誤差理論的基本知識(shí)和方法

1、誤差理論的基本知識(shí)和方法 61觀測(cè)誤差1、什么是誤差誤差（Error)（真誤差）： 觀測(cè)值L與真值X的差值。 = L X真值X：反映一個(gè)量真正大小的絕對(duì)準(zhǔn)確的數(shù)值。 2、觀測(cè)誤差產(chǎn)生的原因：人-觀測(cè)者感覺器官的鑒別力的局限儀器-測(cè)量?jī)x器與測(cè)量方法給觀測(cè)結(jié)果帶來誤差客觀環(huán)境-客觀環(huán)境給觀測(cè)結(jié)果帶來的影響觀測(cè)條件： 人、儀器、客觀環(huán)境總稱觀測(cè)條件，它們是引起觀測(cè)誤差的主要因素。多余觀測(cè)(redundant observation )：觀測(cè)的個(gè)數(shù)多于未知量的個(gè)數(shù)3、誤差的分類粗差(Appreciable Arror) ： 由測(cè)量人員粗心大意或儀器故障所造成的差錯(cuò)，稱為粗差。系統(tǒng)誤差(Regular

2、Error) ： 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行多次的觀測(cè)，如果出現(xiàn)的誤差在符號(hào)和數(shù)值上都相同，或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為“系統(tǒng)誤差”。偶然誤差(Irregular Error) ： 在相同的觀測(cè)條件下，對(duì)某一量進(jìn)行多次的觀測(cè)，如果誤差出現(xiàn)的符號(hào)和數(shù)值大小都不相同，從表面上看沒有任何規(guī)律性，這種誤差稱為“偶然誤差”。62偶然誤差的特性 在相同的觀測(cè)條件下，獨(dú)立地觀測(cè)了817個(gè)三角形的全部?jī)?nèi)角。由于觀測(cè)結(jié)果中存在著偶然誤差，三角形的三個(gè)內(nèi)角觀測(cè)值之和不等于其內(nèi)角和的理論值（真值）。設(shè)三角形內(nèi)角和的真值為X，觀測(cè)值為L(zhǎng)i，則其真誤差（或簡(jiǎn)稱誤差）為 i =Li -X（i一1，2，n） 對(duì)于

3、每個(gè)三角形來說，i是每個(gè)三角形內(nèi)角和的真誤差，Li是每個(gè)三角形三個(gè)內(nèi)均觀測(cè)值之和，X為180?，F(xiàn)將817個(gè)真誤差按每0.5為一區(qū)間，以誤差值的大小及其正負(fù)號(hào)，分別統(tǒng)計(jì)出在各誤差區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)v，及相對(duì)個(gè)數(shù)v817。 i = Li - X ( i = 1,2,n) 現(xiàn)將817個(gè)真誤差按每0.5為一區(qū)間，以誤差值的大小及其正負(fù)號(hào)，分別統(tǒng)計(jì)出在各誤差區(qū)間內(nèi)的個(gè)數(shù)v，及相對(duì)個(gè)數(shù)v817。 i = Li - X ( i = 1,2,n) 偶然誤差的特性有界性：聚中性：對(duì)稱性：抵償性： 實(shí)踐表明，對(duì)于在相同條件下獨(dú)立進(jìn)行的一組觀測(cè)來說，不論其觀測(cè)條件如何，也不論是對(duì)一個(gè)量還是對(duì)多個(gè)量進(jìn)行觀測(cè)，這組觀測(cè)誤差必

