數(shù)字邏輯基礎(chǔ)(1).ppt課件

1、第一章 數(shù)字邏輯基礎(chǔ)本章要點(diǎn)本章主要介紹了數(shù)字電路的概念及其相關(guān)內(nèi)容，數(shù)字電路中常用的數(shù)制與碼制，三種基本邏輯運(yùn)算，邏輯代數(shù)的基本概念、公式和定理，邏輯函數(shù)及其表示方法，應(yīng)用公式、定理及卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。邏輯代數(shù)是分析和設(shè)計(jì)數(shù)字電路的重要工具。利用邏輯代數(shù)，可以把實(shí)際邏輯問題抽象為邏輯函數(shù)來(lái)描述，并且可以用邏輯運(yùn)算的方法，解決邏輯電路的分析和設(shè)計(jì)問題。模擬信號(hào)：隨時(shí)間連續(xù)變化的信號(hào)。模擬電路：能夠用來(lái)產(chǎn)生、傳輸、處理模擬信號(hào)的電路。數(shù)字信號(hào)：在時(shí)間和數(shù)值上都不連續(xù)變化的離散信號(hào)。數(shù)字電路：能夠用來(lái)產(chǎn)生、傳輸、處理數(shù)字信號(hào)的電路。 引 言： 1數(shù)字電路和模擬電路2數(shù)字電路特點(diǎn)：數(shù)字電路所研究的

2、問題主要是輸入信號(hào)的狀態(tài)（0或1）與輸出信號(hào)狀態(tài)（0或1）之間的因果關(guān)系，稱為邏輯關(guān)系，也就是我們所說(shuō)的電路的邏輯功能。 研究數(shù)字電路邏輯關(guān)系的主要工具是邏輯代數(shù)。 數(shù)字電路不僅可以對(duì)信號(hào)進(jìn)行運(yùn)算，而且能夠進(jìn)行邏輯判斷，具有一定的邏輯運(yùn)算能力。3數(shù)字電路的分類按集成度分類：可分為小規(guī)模（SSI，每片數(shù)十器件）、中規(guī)模（MSI，每片數(shù)百器件）、大規(guī)模（LSI，每片數(shù)千器件）和超大規(guī)模（VLSI，每片器件數(shù)目大于1萬(wàn)）按所用器件制作工藝的不同：數(shù)字電路可分為雙極型（TTL型）和單極型（MOS型）兩類。按照電路的結(jié)構(gòu)和工作原理的不同：數(shù)字電路可分為組合邏輯電路和時(shí)序邏輯電路兩類。 1.1 數(shù)制與碼制

3、1.1.1 數(shù)制數(shù)制就是表示數(shù)值大小的各種計(jì)數(shù)體制。1.十進(jìn)制 十進(jìn)制計(jì)數(shù)的基數(shù)為10 ，每一位有09十個(gè)數(shù)字符號(hào)，其中低位和相鄰高位之間的關(guān)系是“逢十進(jìn)一”。 用Ki表示第i位上的數(shù)字符號(hào)，10i表示第i位上數(shù)字的權(quán)，第i位的十進(jìn)制數(shù)值為Ki10i，將不同位數(shù)的數(shù)值相加求和得到表示的十進(jìn)制數(shù)。 例如，十進(jìn)制的234.76可以表示為：（234.76）1021023101410071016102任何一個(gè)十進(jìn)制數(shù)N 均可展開為：（11）式中，n和m為整數(shù)，n表示整數(shù)部分的位數(shù)，m表示小數(shù)部分的位數(shù)。2. 二進(jìn)制 二進(jìn)制中，每一位有0和1兩個(gè)可能的數(shù)碼，基數(shù)為2，低位和相鄰高位之間的進(jìn)位關(guān)系是“逢二

