大自然中的分形現(xiàn)象

1、大自然中的分形現(xiàn)象大樹、問題敘述：1967年，一篇題為英國(guó)的海岸線究竟有多長(zhǎng)？的論文出現(xiàn)在美國(guó)的科學(xué)雜志上，此論文對(duì)海岸線本質(zhì)有獨(dú)特的闡述，甚至震驚了當(dāng)時(shí)的學(xué)術(shù)界。與此同時(shí)，此論文也成 了作者M(jìn)andelbrot思想的轉(zhuǎn)折點(diǎn)。分形理論也從此迅速發(fā)展起來，而Mandelbrot也成了分 形理論的奠基人。翻開過去的歷史，不由的要懷疑分形的誕生和研究海岸線的長(zhǎng)度為什么能夠聯(lián)系在一 起。而大自然中最常見的分形現(xiàn)象就是一一大樹！粗略的看大樹，發(fā)現(xiàn)樹的每一個(gè)分支和整 棵樹的形狀是相似的，將主樹干加上幾根枝條，再對(duì)枝條趨于無限地加枝條，就得到了一棵 完整的樹。聯(lián)系Mandelbrot提出的分形的定義：如果一

2、個(gè)圖形的部分以某種方式與其整體 本身相似，這個(gè)圖形就稱為分形。然后我們就通過繪出數(shù)學(xué)樹”，和真實(shí)的樹相比較，得出大自然中最常見的分形現(xiàn)象。二、問題分析：為了研究方便，我們將樹的結(jié)構(gòu)盡可能簡(jiǎn)化，使他 成為一個(gè)十分簡(jiǎn)單的數(shù)學(xué)模型：設(shè)圖形孔為一條單位長(zhǎng) 直線段，將其二等分，在中點(diǎn)上各向兩邊30。角的方向 延伸出兩條1L長(zhǎng)的線段得到圖形T。將T的每段做3 01 n同樣的變換，得到Tn+1。當(dāng)n趨向于無窮大時(shí)得到一棵圖1“數(shù)學(xué)樹”（見右圖1）。但是這棵“數(shù)學(xué)樹”太簡(jiǎn)單了，如果繪出來的話就不像一棵樹，而像一個(gè)掃帚。為了能夠得到更真實(shí)的樹，我們不妨再給出一個(gè)稍微復(fù)雜的樹模型：設(shè)圖形T為一條1單位長(zhǎng)直線段，在

3、第一個(gè)三等分點(diǎn)上各向兩邊45。角的方向延伸出兩條L0長(zhǎng)的線段，在11中點(diǎn)處向左以30。延伸出2L0長(zhǎng)的線段，再在第二個(gè)三等分點(diǎn)處向右方以30。延伸出3L0的線段。得到圖形T。將二的每5個(gè)分支做同樣的變換，得到“+1 （見下圖2）。圖2三、實(shí)驗(yàn)程序：hold onaxis(-0.5,0.5,0,1)z10=0;z50=i;z20=z10+(z50-z10)/3;z30=z10+(z50-z10)/2;z40=z10+(z50-z10)*2/3;plot(real(z10,z50),imag(z10,z50)convert1=0.75*exp(i*pi/4);convert2=0.75*exp(-

4、i*pi/4);convert3=exp(i*pi/6);convert4=exp(-i*pi/4);A=z10,z50;n=5;N=0;for k=0:(n-1)N=N+5Ak;endfor k=1:Nz10=A(k,1);z50=A(k,2);z20=z10+(z50-z10)/3;z30=z10+(z50-z10)/2;z40=z10+(z50-z10)*2/3;z5(1)=z20+(z50-z20)*convert1;z1(1)=z20;plot(real(z 1(1) ,z5 (1) ),imag(z 1(1) ,z5 (1)z5(2)=z20+(z50-z20)*convert2;

5、z1(2)=z20;plot(real(z1(2),z5(2),imag(z1(2),z5(2)z5(3)=z30+(z50-z30)*convert3;z1(3)=z30;plot(real(z1(3),z5(3),imag(z1(3),z5(3)z5(4)=z40+(z50-z40)*convert4;z1(4)=z40;plot(real(z 1( 4),z5 (4) ),imag(z 1( 4),z5 (4)z5(5)=z50;z1(5)=z40;A(5*k-3,:)=z1(1),z5(1);A(5*k-2,:)=z1(2),z5(2);A(5*k-1,:)=z1(3),z5(3);A

6、(5*k,:)=z1(4),z5(4);A(5*k+1,:)=z1(5),z5(5);end四、實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)果及分析：“數(shù)學(xué)樹”迭代次數(shù)為n,此時(shí)我們令n分別為1、3和5,下面三幅圖分別為對(duì)應(yīng)迭代圖。0.90.80. 70.60.50.40.30.20. 10 -0. 5 -0. 4 -0. 3 -0. 2 -0. 100. 1 0. 2 0. 3 0. 4 0. 5迭代一次10.90.80.70.60.50.40.30.2 0.101111090.80. 70.60.50.40.30.20. 10-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0. 100. 1 0.2 0.3 0.4 0.5迭代三次00.10.20.30.40.5-0.5-0.4-0.3-0.2-0.1迭代五次五、實(shí)驗(yàn)結(jié)論從上面的實(shí)驗(yàn)結(jié)果可知，“數(shù)學(xué)樹”和真實(shí)的大樹相比（下面兩幅圖），可知大樹背后就隱藏著這類具有自相似層次結(jié)構(gòu)的分形幾何原理。10.90.80.70.60.50.40.30.20.10-0.5 -0.4 -0.3 -0.2 -0.100.10.20.30.40.5綜上所述，在我們