上海交通大學(xué)大學(xué)物理課件功與能量

1、1第 3 章 功與能量共七十一頁(yè)2第 3 章 功與能量(nngling)3.1 功 質(zhì)點(diǎn)(zhdin)動(dòng)能定理3.2 保守力 非保守力 耗散力3.3 質(zhì)點(diǎn)在保守力場(chǎng)中的勢(shì)能3.4 質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能3.5 功能原理 能量守恒定律共七十一頁(yè)3一、功 功是度量能量(nngling)轉(zhuǎn)換的基本物理量，它描寫了力對(duì)空間的積累效應(yīng)。變力的功：焦耳(jio r)（J）恒力的功：3.1 功 質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能定理共七十一頁(yè)4直角坐標(biāo)(zh jio zu bio)系：自然(zrn)坐標(biāo)系： 與參照系無(wú)關(guān)，位移與參照系有關(guān)，故 A與參照系有關(guān)。1. 一般情況下，功與力和路徑有關(guān).說(shuō)明共七十一頁(yè)5SSoo(t1)ABuo(t2)

2、位移(wiy)與參照系有關(guān)共七十一頁(yè)64. 平均功率瞬時(shí)功率瓦特(wt)(W)=(J/s)3.質(zhì)點(diǎn)(zhdin)所受合力的功等于各分力的功的代數(shù)和。共七十一頁(yè)7解：變力恒力 曲線運(yùn)動(dòng)(q xin yn dn) 例3-1 小球在水平變力 作用下緩慢移動(dòng)，即在所有位置上均近似處于力平衡狀態(tài)，直到繩子與豎直方向成 角。 求：(1) 的功， (2) 重力的功。ml共七十一頁(yè)8二、質(zhì)點(diǎn)(zhdin)的動(dòng)能定理設(shè)質(zhì)點(diǎn)m在力的作用(zuyng)下沿曲線從a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)總功：ba元功：共七十一頁(yè)9質(zhì)點(diǎn)(zhdin)的動(dòng)能定理：合外力(wil)對(duì)質(zhì)點(diǎn)所做的功等于質(zhì)點(diǎn)動(dòng)能的增量。說(shuō)明3. 應(yīng)用：1. 合外力的功是

3、動(dòng)能變化的量度。與參考系有關(guān)，動(dòng)能定理只在慣性系中成立。2.4. 微分形式：共七十一頁(yè)10例3-2 質(zhì)量 m 長(zhǎng) l 的均勻鏈條，一部分放在光滑桌面上, 另一部分從桌面邊緣下垂, 下垂部分長(zhǎng) b ，假定(jidng)開(kāi)始時(shí)鏈條靜止，求鏈條全部離開(kāi)桌面瞬間的速度。解法(ji f)一 由動(dòng)能定理xO共七十一頁(yè)11 由牛頓定律a也可由機(jī)械能守恒定律計(jì)算(j sun)。解法(ji f)二a共七十一頁(yè)12上次課主要(zhyo)內(nèi)容變力的功質(zhì)點(diǎn)(zhdin)的動(dòng)能定理共七十一頁(yè)13LxoLsx傳送機(jī)滑道水平平臺(tái)例3-3 柔軟勻質(zhì)物體以初速v0 送上平臺(tái)，物體前端在平臺(tái)上滑行 s 距離(jl)后停止。設(shè)滑道

4、上無(wú)摩擦，物體與臺(tái)面間的摩擦系數(shù)為 ，且 s ，求初速度v0 。解：共七十一頁(yè)14由動(dòng)能定理(dn nn dn l)：思考(sko)：試用牛頓定律再求解。共七十一頁(yè)15例3-4 有三個(gè)相同的物體分別沿斜面(ximin)、凸面和凹面滑下。三面的高度和水平距離都相同，為 h 和 l ，與物體的摩擦系數(shù)均為。 試分析哪個(gè)面上的物體滑到地面時(shí)速度最大? (1)解：(1)(2)(3)共七十一頁(yè)16(2)(3)最大(1)(1)(2)(3)END共七十一頁(yè)17作業(yè)(zuy): 第 2 章 P72 2-7，2-9 第 3 章 P102 3-2，3-3, 3-5共七十一頁(yè)18一、幾種(j zhn)常見(jiàn)力的功1.