4、進(jìn)一” 。任何一個(gè)二進(jìn)制數(shù)N 均可展開為： （12） 式中右邊多項(xiàng)式的值就是二進(jìn)制數(shù)(N)2轉(zhuǎn)為十進(jìn)制數(shù)的值。 3八進(jìn)制 八進(jìn)制數(shù)有07共八個(gè)數(shù)碼，基數(shù)為8，低位數(shù)和相鄰高位數(shù)之間進(jìn)位規(guī)則為“逢八進(jìn)一”。任何一個(gè)八進(jìn)制數(shù)均可展開為： （13） 式中右邊多項(xiàng)式的值就是八進(jìn)制數(shù)(N )8轉(zhuǎn)為十進(jìn)制的值。 十六進(jìn)制數(shù)每一位有十六個(gè)不同的數(shù)碼，分別用0、1、2、3、4、5、6、7、8、9、A、B、C、D、E、F 來(lái)表示，其中AF六個(gè)字母分別代表10、11、12、13、14、15，進(jìn)位規(guī)則為“逢十六進(jìn)一”。所以，任何一個(gè)十六進(jìn)制數(shù)N 均可展開為： （14） 式中右邊多項(xiàng)式的值就是二進(jìn)制數(shù)(N)16轉(zhuǎn)為十

5、進(jìn)制數(shù)的值。4.十六進(jìn)制十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)八進(jìn)制數(shù)十六進(jìn)制十進(jìn)制數(shù)二進(jìn)制數(shù)八進(jìn)制數(shù)十六進(jìn)制000000081000108100011191001119200102210101012A300113311101113B401004412110014C501015513110115D601106614111016E701117715111117F表1-1 幾種進(jìn)制數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系1.1.2數(shù)制轉(zhuǎn)換1.其他進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù) 其他進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為十進(jìn)制數(shù)，只需將該數(shù)的每位數(shù)的數(shù)碼和權(quán)相乘求和，就能得到等值的十進(jìn)制數(shù)。2.十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)和十六進(jìn)制數(shù) 將十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為其他進(jìn)制數(shù)時(shí)，可以按整數(shù)部分和小數(shù)

6、部分分別進(jìn)行轉(zhuǎn)換，最后合并轉(zhuǎn)換結(jié)果。 十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制 整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換 十進(jìn)制整數(shù)部分轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)采用“除2取余法”，它是用2 除十進(jìn)制整數(shù)，得出的余數(shù)是二進(jìn)制數(shù)的最低位，再用2去除，得出的余數(shù)是二進(jìn)制的次低位，重復(fù)上述的過程，直到商為0，最后相除的余數(shù)即為二進(jìn)制的最高位。例1-4 十進(jìn)制數(shù)（87）10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)。解： 余數(shù)2 87 1 低位2 43 12 21 12 10 02 5 12 2 02 1 1 高位 0所以 （87）10（1010111）2小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換 十進(jìn)制小數(shù)部分的轉(zhuǎn)換采用“乘2取整法”，將小數(shù)部分乘2，乘得結(jié)果的整數(shù)部分為二進(jìn)制數(shù)的最高位，其小數(shù)部分再乘2，所得結(jié)

7、果的整數(shù)部分為二進(jìn)制的次高位，依次類推，直至小數(shù)部分達(dá)到要求的精度為止。例1-5 將十進(jìn)制小數(shù)（0.8421）10轉(zhuǎn)換成二進(jìn)制數(shù)（取到小數(shù)點(diǎn)后4位）。 解： 整數(shù) 0.8421 2 1.6842 1 高位 0.6842 2 1.3684 1 0.3684 2 0.7368 0 2 1.4736 1 低位 所以 （0.8421）10（0.1101）2十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制 十進(jìn)制轉(zhuǎn)換為十六進(jìn)制的方法和前面介紹的十進(jìn)制數(shù)轉(zhuǎn)換為二進(jìn)制的方法基本相同。例1-6 將十進(jìn)制數(shù)（287.645）10轉(zhuǎn)換成十六進(jìn)制數(shù)。（取到小數(shù)點(diǎn)后4位）。解：整數(shù)部分的轉(zhuǎn)換。采用“除16求余法”。 余數(shù) 16 287 15 低

8、位 16 17 1 16 1 1 0 高位 所以 （287）10（11F）16 小數(shù)部分轉(zhuǎn)換:采用“乘十六取整法”。 取整 0.6451610.32 10 高位 0.32165.12 5 0.12161.92 1 0.921614.72 14 低位 所以 （0.645）10（0.A51F）16 由此可得 （287.645）10（11F.A51F）163.二進(jìn)制數(shù)與十六進(jìn)制數(shù)之間的相互轉(zhuǎn)換十六進(jìn)制數(shù)與二進(jìn)制數(shù)之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系為：十六進(jìn)制： 0 1 2 3 4 5 二進(jìn)制： 0000 0001 0010 0011 0100 0101 6 7 8 9 A B C D 0110 0111 1000 10

