量子力學(xué)典型題分析解答

1、量子力學(xué)例題一.求解一位定態(tài)薛定謂方程i .試求在不對(duì)稱勢(shì)井中的粒子能級(jí)和波函數(shù)（E匕）解薛定調(diào)方程：”下 物（，- 4dx2ft29好卬=0 X 0蘇 1,中 dm a A丁 + k 里=。0 x adx2 2I當(dāng)故,WtO故有-T（j）二、L利用波函數(shù)在x-O,x-a處的連續(xù)條件由x二0處連續(xù)條件：句二船儂由二a處連續(xù)條件：后二一上喻腦+3）.sin J = sinFlL ? 2掰優(yōu)磯片二P2 2mE k二-L V、加（6-0扁- 7& exp（京）: 04sinkx+ 5）.,.O x a（如+引=-5卜 .S . s：.ka-nn- arcsin -arcsin 悅 憶 ”123給定一

2、個(gè)n值，可解一個(gè) & ,4為分離能級(jí).2.粒子在一維5勢(shì)井中的運(yùn)動(dòng)，（幻=一儀占（X）（40）求粒子的束縛定態(tài)能級(jí)與相應(yīng)的歸一化定態(tài)波函數(shù)解體系的定態(tài)薛定調(diào)方程為L(zhǎng)2%i _當(dāng)武0時(shí)-二典2 組 dx2叫絆田二0對(duì)束縛態(tài)T（-oa）= T（oo）= 0解為叫卅:x。L.在x=0 處連續(xù)性要求叫0+）=中）將守卜）代入得A= B5o hl 陽(yáng)s#.x 0后3分子間的范得瓦耳斯力所產(chǎn)生的勢(shì)能可近似地表示為/=8 X 0監(jiān)0 Wx W償-匕df x。工 8求束縛態(tài)的能級(jí)所滿足的方程解束縛態(tài)下粒子能量的取值范圍為心 0當(dāng)工0時(shí)，卜）T8 甲16）=0 當(dāng)0白&時(shí)薛定調(diào)方程為+卻一砒=0呼號(hào)伊-心0 令

3、n解為巴5)=4* +爾%當(dāng)ax（b時(shí)/卜）二/%+$（+匕仰廣。令小祭出心0解為T3jt)=& sin + & gsk/薛定謂方程為0時(shí)系統(tǒng)的波函數(shù)（4） I 0時(shí)能量的可能值相應(yīng)的概率及平均值 TOC o 1-5 h z x ,叭砌歸一化，H,5 * 卯1-fifl?科二一2,5 ；11312豆Nic/鼻M&L V%，（3）2。時(shí)，材幾。二% aw所以：吼*孤工。h +2) 0時(shí)，能量的可能值、相應(yīng)的概率、平均值同（4.設(shè)氫原子處于狀態(tài)次，仇0）二;出為-日&】幾網(wǎng)前求氫原子的能量，角動(dòng)量平方以及角動(dòng)量 z分量的可能值，這些可能值出現(xiàn)的幾率和這些力學(xué)量 的平均值。E 二解能量本征值* 2/

4、能量本征態(tài)二二當(dāng)n=2M =一片時(shí);的=.+1 一pr10 = i（i+i）ft3 = 2fe2【附一】=2必W9二2力勺今本征值為的_：產(chǎn)二加出現(xiàn)的幾率為100%人11工可能值為0,一方出現(xiàn)的幾率分別為：4,4E = E2 =5 .在軌道角動(dòng)量 g和 L共同的本征態(tài) W) 下，試求下列期望值= 0 = 4 江二 L* 二 0，Iy - 0三測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系1.粒子處于狀態(tài)V測(cè)不準(zhǔn)關(guān)系式中g(shù)為常數(shù)，求粒子的動(dòng)量的平均值，并計(jì)算解先歸一化(1)動(dòng)量平均值2A-so二3廚包店二生斗吟打包-,JL卜伍*刷1_L+工_端_照，油制心、磯！1 21智h3可/2 . S3+E(3)月2謔rg-X- /二LJyI