5、 重力(zhngl)的功 重力作功只與質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置有關(guān)， 而與所經(jīng)過(guò)的路徑無(wú)關(guān)。dzdxzz1z2abmxO3.2 保守力 非保守力 耗散力共七十一頁(yè)192. 萬(wàn)有引力(wn yu ynl)的功 設(shè)質(zhì)量為M的質(zhì)點(diǎn)固定(gdng)，另一質(zhì)量為m的質(zhì)點(diǎn)在M的引力場(chǎng)中從a點(diǎn)運(yùn)動(dòng)到b點(diǎn)。dr 萬(wàn)有引力的功僅由物體的始末位置決定，而與路徑無(wú)關(guān)。rbraabMm共七十一頁(yè)203. 彈性力的功 彈性力作功只與質(zhì)點(diǎn)的起始和終了位置(wi zhi)有關(guān)，而與質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路徑無(wú)關(guān)。xmx2x1baOx共七十一頁(yè)21abOr4. 回旋(huxun)力的功O：為橫向單位矢量路徑(ljng)1： 圓弧ab A=

6、0 回旋力做功與路徑有關(guān)！路徑2：回旋力：共七十一頁(yè)225. 摩擦力的功 ab 摩擦力做功與路徑(ljng)有關(guān)！共七十一頁(yè)23 二、保守力 非保守力 和耗散力 abcd保守力：作功與路徑無(wú)關(guān)，只與始末(shm)位置有關(guān)的力。 保守力沿任何閉合(b h)路徑作功等于零。作功不僅與始末位置有關(guān)，還與路徑有關(guān)的力。如：重力，引力，彈性力等。如：摩擦力，回旋力等。非保守力：而(一對(duì))摩擦力作功始終是負(fù)的，又稱為耗散力。共七十一頁(yè)24 有心力： 有心力一定(ydng)是保守力。判據(jù)(pn j) 如： 引力 靜電力是非保守力。是保守力。任意閉合路徑共七十一頁(yè)25解： 例 已知 , C點(diǎn)坐標(biāo)為(2，1)。

7、 求： (1) 的功 a. 沿路徑 OACb. 沿路徑 OBCc. 沿路徑 OC (2) 是否為保守力?(1)xOABC(2, 1)y共七十一頁(yè)26(2) 非保守力，因?yàn)?yn wi)做功與路徑有關(guān)。xOABC(2, 1)y共七十一頁(yè)27一、勢(shì)能(shnng)的引入與物體(wt)的位置相聯(lián)系的系統(tǒng)能量稱為勢(shì)能（Ep）。保守力的功是勢(shì)能變化的量度： 物體在保守力場(chǎng)中a，b兩點(diǎn)的勢(shì)能Epa， Epb 之差等于質(zhì)點(diǎn)由a點(diǎn)移動(dòng)到b點(diǎn)過(guò)程中保守力做的功Aab。 保守力的功等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少。3.3 質(zhì)點(diǎn)在保守力場(chǎng)中的勢(shì)能共七十一頁(yè)28彈性(tnxng)勢(shì)能重力勢(shì)能(zhn l sh nn)引力勢(shì)能如：共

8、七十一頁(yè)29 空間某點(diǎn)的勢(shì)能Ep在數(shù)值上等于(dngy)質(zhì)點(diǎn)從該點(diǎn)移動(dòng)到勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)保守力作的功。 勢(shì)能的大小(dxio)只有相對(duì)的意義，相對(duì)于勢(shì)能零點(diǎn)而言。勢(shì)能零點(diǎn)可以任意選取。 勢(shì)能屬于相互作用是保守力的質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)。說(shuō)明 設(shè)空間 點(diǎn)為勢(shì)能零點(diǎn)，則空間任意一點(diǎn) 的勢(shì)能為：共七十一頁(yè)30例3-6 已知地球半徑 R，物體質(zhì)量 m，處在地面 2R 處。求勢(shì)能:（1）地面為零勢(shì)能點(diǎn)；（2）無(wú)限(wxin)遠(yuǎn)處為零勢(shì)能點(diǎn)。解：共七十一頁(yè)31例3-7 輕彈簧原長(zhǎng)l0 ，勁度系數(shù)為k，下端懸掛質(zhì)量為m的重物。已知彈簧重物在O點(diǎn)達(dá)到平衡，此時(shí)彈簧伸長(zhǎng)了x0 ，現(xiàn)取x 軸向下(xin xi)為正，原點(diǎn)位于： (1