9、01 1010 1011 1100 1101 E F 1110 1111 根據(jù)這種對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以方便的進(jìn)行二進(jìn)制與十六進(jìn)制之間數(shù)的轉(zhuǎn)換。1.1.3 碼制 用數(shù)碼表示不同事物的代號(hào)。沒有數(shù)量大小的含義，這類表示不同事物代碼的規(guī)則叫做碼制。 二十進(jìn)制編碼又稱為BCD（Binary Coded Decimal）碼，當(dāng)采用不同的編制規(guī)則時(shí)，能夠得到不同形式的BCD碼，常用的有8421碼、5421碼、余3碼、格雷碼等，如表1-2所示。十進(jìn)制數(shù)8421碼5421碼余3碼格雷碼000000000001100001000100010100000120010001001010011300110011011000

10、10401000100011101105010110001000011160110100110010101701111010101001008100010111011110091001110011001101 表1-2 常用的BCD碼1. 8421 BCD碼 8421碼是BCD碼中使用最為廣泛的一種代碼。代碼每位的權(quán)值是固定不變的，為恒權(quán)碼，它用自然二進(jìn)制數(shù)00001001來(lái)分別表示十進(jìn)制數(shù)的09，從高位到低位的權(quán)值分別為8、4、2、1，所以根據(jù)代碼的組成便可知道代碼所代表的十進(jìn)制數(shù)的值。例如，8421碼1001按權(quán)展開式為： 180402119所以，8421碼1001表示十進(jìn)制數(shù)9。例如:

11、（501.93）10（0101 0000 0001.1001 0011）8421BCD （0110 0101 0000.0010 0100）8421BCD （650.24）1025421碼 5421碼也是一種恒權(quán)碼。從高位到低位的權(quán)值分別是5、4、2、1，用4位二進(jìn)制數(shù)表示一位十進(jìn)制數(shù)，每組代碼各位加權(quán)系數(shù)的和為其表示的十進(jìn)制數(shù)的值。例如:5421碼1000按權(quán)展開式為： 150000005 所以，5421碼1000表示十進(jìn)制數(shù)5。3. 余3碼 余3碼的編碼規(guī)則是由8421碼加3（0011）得來(lái)的，這種代碼所組成的四位二進(jìn)制數(shù)，正好比它代表的十進(jìn)制數(shù)多3，故稱余3碼。沒有固定的權(quán)值，不是恒權(quán)代

12、碼。 例如，8421碼0101（5）加0011（3）后，在余3碼中為1000，其表示十進(jìn)制數(shù)5。由表1-2可以看出，余3碼中，0和9，1和8，2和7，3和6，4和5這五對(duì)代碼也是互補(bǔ)的。4. 格雷碼 格雷碼是一種無(wú)權(quán)碼，它的特點(diǎn)是任意兩個(gè)相鄰的代碼之間只有一位數(shù)碼不同，這是考慮到信息在傳輸過程中可能出現(xiàn)錯(cuò)誤，為了減少錯(cuò)誤而研究出的一種編碼形式。例如，將代碼0010誤傳為0110時(shí)，格雷碼只不過是十進(jìn)制數(shù)3和4之差，如果是二進(jìn)制數(shù)碼則是十進(jìn)制數(shù)2和6之差。格雷碼的缺點(diǎn)是與十進(jìn)制數(shù)之間不存在規(guī)律性的對(duì)應(yīng)關(guān)系，格雷碼如表1-2所示。 邏輯是指事物的前因與后果之間所遵循的規(guī)律。 它作為研究邏輯電路的數(shù)

13、學(xué)工具，成為分析和設(shè)計(jì)邏輯電路的理論基礎(chǔ)。 邏輯用字母表示變量，這種變量稱為邏輯變量。 這些邏輯變量的取值只有兩種，用“0”和“1”表示。 這兩個(gè)值不具有數(shù)量大小的意義，僅表示客觀事物兩種對(duì)應(yīng)的邏輯關(guān)系。如開關(guān)的閉合與斷開；判斷問題的是與非；電位的高與低等。 邏輯代數(shù)有三種基本運(yùn)算：與運(yùn)算、或運(yùn)算和非運(yùn)算，其他任何邏輯運(yùn)算都可以用這三種基本邏輯運(yùn)算來(lái)表示，并由與之對(duì)應(yīng)的邏輯電路來(lái)實(shí)現(xiàn)。1.2 邏輯代數(shù)基礎(chǔ)1.2.1 基本邏輯運(yùn)算1. 與運(yùn)算 只有決定事物結(jié)果的全部條件同時(shí)具備時(shí)，結(jié)果才能發(fā)生，這種因果關(guān)系叫做與邏輯，或者叫做邏輯相乘。 如圖1-1 a)所示的開關(guān)串聯(lián)電路就是一個(gè)與邏輯的實(shí)例。