4、然具有上述四個(gè)特性。而且，當(dāng)觀測(cè)的個(gè)數(shù)n愈大時(shí)，這種特性就表現(xiàn)得愈明顯。偶然誤差的這種特性，又稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律性。 偶然誤差的概率分布偶然誤差分布曲線2:方差:標(biāo)準(zhǔn)差 Standard Error橫坐標(biāo)表示誤差的大小與正負(fù)，縱坐標(biāo)代表誤差出現(xiàn)于各區(qū)間的頻率除以區(qū)間間隔 當(dāng)觀測(cè)次數(shù)愈來愈多，誤差出現(xiàn)在各個(gè)區(qū)間的相對(duì)個(gè)數(shù)的變動(dòng)幅度就愈來愈小。當(dāng)n足夠大時(shí)，誤差在各個(gè)區(qū)間出現(xiàn)的相對(duì)個(gè)數(shù)就趨于穩(wěn)定。當(dāng)觀測(cè)次數(shù)足夠多時(shí)，如果把誤差的區(qū)間間隔無限縮小，則圖中各長(zhǎng)方形頂邊所形成的折線將變成一條光滑曲線，稱為誤差分布曲線。其方程（稱概率密度）為 式中參數(shù) 是觀測(cè)誤差的標(biāo)準(zhǔn)差（方根差或均方根差） 對(duì)偶然誤差分布曲線

5、形狀的影響f()O0.6830.683 愈小，曲線頂點(diǎn)愈高，誤差分布比較密集；反之較離散。 1f ()是偶函數(shù)。即絕對(duì)值相等的正誤差與負(fù)誤差求得的f（）相等，所以曲線對(duì)稱于縱軸。這就是偶然誤差的第三特性。 2，愈小，f（）愈大。當(dāng)=0時(shí)，f（）有最大值：，反之，愈大，f（）愈小。當(dāng)時(shí)，f（）0。所以，橫軸是曲線的漸近線。由于f（）隨著的增大而較快地減小，所以當(dāng)?shù)竭_(dá)某值，而f（）已較小，實(shí)際上可以看作零時(shí)，這樣的可作為誤差的限值。這就是偶然誤差的第一和第二特性。63評(píng)定精度的指標(biāo) 在一定的觀測(cè)條件下進(jìn)行一組觀測(cè)，其誤差分布的集中或離散程度即精度。如果該組誤差值總的說來偏小些，即誤差分布比較密集，

6、則表示該組觀測(cè)質(zhì)量好些，這時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差的值也較??；反之，即誤差分布比較分散，則表示該組觀測(cè)質(zhì)量差些，這時(shí)標(biāo)準(zhǔn)差的值也就較大。因此，一組觀測(cè)誤差所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差值的大小，反映了該組觀測(cè)結(jié)果的精度。 所以在評(píng)定觀測(cè)精度時(shí)，可用該組誤差所對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)差的值。1、中誤差求值要求觀測(cè)個(gè)數(shù)n，但這實(shí)際是不可能的。 在測(cè)量工作中，觀測(cè)個(gè)數(shù)總是有限的，為了評(píng)定精度，一般采用中誤差m，其公式為：式中方括號(hào)表示總和，i（i=l，2n）為一組同精度觀測(cè)的真誤差。標(biāo)準(zhǔn)差跟中誤差m的差別在觀測(cè)個(gè)數(shù)n上： 標(biāo)準(zhǔn)差表征了一組同精度觀測(cè)在n時(shí)誤差分布的擴(kuò)散特性，即理論上的觀測(cè)精度指標(biāo)； 中誤差則是一組同精度觀測(cè)在n為有限個(gè)數(shù)時(shí)求得的

7、觀測(cè)精度指標(biāo)。所以中誤差實(shí)際上是標(biāo)準(zhǔn)差的近似值（估值）；隨著n的增大，m將趨近于。 在相同的觀測(cè)條件下進(jìn)行的一組觀測(cè)，得出的每一個(gè)觀測(cè)值都稱為同精度觀測(cè)值。由于它們對(duì)應(yīng)著一個(gè)誤差分布，即對(duì)應(yīng)著一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)差，而標(biāo)準(zhǔn)差的估值即為中誤差。因此，同精度觀測(cè)值具有相同的中誤差。但是，同精度觀測(cè)值的真誤差卻彼此并不相等，有的差別還比較大，這是由于真誤差具有偶然誤差性質(zhì)的緣故。中誤差可以突出地反映誤差集中和離散的程度。在計(jì)算m值時(shí)注意取23位有效數(shù)字，并在數(shù)值前冠以“士”號(hào)，數(shù)值后寫上“單位”。 例 設(shè)對(duì)某個(gè)三角形用兩種不同的精度分別對(duì)它進(jìn)行了10次觀測(cè)，試求這兩組觀測(cè)值的中誤差。 2、平均誤差和或然誤差在測(cè)

