2021-2022學(xué)年福建省廈門市第一中學(xué)高三下學(xué)期高考考前最后一卷數(shù)學(xué)試題（解析版）

1、2021-2022學(xué)年福建省廈門市第一中學(xué)高三下學(xué)期高考考前最后一卷數(shù)學(xué)試題滿分150分 考試時(shí)間120分鐘考生注意：1.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上2回答選擇題時(shí)，選出每小題答案后，用鉛筆把答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑如需改動(dòng)，用橡皮擦干凈后，再選涂其它答案標(biāo)號(hào)回答非選擇題時(shí)，將答案寫在答題卡上，寫在本試卷上無效3.考試結(jié)束后，將答題卡交回一、選擇題：本題8小題，每題5分，共40分.在每題給出的四個(gè)選項(xiàng)中只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1. 已知集合，則的元素個(gè)數(shù)為（ ）A. 2B. 3C. 4D. 5【答案】C【解析】【分析】利用交集的定義即可求解.【詳解】集合,，,

2、的元素個(gè)數(shù)為故選：2. 設(shè)命題，則為（ ）A. ，B. ，C. ，D. ，【答案】A【解析】【分析】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，準(zhǔn)確改寫，即可求解.【詳解】根據(jù)全稱命題與存在性命題的關(guān)系，命題“，”的否定“，”.故選：A.3. 已知拋物線的焦點(diǎn)為F，點(diǎn)P為E上一點(diǎn)，Q為PF的中點(diǎn)，若，則Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為（ ）A. 7B. 5C. 3D. 1【答案】B【解析】【分析】根據(jù)梯形的中位線定理，結(jié)合拋物線的定義進(jìn)行求解即可.【詳解】過點(diǎn)P，Q分別作準(zhǔn)線的垂線，垂足分別為（如圖），設(shè)準(zhǔn)線與縱軸的交點(diǎn)為，由梯形中位線定理易知，又準(zhǔn)線方程為，故Q點(diǎn)的縱坐標(biāo)為5.故選：B.4. 已知，則，的大小關(guān)系是（ ）

3、A. B. C. D. 【答案】B【解析】【分析】根據(jù)題意不妨設(shè)，利用對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)化簡x，利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性求出y的取值范圍，利用指數(shù)冪的運(yùn)算求出z，進(jìn)而得出結(jié)果.【詳解】由，不妨設(shè)，則，所以，故選：B5. 中國的5G技術(shù)領(lǐng)先世界，5G技術(shù)的數(shù)學(xué)原理之一便是著名的香農(nóng)公式：.它表示，在受噪音干擾的信道中，最大信息傳遞速度C取決于信道帶寬W，信道內(nèi)信號(hào)的平均功率S，信道內(nèi)部的高斯噪聲功率N的大小，其中叫作信噪比.當(dāng)信噪比比較大時(shí)，公式中真數(shù)里面的1可以忽略不計(jì).按照香農(nóng)公式，增加帶寬，提高信號(hào)功率和降低噪聲功率都可以提升信息傳遞速度，若在信噪比為1000的基礎(chǔ)上，將帶寬W增大到原來的2倍，信

4、號(hào)功率S增大到原來的10倍，噪聲功率N減小到原來的，則信息傳遞速度C大約增加了（ ）（參考數(shù)據(jù)：）A. 87%B. 123%C. 156%D. 213%【答案】D【解析】【分析】先求得提升前的信息傳遞速度，然后求得提升后的信息傳播速度，由此求得正確答案.【詳解】提升前的信息傳遞速度，提升后的信息傳遞速度，所以信息傳遞速度C大約增加了.故選：D6. 已知角的終邊落在直線上，則的值為（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)的定義得到，對(duì)齊次式作分子分母同除的處理，即可求解.【詳解】由角的終邊落在直線上可得，且，故選：C7. 若從甲乙2名女志愿者和6名男志愿者中選出正組長

