不確定度講課課件

1、1測(cè)量不確定度 趙明輝21. 1 測(cè) 量 測(cè)量給出關(guān)于某物的屬性，它可以告訴我們某物體有多重，或多長(zhǎng)，或多熱。測(cè)量總是通過(guò)某種儀器或器具來(lái)實(shí)現(xiàn)的，尺子、秒表、稱重秤、溫度計(jì)等都是測(cè)量器具。被測(cè)量的測(cè)量結(jié)果通常由兩部分組成：一個(gè)數(shù)和一個(gè)測(cè)量單位。例如人體溫度37.2，人體溫度是被測(cè)量，37.2是數(shù)，是單位。 對(duì)于比較復(fù)雜的測(cè)量，通過(guò)實(shí)際測(cè)量獲得被測(cè)量的測(cè)量數(shù)據(jù)后，通常需要對(duì)這些數(shù)據(jù)進(jìn)行計(jì)算、分析、整理，有時(shí)還要將數(shù)據(jù)歸納成相應(yīng)的表示式或繪制成表格、曲線等等，亦即要進(jìn)行數(shù)據(jù)處理，然后給出測(cè)量結(jié)果。 31.2 關(guān)于測(cè)量誤差測(cè)量誤差（measurement error）定義為： 測(cè)量結(jié)果減去被測(cè)量的真

2、值。由于真值不能確定，實(shí)際測(cè)量中是用“約定真值”代替。 測(cè)量誤差是指示值與約定真值之差。測(cè)量誤差通常是能夠定量評(píng)定的量，并可用于對(duì)測(cè)量值進(jìn)行修正。但是，對(duì)誤差的識(shí)別及其后的修正不可能完全精確，這種不精確性的本身將會(huì)產(chǎn)生測(cè)量不確定度。 還必須區(qū)分誤差與錯(cuò)誤/疏忽。錯(cuò)誤和疏忽既不能量化，也不是測(cè)量不確定度的輸入量。真值永遠(yuǎn)不知道！41.2 關(guān)于測(cè)量誤差(續(xù))誤差可以分為隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差兩類。誤差等于隨機(jī)誤差與系統(tǒng)誤差之和。測(cè)量誤差示意圖如圖1.1所示。被測(cè)值為Y，真值為t，第i次測(cè)量結(jié)果為yi。由于測(cè)量誤差的存在，測(cè)得值（單次測(cè)得值yi或測(cè)量平均值 ）與真值 t 不能重合。設(shè)測(cè)量值呈正態(tài)分布N(

3、，)。則分布曲線總體均值的位置（即值）決定了系統(tǒng)誤差的大??；曲線的形狀（隨標(biāo)準(zhǔn)偏差而定）決定了隨機(jī)誤差的分布范圍k ，k，以及其在該范圍內(nèi)取值的概率。 5隨機(jī) 誤差誤差系統(tǒng)誤差測(cè)得值 y真值k測(cè)得值總體均值樣本均值測(cè)得值概率分布曲線ktyi圖1.1 測(cè)量誤差示意圖總體概率分布的期望有限次數(shù)測(cè)量平均值(總體均值的一個(gè)無(wú)偏估計(jì))單次測(cè)量值61.3 關(guān)于允差（Tolerance） 允差有兩層含義，對(duì)測(cè)量而言，允差是對(duì)指定量量值的限定范圍或允許范圍。典型的例子是零部件特定尺寸的制造允差(最大/最小)，通常規(guī)定其能夠保證與配件的合適配合。要能夠測(cè)量這種零部件并保證符合允差，擴(kuò)展不確定度U就必須小于允差，

4、通常推薦的最小比率為35比1。 允差也常用于測(cè)量?jī)x器設(shè)備，這時(shí)是指由儀器設(shè)備制造廠調(diào)試和檢定儀器設(shè)備時(shí)，儀器設(shè)備示值的合格范圍。儀器設(shè)備的允差是貢獻(xiàn)給測(cè)量不確定度的一個(gè)重要分量。在評(píng)定測(cè)量不確定度時(shí)，了解和解釋允差的確切含義和用途是重要的。71.4 關(guān)于準(zhǔn)確度（Accuracy）定義：測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量真值的一致程度。 【注】1. 不要用術(shù)語(yǔ)精密度代替準(zhǔn)確度。 2. 準(zhǔn)確度是一個(gè)定性的概念。 鑒于不可能準(zhǔn)確地確定真值的大小，因而定義“準(zhǔn)確度”這個(gè)術(shù)語(yǔ)說(shuō)明測(cè)量結(jié)果與被測(cè)量的真值的接近程度，所以準(zhǔn)確度是一個(gè)定性的概念。因而準(zhǔn)確度不能量化，也不能作為一個(gè)量進(jìn)行運(yùn)算。 準(zhǔn)確度是定性的概念，不能量化82.

5、1 基本統(tǒng)計(jì)計(jì)算 通過(guò)多次重復(fù)測(cè)量并進(jìn)行某些統(tǒng)計(jì)計(jì)算，可增加測(cè)量得到的信息量。有兩項(xiàng)最基本的統(tǒng)計(jì)計(jì)算：求一組數(shù)據(jù)的平均值或算術(shù)平均值（數(shù)學(xué)期望），以及求單次測(cè)量或算術(shù)平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差（方差）。92.2 最佳估值多次測(cè)量的平均值 由于各種原因，例如由于環(huán)境條件的變化、測(cè)量器具沒有工作在完全穩(wěn)定的狀態(tài)、測(cè)量人員的讀數(shù)誤差等，使測(cè)量的讀數(shù)有變化，通常人們通過(guò)多次測(cè)量并取其讀數(shù)的算術(shù)平均值給出測(cè)量結(jié)果。平均值給出的是被測(cè)量“真值”的最佳估值。 一般而言，測(cè)量數(shù)值越多，得到的“真值”的估計(jì)值就越好。理想的估計(jì)值應(yīng)當(dāng)用無(wú)窮多數(shù)值集來(lái)求平均值。但是增加讀數(shù)要做額外的工作，并增大測(cè)量成本，且會(huì)產(chǎn)生“縮小回報(bào)”

6、的效果。什么是合理的次數(shù)呢？10次是普遍選擇的，因?yàn)檫@能使計(jì)算容易。20次讀數(shù)只比10次給出稍好的估計(jì)值，50次只比20次稍好。根據(jù)經(jīng)驗(yàn)通常取610次讀數(shù)就足夠了。 102.3 分散范圍(區(qū)間) 標(biāo)準(zhǔn)偏差 在重復(fù)測(cè)量給出不同結(jié)果時(shí)，需要了解這些讀數(shù)分散范圍有多寬。測(cè)量結(jié)果的分散范圍告訴了我們關(guān)于測(cè)量不確定度的情況。通過(guò)了解讀數(shù)分散范圍有多大，就能著手判斷這次測(cè)量或這組測(cè)量的質(zhì)量如何。 定量給出分散范圍的常見形式是標(biāo)準(zhǔn)偏差。一個(gè)數(shù)集的標(biāo)準(zhǔn)偏差給出了各個(gè)讀數(shù)與該組讀數(shù)平均值之差的典型值。 根據(jù)“經(jīng)驗(yàn)”，全部讀數(shù)大概有三分之二（68.27）會(huì)落在平均值的正負(fù)（）1倍標(biāo)準(zhǔn)偏差范圍內(nèi)，大概有全部讀數(shù)的9

7、5會(huì)落在正負(fù)2倍標(biāo)準(zhǔn)偏差范圍內(nèi)。雖然這種“尺度”并非普遍適用，但應(yīng)用廣泛。標(biāo)準(zhǔn)偏差的“真值”只能從一組非常大（無(wú)窮多）的讀數(shù)求出。由有限個(gè)數(shù)的讀數(shù)所求得的只是標(biāo)準(zhǔn)偏差的估計(jì)值，稱為實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差或估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)偏差，用符號(hào)s表示。 112.4 實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)（偏）差計(jì)算式 貝塞爾公式 對(duì)同一被測(cè)量X作n次測(cè)量，表征每次測(cè)量結(jié)果分散性的量s(xi)可按下式算出：式中xi為第i次測(cè)量的結(jié)果; 為所考慮的n次測(cè)量結(jié)果的算術(shù)平均值； 稱為殘差。 上式稱作貝塞爾公式，它描述了各個(gè)測(cè)量值的分散度。有時(shí)將s(xi)稱作單次測(cè)量結(jié)果的標(biāo)準(zhǔn)偏差，或稱為實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差。 122.5 平均值的標(biāo)準(zhǔn)（偏）差 用下式計(jì)算平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏

