濟(jì)南大學(xué)高等數(shù)學(xué)中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用

1、3濟(jì)南大學(xué)高等數(shù)學(xué)值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用-疑難 解答第四章中值定理及導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用習(xí)題選解習(xí)題4-1 中值定理1 .驗(yàn)證下列各題，確定己的值：(1)對(duì)函數(shù)？Skip Record If.?在區(qū)間?Skip Record If.?上驗(yàn)證羅爾定理；(3)對(duì)函數(shù)?Skip Record If.?及？Skip Record If.?在區(qū)間?Skip Record If.?上驗(yàn)證柯西 中值定理.解 (1)顯然？Skip Record If.?在？Skip Record If.?上滿足羅爾定理的條件，由羅爾定理 知至少有一點(diǎn)?Skip Record If.?使得？Skip Record If.?.解？Skip R

2、ecord If.?得？Skip Record If.?,取 n=0,?Skip Record If.?Skip Record If.?顯然？Skip Record If.?,故確有？Skip Record If.?使?Skip Record If.?.(3)因?yàn)?？Skip Record If.?及?Skip Record If.?在?Skip Record If.?上連續(xù),?Skip Record If.?內(nèi)可導(dǎo)，且？Skip Record If.?在?Skip Record If.?內(nèi)不為 0.由柯西中值定理知 至少？Skip Record If.?使？Skip Record If.?,即

3、 1=?Skip Record If.?.故？Skip Record If.? 滿足柯西中值定理.2.證明下列不等式：(3)?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?;(4)當(dāng)？Skip Record If.?時(shí)，？Skip Record If.?.證(3)當(dāng)？Skip Record If.?時(shí)，顯然成立.當(dāng)？Skip Record If.?時(shí),令?Skip Record If.?Skip Record If.?時(shí)同理可得，由？SkipRecord If.?在?Skip Record If.?上連續(xù),?Skip Record If.?內(nèi)可

4、導(dǎo)，得?Skip Record If.? ?Skip Record If.?,即？Skip Record If.? ?Skip Record If.?,所以?Skip Record If?Skip Record If？?Skip Record If.?.（4）令？Skip Record If.?,由于函數(shù)?Skip Record If.?在？Skip Record If.?上連續(xù),？SkipRecord If.?內(nèi)可導(dǎo)，所以?Skip Record If.?即？Skip Record If？因?yàn)椋縎kip Record If.?,故?Skip Record If.?,所以 ?Skip Reco

5、rd If.?,即？Skip Record If.?.不用求出函數(shù)？Skip Record If.?的導(dǎo)數(shù)，試判別方程？Skip Record If.?的根的個(gè)數(shù).解 由于？Skip Record If.?在?Skip Record If.?上連續(xù),?Skip Record If.?內(nèi)可導(dǎo)，且 ?Skip Record If.?,所以由羅爾定理可知:?Skip Record If.?,使？Skip Record If.?.同理 ?Skip Record If.?,使？Skip Record If.?,?Skip Record If.?使？Skip Record If.?.顯然？Skip Rec

6、ord If.?都是方程?Skip Record If.?的根.注意到方程？Skip Record If.?為三次方程，它只能有三個(gè)根（包括實(shí)根、復(fù)根） ，故 ?Skip Record If.?也就是方程?Skip Record If.?的三個(gè)實(shí)根.又？Skip Record If.?在？Skip Record If.?上滿足羅爾定理的條件，故存在？Skip Record If.?,使?Skip Record If.?,存在 ?Skip Record If.?,使？Skip Record If.?.而？Skip Record If.?是一個(gè)二次多項(xiàng)式，至少有 兩個(gè)實(shí)根.因此，方程？Skip R

7、ecord If.?有且僅有兩個(gè)實(shí)根.若函數(shù)？Skip Record If.?在？Skip Record If.?內(nèi)滿足關(guān)系式？Skip Record If.?且 ?Skip Record If.?,證明:?Skip Record If.?.證 作函數(shù)?Skip Record If.?,?Skip Record If.?,故？Skip Record If.?（常數(shù)）.又？Skip Record If.?,彳#?Skip Record If.?所以？Skip Record If.?即？Skip Record If.?.習(xí)題4-2洛必達(dá)法則1.用洛必達(dá)法則求下列各極限：?Skip Record I

8、f.?；?Skip Record If.?;?Skip Record If.?;?Skip Record If.?;?Skip Record If.?;?Skip Record If.?;?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?=?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?=?Skip Record If.?=?Skip Record If.?=?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If？Skip R