14、能夠?qū)崿F(xiàn)與邏輯關(guān)系的電路稱為與門。與門邏輯符號(hào)的國(guó)際標(biāo)號(hào)，如圖1-1b）所示。a) 電路圖b) 邏輯符號(hào)圖1-1 與邏輯實(shí)例和邏輯符號(hào)用真值表邏輯關(guān)系 用二元常量0和1表示圖1-1 a）所示電路的邏輯關(guān)系，把開關(guān)A、B和燈Y分別用變量A、B和Y表示，并用1表示開關(guān)閉合和燈亮，用0來(lái)表示開關(guān)斷開和燈滅，得到表1-3所示的表格，這種將邏輯變量的各種可能取值和相對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)值排列在一起組成的表稱為真值表。表1-3為圖1-1 a)與邏輯電路的真值表。表1-3 與邏輯的真值表ABY000010100111由真值表可以看出與邏輯有:有0得0，全1得1的規(guī)律。 與邏輯表達(dá)式表示為: YAB “常量的與運(yùn)算

15、基本規(guī)則為： 000 010 100 1112. 或運(yùn)算 在決定事物結(jié)果的所有條件中只要有任何一個(gè)滿足，結(jié)果就會(huì)發(fā)生。這種因果關(guān)系叫做或邏輯，或者叫做邏輯相加。 圖1-2 a)所示的電路是一個(gè)或邏輯的實(shí)例。燈Y與開關(guān)A、B的因果關(guān)系是或邏輯關(guān)系。能夠?qū)崿F(xiàn)或邏輯關(guān)系的電路稱為或門。 或門的國(guó)標(biāo)邏輯符號(hào)如圖1-2 b）所示。b) 邏輯符號(hào)圖1-2 或邏輯實(shí)例和邏輯符號(hào) 用1表示燈亮和開關(guān)閉合，用0來(lái)表示燈滅和開關(guān)斷開，則可得到如表1-4所示的或邏輯真值表。ABY000011101111表1-4 或邏輯的真值表 或邏輯運(yùn)算規(guī)律為有1得1，全0得0。 或邏輯的邏輯表達(dá)式表示為： YAB 常量或運(yùn)算規(guī)則

16、為： 000 010 100 1113. 非運(yùn)算 只要條件具備了，結(jié)果便不會(huì)發(fā)生；當(dāng)條件不具備時(shí)，結(jié)果一定發(fā)生。這種因果關(guān)系叫做非邏輯，也叫做邏輯求反。 如圖1-3 a)所示的電路是一個(gè)非邏輯的實(shí)例，燈Y與開關(guān)A之間的因果關(guān)系為非邏輯關(guān)系。能夠?qū)崿F(xiàn)非邏輯關(guān)系的電路稱為非門。非門的國(guó)標(biāo)邏輯符號(hào)如圖1-3 b）所示。 E A Y R b) 邏輯符號(hào)圖1-3 非邏輯實(shí)例和邏輯符號(hào)a) 電路圖表1-5所示非邏輯真值表。AY0110表1-5 非邏輯的真值表 由真值表可以看出非運(yùn)算規(guī)律:是0得1，是1得0。 非邏輯表達(dá)式表示為： 常量非運(yùn)算規(guī)則為：AY=4.復(fù)合邏輯運(yùn)算 由與、或、非三種基本邏輯運(yùn)算可以復(fù)