8、差： 需要指出，單次測(cè)量的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差 隨著測(cè)量次數(shù)的增加而趨于一個(gè)穩(wěn)定的數(shù)值；平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 則將隨著測(cè)量次數(shù)的增加而減小， 13標(biāo)準(zhǔn)偏差的特性10標(biāo)準(zhǔn)偏差測(cè)量次數(shù)n單次測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)差平均值標(biāo)準(zhǔn)差142.6 自由度 在方差計(jì)算中，自由度為和的項(xiàng)數(shù)減去和的限制數(shù)，記為。在重復(fù)條件下對(duì)被測(cè)量做n次獨(dú)立測(cè)量，其樣本方差為 :式中vi為殘差。所以在方差的計(jì)算式中，和的項(xiàng)數(shù)即為殘差vi的個(gè)數(shù)n。而且殘差之和為零，即i=0 是限制條件，故限制數(shù)為1，因此可得自由度n1。 153 測(cè)量不確定度3.1 測(cè)量不確定度的發(fā)展歷史 為了能統(tǒng)一地評(píng)價(jià)測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量. 早在1963 年,美國(guó)國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)局的Eisenhart

9、 在研究“儀器校準(zhǔn)系統(tǒng)的精密度和準(zhǔn)確度的估計(jì)”時(shí)提出測(cè)量不確定度的概念. 20 多年來(lái),國(guó)外在測(cè)量不確定度的評(píng)定方面做了大量的工作, 國(guó)際標(biāo)準(zhǔn)化組織( ISO) 于1993 年發(fā)布了測(cè)量不確定度的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn). 為了適應(yīng)全球經(jīng)濟(jì)一體化發(fā)展的需求,20 世紀(jì)90 年代末,我國(guó)檢測(cè)和校準(zhǔn)領(lǐng)域亦引用不確定度概念,取代傳統(tǒng)的誤差評(píng)定,并頒布了相應(yīng)的評(píng)定標(biāo)準(zhǔn). 中國(guó)實(shí)驗(yàn)室國(guó)家認(rèn)可委員會(huì)按ISO/IEC17025校準(zhǔn)和檢測(cè)實(shí)驗(yàn)室能力的通作要求對(duì)校準(zhǔn)和檢測(cè)實(shí)驗(yàn)室認(rèn)可時(shí),亦有測(cè)量不確定度的評(píng)定要求。 測(cè)量不確定度用于衡量測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量。 163.2 測(cè)量不確定度 3.2.1 測(cè)量不確定度定義 測(cè)量不確定度（unc

10、ertainty of measurement）： 表征合理地賦予被測(cè)量之值的分散性，與測(cè)量結(jié)果相聯(lián)系的參數(shù)。注：1. 此參數(shù)可以是諸如標(biāo)準(zhǔn)偏差或其倍數(shù)，或說(shuō)明了置信水準(zhǔn) 的區(qū)間的半寬度。 2. 測(cè)量不確定度由多個(gè)分量組成。其中的一些分量可用測(cè)量 列結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分布估算，并用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差表征。另一些 分量可用基于經(jīng)驗(yàn)或其他信息的假定概率分布估算，也可 用標(biāo)準(zhǔn)偏差表征。 3. 測(cè)量結(jié)果應(yīng)理解為被測(cè)量之值的最佳估計(jì)，而所有的不確 定度分量均貢獻(xiàn)給了分散性，包括那些由系統(tǒng)效應(yīng)引起的 （如與修正值和參考測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)的）分量。 4. 不確定度恒為正值。當(dāng)由方差得出時(shí)，取其正平方根。17 5. 不確定度一詞

11、指可疑程度，廣義而言，測(cè)量不確定度義 為對(duì)測(cè)量結(jié)果正確性的可疑程度。不帶形容詞的不確定 度用于一般概念，當(dāng)需要明確某一測(cè)量結(jié)果的不確定度 時(shí)，要適當(dāng)采用一個(gè)形容詞，比如合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度或 擴(kuò)展不確定度；但不要用隨機(jī)不確定度和系統(tǒng)不確定度 這兩個(gè)術(shù)語(yǔ)，必要時(shí)可用隨機(jī)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度和系 統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度。 6. JJF1001-1998 通用計(jì)量術(shù)語(yǔ)及定義給出的上述不確 定度定義是可操作的的定義，即著眼于測(cè)量結(jié)果及其分 散性。雖然如此，這個(gè)定義從概念上來(lái)說(shuō)與下述曾使用 過(guò)的定義并不矛盾： 由測(cè)量結(jié)果給出的被測(cè)量的估計(jì)值的可能誤差的量度。 表征被測(cè)量的真值所處范圍的評(píng)定。 不論采用以上哪一種

12、不確定度的概念，其評(píng)定方法均相 同，表達(dá)形式也一樣。 183.2.1 何謂“測(cè)量結(jié)果”？ 測(cè)量結(jié)果是被測(cè)量的最佳估計(jì)值，它不是真值。 測(cè)量結(jié)果是由測(cè)量所得到的值。必要時(shí)應(yīng)表明它是示值、未修正測(cè)量結(jié)果或已修正測(cè)量結(jié)果，還應(yīng)表明是否已對(duì)若干個(gè)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行了平均，即它是由單次測(cè)量所得，還是由多次測(cè)量所得。對(duì)于前者，測(cè)得的值就是測(cè)量結(jié)果；對(duì)于后者，測(cè)得值的算術(shù)平均值才是測(cè)量結(jié)果。193.2.2 何謂“被測(cè)量之值”？ 我們知道，測(cè)量誤差（measurement error）定義為：測(cè)量結(jié)果減去被測(cè)量的真值。由于真值不能確定，實(shí)際測(cè)量中是用“約定真值”代替。 定義中的“被測(cè)量之值”廣義而言是指被測(cè)量的真值

13、。但是，真值是一個(gè)理想的概念，不可能被確切地知道。 我們應(yīng)當(dāng)將“被測(cè)量之值”理解為被測(cè)量的最佳估值。 203.2.3 何謂“分散性”？ 分散性是表示測(cè)量結(jié)果之間相互不一致程度的一個(gè)量，例如重復(fù)性、復(fù)現(xiàn)性，以及測(cè)量不確定度。重復(fù)條件下測(cè)量列按貝塞耳法計(jì)算得到的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差s就是表示測(cè)量結(jié)果分散性的一個(gè)量。 定義的注1指出，分散性這一“參數(shù)”可以是“標(biāo)準(zhǔn)偏差或其倍數(shù)”。 為了與傳統(tǒng)的測(cè)量誤差相區(qū)別，測(cè)量不確定度用u（uncertainty的字頭）而不用s表示。 定義的注3指出，“所有的不確定度分量均貢獻(xiàn)給了分散性，包括那些由系統(tǒng)效應(yīng)引起的（如與修正值和參考測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)有關(guān)的）分量”。也就是說(shuō)，不確定度

14、評(píng)定應(yīng)當(dāng)考慮已識(shí)別的系統(tǒng)效應(yīng)的影響。換句話說(shuō)，測(cè)量結(jié)果是指對(duì)已識(shí)別的系統(tǒng)效應(yīng)修正后的最佳估值。213.2.4 測(cè)量不確定度由多個(gè)分量組成 定義的注2指出，“測(cè)量不確定度由多個(gè)分量組成。其中的一些分量可用測(cè)量列結(jié)果的統(tǒng)計(jì)分布估算，并用實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差表征。另一些分量可用基于經(jīng)驗(yàn)或其他信息的假定概率分布估算，也可用標(biāo)準(zhǔn)偏差表征”。 “經(jīng)驗(yàn)的”或“假定概率的分布”說(shuō)明，不確定度評(píng)定帶有主觀鑒別的成分。也就是說(shuō)，測(cè)量不確定度評(píng)定與評(píng)定人員的理論知識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)密切相關(guān)。所以，定義中使用了“合理地”一詞。測(cè)量不確定度評(píng)定與評(píng)定人員的理論知識(shí)和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)密切相關(guān)。223.2.5 如何理解測(cè)量不確定度？ 所謂“區(qū)間