9、ecord If.?(13)設(shè)？Skip Record If.?,則?Skip Record If.?,?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?所以？Skip Record If.?(16)設(shè)？Skip Record If.?,貝U ?Skip Record If.?,?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip RecordIf.?Skip Record If.?, 所以？Ski

10、p Record If.?2.驗(yàn)證極限？Skip Record If.?存在，但不能用洛必達(dá)法則求出.解 ?Skip Record If.?，但 ?Skip Record If.?.用洛必達(dá)法則計(jì)算所得到的式子極限不存在(不包括，故洛必達(dá)法則失效.習(xí)題4-3 導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用.確定下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間：2) ?Skip Record If.?; (8)?Skip Record If.?解(2) ?Skip Record If.?,對(duì)任意？Skip Record If.?內(nèi)至少有有限個(gè)零點(diǎn)，故？SkipRecord If.?在？Skip Record If.?內(nèi)單調(diào)增加，又由 M 的任意性知，?Skip

11、 Record If.?在(-OO, +OO)內(nèi)單調(diào)增加.(8)當(dāng)？Skip Record If.?,即？Skip Record If？時(shí)？Skip Record If.?,?Skip Record If.?,?Skip Record If.?,因?yàn)樗o函數(shù)是定義域?yàn)?？Skip Record If.?,以周期？Skip Record If.?向？SkipRecord If.?延拓且導(dǎo)函數(shù)也是周期為?Skip Record If.?的函數(shù)，所以可從函數(shù)?SkipRecord If.?內(nèi)的單調(diào)性推知函數(shù)在全定義區(qū)間的單調(diào)性.在？Skip Record If.?內(nèi)？Skip Record If.?

12、為駐點(diǎn)，由 cos2x為減函數(shù)，得?Skip Record If.?0?Skip Record If.?SkipRecord If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip RecordIf.?+-?Skip Record If.?/所以當(dāng)？Skip Record If.?時(shí)，函數(shù)單調(diào)性增加；當(dāng)？Skip Record If.?時(shí)，函數(shù)單調(diào)減少；當(dāng)？Skip Record If.?,即？Skip Record If.?時(shí),？Skip Record If.?與前面類似的討論可知當(dāng)？Skip Record If.?時(shí),函數(shù)單調(diào)增加;當(dāng)？Skip Record If

13、.?時(shí),函數(shù)單調(diào)減少.綜合兩種情形可得函數(shù)在？Skip Record If.?上單調(diào)增加，在？Skip Record If.?上單調(diào)減少?Skip Record If.?.證明下列不等式：(3)當(dāng)?Skip Record If.?時(shí),？Skip Record If.?(4)當(dāng)?Skip Record If.?時(shí),?Skip Record If.?Skip Record If？時(shí)，?Skip Record If.?證(3)設(shè)？Skip Record If.?得？Skip Record If.? ?Skip Record If.?Skip Record If.?所以？Skip Record If.

14、?在？Skip Record If.?上是增函數(shù)，當(dāng)？Skip Record If.?時(shí),？Skip Record If.?,因?yàn)?Skip Record If.?,所以？Skip Record If.?在 ?Skip Record If.?上是增函數(shù)，因而當(dāng)?Skip Record If.?時(shí),？Skip Record If.?即？Skip Record If.?(4)設(shè)？Skip Record If.? ?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?當(dāng)？Skip Record If.?時(shí),?Skip Record If.?,所以?Skip

15、 Record If.?上單調(diào)增加，得?Skip Record If.?所以？Skip Record If.?在？Skip Record If.?上單調(diào)增加，從而？Skip Record If.?所以？Skip Record If.?在?Skip Record If.?上單調(diào)增加，得？Skip Record If.?得證.(5)原不等式即為？Skip Record If.?設(shè) ?Skip Record If.?Skip Record If.?因?yàn)椋縎kip Record If.?所以？Skip Record If.?,從而?Skip Record If.?,這時(shí)?SkipRecord If.?

16、即？Skip Record If.?(注：此題推廣至一般為：若 ？Skip Record If.?).討論下列方程的根的情況：?Skip Record If.?解 設(shè)？Skip Record If.?Skip Record If.?駐點(diǎn)為？Skip Record If.?Skip Record If.?0?Skip Record If.?3?Skip Record If.?Skip Record If.?+-?Skip Record If.?/顯然？Skip Record If.?為？Skip Record If.?的最大值點(diǎn).因?yàn)??Skip Record If.?Skip Record I