8、量工作中，對(duì)于評(píng)定一組同精度觀測(cè)值的精度來說，為了計(jì)算上的方便或別的原因，在某些精度評(píng)定時(shí)也采用下述精度指標(biāo)：稱為平均誤差，它是誤差絕對(duì)值的平均值。 在某些國(guó)家，也有將一組誤差按其絕對(duì)值的大小順序排列，取居中的一個(gè)誤差值作為精度指標(biāo)，并稱為或然誤差，以表示，在誤差理論中可以證明，對(duì)于同一組觀測(cè)誤差來說，當(dāng)n時(shí)，求得的中誤差m、平均誤差和或然誤差之間都有一定的數(shù)量關(guān)系。即根據(jù)理論知道，大于中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性約為31.7%。大于兩倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性約為，大于三倍中誤差的真誤差，其出現(xiàn)的可能性只占3左右。因此測(cè)量中常取兩倍中誤差作為誤差的限值，也就是在測(cè)量中規(guī)定的容許誤差（

9、或稱限差）。即容=2m在有的測(cè)量規(guī)范中也有取三倍中誤差作為容許誤差的。 3、容許誤差4、相對(duì)誤差有時(shí)利用中誤差還不能反映測(cè)量的精度。例如丈量?jī)蓷l直線，一條長(zhǎng)100m，另一條長(zhǎng)20m，它們的中誤差都是10mm，那么，能不能說兩者測(cè)量精度相同呢？不能！而是前者優(yōu)于后者。為此，利用中誤差與觀測(cè)值的比值，即miLi來評(píng)定精度，通常稱此比值為相對(duì)中誤差。相對(duì)中誤差都要求寫成分子為1的分式，即1N。上例為即前者的精度比后者高。 有時(shí)，求得真誤差和容許誤差后，也用相對(duì)誤差來表示。例如，在導(dǎo)線測(cè)量中，假設(shè)起算數(shù)據(jù)沒有誤差時(shí)，求出的全長(zhǎng)相對(duì)閉合差也就是相對(duì)真誤差；而規(guī)范中規(guī)定全長(zhǎng)相對(duì)閉合差不能超過12000或1

10、15000，它就是相對(duì)容許誤差。 與相對(duì)誤差相對(duì)應(yīng)，真誤差、中誤差、容許誤差都稱為絕對(duì)誤差。 6-4誤差傳播定律 在實(shí)際工作中有許多未知量不能直接觀測(cè)而求其值，需要由觀測(cè)值間接計(jì)算出來。例如某未知點(diǎn)B的高程HB，是由起始點(diǎn)A的高程HA加上從A點(diǎn)到B點(diǎn)間進(jìn)行了若干站水準(zhǔn)測(cè)量而得來的觀測(cè)高差h1hn求和得出的。這時(shí)未知點(diǎn)B的高程HB是各獨(dú)立觀測(cè)值的函數(shù)。闡述觀測(cè)值中誤差與觀測(cè)值函數(shù)中誤差之間關(guān)系的定律，稱為誤差傳播定律。 一、倍數(shù)函數(shù)設(shè)有函數(shù)：Z為觀測(cè)值的函數(shù)，K為常數(shù)，X為觀測(cè)值，已知其中誤差為mx，求Z的中誤差mZ。設(shè)x和z的真誤差分別為x和z則 若對(duì)x 共觀測(cè)了n次，則將上式平方，得求和，并

