測量誤差的基本知識(shí)演示文稿課件

1、測量誤差的基本知識(shí)演示文稿一、概 述1、誤差的概念測量誤差() =真值（X）- 觀測值（L） 從測量實(shí)踐中可以發(fā)現(xiàn)，測量結(jié)果不可避免的存在誤差，比如： 1)對(duì)同一量多次觀測，其觀測值不相同。 2)觀測值不等于理論值： 三角形 +180 閉合水準(zhǔn) h02重慶交通大學(xué)課件2、測量誤差的來源 測量工作是在一定條件下進(jìn)行的，外界環(huán)境、觀測者的技術(shù)水平和感官鑒別能力的局限性及儀器本身構(gòu)造的不完善等原因，都可能導(dǎo)致測量誤差的產(chǎn)生。 所以，測量誤差主要來自以下三個(gè)方面： (1) 外界條件 主要指觀測環(huán)境中氣溫、氣壓、空氣濕度和清晰度、風(fēng)力以及大氣折光等因素的不斷變化，導(dǎo)致測量結(jié)果中帶有誤差。 (2) 儀器條

2、件 儀器在加工和裝配等工藝過程中，不能保證儀器的結(jié)構(gòu)能滿足各種幾何關(guān)系，這樣的儀器必然會(huì)給測量帶來誤差。 (3) 觀測者的自身?xiàng)l件 由于觀測者感官鑒別能力所限以及技術(shù)熟練程度不同，也會(huì)在儀器對(duì)中、整平和瞄準(zhǔn)等方面產(chǎn)生誤差。 3重慶交通大學(xué)課件通常把測量儀器、觀測者的技術(shù)水平和外界環(huán)境三個(gè)方面綜合起來，稱為觀測條件。觀測條件不理想和不斷變化，是產(chǎn)生測量誤差的根本原因。 通常把觀測條件相同的各次觀測，稱為等精度觀測；觀測條件不同的各次觀測，稱為不等精度觀測。4重慶交通大學(xué)課件1）系統(tǒng)誤差 在相同的觀測條件下，對(duì)某量進(jìn)行了n次觀測，如果誤差出現(xiàn)的大小和符號(hào)均相同或按一定的規(guī)律變化，這種誤差稱為系統(tǒng)誤

3、差。系統(tǒng)誤差一般具有累積性。 系統(tǒng)誤差產(chǎn)生的主要原因之一，是由于儀器設(shè)備制造不完善。例如，用一把名義長度為50m的鋼尺去量距，經(jīng)檢定鋼尺的實(shí)際長度為50.005 m，則每量一尺，就帶有+0.005 m的誤差(“+”表示在所量距離值中應(yīng)加上)，丈量的尺段越多，所產(chǎn)生的誤差越大。所以這種誤差與所丈量的距離成正比。3、測量誤差的分類 測量誤差按其對(duì)測量結(jié)果影響的性質(zhì)，可分為系統(tǒng)誤差和偶然誤差。5重慶交通大學(xué)課件再如，在水準(zhǔn)測量時(shí)，當(dāng)視準(zhǔn)軸與水準(zhǔn)管軸不平行而產(chǎn)生夾角時(shí)，對(duì)水準(zhǔn)尺的讀數(shù)所產(chǎn)生的誤差為 ，它與水準(zhǔn)儀至水準(zhǔn)尺之間的距離S成正比，所以這種誤差按某種規(guī)律變化。 系統(tǒng)誤差具有明顯的規(guī)律性和累積性，

4、對(duì)測量結(jié)果的影響很大。但是由于系統(tǒng)誤差的大小和符號(hào)有一定的規(guī)律，所以可以采取措施加以消除或減少其影響。計(jì)算改正、觀測方法、儀器檢校6重慶交通大學(xué)課件2）偶然誤差 在相同的觀測條件下，對(duì)某量進(jìn)行了n次觀測，如果單個(gè)誤差出現(xiàn)的大小和符號(hào)均不一定(無規(guī)律)，則這種誤差稱為偶然誤差，又稱為隨機(jī)誤差。例如，用經(jīng)緯儀測角時(shí)的照準(zhǔn)誤差，鋼尺量距時(shí)的讀數(shù)誤差等，都屬于偶然誤差。 偶然誤差，就其個(gè)別值而言，在觀測前我們確實(shí)不能預(yù)知其出現(xiàn)的大小和符號(hào)。但若在一定的觀測條件下，對(duì)某量進(jìn)行多次觀測，誤差列卻呈現(xiàn)出一定的規(guī)律性，稱為統(tǒng)計(jì)規(guī)律。而且，隨著觀測次數(shù)的增加，偶然誤差的規(guī)律性表現(xiàn)得更加明顯。 不可避免，無法消除