17、f.?Skip Record If.?故？Skip Record If.?在？Skip Record If.?上有且僅有一實(shí)根，在？Skip Record If.?上有且僅有一實(shí)根，即？Skip Record If.?有兩個(gè)實(shí)根.求下列函數(shù)的極值:?Skip Record If.? (8) ?Skip Record If.? (10) ?Skip Record If.?解(7) ?Skip Record If.?Skip Record If.?令？Skip Record If.?得當(dāng)主點(diǎn):?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip

18、 Record If.?當(dāng)？Skip Record If.?時(shí),？Skip Record If.?為極小值點(diǎn)，極小值為?Skip Record If.?當(dāng)？Skip Record If.?時(shí),？Skip Record If.?為極大值點(diǎn)，極大值為?Skip Record If.?Skip Record If.?由對(duì)數(shù)求導(dǎo)法得？Skip Record If.?解得駐點(diǎn)為？Skip Record If.?當(dāng)？Skip RecordIf.?時(shí),?Skip Record If.?當(dāng)？Skip Record If.?時(shí),?Skip Record If.?,所以？SkipRecord If.?為極大值點(diǎn)，

19、極大值為?Skip Record If.?Skip Record If.? ?Skip Record If.?是導(dǎo)數(shù)不存在的點(diǎn)，當(dāng)？Skip Record If.?時(shí),？Skip Record If.?當(dāng)？Skip Record If.?時(shí),？Skip Record If.?所以？Skip Record If.?是極大值點(diǎn) 極大值為?Skip Record If.?.求下列曲線的凹凸區(qū)間和拐點(diǎn)：?Skip Record If.?(6) ?Skip Record If.?解(4) ?Skip Record If.?Skip Record If.?令？Skip Record If.?,得？Skip

20、 Record If.?當(dāng)?Skip Record If.?時(shí),？Skip Record If.?當(dāng)?Skip Record If.?時(shí),？Skip Record If.?所以點(diǎn)?Skip Record If.?為拐點(diǎn)，曲線在?SkipRecord If.?上是凸的，在?Skip Record If.?上是凹的.?Skip Record If.? ?Skip Record If？Skip Record If？令？Skip RecordIf.?得？Skip Record If.?S kip Record If.?S kip Record If.?-1?S kip Record If.?1?S k

21、ip Record If.?S kip Record If.?-+-?S kip Record If.?凸凹凸所以曲線在？Skip Record If.?和？Skip Record If.?上是凸的，在?Skip Record If.?是凹的，拐點(diǎn)為？Skip Record If.?.利用函數(shù)圖形的凹凸性證明下列不等式：?Skip Record If.?證 (3)設(shè)？Skip Record If.? ?Skip Record If.? ?Skip Record If.?所以曲線?SkipRecord If.?在？Skip Record If.?上是凹的.故對(duì)任意的？Skip Record If

22、.?有?Skip Record If.?即？Skip Record If.?即？Skip Record If.?.解下列各題：(2)試確定曲線？Skip Record If.?中的a,b,c,d,使得？Skip Record If.?處曲線的切線為水平，點(diǎn)？Skip Record If.?為拐點(diǎn)，且點(diǎn)?Skip Record If.?在曲線上;(3)試確定？Skip Record If.?中k的值，使曲線在拐點(diǎn)處的法線通過原點(diǎn) ？Skip Record If.?.解(2)?Skip Record If.?Skip Record If.?依題意,有?Skip Record If.?即？Skip

23、Record If.?解之得？Skip Record If.?(3) ?Skip Record If.? ?Skip Record If.?令？Skip Record If.?彳馬？Skip Record If？因?yàn)?？Skip Record If.?在?Skip Record If.?兩 側(cè)變號(hào)，所以?Skip Record If.?為曲線的拐點(diǎn).?Skip Record If.?,過點(diǎn)？Skip Record If.?的法線方程為 ?Skip Record If.?若要法線過原點(diǎn)，則點(diǎn)?Skip Record If.?應(yīng)滿足法線方程，即?Skip Record If.?Skip Record

24、 If.?時(shí)，同理可得，?Skip Record If.?所以？Skip Record If.?,該曲線的拐點(diǎn)處的法線方程通過原點(diǎn).8.描繪下列函數(shù)的圖形：(2) ?Skip Record If.?(4) ?Skip Record If.?解(2)定義域(-8, +oo),奇函數(shù)，關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱，無周期性(以下討論僅在?SkipRecord If.?上進(jìn)彳T)，無鉛直漸近線，有水平漸近線？Skip Record If.?(因?yàn)椋縎kip Record If.?),?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?列表