17、合邏輯運(yùn)算。常見的有與非、或非、與或非、異或、同或等運(yùn)算。(1) 與非運(yùn)算 與非運(yùn)算是與運(yùn)算和非運(yùn)算的組合，將與運(yùn)算的結(jié)果再求反而得到。邏輯表達(dá)式為 與運(yùn)算的規(guī)律是變量全為1，表達(dá)式為0；只要有一個(gè)變量為0，表達(dá)式為1。(2) 或非運(yùn)算或非運(yùn)算邏輯表達(dá)式為 ?；蚍沁\(yùn)算的規(guī)律是變量全為0，表達(dá)式為1；只要有一個(gè)變量為1，表達(dá)式為0。(3) 與或非運(yùn)算與或非運(yùn)算邏輯表達(dá)式為 。與或非運(yùn)算的先后順序?yàn)椋合扰c運(yùn)算，再或運(yùn)算，最后非運(yùn)算。(4) 異或運(yùn)算 邏輯表達(dá)式為 。異或運(yùn)算的規(guī)律是變量取值相同，表達(dá)式為0；變量取值不同，表達(dá)式為1。(5) 同或運(yùn)算 邏輯表達(dá)式為 AB 。同或運(yùn)算的規(guī)律是變量取值相

18、同，表達(dá)式為1；變量取值不同，表達(dá)式為0。1.2.2 邏輯代數(shù)的公式、定理和規(guī)則1. 邏輯代數(shù)的公式和定理 根據(jù)邏輯變量的取值只有0和1，以及邏輯變量的三種基本運(yùn)算法則，可以推導(dǎo)出邏輯運(yùn)算的基本公式及定理。這些公式定理的證明，最直接的方法是列出等式兩邊表達(dá)式的真值表，看看是否完全相同，還可以采用已知的公式證明其它公式?；竟?1律： 自等律：重迭律：互補(bǔ)律：雙重否定律：基本定律交換律: 結(jié)合律: 分配律: + 反演律（又稱摩根定律）: 常用公式 A =A A 2. 邏輯代數(shù)的基本規(guī)則 邏輯代數(shù)有三個(gè)重要規(guī)則，利用這三條規(guī)則，可以推出更多的公式。代入規(guī)則 任何一個(gè)含有變量A的等式，如果將所有出

19、現(xiàn)A的地方都用同一個(gè)邏輯表達(dá)式代替，則等式仍然成立，此規(guī)則稱為代入規(guī)則。反演規(guī)則 對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將式中所有的“”換成“”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，原變量換成反變量，反變量換成原變量，得到的結(jié)果就是 ，這個(gè)規(guī)則稱為反演規(guī)則。 運(yùn)用反演規(guī)則求反邏輯式時(shí)應(yīng)注意兩點(diǎn)：保持運(yùn)算的先后次序不變(先括號(hào)，然后乘，最后加)。不是單獨(dú)一個(gè)變量的反號(hào)保持不變。對(duì)偶規(guī)則 對(duì)于任何一個(gè)邏輯表達(dá)式Y(jié)，如果將式中所有的“”換成“”，“”換成“”，“0”換成“1”，“1”換成“0”，變量保持不變，所得到的新的邏輯表達(dá)式Y(jié)稱為Y的對(duì)偶式。求對(duì)偶函數(shù)時(shí)應(yīng)注意變量和原式中的運(yùn)算先后順序保

20、持不變。 對(duì)偶規(guī)則:如果兩個(gè)邏輯式相等，則它們的對(duì)偶式也相等。1.3 邏輯函數(shù)的建立及其表示方法邏輯函數(shù)-以邏輯變量作為輸入，以運(yùn)算結(jié)果作為輸出，那么當(dāng)輸入變量的取值一定時(shí)，輸出變量隨之而定。因此，輸出與輸入之間存在一定的函數(shù)關(guān)系，這種函數(shù)關(guān)系稱為邏輯函數(shù)，寫作:Y f (A,B,C,)1.3.1邏輯函數(shù)的建立 試建立圖1-4 所示用雙聯(lián)開關(guān)控制樓道照明的開關(guān)電路的邏輯函數(shù)。圖1-4 雙聯(lián)開關(guān)控制的開關(guān)電路 兩個(gè)單刀雙擲開關(guān)A和B分別安裝在樓上和樓下。上樓前在樓下開燈，上樓后關(guān)燈；反之下樓前，在樓上開燈，下樓后關(guān)燈。 以1表示開關(guān)閉合，0表示開關(guān)斷開；以1表示燈亮，以0表示燈滅，則燈Y是開關(guān)A