9、) 彈簧原長(zhǎng)位置；(2)力的平衡位置。若取原點(diǎn)為重力勢(shì)能和彈性勢(shì)能的勢(shì)能零點(diǎn)，分別計(jì)算重物在任一位置 P 時(shí)系統(tǒng)的總勢(shì)能。解：(1) 以彈簧(tnhung)原長(zhǎng)點(diǎn)O 為坐標(biāo)原點(diǎn)，系統(tǒng)總勢(shì)能： xmOOPx0 x共七十一頁(yè)(2) 重力與彈性力合力(hl)的平衡位置O點(diǎn)可由下式確定： 以O(shè)點(diǎn)為重力勢(shì)能和彈性(tnxng)勢(shì)能的勢(shì)能零點(diǎn)時(shí)，任意位置 x 處的系統(tǒng)總勢(shì)能為：xmOOPx0 x若以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，則上式可改寫為：32共七十一頁(yè)33二、保守力與勢(shì)能(shnng)的關(guān)系1. 積分(jfn)關(guān)系2. 微分關(guān)系共七十一頁(yè)34矢量(shling)式：稱梯度(t d)算子。共七十一頁(yè)35例3-8 已知?jiǎng)?/p>

10、能(shnng)函數(shù)， 求保守力。解：共七十一頁(yè)36三、勢(shì)能(shnng)曲線oz重力勢(shì)能曲線(qxin) 引力勢(shì)能曲線(qxin) 彈性勢(shì)能曲線(qxin)ox 雙原子分子的勢(shì)能曲線：oror共七十一頁(yè)37解：而Fx=0 ( x 0 ) ( 0 x a )例 3-9 已知一帶正電的點(diǎn)電荷在某電場(chǎng)中的電勢(shì)(dinsh)能曲線如圖所示，OA段為拋物線，且 x= a 處 Ep=E0，若點(diǎn)電荷的總能量為 E0，求: (1) 點(diǎn)電荷受到的電場(chǎng)力及 F 與 x 的關(guān)系曲線。(2) 點(diǎn)電荷的動(dòng)能及 Ek 與 x 的關(guān)系曲線。（1）Ep與 x 的關(guān)系(gun x)axEpE0OAxOaFx( 0 x a )

11、共七十一頁(yè)38(2) ( 0 x a )Ek= E0 ( x a )OxaEkE0axEpE0OA共七十一頁(yè)39例3-10 已知雙原子分子的勢(shì)函數(shù)為： ，a、b為正常(zhngchng)數(shù)，函數(shù)曲線如圖，如果分子的總能量為零。求：(1) 雙原子之間的最小距離； (2) 雙原子之間平衡位置的距離； (3) 雙原子之間最大引力時(shí)的兩原子距離； (4) 勢(shì)阱深度Ed； (5) 畫出與勢(shì)能曲線相應(yīng)的原子之間的相互作用力曲線。解：xEp(1)xmin當(dāng)動(dòng)能(dngnng) Ek=0 時(shí)，Ep為最大，兩原子之間有最小距離:Lennard-Jones勢(shì)共七十一頁(yè)平衡位置的條件(tiojin)為F=0，最大引

12、力(ynl)的條件為： (2) 雙原子之間平衡位置的距離(3) 原子間引力最大時(shí)的原子間距xEpx1xminx240共七十一頁(yè)41將平衡位置兩原子(yunz)之間的距離 x1 代入勢(shì)函數(shù)公式，得勢(shì)阱深度：在位置(wi zhi)x1處，保守力F為零。在勢(shì)能曲線的拐點(diǎn)位置 x2 處，保守力F有最小值。(4) 勢(shì)阱深度Ed (5) 畫出與勢(shì)能曲線相應(yīng)的原子之間的相互作用力曲線。xEpx1xminx2xFEND共七十一頁(yè)42一、質(zhì)點(diǎn)系 內(nèi)力(nil)與外力內(nèi)力外力3.4 質(zhì)點(diǎn)系的勢(shì)能(shnng) 勢(shì)能屬于相互作用有保守力的各物體組成的整個(gè)系統(tǒng)，稱相互作用勢(shì)能。與系統(tǒng)內(nèi)的一對(duì)保守內(nèi)力做功有關(guān)。系統(tǒng)內(nèi)，

13、內(nèi)力是成對(duì)出現(xiàn)的。共七十一頁(yè)43二、內(nèi)力(nil)的功相對(duì)(xingdu)元位移 Oij一對(duì)內(nèi)力的功：相對(duì)位矢 共七十一頁(yè)441. 系統(tǒng)內(nèi)一對(duì)(y du)內(nèi)力的功一般不為零。2. 一對(duì)內(nèi)力(nil)做功之和與所選的參照系無(wú)關(guān)。與參照系無(wú)關(guān)。一對(duì)摩擦力做功: Af = - f l (地面系，木塊系，子彈系)說(shuō)明ijsl子彈木塊共七十一頁(yè)45三、相互作用勢(shì)能(shnng)一對(duì)(y du)保守內(nèi)力ij計(jì)算時(shí)，可選其中一個(gè)物體為參照系, 內(nèi)力只對(duì)另一物體做功：如： 重力勢(shì)能屬于地球和物體組成的系統(tǒng)。一對(duì)內(nèi)力作功：O共七十一頁(yè)46 四、多質(zhì)點(diǎn)系統(tǒng)(xtng)的勢(shì)能保守內(nèi)力END其中 為質(zhì)點(diǎn) i 和 j