15、半寬度”，對(duì)于不對(duì)稱分布的不確定度，則取其中間值。 定義的注4指出，不確定度恒為正值。當(dāng)由方差得出時(shí)，取其正平方根。 所以人們說(shuō)，測(cè)量不確定度只有正號(hào)。 定義的注5指出，不確定度一詞指可疑程度?？梢愿爬ǖ卣f(shuō)，測(cè)量不確定度是定量表示對(duì)測(cè)量結(jié)果的懷疑程度，以一個(gè)具有置信水準(zhǔn)的區(qū)間的形式表示，而且不能用不確定度數(shù)值來(lái)修正測(cè)量結(jié)果。 233.2.5 如何理解測(cè)量不確定度？ 定義的注1還指出，測(cè)量不確定度是“說(shuō)明了置信水準(zhǔn)的區(qū)間的半寬度”。也就是說(shuō)，測(cè)量不確定度需要用兩個(gè)數(shù)來(lái)表示：一個(gè)是測(cè)量不確定度的大小，即置信區(qū)間；另一個(gè)是置信水準(zhǔn)（或稱置信概率），表明測(cè)量結(jié)果落在該區(qū)間有多大把握。 例如上述測(cè)量人體

16、溫度為37.2或加或減0.05，置信概率為99。該結(jié)果可以表示為：37.20.05，置信概率為99 24U=1u=1.0%U=2u=2.0%U=3u=3.0%測(cè)量結(jié)果p68p95p9925表3.1 測(cè)量誤差與測(cè)量不確定度的主要區(qū)別 序號(hào)測(cè)量誤差測(cè)量不確定度 1測(cè)量結(jié)果減去被測(cè)量的真值，是具有正號(hào)和負(fù)號(hào)的量值。用標(biāo)準(zhǔn)偏差或其倍數(shù)的半寬度(置信區(qū)間)表示，并需要說(shuō)明置信概率。無(wú)符號(hào)參數(shù)（或取正號(hào)）。 2表明測(cè)量結(jié)果偏離真值,是一個(gè)確定的值。說(shuō)明合理地賦予被測(cè)量之值(最佳估值)的分散性。 3客觀存在，不以人的認(rèn)識(shí)程度而改變。與評(píng)定人員對(duì)被測(cè)量、影響量及測(cè)量過(guò)程的認(rèn)識(shí)密切相關(guān)。 4不能準(zhǔn)確得到真值，而

17、是用約定真值代替真值，此時(shí)只能得到真值得估計(jì)值。 通過(guò)實(shí)驗(yàn)、資料、根據(jù)評(píng)定人員的理論和實(shí)踐經(jīng)驗(yàn)進(jìn)行評(píng)定，可以定量給出。 5按性質(zhì)可分為隨機(jī)誤差和系統(tǒng)誤差兩大類，都是無(wú)窮多次測(cè)量下的理想概念。 不必區(qū)分性質(zhì)，必要時(shí)可表述為“隨機(jī)效應(yīng)或系統(tǒng)效應(yīng)引起的不確定度分量”?？蓪⒃u(píng)定方法分為“A類或B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定方法”。 6已知系統(tǒng)誤差的估計(jì)值，可對(duì)測(cè)量結(jié)果進(jìn)行修正，得到已修正的測(cè)量結(jié)果。 不能用測(cè)量不確定度修正測(cè)量結(jié)果。 26誤差（Error）準(zhǔn)確度Accuracy不確定度（Uncertainty）測(cè)量結(jié)果測(cè)得結(jié)果減去被測(cè)量的真值測(cè)量結(jié)果與真值的一致程度表征合理地賦予被測(cè)量之值的分散性，與測(cè)量結(jié)果相

18、聯(lián)系的參數(shù)測(cè)量?jī)x器測(cè)量?jī)x器的示值與對(duì)應(yīng)輸入量真值之差（示值誤差）示值最大允許誤差沒有定義但需要給出儀器設(shè)備的準(zhǔn)確度等級(jí)274.1 不確定度來(lái)源（1） 對(duì)被測(cè)量的定義不完整或不完善；（2） 實(shí)現(xiàn)被測(cè)量定義的方法不理想；（3） 取樣的代表性不夠，即被測(cè)量的樣本不能完全代表 所定義的被測(cè)量；（4） 對(duì)測(cè)量過(guò)程受環(huán)境影響的認(rèn)識(shí)不周全，或?qū)Νh(huán)境條 件的測(cè)量與控制不完善；（5） 對(duì)模擬式儀器的讀數(shù)存在人為偏差（偏移）； (6) 測(cè)量?jī)x器計(jì)量性能（如靈敏度、鑒別力、分辨 力、穩(wěn)定性及死區(qū)等）的局限性；（7） 賦予計(jì)量標(biāo)準(zhǔn)的值或標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的值不準(zhǔn)確；（8） 引用的數(shù)據(jù)或其他參數(shù)的不確定度；（9） 與測(cè)量方法和測(cè)

19、量程序有關(guān)的近似性和假定性；（10）被測(cè)量重復(fù)觀測(cè)值的變化等等。28 4.2 不確定度的類型4.2.1 隨機(jī)效應(yīng)和系統(tǒng)效應(yīng) 在測(cè)量中產(chǎn)生不確定度的效應(yīng)有兩類：（1） 隨機(jī)效應(yīng)：重復(fù)測(cè)量給出隨機(jī)的不同結(jié)果。如前所述，通過(guò)多次測(cè)量然后取平均值，可以期望獲得較佳的估計(jì)值。由這種方法求取測(cè)量不確定度，稱為A類不確定度評(píng)定方法。（2） 系統(tǒng)效應(yīng)：對(duì)重復(fù)測(cè)量的每一個(gè)結(jié)果都有相同的影響。在這種情況下，只靠重復(fù)測(cè)量得不到附加信息。要估計(jì)系統(tǒng)效應(yīng)產(chǎn)生的測(cè)量不確定度，需要采用其他方法，如不同的測(cè)量方法或不同的計(jì)算方法。由這種方法求取測(cè)量不確定度，稱為B類不確定度評(píng)定方法。294.3 分布數(shù)據(jù)散布的“形狀” 一組數(shù)

20、值的散布會(huì)取不同的形式，或稱為服從不同的概率分布。 （1） 正態(tài)分布 在一組讀數(shù)中，較多的讀數(shù)值靠近平均值，少數(shù)讀數(shù)值離平均值較遠(yuǎn)。這就是正態(tài)分布或高斯分布的特征。 （2） 均勻分布（矩形分布） 當(dāng)測(cè)量值非常平均地散布在最大值和最小值之間的范圍內(nèi)時(shí)，就產(chǎn)生了矩形分布或稱為均勻分布。 （3） 其他分布 還有其他分布形狀，但較少見，例如三角分布、反余弦分布（U型分布）等。表4.1給出了幾種概率分布及其包含因子。30概率密度概率p=95. 45%概率p=68.27%等于概率曲線與橫坐標(biāo)圍成的面積xf(x)整個(gè)分布曲線與橫坐標(biāo)圍成的面積(概率)等于1概率p=99.73% 2 3 2 3 正態(tài)分布概率密

21、度函數(shù)曲線隨機(jī)變量x的取值31符合如下條件之一者一般可估計(jì)為正態(tài)分布：1)重復(fù)條件或復(fù)現(xiàn)條件下多次測(cè)量的算術(shù)平均值的分布；2)被測(cè)量量Y用擴(kuò)展不確定度Up給出，而對(duì)其分布又沒有特殊指明時(shí)，估計(jì)值Y的分布； 3)被測(cè)量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度 中，相互獨(dú)立的分量 較多，它們之間的大小也比較接近時(shí)，Y的分布； 4)被測(cè)量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度 中，相互獨(dú)立的分量 中，存在兩個(gè)界限值接近的三角分布，或4個(gè)界限值接近的均勻分布時(shí)；5)被測(cè)量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度 的相互獨(dú)立的 分量 中，量值較大的分量（起著決定作用的分布）接近正態(tài)分布時(shí)。32矩形(均勻)分布 標(biāo)準(zhǔn)不確定度： 特征： 估計(jì)值以p100的概率均勻