5、1人，副組長1人，普通組員2人到北京冬奧會(huì)花樣滑冰場館服務(wù)，且要求女志愿者甲不能做正組長，女志愿者乙不能做普通組員，則不同的選法種數(shù)為（ ）A. 210B. 390C. 555D. 660【答案】C【解析】【分析】分為四種情況即可得出答案，第一種4人均從6名男志愿者中選取，第二種女志愿者甲被選中且乙沒有被選中，第三種女志愿者乙被選中且甲沒有被選中，第四種女志愿者甲乙均被選中.【詳解】若4人均從6名男志愿者中選取，則不同的選法種數(shù)為；若女志愿者甲被選中且乙沒有被選中，則不同的選法種數(shù)為；若女志愿者乙被選中且甲沒有被選中，則不同的選法種數(shù)為；若女志愿者甲乙均被選中，則不同的選法種數(shù)為.所以滿足題意

6、的不同選法種數(shù)為.故選：C.8. 如圖，已知為雙曲線的右焦點(diǎn)，平行于軸的直線分別交的漸近線和右支于點(diǎn)，且，則的離心率為A. B. C. D. 【答案】C【解析】【分析】設(shè)，并表示出點(diǎn)的坐標(biāo)，然后根據(jù)將用表示出來，根據(jù)點(diǎn)在雙曲線上將用表示出來，最后根據(jù)得到，據(jù)此列出關(guān)于的方程，即可求出雙曲線的離心率【詳解】設(shè)，則由，解得因?yàn)?，所以，即，得又點(diǎn)在雙曲線上，所以，將代入，得又，所以，所以，即，化簡得，所以雙曲線的離心率，故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查雙曲線的焦點(diǎn)、漸近線、離心率等性質(zhì)，直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查分析問題、解決問題的能力以及數(shù)形結(jié)合思想，考查的核心素養(yǎng)是直觀想象二、多項(xiàng)選擇題：本題4小

7、題，每題5分，共20分.全部選對(duì)得5分，少選得2分，選錯(cuò)得0分.9. 已知復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，復(fù)數(shù)對(duì)應(yīng)的向量為，則（ ）A. 若，則B. 若，則C. 若與在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則D. 若，則【答案】ABC【解析】【分析】利用向量數(shù)量積的運(yùn)算法則及復(fù)數(shù)的幾何意義即可求解.【詳解】因?yàn)?，所以，則，即，則，故選項(xiàng)正確；因?yàn)椋?，即，則，故選項(xiàng)正確；設(shè)，因?yàn)榕c在復(fù)平面上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對(duì)稱，則，所以，則，故選項(xiàng)正確；若，滿足，而，故選項(xiàng)錯(cuò)誤；故選：ABC.10. 某市為了研究該市空氣中的PM2.5濃度和濃度之間的關(guān)系，環(huán)境監(jiān)測部門對(duì)該市空氣質(zhì)量進(jìn)行調(diào)研，隨機(jī)抽查了100天空氣中的PM2.5

8、濃度和濃度（單位：），得到如下所示的22列聯(lián)表：PM2.564161010經(jīng)計(jì)算，則可以推斷出（ ）附：0.0500.0100.0013.8416.63510.828A. 該市一天空氣中PM2.5濃度不超過，且濃度不超過的概率估計(jì)值是0.64B. 若22列聯(lián)表中的天數(shù)都擴(kuò)大到原來的10倍，的觀測值不會(huì)發(fā)生變化C. 有超過99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與濃度有關(guān)D. 在犯錯(cuò)的概率不超過1%的條件下，認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與濃度有關(guān)【答案】ACD【解析】【分析】對(duì)于A選項(xiàng)，根據(jù)表格，進(jìn)行數(shù)據(jù)分析，直接求概率；對(duì)于B，C，D選項(xiàng)，進(jìn)行獨(dú)立性檢驗(yàn)，計(jì)算后對(duì)照參數(shù)下結(jié)論.【詳解】

9、補(bǔ)充完整列聯(lián)表如下：PM2.5合計(jì)641680101020合計(jì)7426100對(duì)于A選項(xiàng)，該市一天中，空氣中PM2.5濃度不超過，且濃度不超過的概率估計(jì)值為，故A正確；對(duì)于B選項(xiàng)，故B不正確；因?yàn)?.48446.635，根據(jù)臨界值表可知，在犯錯(cuò)概率不超過1%的條件下，即有超過99%的把握認(rèn)為該市一天空氣中PM2.5濃度與濃度有關(guān)，故C，D均正確.故選：ACD.11. 直三棱柱，中，點(diǎn)D是線段上的動(dòng)點(diǎn)(不含端點(diǎn))，則（ ）A. 平面B. 與不垂直C. 的取值范圍為D. 的最小值為【答案】AD【解析】【分析】由線面平行判定定理判斷A，建立空間直角坐標(biāo)系，用空間向量法研究垂直的判斷B，判斷以為直徑的球