14、之間的相互作用勢(shì)能。共七十一頁(yè)47作業(yè)(zuy): P103 3-7，3-9，3-10，3-11，3-13， 共七十一頁(yè)48上次(shn c)課主要內(nèi)容保守力 非保守力 質(zhì)點(diǎn)(zhdin)在保守力場(chǎng)中的勢(shì)能是非保守力。是保守力。任意閉合路徑保守力的功等于系統(tǒng)勢(shì)能的減少。設(shè) 為勢(shì)能零點(diǎn)，共七十一頁(yè)49保守力與勢(shì)能(shnng)的關(guān)系：1. 積分(jfn)關(guān)系：2. 微分關(guān)系:一對(duì)內(nèi)力的功：與參照系無(wú)關(guān)上次課主要內(nèi)容一對(duì)保守內(nèi)力的功與相互作用勢(shì)能：共七十一頁(yè)50 一、質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理(dn nn dn l)3.5 功能原理(yunl) 能量守恒定律設(shè)第 i 個(gè)質(zhì)點(diǎn)所受外力的功為 ，內(nèi)力的功為 ,

15、初速度為 , 末速度為 。外力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系做的總功。內(nèi)力對(duì)質(zhì)點(diǎn)系做的總功。共七十一頁(yè)51質(zhì)點(diǎn)系的動(dòng)能定理： 所有外力和內(nèi)力對(duì)系統(tǒng)所作的功之和等于(dngy)系統(tǒng)總動(dòng)能的增量。質(zhì)點(diǎn)系的末態(tài)總動(dòng)能(dngnng)。質(zhì)點(diǎn)系的初態(tài)總動(dòng)能。共七十一頁(yè)52例3-11 光滑水平面上放有質(zhì)量為m1的沙箱， 由左方飛來(lái)質(zhì)量為m2的彈丸從箱左側(cè)擊入， 在沙箱中前進(jìn)(qinjn) l 距離后停止。 在這段時(shí)間中沙箱向右運(yùn)動(dòng)了距離 s ， 此后沙箱帶著彈丸以勻速 v 運(yùn)動(dòng)。求(1) 沙箱對(duì)彈丸的平均阻力F；(2) 彈丸初速v0 ；(3) 沙箱-彈丸系統(tǒng)損失的機(jī)械能。 (2) 對(duì)彈丸，應(yīng)用(yngyng)動(dòng)能定理： (1)

16、 對(duì)沙箱, 應(yīng)用動(dòng)能定理：解：s+l s共七十一頁(yè)53 (3) 機(jī)械能變化(binhu)： 一對(duì)(y du)非保守內(nèi)力(耗散力)做負(fù)功，使系統(tǒng)動(dòng)能減少。s+l s共七十一頁(yè)54二、功能(gngnng)原理 保守內(nèi)力的總功 非保守內(nèi)力的總功內(nèi)力的總功質(zhì)點(diǎn)系的功能原理： 質(zhì)點(diǎn)系在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，所有外力的功和非保守內(nèi)力的功的總和等于系統(tǒng)(xtng)機(jī)械能的增量。共七十一頁(yè)551. 明確(mngqu)系統(tǒng)及初、末狀態(tài)。2. 適用(shyng)于慣性系。3. 機(jī)械能守恒定律與參照系無(wú)關(guān), 而與參照系有關(guān)。在某一慣性系中機(jī)械能守恒，但在另一慣性系中機(jī)械能不一定守恒。系統(tǒng)中的動(dòng)能和勢(shì)能可以轉(zhuǎn)換, 各質(zhì)點(diǎn)間的機(jī)