22、散布在a區(qū)間內(nèi)，落在該區(qū)間外的概率為零；且沒有說(shuō)明概率分布。 2a(=a )x1/2a矩形（均勻）分布33符合如下條件之一者一般可估計(jì)為矩型分布：1)數(shù)據(jù)修約導(dǎo)致的不確定度；2)數(shù)字式測(cè)量?jī)x器對(duì)示值量化（分辨率）導(dǎo)致的不確定度；3)測(cè)量?jī)x器由于滯后、摩擦效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度；4)按級(jí)使用的數(shù)字式儀表、測(cè)量?jī)x器最大允許誤差導(dǎo)致的不確定度；5)用上、下界給出的線膨脹系數(shù)；6)測(cè)量?jī)x器度盤或齒輪回差引起的不確定度；7)平衡指示器調(diào)零不準(zhǔn)導(dǎo)致的不確定度。34三角分布 標(biāo)準(zhǔn)不確定度： 特征： 估計(jì)值以p100的概率落在a區(qū)間內(nèi)，靠近x的數(shù)值比接近邊界的值多，落在該區(qū)間外的概率為零；且沒有說(shuō)明概率分布。1/

23、ax2a(=a)三角分布35符合如下條件之一者一般可估計(jì)為三角分布：1)相同修約間隔給出的兩獨(dú)立量之和或差，由修約導(dǎo)致的不確定度；2)因分辨率引起的兩次測(cè)量結(jié)果之和或差的不確定度；3)用替代法檢定標(biāo)準(zhǔn)電子元件或測(cè)量衰減時(shí)，調(diào)零不準(zhǔn)導(dǎo)致的不確定度；4)兩相同均勻分布的合成。36表4.1 常用分布與包含因子k、u(xi)的關(guān)系分布類別p(%)ku(xi)正 態(tài)99.733a/3三 角100梯 形 =0.711002a/2矩 形100反正弦100兩 點(diǎn)1001aa為測(cè)量值概率分布區(qū)間半寬度374.4 什么不是測(cè)量不確定度（1） 操作人員失誤不是不確定度。這一類不應(yīng)計(jì)入對(duì)不確定度的貢獻(xiàn)，應(yīng)當(dāng)并可以通過(guò)

24、仔細(xì)工作和核查來(lái)避免發(fā)生。（2） 允差不是不確定度。允差是對(duì)工藝、產(chǎn)品或儀器所選定的允許極限值。（3） 技術(shù)條件不是不確定度。技術(shù)條件告訴的是對(duì)產(chǎn)品或儀器期望什么。技術(shù)條件包含的內(nèi)容，包括“非技術(shù)”的質(zhì)量項(xiàng)目，例如外觀。（4） 準(zhǔn)確度（更確切地說(shuō)，應(yīng)叫不準(zhǔn)確度）不是不確定度。遺憾的是這些術(shù)語(yǔ)的使用常被混淆。確切地說(shuō)，“準(zhǔn)確度”是一個(gè)定性的術(shù)語(yǔ)，如人們可能說(shuō)，測(cè)量是“準(zhǔn)確”的或“不準(zhǔn)確”的。（5） 誤差不是不確定度。（6） 統(tǒng)計(jì)分析不是不確定度分析。統(tǒng)計(jì)學(xué)可以用來(lái)得出各類結(jié)論，而這些結(jié)論本身并不告訴我們?nèi)魏侮P(guān)于不確定度的什么。不確定度分析只是統(tǒng)計(jì)學(xué)的一種應(yīng)用。它們可能是不確定度的來(lái)源384.5

25、測(cè)量不確定度的結(jié)構(gòu) A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度 標(biāo)準(zhǔn)不確定度 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度 B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度測(cè)量不確定度 U（當(dāng)無(wú)需給出Up時(shí),k=23） 擴(kuò)展不確定度 Up（p為置信概率） 小寫英文字母u(斜體)表示大寫英文字母U(斜體)表示394.5.1 評(píng)定不確定度的兩種方法A類評(píng)定：用對(duì)觀察列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，來(lái)評(píng)定 標(biāo)準(zhǔn)不確定度。 亦即采用統(tǒng)計(jì)方法進(jìn)行的標(biāo)準(zhǔn)不確定度估 計(jì)（通常采用重復(fù)測(cè)量）。B類評(píng)定：用不同于對(duì)觀察列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法，來(lái) 評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度。 可根據(jù)其他信息的標(biāo)準(zhǔn)不確定度估計(jì)。這 些信息可能來(lái)自過(guò)去的經(jīng)驗(yàn)、校準(zhǔn)證書、 生產(chǎn)廠的技術(shù)說(shuō)明書、手冊(cè)、出版物、計(jì) 算、常識(shí)等。A類評(píng)定和B類評(píng)定

26、都是指標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定！404.5.2 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度定義： 當(dāng)測(cè)量結(jié)果是由若干個(gè)其它量的值求得時(shí)，按其它各量的方差和協(xié)方差算得的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。 注：它是測(cè)量結(jié)果標(biāo)準(zhǔn)差的估計(jì)值。 414.5.2 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度 影響測(cè)量結(jié)果不確定度的因素很多，為了計(jì)算總不確定度，需要將各不確定度分量進(jìn)行合成。在計(jì)算合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度之前，需要確定各輸入量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度是否彼此相關(guān)。對(duì)于大多數(shù)情況，輸入量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度是彼此互不相關(guān)的，這時(shí)，由A類和B類評(píng)定所計(jì)算得到的多個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不確定度可以用“方和根（RSS）方法”有效地進(jìn)行合成。這樣合成的結(jié)果稱為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，用uc（下角標(biāo)c是合成combined的詞

27、頭）或uc（y）（y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度）來(lái)表示。424.5.3 擴(kuò)展不確定度 定義： 確定測(cè)量結(jié)果區(qū)間的量，合理賦予被測(cè)量之值分布的大部分可望含于此區(qū)間。 注：擴(kuò)展不確定度有時(shí)也稱展伸不確定度或 范圍不確定度。擴(kuò)展不確定度通常用斜體大寫英文字母U表示。 434.5.4 包含因子k定義：為求得擴(kuò)展不確定度，對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確 定度所乘之?dāng)?shù)字因子。 注：1. 包含因子等于擴(kuò)展不確定度與合成標(biāo)準(zhǔn) 不確定度之比。 2. 包含因子有時(shí)也稱覆蓋因子。 3. 根據(jù)其含義可分為兩種： k=U/uc；kp=U/uc。 4. 一般在23之間。 5. 下腳標(biāo)p為置信概率，即置信區(qū)間所需 之概率。 445 測(cè)量不確定度評(píng)

28、定步驟1 確定被測(cè)量和測(cè)量方法 包括測(cè)量原理、環(huán)境條件、所用儀器設(shè)備、測(cè)量程序和數(shù)據(jù)處理等。2 建立數(shù)學(xué)模型 確定被測(cè)量與各輸入量之間的函數(shù)關(guān)系。如果對(duì)被測(cè)量不確定度有貢獻(xiàn)的分 量未包括在數(shù)學(xué)模型中，應(yīng)特別加以說(shuō)明，如環(huán)境因素的影響。3 求被測(cè)量的最佳估值 不確定度評(píng)定是對(duì)測(cè)量結(jié)果的不確定度評(píng)定，而測(cè)量結(jié)果應(yīng)理解為被測(cè)量之 值的最佳估計(jì)。確定不確定度的各種來(lái)源。4 確定各輸入量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度 包括不確定度的A類評(píng)定和B類評(píng)定。5 確定各個(gè)輸入分量標(biāo)準(zhǔn)不確定度對(duì)輸出量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的貢獻(xiàn) 由數(shù)學(xué)模型對(duì)各輸入量求偏導(dǎo)數(shù)確定靈敏系數(shù)，然后由輸入量的標(biāo)準(zhǔn)不確定 度分量求輸出量對(duì)應(yīng)的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量。6

29、 求合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度 利用不確定度傳播率，對(duì)輸出量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量進(jìn)行合成。7 求擴(kuò)展不確定度 根據(jù)被測(cè)量的概率分布和所需的置信水準(zhǔn)，確定包含因子，由合成標(biāo)準(zhǔn)不確 定度計(jì)算擴(kuò)展不確定度。8 報(bào)告測(cè)量結(jié)果的不確定度456.1 建立物理模型（確定測(cè)量方案） 評(píng)定之前，評(píng)定人員首先應(yīng)當(dāng)對(duì)測(cè)量過(guò)程及其物理模型有詳盡和充分地了解。也就是說(shuō)，要知道我們需要測(cè)量什么？如何測(cè)量？為什么這樣測(cè)量？ 不確定度評(píng)定最重要的觀念之一是，要對(duì)測(cè)量過(guò)程，從而對(duì)測(cè)量不確定度主要來(lái)源有詳盡的了解。對(duì)不確定度來(lái)源的識(shí)別，要從仔細(xì)分析測(cè)量過(guò)程開始。這要求測(cè)量系統(tǒng)的設(shè)計(jì)人員和試驗(yàn)人員，需要采用各種方法對(duì)測(cè)量程序和測(cè)量系統(tǒng)做詳細(xì)研