5、，有互補(bǔ)性7重慶交通大學(xué)課件粗差與多余觀測1、粗差：因讀錯(cuò)、記錯(cuò)、測錯(cuò)造成的錯(cuò)誤，并非誤差。2、多余觀測：觀測某未知量時(shí)進(jìn)行的多于必要觀測數(shù)外的觀測。目的：發(fā)現(xiàn)錯(cuò)誤，剔除粗差； 提高觀測質(zhì)量，進(jìn)行精度評(píng)定。多余觀測為什么不多余？（為什么要進(jìn)行多余觀測）8重慶交通大學(xué)課件二、偶然誤差的統(tǒng)計(jì)特性 在某測區(qū)，等精度觀測了217個(gè)三角形的內(nèi)角之和，得到217個(gè)三角形閉合差i(偶然誤差，也即真誤差) ，然后對(duì)三角形閉合差i 進(jìn)行分析。 分析結(jié)果表明：當(dāng)觀測次數(shù)很多時(shí)，偶然誤差的出現(xiàn)，呈現(xiàn)出統(tǒng)計(jì)學(xué)上的規(guī)律性。而且，觀測次數(shù)越多，規(guī)律性越明顯。9重慶交通大學(xué)課件0.0000.00000.0020.0051“

6、0.1680.5031090.1660.5108總和0.0030.00920.0030.0092“0.0090.02860.0080.0235“0.0120.03780.0120.0398“0.0150.046100.0180.05512“0.0250.074160.0220.06514“0.0280.083180.0230.06915“0.0310.092200.0320.09721“0.0450.134290.0460. 13830“頻率個(gè)數(shù)頻率個(gè)數(shù) 為負(fù)值 為正值誤差的區(qū)間10重慶交通大學(xué)課件11 -24 -21 -18-15-12-9 -6 -3 0 +3+6 +9 +12+15+18

7、+21+24 在一定觀測條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值絕對(duì)值較小的誤差比絕對(duì)值較大的誤差出現(xiàn)的概率大；絕對(duì)值相等的正誤差和負(fù)誤差出現(xiàn)的概率相同；偶然誤差的數(shù)學(xué)期望為零，即正態(tài)分布曲線偶然誤差具有正態(tài)分布的特性11重慶交通大學(xué)課件 第一個(gè)特性說明偶然誤差的“有界性”。它說明偶然誤差的絕對(duì)值有個(gè)限值，若超過這個(gè)限值，說明觀測條件不正?；蛴写植畲嬖冢坏诙€(gè)特性反映了偶然誤差的“密集性”，即越是靠近0，誤差分布越密集；第三個(gè)特性反映了偶然誤差的對(duì)稱性，即在各個(gè)區(qū)間內(nèi)，正負(fù)誤差個(gè)數(shù)相等或極為接近；第四個(gè)特性反映了偶然誤差的“抵償性”，它可由第三特性導(dǎo)出，即在大量的偶然誤差中，正負(fù)誤差有相互抵

8、消的特征。因此，當(dāng)n無限增大時(shí)，偶然誤差的算術(shù)平均值應(yīng)趨于零。 本章的主要內(nèi)容就是在觀測值具有大量偶然誤差的情況下如何求得最接近觀測對(duì)象真值的值及如何評(píng)定其精度高低的方法。12重慶交通大學(xué)課件測量成果中都不可避免地含有誤差，在測量工作中，是使用“精度”來判斷觀測成果質(zhì)量好壞的。所謂精度，就是指誤差分布的密集或離散程度。誤差分布密集，誤差就小，精度就高；反之，誤差分布離散，誤差就大，精度就低。三、評(píng)定精度的標(biāo)準(zhǔn)xy精度較高精度較低13重慶交通大學(xué)課件1、中誤差中誤差的定義：（n為有限個(gè)數(shù)時(shí)的標(biāo)準(zhǔn)差）方差的定義：標(biāo)準(zhǔn)差的定義：+50+2-4-1-7+6乙組-3-1-2+2+5甲組真誤差例:問題：真

