導(dǎo)數(shù)中的多元問(wèn)題四種方法及答案

1、秒殺壓軸題之導(dǎo)數(shù)中的“二元問(wèn)題”摘要：多元問(wèn)題中的二元問(wèn)題是導(dǎo)數(shù)中的熱點(diǎn).本文主要例釋四種解決二元問(wèn)題的方法即換 元法、消元法、主元法，構(gòu)造函數(shù)法，通過(guò)一題多解充分詮釋各種方法之間的內(nèi)部聯(lián)系.這 四種方法可以基本解決幾乎所有二元問(wèn)題.另一類“二元問(wèn)題”將在下一篇文章極值點(diǎn)偏 移中詳細(xì)解答.關(guān)鍵詞：二元；主元法；換元法；消元法；構(gòu)造函數(shù)一、構(gòu)造函數(shù)法()B. ex2 - ex1 ln x - ln xC. x ex1 x ex2解：考察選項(xiàng)A，等價(jià)于ex2 -ln x2 ex1 - ln x1為f (x) = ex -1在x e(0,1)上有穿越式零點(diǎn)x等價(jià)于 登 竺，可以構(gòu)造函數(shù)g (x )=

2、竺，x e(0,1) .原不等式等價(jià)于 x xx即g (x)單調(diào)遞減.因?yàn)間 (x) =(x -1)ex v 0，故選項(xiàng)C正確，選項(xiàng)D錯(cuò)誤.不正確;g (x ) g (x ) 12都有 f (xi )- f (x2 ) v xi - x2 恒成立，小結(jié)：構(gòu)造新函數(shù)的一般步驟：分離變量-構(gòu)造相同結(jié)構(gòu)-構(gòu)造新函數(shù)-利用函數(shù)的單調(diào) 性解決問(wèn)題.在例1的(*)式中也可以構(gòu)造新函數(shù)，但是卻解決不了問(wèn)題，請(qǐng)問(wèn)為什么？ 練習(xí)1： 1，函數(shù)f (x)= lnx+ -，對(duì)任意的氣 x2 0， 求k的范圍.解：不等式f (x)-f (x)vx-x恒成立，f (x )- x v f (x )- x，又 x x 0，

3、112212g (x) = f (x) - x 在(0,+8)上是減函數(shù)，g (x) = f x) - 1 0 恒成立，即 1 - - 1 -x2 + x 在(0,+8)上恒成立， 即 k (-x2 + x)max TOC o 1-5 h z .1-k的范圍是 , +8 .L 4J氣 G (0, +8)，若2，函數(shù) f (x)= (a + 1)ln x+ax2 +1，設(shè)a v -1，任意的氣，If (x )- f (x )| 4 |x - x I恒成立，求a的范圍.解：f -(x)=心 +2ax =2ax2 + (a +1) xx-a v -1，2ax2 v 0, a +1 v 0，f (x)

4、v 0，. f (x)在(0,+8)上是減函數(shù)，(也可以用觀察法判斷單調(diào)性)，1210 f (x )- f (x) 4(x - x )= 4x - 4x ，不妨設(shè)氣 x2 0，則f (x )v f (x )If (七)f (x2 ) 4 |x1 - x20 f (x )+4x f (x )+4x，g (x) = f (x)+4x 在(0,+8)上是減函數(shù)，.I g （X） = f （X） + 4 0 ,即 2ax2 + 4x + a +1 0 , -4 x -1/ 八、（-4 x 一 1 二一2,* 2 x 2 + 偵 min a -在（0,+8）上恒成立，即a 2 x 2 +1 a的取值范圍

5、是（3,2】.二、消元法例2： （2018年全國(guó)1卷21）已知函數(shù)f （x） =1 -X + alnx . Xf（X,）- f（X。）01 0（1）討論f （X）的單調(diào)性；(2)若f (x)存在兩個(gè)極值點(diǎn)X/ I?，證明:1- a - X 2 + ax -1 TOC o 1-5 h z 解：(1) f (x) =1 + =，關(guān)于x的一元二次方程-X2 + ax -1=0，A = a2 - 4，當(dāng)-2 a 2時(shí)，A 0，廣(x) 0在(0,+3)上恒成立，則f (x )在(0,+s)上是單 調(diào)遞減的；當(dāng)a 2時(shí)，A 0，令廣(x)=0，得a + 偵 a2 42X2XX2氣-2，當(dāng)a 2時(shí)，因?yàn)闅?/p>