30、究。這些方法包括測(cè)量流程圖、計(jì)算機(jī)模擬、重復(fù)測(cè)量或交替測(cè)量，與其他方法比較等等。這意味著，測(cè)量系統(tǒng)的設(shè)計(jì)人員或熟練操作人員是最適合進(jìn)行不確定度評(píng)定實(shí)踐的。466.1 建立物理模型(續(xù)) 對(duì)于初學(xué)者，通過(guò)對(duì)測(cè)量過(guò)程和測(cè)量系統(tǒng)的深入分析研究，列出不確定度評(píng)定所需的信息，包括：首先必須確定你需要測(cè)量什么，如何進(jìn)行測(cè)量。也就是說(shuō)，確定被測(cè)量和描述測(cè)量過(guò)程：給出測(cè)量原理框圖，明確測(cè)量參數(shù)；給出測(cè)量?jī)x器/測(cè)量標(biāo)準(zhǔn)技術(shù)指標(biāo)，并列出其計(jì)量特性；描述被測(cè)物品技術(shù)指標(biāo)；列出測(cè)量依據(jù)的技術(shù)標(biāo)準(zhǔn)/規(guī)范/規(guī)程；描述測(cè)量方法；說(shuō)明測(cè)量過(guò)程和環(huán)境；不確定度評(píng)定中需要說(shuō)明的其他信息。476.2 建立數(shù)學(xué)模型 所謂建立數(shù)學(xué)模型

31、，就是根據(jù)被測(cè)量的定義和物理模型（測(cè)量方案），用一個(gè)函數(shù)關(guān)系將測(cè)量過(guò)程模型化，以確定被測(cè)量與有關(guān)量之間的函數(shù)關(guān)系。一個(gè)被測(cè)量可能依賴若干個(gè)有關(guān)量，為此，先要識(shí)別出所有被測(cè)的輸入量，然后通過(guò)數(shù)學(xué)模型（函數(shù)關(guān)系），用所有的已知輸入量計(jì)算輸出量（最終的待測(cè)量）。 只有評(píng)定了所有各輸入量的不確定度，才能給出被測(cè)量值（輸出量）的不確定度。 建立物理模型和相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，實(shí)際上就給出了被測(cè)量值的不確定度主要來(lái)源。 486.2 建立數(shù)學(xué)模型(續(xù)) 在多數(shù)情況下，被測(cè)量Y（輸出量）不能直接測(cè)得，而是由N個(gè)其他量X1，X2，XN通過(guò)函數(shù)關(guān)系f來(lái)確定： Y=f(X1，X2，XN)式中Xi是對(duì)Y的測(cè)量結(jié)果y產(chǎn)生影響

32、的影響量（即輸入量）。上式稱為測(cè)量模型或數(shù)學(xué)模型，或稱為測(cè)量過(guò)程數(shù)學(xué)模型。輸出量Y的輸入量X1，X2，XN本身可看作被測(cè)量，也可取決于其他量，甚至包括具有系統(tǒng)效應(yīng)的修正值，從而可能導(dǎo)出一個(gè)十分復(fù)雜的函數(shù)關(guān)系式，以至函數(shù)f不能用顯式表示。Y也可以用實(shí)驗(yàn)的方法確定，甚至只用數(shù)值方程給出。上式也可能簡(jiǎn)單到Y(jié)=X1+X2，甚至Y=X。 數(shù)學(xué)模型往往不是惟一的，通常取決于測(cè)量方法、測(cè)量?jī)x器、環(huán)境條件等。 數(shù)學(xué)模型在建立之初，可能不夠完善，通過(guò)長(zhǎng)期測(cè)量實(shí)踐，可對(duì)數(shù)學(xué)模型進(jìn)行修正，使其不斷完善。 496.3 求最佳估值 注意，所謂最佳估值是指被測(cè)量（輸出量）Y的估計(jì)值y。 如果被測(cè)量Y的估計(jì)值為y，輸入量X

33、i的估計(jì)值為xi，則有: yf(x1，x2，xN) 可以用兩種方法用輸入量X1，X2，XN的估計(jì)值x1，x2，xN求取被測(cè)量Y的最佳估值y。 方法1）方法2）式中 是X的n次獨(dú)立觀測(cè)值xik的算術(shù)平均值。 當(dāng)y是xi的線性函數(shù)時(shí)，兩種方法的結(jié)果相同。當(dāng)y是xi的非線性函數(shù)時(shí)，建議采用方法1）求取被測(cè)量Y的最佳估值y。 506.3 求最佳估值(續(xù)) 需要指出，對(duì)于測(cè)量值來(lái)說(shuō)，最佳值應(yīng)是修正了已識(shí)別的系統(tǒng)效應(yīng)和剔除了異常值的平均值。 最后需要指出，求最佳估值是測(cè)量不確定度評(píng)定必不可少的一個(gè)步驟。一方面是因?yàn)閳?bào)告測(cè)量結(jié)果和報(bào)告測(cè)量結(jié)果的不確定度需要給出最佳估值；另一方面，計(jì)算相對(duì)不確定度需要有最佳估

34、值，相對(duì)不確定度等于不確定度除以最佳值的絕對(duì)值。516.4 輸出量標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的表示式 在識(shí)別了各個(gè)分量的不確定度后，下一步必須做的是，由適當(dāng)?shù)姆椒▽?duì)各個(gè)不確定度分量定量。根據(jù)上述分析，首先必須列出各個(gè)輸出量不確定度分量的表示式：式中傳播系數(shù)或靈敏系數(shù) 的含義是，輸入量的估計(jì)值xi的單位變化引起的輸出量的估計(jì)值y的變化量，即起到了不確定度的傳播作用。526.5 標(biāo)準(zhǔn)不確定度A類評(píng)定 6.5.1 基本方法（單次測(cè)量結(jié)果實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差與平均值實(shí) 驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差） 對(duì)一個(gè)或一組相同的樣品在相同條件下做若干次重復(fù)測(cè)量，其測(cè)得結(jié)果未必是相同的。由于諸如電噪聲、振動(dòng)等各種各樣因素的變化，測(cè)得值彼此之間會(huì)有區(qū)別而

35、且分布在其平均值周圍。如果這種隨機(jī)影響相對(duì)于其他不確定度分量是明顯的，則必須對(duì)它進(jìn)行定量分析，隨后還必須包含在合成不確定度內(nèi)。例如在重復(fù)性條件下得出n個(gè)觀測(cè)結(jié)果xi，則n次獨(dú)立觀測(cè)結(jié)果的算術(shù)平均值就是被測(cè)量的最佳估值，其標(biāo)準(zhǔn)偏差sest即表示被測(cè)量分散性的一個(gè)量。表6.1給出了平均值和標(biāo)準(zhǔn)偏差的估算步驟。 53表6.1 標(biāo)準(zhǔn)不確定度A類評(píng)定運(yùn) 算 說(shuō) 明 數(shù) 學(xué) 公 式 1對(duì)某量進(jìn)行n次重復(fù)測(cè)量 xi (i=1,2,n) 2計(jì)算測(cè)量結(jié)果的平均值，即測(cè)量結(jié)果之和除以測(cè)量次數(shù)n 3求測(cè)量結(jié)果的殘差4對(duì)每一個(gè)殘差求平方和，再求殘差平方和除以（n1），其結(jié)果稱為方差V 5計(jì)算單次測(cè)量測(cè)量結(jié)果的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)

36、偏差（實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)偏差，貝塞耳公式） 6求單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度 7求平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 8求平均值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度 546.5 標(biāo)準(zhǔn)不確定度A類評(píng)定(續(xù)) 如果為客戶所做的某項(xiàng)測(cè)量不是實(shí)驗(yàn)室的常規(guī)測(cè)量，則不確定度的A 類評(píng)定應(yīng)隨該項(xiàng)測(cè)量實(shí)時(shí)進(jìn)行。但實(shí)驗(yàn)室常常是在類似的條件下，用相同的設(shè)備相同的方法，在常規(guī)基礎(chǔ)上做基本類似性質(zhì)的測(cè)量。在這種情況下，通常不需要每次測(cè)量都進(jìn)行A類標(biāo)準(zhǔn)不確定度評(píng)定，可以直接引用預(yù)先評(píng)定的結(jié)果。對(duì)隨機(jī)變量x根據(jù)n個(gè)測(cè)量結(jié)果的有限樣本所估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)偏差s(x)，就是對(duì)整體樣本的標(biāo)準(zhǔn)差(x)的估計(jì)值。如果隨后的測(cè)量只作幾次測(cè)量(典型情況是n3)，而且將n次測(cè)量的平均值作為結(jié)果提供給