21、、B的二值邏輯函數(shù)，表示燈亮的邏輯函數(shù)式為：圖1-4 雙聯(lián)開關(guān)控制的開關(guān)電路真值表A B Y 0 00 11 01 110011.3.2 邏輯函數(shù)的表示方法 常用的邏輯函數(shù)表示方法有邏輯表達(dá)式、邏輯真值表、邏輯圖和卡諾圖等。1. 邏輯表達(dá)式 邏輯表達(dá)式是用與、或、非基本邏輯運(yùn)算來(lái)表示輸入變量和輸出變量因果關(guān)系的邏輯代數(shù)式。 如果一個(gè)函數(shù)的某個(gè)乘積項(xiàng)包含了函數(shù)的全部變量，其中每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)乘積項(xiàng)稱為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積項(xiàng)，通常稱為最小項(xiàng)。根據(jù)函數(shù)的真值表，只要將那些使函數(shù)值為1的最小項(xiàng)加起來(lái)，就可以得到函數(shù)的標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式。 例如，對(duì)于表1-6 所示的異

22、或函數(shù)的真值表，可用邏輯表達(dá)式表示為：ABY000011101110表1-6異或函數(shù)的真值表 邏輯表達(dá)式的優(yōu)點(diǎn)是便于運(yùn)用邏輯代數(shù)中公式、定理進(jìn)行運(yùn)算和書寫，又便于用邏輯圖來(lái)實(shí)現(xiàn)函數(shù)。其缺點(diǎn)是不夠直觀。2. 真值表 真值表是將輸入邏輯變量的所有可能組合及其對(duì)應(yīng)的邏輯函數(shù)值排列在一起組成的表格。 n個(gè)變量共有 種可能的組合，將不同組合按順序排列起來(lái)，同時(shí)在對(duì)應(yīng)位置上填入函數(shù)值，便可得到邏輯函數(shù)真值表。 真值表的優(yōu)點(diǎn)是直觀明了，輸入變量取值一旦確定，即可在真值表中查出相應(yīng)的函數(shù)值。3. 卡諾圖 卡諾圖是由表示變量的所有可能取值組合構(gòu)成的小方格構(gòu)成的圖形。卡諾圖是真值表中各項(xiàng)的二維排列方式，是真值表的

23、一種變形。在卡諾圖中，真值表的每一行用一個(gè)小方格來(lái)表示。關(guān)于卡諾圖的知識(shí)在本書1.4.3節(jié)中進(jìn)行講解。4. 邏輯圖 將邏輯函數(shù)式所表明的邏輯變量之間的關(guān)系用對(duì)應(yīng)的邏輯符號(hào)表示出來(lái)的圖形稱為邏輯圖。根據(jù)邏輯函數(shù)式畫邏輯圖時(shí)，只要把邏輯函數(shù)式中個(gè)邏輯運(yùn)算用相應(yīng)門電路的邏輯符號(hào)代替，就可畫出對(duì)應(yīng)的邏輯圖。 例如函數(shù) 可以用圖1-5所示的邏輯圖來(lái)表示。圖1-5 函數(shù)的邏輯圖5邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)形式最小項(xiàng)：如果一個(gè)函數(shù)的某個(gè)乘積項(xiàng)包含了函數(shù)的全部變量，其中每個(gè)變量都以原變量或反變量的形式出現(xiàn)，且僅出現(xiàn)一次，則這個(gè)乘積項(xiàng)稱為該函數(shù)的一個(gè)標(biāo)準(zhǔn)積項(xiàng)，通常稱為最小項(xiàng)。n個(gè)變量有2n個(gè)最小項(xiàng)。例如，3個(gè)變量A、

24、B、C可組成8個(gè)最小項(xiàng)：最小項(xiàng)的表示方法：通常用符號(hào)mi來(lái)表示第i號(hào)最小項(xiàng)。把最小項(xiàng)中的原變量記為1，反變量記為0，當(dāng)變量順序確定后，可以按順序排列成一個(gè)二進(jìn)制數(shù)，則與這個(gè)二進(jìn)制數(shù)相對(duì)應(yīng)的十進(jìn)制數(shù)，就是這個(gè)最小項(xiàng)的下標(biāo)i。3個(gè)變量A、B、C的8個(gè)最小項(xiàng)可以分別表示為：最小項(xiàng)的性質(zhì)：任意一個(gè)最小項(xiàng)，只有一組取值使其值為1。任意兩個(gè)不同的最小項(xiàng)的乘積必為0。全部最小項(xiàng)的和必為1。(4)邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式任何一個(gè)邏輯函數(shù)都可以表示成唯一的一組最小項(xiàng)之和，稱為標(biāo)準(zhǔn)與或表達(dá)式，也稱為最小項(xiàng)表達(dá)式。對(duì)于不是最小項(xiàng)表達(dá)式的與或表達(dá)式，可利用公式和來(lái)配項(xiàng)展開成最小項(xiàng)表達(dá)式。例如 ，變換如下： 若已知函數(shù)的