5、矛, a 2砧2=4.2二億工二一7帚南：附：他常用積分式：0| # dx -瓜11) -0/kdx=近。2仆產(chǎn)金=2(3) 文第四章 例題=0依=dx孩近才何用r%二無(wú)2 -22常(血寸匚/二.郎二仗-尸/二聲-2而+露=廣-產(chǎn)1至.(2吟1)尼2% Va1.力學(xué)量的矩陣表示由坐標(biāo)算符的歸一化本征矢 尸）及動(dòng)量算符構(gòu)造成算符6和試分別：D .求0和在態(tài)IH下的期望值；2）,給出6和2的物理意義【解】（1）.設(shè)態(tài)矢陽(yáng)已歸一化州與二1歹二同巧=（冗網(wǎng)冷=/陰何巧,二聯(lián)（暝/”忸砰二曲）（粒子位置幾率密度）(2)J僅忖巧二卜制叩網(wǎng)+促同尸即同（利用“四二1化到坐標(biāo)表象）=W（l啊節(jié)即師憐+#W#即

6、XHDd尸曠（尸X股以廣-產(chǎn)油（尸）+ #嗖夕h閃聲儼-尸業(yè)網(wǎng)就即）=擠，才叫力聲（尸-廣勝儼）+J #呼，儼*儼-加（廣）7 fe f一曠(rRT(r) + Kr)VN.試證明：由任意一對(duì)以歸一化的共腕右矢和左矢構(gòu)成的投影算符/ =陰R（1）,是厄密算符，（2）.有/:/ , （3） . P的本征值為0和1【證】（1）.厄密算符的定義觸陰但為厄密算符網(wǎng)已歸一化 俚忸卜1南二忸脛忸燈上悝準(zhǔn)卜/A3）.由力的本征值方程又：P二嗣4）=/任）即：尤2）-%根）=0（-?）|力二0（本題主要考查厄密算符概念，本征值方程，狄拉克符號(hào)的應(yīng)用）3.分別在坐標(biāo)表象，動(dòng)量表象，能量表象中寫出一維無(wú)限深勢(shì)井中（

7、寬度 態(tài)粒子的波函數(shù)。（本題主要考查波函數(shù)在具體表象中的表示）【解】所描述的狀態(tài)，基態(tài)波函數(shù) 恒）（1）.在x表象:2 .版。懼）=當(dāng)卜）=他知一（2）.動(dòng)量表象:悝】）二1吻忸上陽(yáng)）%=1與卜以份切團(tuán)與二切幣*怛1）3叼）=J爾咐卜陽(yáng)（3）.能量表象叼卜）=&*仙）/二；卜瞰=自邠小則雙串J% = L 的=1同樣一個(gè)態(tài)在不同表象中的表示是不同的，不同的表象是從不同側(cè)面來(lái)進(jìn)行描述 的.八A A A. A4.取月和4的共同表象，在/二1角動(dòng)量空間中寫出 丹，4, 4All+上的矩 陣（本題主要考查算符矩陣的求法心二（幽必町）【解】江。的共同本征函數(shù)為 TOC o 1-5 h z 鼻(3屈在/二1

8、空間444.1,三V %=/+1)6 244=峭部= 哨=1 即+1)=2#，1 0 0g 02* 0 1 0： I。b同樣(1-l|Z2|l-l)=-fe(1,011,11,0)=0b%|L+l”方,1 0 0工=力o o o10 0 -V AAAi F-利用：|-) = J。+附W 土海+ 1M1)利用正交歸一條件: ,，J , ,，J :,(1,0圉卜1=仲眄)=方8%1助=傍泡)=用0 應(yīng) 0 + =A 0 0 顯0 0017同樣,00 0工0方正 0 01 0收03AA(3)LjLyA蟲x 蟲利用：4二44.爭(zhēng) 1 ?- 4 矩陣:矩陣：(0 C:出砰除佛山而=2力譏=揚(yáng)F人A *