37、客戶，則應(yīng)由原先的實(shí)驗(yàn)獲得的標(biāo)準(zhǔn)差s(x)除以次數(shù)n的平方根，以求得算術(shù)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差 （表6.2）。 55表6.2 算術(shù)平均值的實(shí)驗(yàn)標(biāo)準(zhǔn)差和標(biāo)準(zhǔn)不確定度的估算運(yùn) 算 說(shuō) 明數(shù) 學(xué) 公 式一組n次測(cè)量估算的標(biāo)準(zhǔn)差s(x)除以實(shí)際測(cè)量測(cè)量次數(shù)n的平方根；是n次測(cè)量的算術(shù)平均值 ，并將其提供給用戶 平均值的標(biāo)準(zhǔn)不確定度：等于一倍平均值的標(biāo)準(zhǔn)偏差 56 【實(shí)例】 某實(shí)驗(yàn)室事先對(duì)某一電流量進(jìn)行n10次重復(fù)測(cè)量，測(cè)量值列于表6.3。按表6.1的計(jì)算步驟得到單次測(cè)量的估計(jì)標(biāo)準(zhǔn)偏差 s（x）0.074mA。 在同一系統(tǒng)中在以后做單次（n1）測(cè)量，測(cè)量值x46.3mA，求這次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u（x）。

38、在同一系統(tǒng)中在以后做3（n3）次測(cè)量， mA，求這次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度 。 57表6.3 對(duì)某一電流量進(jìn)行n10次重復(fù)測(cè)量的測(cè)量值 次數(shù)i 12345測(cè)量值 mA 46.4 46.5 46.4 46.3 46.5 次數(shù)i 678910測(cè)量值 mA 46.346.346.4 46.4 46.4 平均值 46.39mA 單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差s(x) 0.074mA 58【解】 對(duì)于單次測(cè)量，則其標(biāo)準(zhǔn)不確定度等于1倍單次測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)偏差：x46.3mA，u(x)=s(x)=0.074mA。【解】 對(duì)于n3測(cè)量，測(cè)量結(jié)果為： 的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：59其他幾種常用的標(biāo)準(zhǔn)不確定度A類評(píng)定方法： 合并樣本標(biāo)準(zhǔn)差

39、極差 最小二乘法 阿倫方差 606.6 B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度：（由于系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度） 不同于A類對(duì)觀測(cè)列進(jìn)行統(tǒng)計(jì)分析的方法來(lái)評(píng)定標(biāo)準(zhǔn)不確定度，稱為不確定度B類的評(píng)定，有時(shí)也稱B類不確定度評(píng)定。B類不確定度評(píng)定是根據(jù)經(jīng)驗(yàn)和資料及假設(shè)的概率分布估計(jì)的標(biāo)準(zhǔn)（偏）差表征，也就是說(shuō)其原始數(shù)據(jù)并非來(lái)自觀測(cè)列的數(shù)據(jù)處理，而是基于實(shí)驗(yàn)或其他信息來(lái)估計(jì)，含有主觀鑒別的成分。B類不確定度的信息來(lái)源一般有： 611.以前的觀測(cè)數(shù)據(jù)；2.對(duì)有關(guān)技術(shù)資料的測(cè)量?jī)x器特性的了解和經(jīng) 驗(yàn)；3.生產(chǎn)企業(yè)提供的技術(shù)說(shuō)明文件；4.校準(zhǔn)證書（檢定證書）或其他文件提供的數(shù) 據(jù)、準(zhǔn)確度的等級(jí)或級(jí)別，包括目前仍在使 用的極限誤差、最大

40、允許誤差等；5.手冊(cè)或某些資料給出的參考數(shù)據(jù)及其不確定 度；6.規(guī)定試驗(yàn)方法的國(guó)家標(biāo)準(zhǔn)或類似技術(shù)文件中 給出的重復(fù)性限 或復(fù)現(xiàn)性限。627. 測(cè)量?jī)x器的示值不夠準(zhǔn)確；8. 標(biāo)準(zhǔn)物質(zhì)的標(biāo)準(zhǔn)值不夠準(zhǔn)確；9. 引用的數(shù)據(jù)或其它參量的不夠準(zhǔn)確；10.取樣的代表性不夠，即被測(cè)樣本不能完全 代表所定義的被測(cè)量；11.化學(xué)分析中的基體效應(yīng)，分析空白，干擾 影響，回收率及反映效率等系統(tǒng)影響；12.測(cè)量方法和測(cè)量程序的近似和假設(shè)；13.其他因素63B類不確定度的評(píng)定方法:B類評(píng)定的標(biāo)準(zhǔn)不確定度可以用下述四種方法得到： （）若有關(guān)資料（如：計(jì)量校準(zhǔn)/檢定證書，儀器說(shuō)明書等）給出估計(jì)值xi的擴(kuò)展不確定度U(xi)為

41、其估計(jì)值標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)的ki倍，則標(biāo)準(zhǔn)不確定度： 6.6 B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度(續(xù))（由于系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度） 64（）如估計(jì)值xi的擴(kuò)展不確定度U(xi)不是按標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)的倍給出，而是給出了置信概率P為90%、95%、99%的置信區(qū)間的半寬度 U90、U95 、 U99，除非另有說(shuō)明，一般按照正態(tài)分布考慮評(píng)定其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)。對(duì)應(yīng)于上述三種置信概率的 包含因子kp分別為1.64、1.96或2.58，即：標(biāo)準(zhǔn)不確定度為: 6.6 B類標(biāo)準(zhǔn)不確定度(續(xù))（由于系統(tǒng)效應(yīng)導(dǎo)致的不確定度） 656.6 B類不確定度的評(píng)定方法(續(xù))正態(tài)分布情況下置信概率與包含因子之間的關(guān)系

42、在第4.3節(jié)的表4.1給出了常用概率分布的包含因子。p(%) 5068.27909595.459999.73kp0.6711.6451.96022.5763666.6 B類不確定度的評(píng)定方法(續(xù)) （）如已知信息表明Xi之值接近正態(tài)分布，并以0.68的概率落于 (a+a-)/2=a的對(duì)稱范圍之內(nèi)，按表-1，kp=1 ，則u(xi)=a。 （）若已知Xi估計(jì)值xi分散區(qū)間的半寬為a，且 落在a至a范圍內(nèi)的概率p為100%，通過(guò)對(duì)分布的估計(jì)，可以得出xi的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為： 67 用于測(cè)量的某臺(tái)設(shè)備的校準(zhǔn)證書中說(shuō)明，在它的校準(zhǔn)范圍內(nèi)的測(cè)量不確定度為U(x)0.10，置信概率p95。由置信概率95，可

43、以假定等效于用包含因子k2來(lái)表示該不確定度的。因此，在其校準(zhǔn)范圍內(nèi)，由該設(shè)備引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(x)為： 【例1】 由校準(zhǔn)證書數(shù)據(jù)確定標(biāo)準(zhǔn) 不確定度 68【例2】校準(zhǔn)證書給出電流表1A檔的 不確定度為滿偏轉(zhuǎn)的1.0， 置信概率95。 由證書可知，在該檔，不確定度U是1A的1.0，k2。所以，應(yīng)當(dāng)注意，當(dāng)采用這一檔時(shí)，由電流表的校準(zhǔn)引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度不是與讀數(shù)成正比的，而是一個(gè)固定值： 69檢定證書判斷合格的數(shù)據(jù) 對(duì)于檢定證書判斷合格的數(shù)據(jù)，應(yīng)仔細(xì)閱讀檢定證書。（1） 當(dāng)檢定證書給出準(zhǔn)確度等別時(shí)，可以依據(jù)國(guó)家檢定系統(tǒng)表或檢定規(guī)程所規(guī)定的該等別的測(cè)量不確定度的大小進(jìn)行評(píng)定，按6.7.2節(jié)和6.7