11、除以n，得即，觀測(cè)值與常數(shù)乘積的中誤差，等于觀測(cè)值中誤差乘常數(shù)。 例 在1：500比例尺地形圖上，量得A、 B兩點(diǎn)間的距離SAB，其中誤差msab=土，求A、B間的實(shí)地距離SAB及其中誤差msAB。 解： SAB=500*Sab 得 msAB500*mSab500*（士） =土100mm 最后答案為SAB士 二、和或差的函數(shù)設(shè)有函數(shù)：Z為x、y的和或差的函數(shù)，x、y為獨(dú)立觀測(cè)值，已知其中誤差為mx、my，求Z的中誤差mZ。設(shè)x、y和z的真誤差分別為x、y和z則 若對(duì)x、y 均觀測(cè)了n次，則將上式平方，得 由于x、y均為偶然誤差，其符號(hào)為正或負(fù)的機(jī)會(huì)相同，因?yàn)閤、y為獨(dú)立誤差，它們出現(xiàn)的正、負(fù)號(hào)

12、互不相關(guān)，所以其乘積xy也具有正負(fù)機(jī)會(huì)相同的性質(zhì)，在求xy時(shí)其正值與負(fù)值有互相抵消的可能；當(dāng)n愈大時(shí)，上式中最后一項(xiàng)xy/n將趨近于零，即求和，并除以n，得 滿足上式的誤差x、y稱為互相獨(dú)立的誤差，簡(jiǎn)稱獨(dú)立誤差，相應(yīng)的觀測(cè)值稱為獨(dú)立觀測(cè)值。對(duì)于獨(dú)立觀測(cè)值來說，即使n是有限量，由于 式 殘存的值不大，一般就忽視它的影響。根據(jù)中誤差定義，得即，兩觀測(cè)值代數(shù)和的中誤差平方，等于兩觀測(cè)值中誤差的平方之和。當(dāng)z是一組觀測(cè)值X1、X2Xn代數(shù)和（差）的函數(shù)時(shí)，即可以得出函數(shù)Z的中誤差平方為 式中mxi是觀測(cè)值xi的中誤差。n個(gè)觀測(cè)值代數(shù)和（差）的中誤差平方，等于n個(gè)觀測(cè)值中誤差平方之和。當(dāng)諸觀測(cè)值xi為同

13、精度觀測(cè)值時(shí)，設(shè)其中誤差為m，即 mx1=mx2=mxn=m則為這就是說，在同精度觀測(cè)時(shí)，觀測(cè)值代數(shù)和（差）的中誤差，與觀測(cè)值個(gè)數(shù)n的平方根成正比。 例設(shè)用長(zhǎng)為L(zhǎng)的卷尺量距，共丈量了n個(gè)尺段，已知每尺段量距的中誤差都為m，求全長(zhǎng)S的中誤差ms。解：因?yàn)槿L(zhǎng)S=LLL（式中共有n個(gè)L）。而L的中誤差為m。量距的中誤差與丈量段數(shù)n的平方根成正比。例如以 30m長(zhǎng)的鋼尺丈量 90m的距離，當(dāng)每尺段量距的中誤差為5mm時(shí)，全長(zhǎng)的中誤差為 當(dāng)使用量距的鋼尺長(zhǎng)度相等，每尺段的量距中誤差都為mL，則每公里長(zhǎng)度的量距中誤差mKm也是相等的。當(dāng)對(duì)長(zhǎng)度為S公里的距離丈量時(shí)，全長(zhǎng)的真誤差將是S個(gè)一公里丈量真誤差的代

14、數(shù)和，于是S公里的中誤差為式中，S的單位是公里。即：在距離丈量中，距離S的量距中誤差與長(zhǎng)度S的平方根成正比。例 為了求得A、B兩水準(zhǔn)點(diǎn)間的高差，今自A點(diǎn)開始進(jìn)行水準(zhǔn)測(cè)量，經(jīng)n站后測(cè)完。已知每站高差的中誤差均為m站，求A、B兩點(diǎn)間高差的中誤差。解：因?yàn)锳、B兩點(diǎn)間高差hAB等于各站的觀測(cè)高差hi（i=l，2n）之和，即hAB=HB-HA=h1+h2+.+hn 即，水準(zhǔn)測(cè)量高差的中誤差，與測(cè)站數(shù)n的平方根成正比。 在不同的水準(zhǔn)路線上，即使兩點(diǎn)間的路線長(zhǎng)度相同，設(shè)站數(shù)不同時(shí)，則兩點(diǎn)間高差的中誤差也不同。但是，當(dāng)水準(zhǔn)路線通過平坦地區(qū)時(shí)，每公里的水準(zhǔn)測(cè)量高差的中誤差可以認(rèn)為相同，設(shè)為mkm。當(dāng)A、B兩點(diǎn)