9、r人A ,4+L=-L-L需 2 4 +- fy 方+ $也0 +爭(zhēng)1 o 0=或小o 10 1 ojto 1 0j01 L (o 0 0 L10 1 0、孚】o 0 = -1 0 1 oj 工o 1 oj 1 10 -10；.5區(qū)y；梢二方掰能/m+1)2e 0 e、0 2e 05.已知體系的哈密頓量(e 0 23,試求出.體系能量本征值及相應(yīng)的在 點(diǎn)所在的表象的正交歸一化的本征矢組A.將H對(duì)角化，并給出對(duì)角化的么正變換矩陣【解】 TOC o 1-5 h z 2e- E 0 I0 2s-E0 =0.久期方程e 2e-E解之-_, 上，設(shè)正交歸一的本征矢v/對(duì)應(yīng)于用對(duì)應(yīng)歸一本征矢01自4 即為

10、H的本征函數(shù)集A.月對(duì)角化后，對(duì)角元素即為能量本轉(zhuǎn)換矩陣為13。+O 1 O1VTO1 一V2證明：將算符矩陣f對(duì)角化的轉(zhuǎn)換矩陣的每一列對(duì)應(yīng)于算符的一個(gè)本征函 數(shù)矢量ffi成算符的本征矢:則F算符在自身表象中為一對(duì)角矩陣： 現(xiàn)二例班卜見(jiàn)黑對(duì)另一表象力學(xué)量的本征矢 % =州用小朋?十尺=W冏=Z伽卜乂誹網(wǎng)8卜） 哥F的本征矢及為厄密算符。不二爐二1 AB +鏘0 求算 符AJ的本征值，在A表象下求算符 解的矩陣表示。解:： 十二二1設(shè)4的本征值為1,本征函數(shù)為一,A 屋二觀我二1a*中二中2 = +1同理算符2。的本征值也為二.為本征值，即在A表象，算符的矩陣為一對(duì)角矩陣?yán)冒税税薃B+BA=O

11、。 瓦1 %、+ %電1 %)si瓦)%)%丫1 0=隗%人。-11 0b為厄密算符B+ = 8oj向0人% 。；;。M J二 kil =1 ?。?砥二1二邑b ：=二 U oj第五章例題重點(diǎn)：微擾論1. 一根長(zhǎng)為I,無(wú)質(zhì)量的繩子一段固定于支點(diǎn)，另一端系質(zhì)量為的朋質(zhì)點(diǎn)P ,在重力作用卜，質(zhì)點(diǎn)在豎直平曲內(nèi)擺動(dòng)。 的基態(tài)能量的一級(jí)修正。解：i )勢(shì)能：系統(tǒng)的哈密頓量分。等+，1 * d 丫=r 一誠(chéng)一2mr d8)在小角近似下：了二,育。4+12m dr ；(n瓦二鹿+我由=1 2Jii ) 若不考慮小角近似i)在小角近似下，求系統(tǒng)能級(jí)；ii) 求由于小角近似的誤差產(chǎn)生-=/幽=那加-8磯日T。一

12、洲煤爐2.+ -超g1j xJr 一法一+溶g/(l C05日) TOC o 1-5 h z 2切巴dQ)H = H -=科g/(l - costf)-m62/I1 i=wg/ 1- 1_ 鏟 +$ 6I214!) 2又劉巴卜）二呼”町洲.即二伸忡=（0卜*1。）u 1乙 F V=-1詈仲W利用公式iA ( tt7X = 口+1I加田)石器）=詞._“ a*|；s）=7+l|+ljl同樣(0|/|0) = (0|ia|o)=，方 力?so)(0| + 72(2|)(|0)+|2)Q)二：24 P(0 町 ) = -國(guó)二_書32咸力32ml2. 一維諧振子的哈密頓量為2加dr 2，假設(shè)它處于基態(tài)

13、，若在加上一個(gè)彈力，對(duì)能量的一級(jí)修正，并與嚴(yán)格解比較。作用 2,使用微擾論計(jì)算呼二然平怛平宗明小.又根工枷6+惇國(guó)J,圖中噌）w值噌=4汕=2_（方+ a2 22也由礙） = 2L+ 1）礙：Ammii） 嚴(yán)格解嘉/ /121、R =- + -ix2+-i? =2 洲 dx1 220發(fā)生了變化（1 瓦二 川+ Ao?f r 2jf 肝y kr 八（.g 3 = r ! = 1 1 H二田 1 Hm 掰 k k） I kf（b u2 =fl 1 + 1-彳 +1 2上“J（n （ b u3已妙二用 十 1 + w -* 1 2J 2k 8t2l r 1 hb 1 hb2穌二一碗+丁萬(wàn)十24 ma