25、?Skip Record If.?0?Skip Record If.?1?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?+-?Skip Record If.?-+?Skip Record If.?拐點(diǎn)/極大拐點(diǎn)(4)定義域？Skip Record If.?無奇偶性，無周期性，鉛直漸近線？Skip Record If.?無斜(水平)漸近線(因?yàn)?Skip Record If.?) , ?Skip Record If.?Skip Record If.?列表?Ski p Record If.?Skip Record I

26、f.?-1?Skip Record If.?0?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Ski p Record If.?-/、存在-+?Ski p Record If.?+-+?Ski p Record If.?拐點(diǎn)極小/習(xí)題4-4函數(shù)的最大值和最小值及其在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用.討論下列函數(shù)的最大值、最小值；?Skip Record If.? (3) ?Skip Record If.? (4) ?Skip Record If.?解(2) ?Skip Record If.?令？Skip Record If.?得？Skip Record If.?S

27、kip Record If.?所以？Skip Record If.?為極大值點(diǎn).又？Skip Record If.?,?Skip Record If.?時(shí),？Skip Record If.?在?Skip Record If.?上單調(diào)增加;?Skip Record If.?時(shí),？Skip Record If.?在?Skip Record If.?上單調(diào)減少,所以函數(shù)無最小值，最大值為？Skip Record If.?Skip Record If.?令?Skip Record If.?彳馬？Skip Record If.?當(dāng)？Skip Record If.?時(shí),？Skip Record If.?在

28、?Skip Record If.?上單調(diào)減少；當(dāng)？Skip Record If.?時(shí),？Skip Record If.?在?Skip Record If.?上單調(diào)增加.又?Skip Record If?所以函數(shù)無最大值，最小值為？Skip Record If.?Skip Record If.?令？Skip Record If？得？Skip Record If.? (?Skip RecordIf.?舍去).當(dāng)？Skip Record If.?時(shí),？Skip Record If.?在?Skip Record If.?上單調(diào)增加;當(dāng)？Skip Record If.?時(shí),？Skip Record If

29、.?在?Skip Record If.?上單調(diào)減少.又？Skip Record If.?所以最大值為？Skip Record If.?最小值為？Skip Record If.?.求下列經(jīng)濟(jì)應(yīng)用問題中的最大值或最小值:(2)設(shè)價(jià)格函數(shù)？Skip Record If.?,求最大收益的產(chǎn)量、價(jià)格和收益；(3)某工廠生產(chǎn)某種商品，其年銷售量為 100萬件，分為N批生產(chǎn)，每批生產(chǎn)需要增加生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)1000元，而每件商品的一年庫存費(fèi)為0.05元，如果年銷售率是均勻的，且上批售完后立即生產(chǎn)出下批(此時(shí)商品的庫存量的平均值為商品批量的一半).問N為何值時(shí)，才能使生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與庫存費(fèi)兩項(xiàng)之和最?。?4)設(shè)某企業(yè)在

30、生產(chǎn)一種商品？Skip Record If.?件時(shí)的總益為？Skip Record If.?總成本函數(shù)為？Skip Record If.?,問政府對(duì)每件商品征收貨物稅為多少，在企業(yè)獲得最大利 潤的情況下，最稅額最大？(5)設(shè)生產(chǎn)某種商品的總成本為？Skip Record If.?問產(chǎn)量為多少時(shí)，每件產(chǎn)品的平均 成本最低？解(2) ?Skip Record If.? ?Skip Record If.?令？Skip Record If.?得？Skip Record If.?當(dāng)？Skip Record If.?當(dāng)?Skip Record If.?時(shí),?Skip Record If.?所以？Skip

31、Record If.?為極大值點(diǎn).依題意，此唯一的極大值點(diǎn)即為最大值點(diǎn)，即？Skip Record If.?時(shí)有最大收益，止匕時(shí)？Skip Record If.?最大收益為？Skip Record If.?.(3)設(shè)每年的生產(chǎn)準(zhǔn)備費(fèi)與庫存費(fèi)之和為C,批量為？Skip Record If.?,則?Skip Record If.?Skip Record If.?由？Skip Record If.?得駐點(diǎn)?Skip Record If.?由？Skip Record If.?知駐點(diǎn)為極小值點(diǎn)，因此，?Skip Record If.?萬件時(shí),C 值最小，此時(shí)？Skip Record If.?(4)設(shè)每件

32、商品征收的貨物稅為？Skip Record If.?,?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?令？Skip Record If.?得？Skip Record If.?止匕時(shí)？Skip Record If.?取最大值，稅收為？Skip Record If.?Skip Record If.?令?Skip Record If.?彳馬？Skip Record If.?所以？Skip Record If.?時(shí),T 取最大值，故征收貨物稅應(yīng)為25.(5)?Skip Record If.? ?Skip Record I

33、f.?令？Skip Record If.?得？Skip Record If.?Skip Record If.?所以？Skip Record If.?時(shí)?Skip Record If.?取得最小值，即產(chǎn)量為100時(shí)，平均成本最低.習(xí)題4-5 泰勒公式.應(yīng)用麥克勞林公式，按？Skip Record If.?的乘幕展開函數(shù)：?Skip Record If.?解 因?yàn)?？Skip Record If.?是?Skip Record If.?的 6次多項(xiàng)式,所以?Skip Record If.?又?Skip Record If.?故？Skip Record If.?.求函數(shù)？Skip Record If.?