15、間的水準(zhǔn)路線為S公里時(shí)，A、B點(diǎn)間高差的中誤差為即，水準(zhǔn)測(cè)量高差的中誤差與距離S的平方根成正比。 或例如，已知用某種儀器，按某種操作方法進(jìn)行水準(zhǔn)測(cè)量時(shí)，每公里高差的中誤差為20mm，則按這種水準(zhǔn)測(cè)量進(jìn)行了25km后，測(cè)得高差的中誤差為 在水準(zhǔn)測(cè)量作業(yè)時(shí)， 對(duì)于地形起伏不大的地區(qū)或平坦地區(qū)，可用式計(jì)算高差的中誤差； 對(duì)于起伏較大的地區(qū)，則用 式計(jì)算高差的中誤差。 在一個(gè)觀測(cè)量中，常常同時(shí)存在幾個(gè)無函數(shù)關(guān)系的誤差，如在水準(zhǔn)測(cè)量中進(jìn)行后視或前視讀數(shù)時(shí)，有水準(zhǔn)管氣泡不精確居中所引起的視線不嚴(yán)格水平而產(chǎn)生的誤差，有估讀毫米值的估讀誤差等。這些誤差在觀測(cè)成果中是相加的關(guān)系。如只考慮讀尺誤差的影響，由于則一

16、個(gè)測(cè)站高差h=a-b,則其中誤差為三、線性函救設(shè)有線性函數(shù)：則有例 設(shè)有線性函救觀測(cè)量的中誤差分別為，求Z的中誤差 四、一般函數(shù)式中xi(i=1，2n)為獨(dú)立觀測(cè)值，已知其中誤差為mi(i=1 2n)，求z的中誤差。 當(dāng)xi具有真誤差時(shí)，函數(shù)Z相應(yīng)地產(chǎn)生真誤差z。這些真誤差都是一個(gè)小值，由數(shù)學(xué)分析可知，變量的誤差與函數(shù)的誤差之間的關(guān)系，可以近似地用函數(shù)的全微分來表達(dá)。式中 （i=l，2n）是函數(shù)對(duì)各個(gè)變量所取的偏導(dǎo)數(shù)，以觀測(cè)值代入所算出的數(shù)值，它們是常數(shù)，因此上式是線性函數(shù)可為： 例 設(shè)有某函數(shù)z=Ssin式中，其中誤差ms=士005m； =1194500，其中誤差m=20.6；求z的中誤差m

17、z。解：因?yàn)閦=Ssin，所以z是S及a的一般函數(shù)。求觀測(cè)值函數(shù)的精度時(shí)，可歸納為如下三步： 1）按問題的要求寫出函數(shù)式： 2）對(duì)函數(shù)式全微分，得出函數(shù)的真誤差與觀測(cè)值真誤差之間的關(guān)系式：式中， 是用觀測(cè)值代入求得的值。3）寫出函數(shù)中誤差與觀測(cè)值中誤差之間的關(guān)系式： 例如，設(shè)有函數(shù)z=xy，而y=3x，此時(shí)， 。因?yàn)閤與y不是獨(dú)立觀測(cè)值，因?yàn)椴徽搉值多少，恒有因此，應(yīng)把Z化成獨(dú)立觀測(cè)值的函數(shù)，即z=x+3x=4x上式中X與3X兩項(xiàng)是由同一個(gè)觀測(cè)值X組成的，必須先并項(xiàng)為z= 4x 而后求其中誤差，即mz= 4mx6-5算術(shù)平均值及其中誤差 設(shè)在相同的觀測(cè)條件下對(duì)未知量觀測(cè)了n次，觀測(cè)值為L(zhǎng)1、L