25、真值表，則將函數(shù)值為1的那些最小項(xiàng)相加，得到的表達(dá)式便是函數(shù)的最小項(xiàng)表達(dá)式。 ABCY00000011010101111001101111011110例1-12 輸出變量Y是輸入變量 A、B、C的函數(shù)，當(dāng)A、B、C的取值不同時(shí)，Y=1，否則，Y=0。列出此問題的真值表，寫出邏輯表達(dá)式。解：根據(jù)因果關(guān)系列出函數(shù) 表1-9 例1-12函數(shù)的真值表的真值表，如表1-9所示。由真值表寫出函數(shù)的邏輯表達(dá)式為：1.4 邏輯函數(shù)化簡(jiǎn)方法 根據(jù)邏輯函數(shù)表達(dá)式，可以畫出相應(yīng)的邏輯圖。邏輯函數(shù)表達(dá)式越簡(jiǎn)單，邏輯關(guān)系越明顯，組成的邏輯電路所需的電子元器件就會(huì)越少，電路工作越穩(wěn)定可靠。因此，有必要對(duì)邏輯函數(shù)的表達(dá)式進(jìn)

26、行化簡(jiǎn)。 化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)常用的方法有兩種：一種是公式化簡(jiǎn)法，另一種是卡諾圖化簡(jiǎn)法。1.4.1 邏輯函數(shù)的最簡(jiǎn)表達(dá)式 一個(gè)邏輯函數(shù)的真值表是唯一的，但邏輯函數(shù)的表達(dá)式卻是多種形式的，并且能夠相互變換。 按照函數(shù)式中變量的運(yùn)算關(guān)系不同，可分為最簡(jiǎn)與或表達(dá)式、最簡(jiǎn)或與表達(dá)式、最簡(jiǎn)與非與非表達(dá)式、最簡(jiǎn)或非或非表達(dá)式和最簡(jiǎn)與或非五種形式。 例如，邏輯表達(dá)式 可表示為： 1) 最簡(jiǎn)與或表達(dá)式 2) 最簡(jiǎn)或與表達(dá)式 3) 最簡(jiǎn)與非與非表達(dá)式 4) 最簡(jiǎn)或非或非表達(dá)式 5) 最簡(jiǎn)與或非表達(dá)式 1.4.2 邏輯函數(shù)的公式化簡(jiǎn)法 1. 并項(xiàng)法 利用公式 ,可以把兩項(xiàng)合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量，由代入定則可知，A和B

27、可以是任何復(fù)雜邏輯式。 例如： 2. 吸收法 利用公式 ，可消去多余的項(xiàng)，A和B同樣可以是任何復(fù)雜的邏輯式。 例如：3. 消去法 利用 ,消去多余項(xiàng)。例如： 4. 添項(xiàng)法 利用公式 在邏輯函數(shù)式某項(xiàng)中乘以 ,展開后消去多余項(xiàng)。例如： 5. 配項(xiàng)法 利用公式 可以在邏輯函數(shù)式中重復(fù)寫入某項(xiàng)，展開后消去多余項(xiàng)。例如： 1.4.3 卡諾圖化簡(jiǎn)法1.卡諾圖卡諾圖的構(gòu)成 將n個(gè)變量的邏輯函數(shù)的 個(gè)最小項(xiàng)，用小方格代表，并且按照相鄰規(guī)則排列的圖形，稱做最小項(xiàng)卡諾圖。 相鄰項(xiàng)規(guī)則就是相鄰兩個(gè)最小項(xiàng)只有一個(gè)變量不同，其他變量都相同。 圖1-5 二變量、三變量和四變量的卡諾圖 a)二變量卡諾圖 b)三變量卡諾圖

28、 c)四變量卡諾圖 二變量、三變量和四變量的卡諾圖 例1-14 畫出 的卡諾圖. 卡諾圖表示邏輯函數(shù)的方法（1）當(dāng)邏輯函數(shù)是以最小項(xiàng)表達(dá)式給出時(shí)，在卡諾圖上那些與給定邏輯函數(shù)的最小項(xiàng)相對(duì)應(yīng)的方格內(nèi)填入1，其余的方格內(nèi)填入0或不填。例1-15 畫出 的卡諾圖。 例1-16 畫出邏輯函數(shù) 的卡諾圖。 任何兩個(gè)（21個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去一個(gè)變量即消去互為反變量的因子，保留公因子。2卡諾圖的性質(zhì) 任何4個(gè)（22個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去2兩個(gè)變量。 任何8個(gè)（23個(gè)）標(biāo)1的相鄰最小項(xiàng)，可以合并為一項(xiàng)，并消去三個(gè)變量。相鄰的 個(gè)最小項(xiàng)合并時(shí)，可消去個(gè)變量。 3.