6、；切2 -4 %；a2 = |a| = a，所以0當(dāng)0 X X1時(shí)，f( x) 0，則f (x )在(0, X1)上是單調(diào)遞減的；當(dāng)X X 0，則f (x )在(x ,x )上是單調(diào)遞增的； 1212當(dāng)X X2時(shí)，f (x) 0，則f(x)在(X2 ,+3)上是單調(diào)遞減的；當(dāng) a -2 時(shí)，因?yàn)?J a2 - 4 J云=|a| = -a，所以 X1 X2 0，f (X) 0在(0,+8)上恒成立，則f (x)在(0,+3)上是單調(diào)遞減的；綜上：當(dāng)a 2時(shí)，f (x )在a - a2 4a - a2 4 a + w a2 4、(0,一七)上單調(diào)遞減，在(一藥,一七)上單調(diào)遞增，在/ a + 對(duì)

7、a 2 4(,+3)上單調(diào)遞減.小結(jié)：分類討論中參數(shù)的幾種臨界值點(diǎn)(以導(dǎo)函數(shù)對(duì)應(yīng)二次型為例)導(dǎo)函數(shù)零點(diǎn)的存在性；導(dǎo)函數(shù)的多零點(diǎn)大小的比較；導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)與定義域區(qū)間端點(diǎn)大小的比較；*定義域及開(kāi)口方向.本題中出現(xiàn)了兩類臨界值點(diǎn)，也可以認(rèn)為是零點(diǎn)在定義域內(nèi)的存在性的討論產(chǎn)生的臨 界值點(diǎn)X1，X2與0.c c-1C-(2)由(1)知a 2， 0 x X 且XX =1，則X =一，且0 X 1. 12122 X1曲、（X ）- f（X ）c要證 一1一-一 a - 2 ,X 一 X1-GX X1- x )+ a(lnx - Inx )x XIn x In x x x ,(* )u ln x ln x X

8、 + X 0 u 2ln x x + 上 0 121211 x令 t X1，則 t e(0，1)，設(shè) g (t) = 2ln t t + - , g (t) = 一 一1 = 一J 0，所以g(t)在t e(0，X )上單調(diào)遞減，g(t) g=0，所以原不等式成立，即f (x )- f(X)勺1 e2.解：(1) a e 一一,0 ；I e )ln x + ax = 0fln x + ln x = a(x + x )1 n1212ln x + ax = 0|ln x ln x = a(x x )2V 1212不妨設(shè)X1 X2 0，由題意知消掉參數(shù) a 得 ln X + ln X = X1 +

9、X2 (ln x 一 ln x )消掉參數(shù)得，12 x 一 X 12工(lnx -lnx ) 2 = ln二 X X 12X要證 x x e2 = ln x + ln x 2。2(x 一 X )，X + X2一 X即證ln -X2(X 二-1X2)x 1 i +1X2X令 t = T，則 t 1X2則 g (t)=14t2 0-1)4,、i 4仁也就是證 ln t = 2 ，令 g (t) = ln t + 2 ,t +1 t +1t +1 0,所以 g(t)在(1，+3)上單調(diào)遞增，g(t) g(1) = 0即原不等式成立.小結(jié)：換元法的本質(zhì)是整體的思想，把兩個(gè)元看成一個(gè)整體，從而達(dá)到消元的

10、目的.練習(xí) 3：函數(shù) f (X) = 2ln X 1 ax2 + (2 a)x，(1)討論f (x)的單調(diào)性；(2) 任意的x，x日0, +皿，且x x，存在正實(shí)數(shù)x，使得f (x )- f (x )=f (x ) (x -x) TOC o 1-5 h z 1212021021成立，試比較f x )與f |弓2的大小.0 k 2 7解：f (x)的定義域?yàn)?，+3)，f (x) = ax + 2 a = ， HYPERLINK l bookmark21 o Current Document xx若a 0，f (x )在(0, +3)上單調(diào)遞增；2若 a 0，令 f (x) = 0 得 x =

