小量是極限 為零的函數(shù)！無窮小量不是絕對(duì)值很小的數(shù)！7/23/20222定義2： 在某個(gè)變化過程中,絕對(duì)值無限 變大的函數(shù),稱為在此變化過程中的 無窮大量（無窮大）。7/23/20223例7/23/20224（二）無窮小與無窮大的性質(zhì)性質(zhì)1：注意：性質(zhì)1只可以推廣到有限個(gè)函數(shù)例7/23/20225性質(zhì)2：

2、性質(zhì)3：7/23/20226例例7/23/202271.（無窮小與無窮大）2.（極限與無窮?。ㄈ┤齻€(gè)重要關(guān)系7/23/202283.無窮大與無界函數(shù)問題：兩個(gè)無窮小量的商是否為無窮小量？7/23/20229二、無窮小量的比較定義：7/23/2022107/23/202211幾個(gè)常用的等價(jià)無窮小量7/23/202212等價(jià)無窮小量的性質(zhì)性質(zhì)1：7/23/202213性質(zhì)2：等價(jià)代換7/23/202214解例1三、求極限舉例7/23/202215例2解7/23/2022167/23/202217例3解7/23/202218討論：代數(shù)和不能代換！7/23/202219解例47/23/202220

3、解例57/23/202221解例67/23/202222解例77/23/202223從而7/23/202224連 續(xù) 函 數(shù)7/23/202225函數(shù)連續(xù)性的定義 函數(shù)的連續(xù)性描述函數(shù)的漸變性態(tài),在通常意義下，對(duì)函數(shù)連續(xù)性有三種描述： 當(dāng)自變量有微小變化時(shí)，因變量的 變化也是微小的； 自變量的微小變化不會(huì)引起因變量的 跳變； 連續(xù)函數(shù)的圖形可以一筆畫成,不斷開.7/23/202226例如：7/23/2022277/23/2022287/23/2022297/23/202230定義1： 以上描述實(shí)質(zhì)上是同義的反復(fù),數(shù)學(xué)上要確切地刻畫函數(shù)連續(xù)性,必須用極限作定量地描述.（一）定義7/23/2022

4、31注意1以上三條中帶本質(zhì)性的是第二條，極限的存在性.注意27/23/202232定義2：（函數(shù)在一點(diǎn)的單側(cè)連續(xù)性）7/23/202233定義3：（ 函數(shù)在區(qū)間上的連續(xù)性）7/23/202234（二）間斷點(diǎn)的分類根據(jù)間斷點(diǎn)的不同情況，可以分為三類：1. 可去型間斷點(diǎn) 可去型間斷不是本質(zhì)性的間斷,可以重新定義, 使其連續(xù).7/23/202235例如7/23/2022362. 第一類間斷點(diǎn)例 符號(hào)函數(shù) 7/23/2022373. 第二類間斷點(diǎn)例 7/23/202238五、函數(shù)連續(xù)性的基本性質(zhì)（一）連續(xù)性定義的等價(jià)形式：7/23/202239（二）連續(xù)函數(shù)的有界性：7/23/202240（三）連續(xù)函

5、數(shù)的保號(hào)性：7/23/202241（四）連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：7/23/202242（六）初等函數(shù)的連續(xù)性 初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。 （五） 關(guān)于反函數(shù)的連續(xù)性7/23/202243連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)一、連續(xù)函數(shù)的基本性質(zhì)二、初等函數(shù)的連續(xù)性三、閉區(qū)間上連續(xù)函數(shù)的性質(zhì)7/23/202244一、函數(shù)連續(xù)性的基本性質(zhì)（一）連續(xù)性定義的等價(jià)形式：7/23/202245（二）連續(xù)函數(shù)的有界性：7/23/202246（三）連續(xù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：7/23/202247二、初等函數(shù)的連續(xù)性 初等函數(shù)在其定義區(qū)間上是連續(xù)的。 （四） 關(guān)于反函數(shù)的連續(xù)性結(jié)論：7/23/2022481. 有界性定理：2. 最大最小值定理：三、閉區(qū)間