44、.3節(jié)的方法計(jì)算相應(yīng)分量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度。諸如量塊、天平、砝碼、標(biāo)準(zhǔn)溫度計(jì)的檢定證書。 70【例3】二等標(biāo)準(zhǔn)鉑銠10-鉑熱電偶檢定證 書給出熱電偶在3001100 范圍內(nèi)檢定合格。 由JJG 2003-1987鉑銠10-鉑熱電偶計(jì)量器具檢定系統(tǒng)框圖(1)可知，二等標(biāo)準(zhǔn)鉑銠10-鉑熱電偶總（擴(kuò)展）不確定度為1.0， (k=3)。 所以，由二等標(biāo)準(zhǔn)鉑銠10-鉑熱電偶引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為： 71【例4】1000g F1等砝碼檢定證書給出檢 定合格。 由JJG 2053-1990質(zhì)量計(jì)量器具檢定系統(tǒng)框圖可知，1000g F1等砝碼的質(zhì)量總（擴(kuò)展）不確定度（置信概率99.73%99）z20mg。因此，

45、包含因子k3。 所以，由1000g F1等砝碼引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量為： 72檢定證書判斷合格的數(shù)據(jù)(續(xù)) （2） 當(dāng)檢定證書給出準(zhǔn)確度級(jí)別時(shí)，可以依據(jù)國(guó)家檢定系統(tǒng)表或檢定規(guī)程所規(guī)定的該級(jí)別的最大允許誤差（示值允差）進(jìn)行評(píng)定（包括沒有說(shuō)明級(jí)別的檢定證書，也可按此方法處理）。 假定最大允許誤差為A，則區(qū)間半寬度為a=A，服從矩形分布，包含因子。儀器最大允許誤差（示值允差）引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為： 73【例5】 0.2級(jí)三相標(biāo)準(zhǔn)電能表檢定證 書給出檢定合格，符合A型技 術(shù)指標(biāo)要求的結(jié)論。 查JJG596-1999 電子式電能表檢定規(guī)程，0.2級(jí)A型三相（平衡負(fù)載）標(biāo)準(zhǔn)電能表，負(fù)載電流為0.1 IbI

46、max，功率因數(shù)cos=1時(shí)，基本誤差限為0.2。則區(qū)間半寬度為a=0.2，服從矩形分布，包含因子 。由此引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為： 74【例6】?jī)x器制造廠的說(shuō)明書給出儀器的 允差（或誤差）為1%。 我們就可以假定這是對(duì)儀器最大誤差限值的說(shuō)明，而且所有測(cè)量值的誤差值是等概率地（矩形分布）處于該限值范圍0.01，0.01內(nèi)。（因?yàn)榇笥?%誤差限的儀器，屬于不合格品，制造廠不準(zhǔn)出廠；或者檢定不合格，不準(zhǔn)投入使用。）矩形分布的包含因子 ，儀器誤差的區(qū)間半寬度a=0.01(1%)。因此，標(biāo)準(zhǔn)不確定度為： 75【例7】 制造商給出A級(jí)100mL單標(biāo)線容 量瓶的允差為0.1mL。 歐洲分析化學(xué)中心(EURAC

47、HEM)認(rèn)為其服從三角分布，則區(qū)間半寬度為a=0.1 mL，包含因子 。由此引起的引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為： 766.6.7 來(lái)源于手冊(cè)、數(shù)表或其他資料的數(shù)據(jù) 源于手冊(cè)、數(shù)表或相關(guān)資料的數(shù)據(jù)，必須仔細(xì)閱讀其說(shuō)明。如果說(shuō)明了分布，就按照具體分布求出標(biāo)準(zhǔn)不確定度；但是通常情況下查得的數(shù)據(jù)是被測(cè)量分布的極限范圍。從而可以得到被測(cè)量可能值的分布區(qū)間半寬度a，即允許誤差的極限值。由于a可以認(rèn)為對(duì)應(yīng)于置信概率p100的置信區(qū)間半寬度，因而就是該被測(cè)量的擴(kuò)展不確定度。因此，被測(cè)量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度可由下式給出： 包含因子k隨分布的不同而取不同數(shù)值77【例8】查2003年國(guó)際理論和應(yīng)有化學(xué)聯(lián)合會(huì)原子量和同位素豐度委員

48、會(huì)發(fā)布的“相對(duì)原子質(zhì)量表”，氧原子O的相對(duì)質(zhì)量為15.9994(3) g/mol，括號(hào)內(nèi)的數(shù)字“3”是指，氧原子的相對(duì)質(zhì)量15.9994g/mol的最后一位數(shù)字“4”的最大允許誤差為0.0003g/mol，估計(jì)其可能概率分布為均勻分布，故包含因子k(O)= ， 區(qū)間半寬度a(0)= 0.0003g/mol，其標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(O)為： 78【例9】 查物理手冊(cè)得到黃銅在20時(shí)的線膨脹系數(shù) a16.521061，但指明最小可能值為 16.401061，最大可能值為16.921061。 由給出的信息知道是不對(duì)稱分布，這時(shí)有： a=(16.4016.52)10610.121061， a=(16.921

49、6.52)10610.401061。 因此，區(qū)間半寬度a(aa)/2(0.400.12)/210610.261061，假設(shè)為均勻分布，包含因子 。其標(biāo)準(zhǔn)不確定度為： 796.6.8 B類不確定度評(píng)定方法的 其他常見情況 【例10】 數(shù)字顯示的分辯力引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度 如果儀器的分辯力為，則示值x將等概率處于x/2，x/2的區(qū)間任何位置。即被測(cè)量的可能值服從均勻分布，區(qū)間半寬度a/2，包含因子 。 因此分辯力引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為： 80【例11】 儀器讀數(shù)滯后引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度 儀器讀數(shù)滯后的方向不是都能觀察得到，在平衡點(diǎn)附近會(huì)有振蕩。由于滯后所引起的可能讀數(shù)的范圍需要在測(cè)量之前事先進(jìn)行觀測(cè)確定

50、。如果因滯后使測(cè)量結(jié)果的變化范圍為，則a/2可以看作置信概率p100的矩形分布的半寬度，包含因子 。 因此儀器滯后引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為： 816.7 合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度 得到各標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量u(y) 后，需要將各分量合成給出被測(cè)量Y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)。下標(biāo)c是“combined”(合成)的第一個(gè)字母。合成之前必須將所有的不確定度分量都換算為標(biāo)準(zhǔn)不確定度。合成時(shí)，需要考慮各輸入量之間的相關(guān)性。 現(xiàn)在討論經(jīng)常遇到的標(biāo)準(zhǔn)不確定度的合成。826.7.1 直接測(cè)量 直接測(cè)量的量，其各分量的標(biāo)準(zhǔn)不確定度互不相關(guān)，采用方和根方法合成。例如在比較儀校準(zhǔn)量塊，直接測(cè)量被校量塊與標(biāo)準(zhǔn)量塊的長(zhǎng)度差；在校驗(yàn)

51、臺(tái)上用標(biāo)準(zhǔn)電能表校準(zhǔn)被校電能表的示值誤差。示值誤差的校準(zhǔn)屬于此類?！纠侩娔鼙硎局嫡`差不確定度評(píng)定數(shù)學(xué)模型： 。H是被檢表的相對(duì)誤差，WO是三相電能表標(biāo)準(zhǔn)裝置上測(cè)得的相對(duì)誤差。輸入量WO的不確定度的來(lái)源主要有如下方面：在重復(fù)條件下測(cè)量結(jié)果不重復(fù)引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量uA；標(biāo)準(zhǔn)電能表的誤差引起的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量uB1；標(biāo)準(zhǔn)電能表檢定裝置讀數(shù)分辨力引入的標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量uB2。uA、uB1和uB1互不相關(guān)，采用方和根方法計(jì)算輸入量WO的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度： 測(cè)量結(jié)果H（輸出量）等于直接測(cè)量的量WO（輸入量）。836.7.2 間接測(cè)量 間接測(cè)量是指最終的測(cè)量結(jié)果需要由多個(gè)被測(cè)量值計(jì)算給出。如果被測(cè)量Y

52、的估計(jì)值為y，輸入量Xi的估計(jì)值為xi，則有yf(x1，x2，xN) 對(duì)于間接測(cè)量，首先必須求出各個(gè)輸入量估計(jì)值xi的各項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量，然后按照直接測(cè)量的方法求出各輸入量估計(jì)值xi的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(xi)。最后再對(duì)各輸入量估計(jì)值xi的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(xi)進(jìn)行合成，求出輸出量估計(jì)值y的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)。 846.7.3 不相關(guān)輸入量的合成 對(duì)于輸入量互不相關(guān)（彼此獨(dú)立）的情況，可認(rèn)為相關(guān)系數(shù)=0，有 對(duì)于大多數(shù)情況，輸入量是互不相關(guān)的，這時(shí)采用上式 合成，稱為用方和根（RSS）方法合成。下列幾種情況可認(rèn)為量輸入量Xi互不相關(guān)，即相關(guān)系數(shù)r(xi，xj)0：輸入量Xi互