9、值X不知道時(shí)怎么辦？如何計(jì)算m？14重慶交通大學(xué)課件算術(shù)平均值（最或然值，最或是值）設(shè)某量的真值為，n個(gè)觀測值為，其相應(yīng)的真誤差為：將等式兩端分別相加并除以n，則：由偶然誤差的第四特性可得，當(dāng)時(shí)， 即： 15重慶交通大學(xué)課件觀測值的該正數(shù)觀測值的改正數(shù)v是算術(shù)平均值與觀測值之差，即將等式兩端分別相加，得：即一組等精度觀測值的改正值之和恒等于零用改正數(shù)計(jì)算中誤差公式（白塞爾公式）：16重慶交通大學(xué)課件各式相加平方求和17重慶交通大學(xué)課件課堂練習(xí)在相同的觀測條件下，對(duì)某直線進(jìn)行了五次測量，測量結(jié)果分別為:117.255,117.258,117.246,117.261,117.250。求該直線邊長的

10、觀測值中誤差。 次數(shù)觀測值(m)改正數(shù)V(mm)VV計(jì)算過程1117.2552117.2583117.2464117.2615117.250-1-48-74586.27011664491614618重慶交通大學(xué)課件2、容許誤差 定義 由偶然誤差的特性可知，在一定的觀測條件下，偶然誤差的絕對(duì)值不會(huì)超過一定的限值。這個(gè)限值就是容許（極限）誤差。區(qū)別誤差和錯(cuò)誤的界限中誤差、真誤差和容許誤差均是絕對(duì)誤差。19重慶交通大學(xué)課件3、相對(duì)誤差 相對(duì)誤差K是中誤差的絕對(duì)值m與相應(yīng)觀測值 D之比，通常以分子為1的分式來表示，稱其為相對(duì)（中）誤差。即: 一般情況 : 角度、高差的誤差用m表示， 量距誤差用K表示。

11、20重慶交通大學(xué)課件 對(duì)于能直接觀測的量(如角度、距離、高差等)，經(jīng)過多次觀測后，便可通過真誤差或改正數(shù)計(jì)算出觀測值的中誤差，作為評(píng)定觀測值精度的標(biāo)準(zhǔn)。但在實(shí)際工作中，某些未知量不可能或不便于直接進(jìn)行觀測，而需要由另一些直接觀測量根據(jù)一定的函數(shù)關(guān)系計(jì)算出來(間接觀測值），這些未知量即為觀測值的函數(shù)。例如，在水準(zhǔn)測量中，兩點(diǎn)間的高差h=a-b，則h是直接觀測值a和b的函數(shù)；在角度測量中，水平角=b-a，則水平角就是直接觀測值a和b的函數(shù)等等。 本節(jié)所要討論的就是在直接觀測值中誤差為已知的情況下，如何求觀測值函數(shù)值（間接觀測值）中誤差的問題。闡述觀測值中誤差與函數(shù)中誤差之間數(shù)學(xué)關(guān)系的定律，稱為誤差

12、傳播定律。四、誤差傳播定律21重慶交通大學(xué)課件1、一般函數(shù)的中誤差令 的系數(shù)為 ， (3)式為：由于 和 是一個(gè)很小的量，可代替上式中的 和 ： (3)代入(2)得對(duì)(1)全微分：(2)設(shè)有函數(shù)：為獨(dú)立觀測值設(shè) 有真誤差 ，函數(shù) 也產(chǎn)生真誤差(1)22重慶交通大學(xué)課件對(duì)Z觀測了k次，有k個(gè)式(4)對(duì)(4)式中的一個(gè)式子取平方：（i，j=1n且ij）(5)對(duì)K個(gè)(5)式取總和：(6)23重慶交通大學(xué)課件(6)(6)式兩邊除以K，得(7)式：(7)由偶然誤差的抵償性知：即(8)24重慶交通大學(xué)課件(8)考慮 ，代入上式，得中誤差關(guān)系式：上式為一般函數(shù)的中誤差公式，也稱為誤差傳播定律。25重慶交通大