29、圖形法化簡(jiǎn)的基本步驟用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)步驟：1)將函數(shù)化為最小項(xiàng)之和的形式。2)畫出表示該邏輯函數(shù)的卡諾圖。3)合并相鄰最小項(xiàng)。把卡諾圖中個(gè)相鄰為1的最小項(xiàng)小方格用包圍圈圈起來(lái)進(jìn)行合并，直到所有為1的小方格全部圈完為止。 畫圈原則：圈數(shù)越少越好，圈數(shù)越少則與或表達(dá)式所含的乘積項(xiàng)越少；圈內(nèi)小方格越多越好，圈內(nèi)方格越多則消去的因子越多；按由少到多畫包圍圈。a.每圈中所含方格數(shù)必須是，小方格可以被重復(fù)包圍，但在新包圍圈中至少有一個(gè)尚未被圈過的小方格。b.每個(gè)包圍圈盡可能是最大圈，把相鄰小方格最大限度的包圍起來(lái)化簡(jiǎn)后得到最簡(jiǎn)項(xiàng)。c.不能漏掉一個(gè)方格，如果某一方格不能與任何方格合并，則需要單獨(dú)畫成一個(gè)

30、圈，以保證函數(shù)值不變。4)把每個(gè)圈所得的最簡(jiǎn)項(xiàng)相加，得到的邏輯函數(shù)是最簡(jiǎn)與或表達(dá)式。例1-17 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。 例1-18 試用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。 例1-19 用卡諾圖化簡(jiǎn)邏輯函數(shù)。1.4.4 具有無(wú)關(guān)項(xiàng)邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn)1.具有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)實(shí)際邏輯問題中，一些邏輯函數(shù)輸入變量的取值存在一定的制約關(guān)系，只要求某些最小項(xiàng)函數(shù)有確定的值，其余項(xiàng)可以隨意取值（可以為0，也可以為1）或者，在邏輯函數(shù)中變量的某些取值組合根本不會(huì)或不允許出現(xiàn)。這樣的函數(shù)的變量取值所對(duì)應(yīng)的最小項(xiàng)稱為無(wú)關(guān)項(xiàng)，也叫做約束項(xiàng)或隨意項(xiàng)。例1-20: 有三個(gè)邏輯變量A、B、C分別表示一臺(tái)電動(dòng)機(jī)的正轉(zhuǎn)、反轉(zhuǎn)和停止的命令，A=

31、1表示正轉(zhuǎn)，B=1表示反轉(zhuǎn)，C=1表示停止。 A、B、C是一組具有約束的變量，其相互約束關(guān)系構(gòu)成等式可表示為，稱為約束條件。或?qū)懗?，式中的最小?xiàng)就是無(wú)關(guān)項(xiàng)。該邏輯函數(shù)可以表示為，并用表1-9所示的真值表來(lái)描述。ABCYABCY000100100111010101110011111表1-9 例1-20的真值表2.含有無(wú)關(guān)項(xiàng)的邏輯函數(shù)的化簡(jiǎn) 在化簡(jiǎn)過程中，如果無(wú)關(guān)項(xiàng)對(duì)化簡(jiǎn)有利，則取1；如果無(wú)關(guān)項(xiàng)對(duì)化簡(jiǎn)無(wú)用，則取0。例1-21： 化簡(jiǎn)函數(shù)。1.4.5 邏輯函數(shù)幾種表示形式之間的轉(zhuǎn)換邏輯函數(shù)可用邏輯表達(dá)式、真值表、卡諾圖、邏輯圖等方式來(lái)表示。 它們可以互相轉(zhuǎn)換。 由真值表可以直接寫出表達(dá)式、由表達(dá)式可以列出真值表、由表達(dá)式可以畫出邏輯圖、由邏輯圖同樣