11、一，a-2、八 L 2 當(dāng)0 v x v 一時(shí)，f (x) 0，f (x)在0,上單調(diào)遞增; ak a)2 八 2、當(dāng)x a時(shí)，f (x) v0，f在h+3)上單調(diào)遞減.小結(jié)：參數(shù)的兩類臨界值根的存在性與開(kāi)口方向，臨界值重合即a 0.20 x x(In x - In x ) 2氣)21 x + x12(2 )由 f (x2) f (氣)寸(x0) (x2 氣)得 f (x )= f 2)f R)廣(牛f22 )2( 土 -1)xxln 1x x q1+1xx令 t = T，則 t 1， x12(生-1)xxln 1= ln txx1T+ 1x12(t 1),、 i2(t 1) |4草廠，令 g

12、 (t) =ln t-匚行=lnt + 曲-2因?yàn)間(t)=云，所以g在(1，+3)上單調(diào)遞增，g g(1) = 0，又三T 0，所以f (x ) f (耳冬.x2 氣0 k 2 )思考：哪樣的函數(shù)任意兩點(diǎn)割線的斜率總是大于中點(diǎn)切線的斜率?四、主元法例4：(1)函數(shù) f (x)= (x 2 + ax+b )e 判斷f(x)的單調(diào)性；x對(duì)任意不相等的x1，x2求證：f解：(1) f (x) = ex x2 + (a + 2)x + a + b(x + x)k 27，f (x)+ f (x )V 122A = (a + 2)2 4(a + b) = a2 + 4 4b，因?yàn)閎 a 2 + 2，所以

13、A V -3a 2 - 4 V 0,所以f (x) 0在R上恒成立，所以f (x)在R是單調(diào)遞增的；(2)不妨設(shè)氣V x2，則x G (-3, x )，(x +x )k 27(x +x )k 2x + x因?yàn)閤 V %，所以七 x，又f (x )是R上的增函數(shù)，1221所以g (x1 ) 0，即g (x1)是(-3, x2 )上的增函數(shù)，/ f (x ) + f (x )V12所以g (氣)V g (x) = 0，即f小結(jié)：把二元中的其中一個(gè)元看成主元，另一個(gè)看成參數(shù)，達(dá)到消元的目的，化歸的思想.這里要關(guān)注氣，x2的相對(duì)大小，即新的主元的范圍.練習(xí)4：函數(shù)f (x) = lnx-ax在x =

14、1處的切線平行于x軸圖像上不同的兩點(diǎn)，且AB的斜率為k，求證：若氣A (x , y ), B (x , y )是 y = f (x)1 12 211則一1V k V 1x2解：(1) f(x) = - - a，廣=1-a = 0，a = 1. x(2) a = 1,f(x) = ln x - x心 f (x ) f (x ) In x In x k =1=12 1，x xx x12121 71 11In x In x要證1 v k V 1 V12xx x x x HYPERLINK l bookmark42 o Current Document 12121 ln x In x法一：(主元法)要

15、證一 V一12，x x xx 只要證 ln x ln x T + 1 V 012 x2令 t = x，則 t g (0, x )， h(t) = ln t ln x2 +1，21V x1(*)11x h (t) = = t t x tx所以h(t)在(0,x2)上單調(diào)遞增，h(t) 0 , xx TOC o 1-5 h z ,x1 一令，一f，則 t e (0,1), h(t) = ln t + -1x2t，ln x - ln x12，x1 - x2所以h(t)在(0,1)上單調(diào)遞減，h(t) h(1) = 0ln x - ln x11即不等式 一12一成立，同理可證一一x - xxx1 ln x - ln x 1所以二V x1 x 2 V；成立x x -x x1,1法三：(構(gòu)造函數(shù)法)要證一-1v k v -1，xx TOC o 1-5 h z