34、白向？Skip Record If.?階麥克勞林公式.解?Skip Record If.? ?Skip Record If.?所以？Skip Record If.?.應(yīng)用3階泰勒公式計(jì)算下列各數(shù)的近似值，并估計(jì)誤差：?Skip Record If.?(2) ?Skip Record If.?解(1)設(shè)？Skip Record If.?貝U ?Skip Record If.?因?yàn)?0=27+3,所以?Skip Record If.?誤差？Skip Record If.?(2)因?yàn)椋縎kip Record If.?很靠近0,所以可用麥克勞林公式作近似計(jì)算令？Skip Record If.?則？Sk

35、ip Record If.?Skip Record If.?故？Skip Record If.?誤差？Skip Record If.?總復(fù)習(xí)題四.求下列極限2) ?Skip Record If.?(3) ?Skip Record If.?解(2)設(shè)？Skip Record If.?則？Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?所以 ?Skip Record If.?(3)設(shè)？Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip Record If.?Skip

36、 Record If.?所以？Skip Record If.?.證明下列不等式：(1)當(dāng)?Skip Record If.?時(shí),?Skip Record If.?證(1)設(shè)？Skip Record If.? 有 ？Skip Record If.?令？Skip Record If.? ?Skip Record If.?當(dāng)？Skip Record If.?時(shí),？Skip Record If.?所以？Skip Record If.?單調(diào)減少,?Skip RecordIf.?故?Skip Record If.?單調(diào)減少，所以當(dāng)?Skip Record If.?Skip Record If.?時(shí),？Ski

37、pRecord If.?即？Skip Record If.?,也就是？Skip Record If.?.討論方程的根：?Skip Record If.?在?Skip Record If.?內(nèi)？Skip Record If.?解(1)令？Skip Record If？則？Skip Record If.?令?Skip Record If.?得？Skip RecordIf.?舍去)，當(dāng)？Skip Record If.?時(shí),?Skip Record If.?當(dāng)？Skip Record If.?, ?Skip Record If.?Skip Record If.?所以？Skip Record If.?為

38、極小值點(diǎn)，極小值點(diǎn)為負(fù)值?Skip Record If.?Skip Record If.?所以？Skip Record If？在？Skip Record If.?內(nèi)無根，在？Skip Record If.?Skip RecordIf.?內(nèi)有且僅有一個(gè)根？Skip Record If.?.用中值定理證明下列各題：(1)設(shè)？Skip Record If.?在?Skip Record If.?上連續(xù)，在?Skip Record If.?內(nèi)可導(dǎo)，且?Skip Record If.?,證明存在一點(diǎn)？Skip Record If.?使得?Skip Record If.?(2)設(shè)？Skip Record I

39、f.?函數(shù)？Skip Record If.?在?Skip Record If.?上連續(xù)，在？SkipRecord If.?內(nèi)可導(dǎo)，證明存在一點(diǎn)？Skip Record If.?使得?Skip Record If.?Skip Record If.?(3)設(shè)？Skip Record If.?都是可導(dǎo)函數(shù),且?Skip Record If.?,證明當(dāng)？Skip RecordIf.?時(shí),證(1)設(shè)？Skip Record If.?顯然？Skip Record If.?在？Skip Record If.?上滿足羅爾定理,所以？Skip Record If.?使得？Skip Record If.?即？Sk

40、ip Record If.?即？Skip Record If.?(2)顯然？Skip Record If.?和？Skip Record If.?在?Skip Record If.?上滿足柯西中值定理，所以？Skip Record If.?使得？Skip Record If.?即?Skip Record If.?(3)由題設(shè)?Skip Record If.?所以?Skip Record If.?單調(diào)增加，當(dāng)？Skip Record If.?時(shí),?Skip Record If.?又？Skip Record If.?均為可導(dǎo)函數(shù)，所以在？Skip Record If.?上,?Skip Record If.?和？Skip Record If.?滿足柯西中值定理，所以？Skip Record If.?