53、不相關(guān)；輸入量Xi屬于不同體系的分量，如人員引起的不確定度分量、溫度影響的不確定度分量、由上一級(jí)標(biāo)準(zhǔn)校準(zhǔn)證書確定的不確定度分量；r(xi，xj)在1,1上對(duì)稱分布；輸入量Xi弱相關(guān)等。 856.7.4 合成不確定度表達(dá)的簡(jiǎn)化形式 有時(shí)，在輸入量彼此獨(dú)立的線性模型的情況下，合成不確定度的表達(dá)可以采用更為簡(jiǎn)單的形式。合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的三個(gè)簡(jiǎn)單規(guī)則如下：【規(guī)則 1】只涉及量的和或差的線性模型，例如: 。則合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度如下： 此時(shí)，有 ，所以可以將上式寫作：866.7.4 合成不確定度表達(dá)的簡(jiǎn)化形式【規(guī)則2】只涉及積或商的模型，如果函數(shù)f的表現(xiàn)形式為： ,合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度有：式中，式中，m是常數(shù)，

54、指數(shù)pi可以是正數(shù)、負(fù)數(shù)或分?jǐn)?shù)(pi的不確定度可以忽略不計(jì))，urel(xi)u(xi)/xi是相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度。其靈敏系數(shù)cipi。 上式給出的是相對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度，對(duì)于線函數(shù) 的形式，采用相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度進(jìn)行評(píng)定比較方便。 87【例】 y=x1x2 (1) x1和x2不相關(guān) 應(yīng)用規(guī)則2，采用相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度，用方和根方法合成，輸出量y的相對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為： (2) x1和x2相關(guān)，且相關(guān)系數(shù)r(x1，x2)=1 應(yīng)用規(guī)則2，并考慮協(xié)方差項(xiàng)，輸出量y的相對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為： 88【例】 y=x1/x2 x1和x2不相關(guān)。 x1和x2用同一臺(tái)儀器的相同量程測(cè)量。 應(yīng)用規(guī)則2，采用相對(duì)標(biāo)

55、準(zhǔn)不確定度，用方和根方法合成，輸出量y的相對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為： x1和x2是相關(guān)項(xiàng)，相關(guān)系數(shù)r(x1，x2)=1，但是靈敏系數(shù)分別為： 和 ，所以輸出量y的相對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為： 為提高可靠性， uc rel(y)可以采用方和根方法合成。89【例】 ，且各輸入量相互獨(dú)立無(wú)關(guān)。 已知：x1= 80，x2= 20，x3= 40； u(x1)= 2，u(x2)= 1，u(x3)= 1。 求合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y) 。 【解】906.7.4 合成不確定度表達(dá)的簡(jiǎn)化形式【規(guī)則 3】在進(jìn)行不確定度分量合成時(shí)，為方便起見，可將原始的數(shù)學(xué)模型分解，將其變?yōu)橹话ㄉ鲜鲈瓌t之一所覆蓋的形式。例如：表達(dá)式（x

56、1x2）/(x3 +x4)應(yīng)分解成兩個(gè)部分：（x1x2）和(x3 +x4)。每個(gè)部分的臨時(shí)不確定度用規(guī)則1計(jì)算，然后將這些臨時(shí)不確定度用規(guī)則2合成為合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。 91【例】園形截面積試棒抗拉強(qiáng)度的計(jì)算公式為，式中F是拉力，由萬(wàn)能試驗(yàn)機(jī)讀數(shù)，d是用園形截面積試棒的直徑，不考慮溫度效應(yīng)和應(yīng)變率效應(yīng)，求抗拉強(qiáng)度測(cè)量結(jié)果的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度。 分析可知，輸入量F和d互不相關(guān)，相關(guān)函數(shù)r(F，d)0，應(yīng)用規(guī)則2，相對(duì)合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度為： 92【例】 y=(p-q+r)，其中p=6.02，q=6.45，r=9.04；標(biāo)準(zhǔn)不確定度 u(p)=0.13，u(q)=0.05，u(r)=0.22。 將p，q，

57、r代入y ，有： y=6.02-6.45+9.04=7.61 應(yīng)用規(guī)則1，有：93【例】 y=(op/qr)，其中o=2.46，p=4.32，q=6.38，r=2.99，標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(o)=0.02，u(p)=0.13，u(q)=0.11，u(r)=0.07。 計(jì)算可得： y=(2.464.32)/( 6.382.99)=0.56 應(yīng)用規(guī)則2可計(jì)算出y的相對(duì)標(biāo)準(zhǔn)不確定度：y的標(biāo)準(zhǔn)不確定度為：946.8 列表給出各不確定度分量評(píng) 定的匯總 對(duì)于初學(xué)者而言，列表給出不確定度分量的匯總是不確定度評(píng)定必不可少的一個(gè)步驟，該步驟可以使評(píng)定人員檢查所完成的不確定度評(píng)定，是否識(shí)別了對(duì)總不確定度有貢獻(xiàn)的所有

58、來(lái)源。也可以使評(píng)定人員進(jìn)一步檢查，對(duì)不確定度有貢獻(xiàn)的所有來(lái)源是否都以足夠的準(zhǔn)確度換算成了標(biāo)準(zhǔn)不確定度。通過(guò)不確定度分量匯總，可使評(píng)定人員進(jìn)一步理清思路，明確哪一個(gè)不確定度來(lái)源對(duì)測(cè)量結(jié)果的質(zhì)量影響較大，從而在測(cè)量過(guò)程中重點(diǎn)可知該因素的影響。 表6.6是推薦給初學(xué)者的一種不確定度分量匯總表格式。 95表6.6 推薦給初學(xué)者的不確定度評(píng)定匯總表不確定度來(lái)源輸入量輸出量數(shù)值評(píng)定類型概率分布包含因子標(biāo)準(zhǔn)不確定度靈敏系數(shù)自由度標(biāo)準(zhǔn)不確定度符號(hào)數(shù)值符號(hào)數(shù)值合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)擴(kuò)展不確定度U(y)(取包含因子k2，p95%)967 擴(kuò)展不確定度7.1 輸出量的分布特征 6.8節(jié)介紹了合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)

59、定，其方法是首先確定輸出量的各個(gè)標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量ui(y)=ciu(xi)，然后通過(guò)計(jì)算，求出合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)。 為了表征每一個(gè)輸入量Xi的測(cè)量不確定度，我們需要 確定3個(gè)參量，即標(biāo)準(zhǔn)不確定度u(xi)、自由度i以及 其分布特征。通常，A類評(píng)定方法給出的輸入量Xi的 可能值服從正態(tài)分布；B類評(píng)定方法估計(jì)的輸入量Xi 的可能值可能分別服從包括正態(tài)、均勻、三角等。 同樣地，為了表征輸出量（被測(cè)量）Y的測(cè)量不確定 度，也需要確定3個(gè)參量，即合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)、 有效自由度eff以及其分布特征。 977 擴(kuò)展不確定度7.2 擴(kuò)展不確定度的含義 測(cè)量不確定度的定義注1指出，測(cè)量不確定度

60、是“標(biāo)準(zhǔn)偏差或其倍數(shù)?；蛘f(shuō)明了置信水準(zhǔn)的區(qū)間的半寬度”。也就是說(shuō)，測(cè)量不確定度需要用兩個(gè)數(shù)來(lái)表示：一個(gè)是測(cè)量不確定度的大小，即置信區(qū)間；另一個(gè)是置信概率（或稱置信水準(zhǔn)），表明測(cè)量結(jié)果落在該區(qū)間有多大把握。 到目前我們僅給出了標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量和合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的評(píng)定方法，標(biāo)準(zhǔn)不確定度分量的置信概率都比較低。例如服從正態(tài)分布的合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度的置信概率p68左右。為了提高測(cè)量的可靠性，需要將置信區(qū)間進(jìn)行擴(kuò)大，以提供一個(gè)較高的置信概率。因此，可將合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc(y)乘以包含因子（覆蓋因子、擴(kuò)展因子、范圍因子）k，以給出擴(kuò)展不確定度。 987 擴(kuò)展不確定度 用包含因子k乘以合成標(biāo)準(zhǔn)不確定度uc所