17、械能也可以互換, 但保持系統(tǒng)的總機(jī)械能不變。 說(shuō)明若 共七十一頁(yè)564. 對(duì)孤立(gl)系統(tǒng)能量(nngling)轉(zhuǎn)換和守恒定律其他形式的能量轉(zhuǎn)化為機(jī)械能。機(jī)械能轉(zhuǎn)化為其他形式的能量。則：共七十一頁(yè)57例3-13 已知鐵鏈質(zhì)量m，長(zhǎng) l ，與桌面摩擦系數(shù)為 。問(wèn)： (1) a 為多少 時(shí)鐵鏈開(kāi)始下滑? (2) 金屬鏈全部離開(kāi)桌面時(shí) v 為多少?(與滑輪(huln)摩擦不計(jì))解：(1)(2) 摩擦力做負(fù)功，以 a 處為坐標(biāo)(zubio)原點(diǎn)下垂部分重力 等于摩擦力時(shí)開(kāi)始下滑.Oxdxa共七十一頁(yè)58利用功能原理(yunl)，以桌面為零勢(shì)能點(diǎn)：Oxdxa共七十一頁(yè)59例3-12 證明流體內(nèi)流速大的

18、地方(dfng)壓力反而小(伯努利方程)。證：由功能原理(yunl)：（忽略高度的變化）單位時(shí)間流過(guò)的水量相等v2v1s2s1s2s1p1p2共七十一頁(yè)60伯努利方程(fngchng)s2s1p1p2共七十一頁(yè)61飛機(jī)(fij)的升力 共七十一頁(yè)62例3-14 計(jì)算(j sun)第一、第二、第三宇宙速度。一、第一(dy)宇宙速度設(shè)發(fā)射速度為v1，繞地球的運(yùn)動(dòng)速度為v機(jī)械能守恒：萬(wàn)有引力提供向心力：RMm第一宇宙速度是指從地面發(fā)射物體，使其在地面附近(離地面的高度與地球半徑相比很小)軌道繞地球飛行所需的最小發(fā)射速度，通常用v1表示。 共七十一頁(yè)63得：第一(dy)宇宙速度共七十一頁(yè)64二、第二(

19、d r)宇宙速度(1) 脫離地球引力時(shí)，飛船的動(dòng)能(dngnng)必須大于或等于零。(2) 脫離地球引力處，飛船的引力勢(shì)能為零。由機(jī)械能守恒：得：第二宇宙速度是指從地面發(fā)射物體，使其脫離地球引力而成為繞太陽(yáng)運(yùn)動(dòng)的人造天體所必須具有的最小發(fā)射速度，通常用v2表示。這就要求物體脫離地球引力時(shí)，其動(dòng)能必須大于或等于零。共七十一頁(yè)三、第三(d sn)宇宙速度首先討論只考慮太陽(yáng)(tiyng)引力作用時(shí)，使地球上的物體脫離太陽(yáng)(tiyng)所需的最小速度v3。類似于第二宇宙速度， v3應(yīng)滿足得：第三宇宙速度是指從地面發(fā)射物體，使其脫離太陽(yáng)系所必須具有的最小發(fā)射速度，通常用v3表示。65共七十一頁(yè)三、第三(

20、d sn)宇宙速度首先討論(toln)只考慮太陽(yáng)引力作用時(shí)，使地球上的物體脫離太陽(yáng)所需的最小速度v3。第三宇宙速度是指從地面發(fā)射物體，使其脫離太陽(yáng)系所必須具有的最小發(fā)射速度，通常用v3表示。v3是物體相對(duì)太陽(yáng)的速率。在地球表面發(fā)射物體時(shí)，物體與地球一起具有地球繞太陽(yáng)的公轉(zhuǎn)速度，即v0=29.8103m/s。如果使物體發(fā)射方向與地球公轉(zhuǎn)速度方向一致，發(fā)射時(shí)物體相對(duì)地球的速度只需要 由于物體是從地球發(fā)射，物體必須還同時(shí)具有脫離地球引力的動(dòng)能，即，脫離地球引力時(shí)物體速度為v3，所以第三宇宙速度要滿足66共七十一頁(yè)67*黑洞(hidng)任何物體都被它的引力所約束，不管(bgun)用多大的速度都無(wú)法脫

21、離，連光都跑不出來(lái)，稱為黑洞。對(duì)于質(zhì)量為M 的天體，若物體的逃逸速度為：質(zhì)量為M 的黑洞的半徑：（史瓦西半徑）第一個(gè)黑洞的侯選者：X射線雙星天鵝座X-1 銀河系中心超大質(zhì)量黑洞 Sgr A*太陽(yáng)質(zhì)量：3 km共七十一頁(yè)68Example. Two satellites A and B of the same mass are going around Earth in concentric orbits. The distance of satellite B from Earths center is twice that of satellite A. What is the ratio of the tangential speed of B to that of A? 1/2 (1/2)1/2 1 21/2 2 Answer: 2. 共七十一頁(yè)69Example. A rock, initially at rest with respect to Earth and located an infinite distance