14、 16 nrnf3. 已知體系的能量算符為 凡=+t 量算符。（1）求體系能級(jí)的精確值。（2）+用穌）用嵋）+片吧q；防4冽*4+4+舊2加 dx2 21j、一./i i iAA色比工+九其中上，的%0, 為軌道的角動(dòng)視1項(xiàng)為微擾項(xiàng)，求能級(jí)至二級(jí)近似值。解:i）精確解X令L_tg6一,并在一胃平面上取方向差：cos 占二日與z軸的夾角為8,則. qjLs + 萬(wàn)y = 7 + 爐（7 cos + L riFA值與4相互對(duì)易，它們的本征值分別為1 - 0,1,2/體系能級(jí)為4 =/Q+1）方+ 港向+/尸=IQ +1）加 + 赭鬲（1+二2出ii）微擾法A a A. aA力。二出十必-CH二弭R

15、O的精確解為本征能量以高按微擾論現(xiàn)）=伽用腸）=0梆力帆= 0利用了公式八網(wǎng) =立,Q+冽）（? 一洲+1）,那一1）一也）。+泓+1）,加+1） 1L.I2能量二級(jí)修正為4蘇14M1與環(huán)雙匚方錨射田一我一幽W+幽+i）%q*碌）二L（與K?+網(wǎng)Q _陽(yáng)+D _ （1 _。+僧+N=L洸&匕. ufi 22 由; 在二級(jí)近似下見(jiàn)速+碘+明=/ + 1）力生+曜商+ 1癡”2 由收 1百。二乙+與/（/+/+/）4.三維諧振子，能量算符為2幽 2,試寫出能級(jí)和能量本征函H = moxy hl 1數(shù)。如這振子又受到微擾2,I51的作用，求最低的兩個(gè)能級(jí)的微擾修正。并和精確值比較。解:（1設(shè)曾 的能

16、量本征函數(shù)為= 但下代入方程爐甲（XJZ）二雙（幾乂2）RUE- +5+乒I r (X) +A&2X24(X) H 單q(x) 2k 2*2 - g Q) + qb e 巖gH Mzg 2k 2m2 1lrg-(z)+l-182z2(z)nm%(z) 2k 2ml &(3+3) m2 2玲(3+w) 3 HHA3+3) brn3w吸弓 Nun :cK 、 z 47 (xw)u28產(chǎn)產(chǎn)包Ay。 4 y *2 W (X)七七(Z) + 虎 X) 0 Q)七(Z) + 七(X)七七.2 K+1me2R+y +)七七g七(Z7E 七(x)虎z)0(x)1 2 21*2 021 2 21 *2 qsl

17、2 T- 4+ile2x2+t - -+13a 2R +13心N 2k七S2 2七七2 2大七(Z)(2).基態(tài)的微繞修正對(duì)基態(tài)波函數(shù)基態(tài)能級(jí)的零級(jí)能量的二級(jí)修正：唯一不等于零的矩陣元為但睜1嚅=叫忡辟町咐U.第一激發(fā)態(tài)E = -ho)2三度簡(jiǎn)理上與與寫 蝴二中*當(dāng)3與3 曙=卜與0當(dāng)0)計(jì)算既不為零的矩陣元為h久期方程可求出能量的一級(jí)修正(4).精確解令KOIO - 511100 =（乎 1 皿 H 乎QW）-1陽(yáng)/（100 屈 010）22二5活由Qy1Q Zj二4C?40 與W 04H = Ao?004 000建0-?m 留 1）0=000摩砂）=0跳=3砂=-；的H = -F+y* +