13、學(xué)課件 通過以上誤差傳播定律的推導(dǎo)，我們可以總結(jié)出求觀測值函數(shù)中誤差的步驟： 1.列出函數(shù)式； 2.對(duì)函數(shù)式求全微分； 3.套用誤差傳播定律，寫出中誤差式。 26重慶交通大學(xué)課件 1）倍數(shù)函數(shù)的中誤差 設(shè)有函數(shù)式 (x為觀測值，K為x的系數(shù)) 全微分 得中誤差式例：量得 地形圖上兩點(diǎn)間長度 =168.5mm0.2mm, 計(jì)算該兩點(diǎn)實(shí)地距離S及其中誤差ms：解：列函數(shù)式 求全微分 中誤差式2、幾種常用函數(shù)的中誤差 27重慶交通大學(xué)課件2）線性函數(shù)的中誤差 設(shè)有函數(shù)式 全微分 中誤差式例：設(shè)有某線性函數(shù) 其中 、 、 分別為獨(dú)立觀測值，它們的中誤差分 別為 求Z的中誤差 。 解：對(duì)上式全微分：由中

14、誤差式得：28重慶交通大學(xué)課件由于等精度觀測時(shí)， ，代入上式：得 由此可知，算術(shù)平均值的中誤差比觀測值的中誤差縮小了 倍。 函數(shù)式 全微分 中誤差式 算術(shù)平均值的中誤差式 對(duì)某觀測量進(jìn)行多次觀測(多余觀測)取平均， 是提高觀測成果精度最有效的方法。29重慶交通大學(xué)課件3）和或差函數(shù)的中誤差 函數(shù)式： 全微分： 中誤差式：當(dāng)?shù)染扔^測時(shí)： 上式可寫成：例：測定A、B間的高差 ，共連續(xù)測了9站。設(shè)測量 每站高差的中誤差 ，求總高差 的中 誤差 。 解： 30重慶交通大學(xué)課件觀測值函數(shù)中誤差公式匯總 觀測值函數(shù)中誤差公式匯總 函數(shù)式 函數(shù)的中誤差一般函數(shù)倍數(shù)函數(shù) 和差函數(shù) 線性函數(shù) 算術(shù)平均值 31

15、重慶交通大學(xué)課件下面讓我們來看幾個(gè)例題吧32重慶交通大學(xué)課件按三角形的閉合差求測角中誤差已知對(duì)某n個(gè)三角形的內(nèi)角進(jìn)行了同精度觀測，并求得它們的閉合差分別為，求觀測三角形內(nèi)角時(shí)的測角中誤差三角形閉合差的中誤差：菲列羅公式33重慶交通大學(xué)課件水準(zhǔn)測量中，已知每站高差的中誤差為，設(shè)每站高差均為等精度觀測，求每公里高差中誤差和水準(zhǔn)路線為公里的高差中誤差設(shè)每站水準(zhǔn)路線長為s，則nS，即ns，代入上式得：則水準(zhǔn)路線為km的高差中誤差為：34重慶交通大學(xué)課件 例 某一段距離共丈量了六次，結(jié)果如表下所示，求算術(shù)平均值、觀測中誤差、算術(shù)平均值的中誤差及相對(duì)誤差。測次 觀測值/ m 觀測值改正數(shù)v/ m m vv 計(jì) 算 123456平均148.643148.590148.610148.624148.654148.647148.628-15+38+18+4-26-19225144432416676361304635重慶交通大學(xué)課件例：某建筑場地已劃定為長方形，獨(dú)立地測定其長和寬分別為a=30.000m、b=15.000m,其中誤差分別為ma=0.005m、 mb=0.003m，求該場地面積A及其中誤差mA。1、列出函數(shù)關(guān)系式，并求函數(shù)值A(chǔ)=ab=450.000m22、求函數(shù)對(duì)各觀測值的偏導(dǎo)函數(shù)3、列出函數(shù)的真誤差表達(dá)式4、轉(zhuǎn)換為中誤差表