18、2Ln，現(xiàn)在要根據(jù)這n個(gè)觀測(cè)值確定出該未知量的最或然值。 設(shè)未知量的真值為X，寫出觀測(cè)值的真誤差公式為i= Li-X (i=1,2n)將上式相加得或故設(shè)以x表示上式右邊第一項(xiàng)的觀測(cè)值的算術(shù)平均值，即以X表示算術(shù)平均值的真誤差，即代入上式，則得由偶然誤差第四特性知道，當(dāng)觀測(cè)次數(shù)無限增多時(shí)，X趨近于零，即也就是說，n趨近無窮大時(shí)，算術(shù)平均值即為真值?，F(xiàn)在來推導(dǎo)算術(shù)平均值的中誤差公式。因?yàn)槭街校?n為常數(shù)。由于各獨(dú)立觀測(cè)值的精度相同，設(shè)其中誤差均為m?，F(xiàn)以mx表示算術(shù)平均值的中誤差，則可得算術(shù)平均值的中誤差為故 即算術(shù)平均值的中誤差為觀測(cè)值的中誤差的 倍。 66同精度觀測(cè)值的中誤差 同精度觀測(cè)值中誤

19、差的計(jì)算公式為而 這是利用觀測(cè)值真誤差求觀測(cè)值中誤差的定義公式，由于未知量的真值往往是不知道的，真誤差也就不知道了。所以，一般不能直接利用上式求觀測(cè)值的中誤差。但是未知量的最或然值是可以求得的，它和觀測(cè)值的差數(shù)也可以求得，即因n為有限值，故在實(shí)用上可以用x的中誤差近似地代替x的真誤差，即 為用改正數(shù)來求觀測(cè)值中誤差的公式，稱為白塞爾公式。用改正數(shù)計(jì)算最或然值中誤差的公式為 67廣義算術(shù)平均值及權(quán) 一、廣義算術(shù)平均值如果對(duì)某個(gè)未知量進(jìn)行n次同精度觀測(cè)，則其最或然值即為n次觀測(cè)量的算術(shù)平均值：在相同條件下對(duì)某段長(zhǎng)度進(jìn)行兩組丈量：第一組：第二組： 算術(shù)平均值分別為其中誤差分別為：全部同精度觀測(cè)值的最

20、或然值為：在值的大小體現(xiàn)了中比重的大小，稱為的權(quán)。令若有不同精度觀測(cè)值其權(quán)分別為該量的最或然值可擴(kuò)充為：稱之為廣義算術(shù)平均值。當(dāng)各觀測(cè)值精度相同時(shí)二 權(quán)1、定權(quán)的基本公式：稱為中誤差，為單位權(quán)觀測(cè)值，當(dāng)觀測(cè)值稱為單位權(quán)，單位權(quán)中誤差。習(xí)慣上取一次觀測(cè)、一測(cè)回、一千米線路、一米長(zhǎng)的測(cè)量誤差為單位權(quán)中誤差。2、權(quán)的特性1 反映了觀測(cè)值的相互精度關(guān)系。 3 不在乎權(quán)本身數(shù)值的大小，而在于相互的比例關(guān)系 。值的 大小，對(duì)X值毫無影響。24 若是同類量的觀測(cè)值，此時(shí)，權(quán)無單位。若是不同類量的觀測(cè)值，權(quán)是否有單位不能一概而論，而視具體情況而定。例：已知的中誤差分別為：設(shè)若設(shè)1 水準(zhǔn)路線觀測(cè)高差的權(quán)例：常用定權(quán)公式當(dāng)各測(cè)站觀測(cè)高差的精度相同時(shí)，水準(zhǔn)路線觀測(cè)高差的權(quán)與測(cè)站數(shù)成反比。