18、z3） 2洲2合（彳+月?二（彳一切八八/+/孫二匆V）必小3八+一加由2 J2陽(yáng)小2 TOC o 1-5 h z i方i2 t十 船曲 l J + （-y + 活田2=）+（ HYPERLINK l bookmark151 o Current Document 2加州2 2加沏？2筑厘叢=國(guó)+：）方出產(chǎn)氏+；）方出+（% +由 ZjCmU1? 11; 1= （%+/0+尸+（%+洲硯-夕，+&+ HYPERLINK l bookmark155 o Current Document = fiU（+l）（l + - + 24 32）+ （用p + ；）方?。?-5一* +）+ （勺+矣X(jué)+忖一石

19、方田。+/+，） + 冉卬（%一%） J Cj一一一基態(tài)第一激發(fā)態(tài)5.設(shè)粒子的勢(shì)能函數(shù) “工7 是坐標(biāo)的n次齊次函數(shù),/南初=加（稱Z） 試用變分法證明，在束縛態(tài)下，動(dòng)能 T及勢(shì)能V的平均值滿足下列關(guān)系 27二 / （維里定理）證設(shè)粒子所用的態(tài)用歸一化波函數(shù) nw） 描寫則7 =須-/）叫元吊辦辦2叫工（209（逐）也3=7+7取試態(tài)波函數(shù)為一）=W-期由歸一化條件cJ曠（我加初K執(zhí)&，初期辦龍=1|明/ &,益,沏 jd(Q)d CW a) j = 1TW = f $ (Z)(-小d祕(mì)泌2純（Ax, Ay, Az）-尢 舐，屹）dxdydz= （祝從上）卜下（- + - + -）J2 d（i

20、x）2 ay a（M CU 雙 M d （溫 d （3d （?。? 二W xtytz)dxdydz二.曠&,以詞;T，(Q,加間網(wǎng)幻?或初一 無(wú)=工 聯(lián)(Q,曲，均，8,儀晚評(píng)GU&,勸d(Q)d(&)d(4=rr百/+(二#+片/型皂=24-上甲=Q也7當(dāng)二1時(shí)，試態(tài)波函數(shù)即是粒子所處的束縛態(tài)波函數(shù)。：.h(3)應(yīng)在a=1時(shí)，取極值27-=06,氫原子處于基態(tài)，加上交變電場(chǎng) 二及F” +L 力由電離能，用微擾論一級(jí) 近似計(jì)算氫原子每秒離幾率。解:解這一類問(wèn)題要搞清楚三個(gè)要素，初態(tài)末態(tài)是什么？微擾矩陣元H獻(xiàn)？1 -100 = fg 4口 /初態(tài)：氫原子基態(tài)二:末態(tài)： 自由狀態(tài)成治）二（3微地瓦

21、2就為能量為31ft,在單位立體角的末態(tài)密度。微擾二俎/C。利產(chǎn)+/煲）二網(wǎng)產(chǎn)+修與郎年p（線M端紇.限專|%限外-由）F V1 f-1卜7睡叫叱岑穌疝分，例訓(xùn)尸媼戶一 32 疝 Em歌二 4 絲 327口第/丁 1爐 鬲 0工2或八2點(diǎn) 即為+ =）7.轉(zhuǎn)動(dòng)慣量為I,電偶極矩為D的平面轉(zhuǎn)子，置于均勻場(chǎng)強(qiáng)EQ& x方向）中，總能量算符成2 j jH = -y - DE cos為 21時(shí),4為旋轉(zhuǎn)角（從x軸算起）如果電場(chǎng)很強(qiáng)，/很小，:基態(tài)能量近似值。的二酰2. j=L 史+。/甲二（+。）乎21城 2ti j J 1與一位諧振子的能量本征方程rT + -a?iz1T = 有 ：，m-1加山-De方法二 用變分法，取歸一化的試探波函數(shù)JJ5(尤) =* (一茫 0時(shí)3的平均值。解設(shè)自旋函數(shù)在表象中0)=2（0體系的哈密頓算符可表示為 則自旋態(tài)所滿足的薛定謂方程為ih /)=Hx(f) dt（0di1丫的、 。八=Am幽= r“) dt典Q) dia (。二 T延(。=