10、與的交點(diǎn)情況，從而判斷C，將面，翻折至與共面，此時(shí)點(diǎn)C與重合，在平面內(nèi)求兩點(diǎn)間的距離得結(jié)論判斷D【詳解】依題作圖，如圖1，并將其補(bǔ)成正方體，如圖2A：因?yàn)?，平面，平面，所以平面，故A正確.B：如圖1，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AB為x軸，AC為y軸，為z軸，設(shè)，則，當(dāng)時(shí)，當(dāng)且時(shí)與不垂直，故B錯(cuò)誤.C：判斷以為直徑的球與的交點(diǎn)情況，如圖3，取中點(diǎn)F，則，所以以為直徑的球與沒有交點(diǎn).所以，故C錯(cuò)誤.D：將面，翻折至與共面，此時(shí)點(diǎn)C與重合，所以的最小值為，且，故D正確.故選：AD 圖1圖2圖312. 已知函數(shù)，若存在，使得對(duì)任意，則（ ）A. 在單調(diào)遞增B. ，C. ，使得在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)D. 若在單調(diào)，

11、則【答案】AD【解析】【分析】先借助輔助角公式得，由分段函數(shù)得，再結(jié)合正弦函數(shù)的單調(diào)性、最值及零點(diǎn)依次判斷即可.【詳解】由題意得：，其中，則的最小正周期為，由存在，使得對(duì)任意，可得，則在單調(diào)遞增，A正確；，則，則，B錯(cuò)誤；由上知：，的最小正周期為，則在上，故不存在，使得在上有且僅有1個(gè)零點(diǎn)，C錯(cuò)誤；由，的最小正周期為知，故在上單增，在上單減，且在上，故在上單減，則，D正確.故選：AD.三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13. 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為，若，則_【答案】【解析】【分析】利用等比數(shù)列的通項(xiàng)公式和前項(xiàng)和公式即可求解.【詳解】由已知條件得 ，解得，；故答案為：.14. 已知

12、為常數(shù)）的展開式中各項(xiàng)系數(shù)之和為1，則展開式中的系數(shù)為_【答案】【解析】【分析】令得各項(xiàng)系數(shù)和，求得參數(shù)，然后由二項(xiàng)展開式通項(xiàng)公式結(jié)合多項(xiàng)式乘法法則求得含的項(xiàng)，從而得其系數(shù)【詳解】令，則展開式的各項(xiàng)系數(shù)和為，解得，所以的展開式的通項(xiàng)公式為，令，則，令，解得，所以展開式中含的項(xiàng)為，所以的系數(shù)為，故答案為：15. 已知，均為單位向量，且，則與夾角的余弦值為_【答案】【解析】【分析】利用向量的數(shù)量積計(jì)算向量夾角的余弦值.【詳解】解：由題意得： ，即，均為單位向量，即故答案為：16. 已知是函數(shù)（且）的三個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是_【答案】【解析】【分析】由題可判斷1是的零點(diǎn)，且另兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，則所求

13、可化為求出的值域，利用導(dǎo)數(shù)即可求解.【詳解】顯然，設(shè)，則，所以1是的零點(diǎn)，且另兩個(gè)零點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱，所以，則，令，則，所以單調(diào)遞減，所以，即的取值范圍是.故答案為：.四、解答題：本題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.17. 已知數(shù)列的前項(xiàng)和，（1）計(jì)算的值，求的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求數(shù)列的前項(xiàng)和【答案】（1）， （2）【解析】【分析】（1）根據(jù)，作差得到，再根據(jù)等差數(shù)列通項(xiàng)公式計(jì)算可得；（2）由（1）可得，利用并項(xiàng)求和法計(jì)算可得；【小問1詳解】解：當(dāng)時(shí)，解得，由題知，由得，因?yàn)?，所以，于是：?shù)列的奇數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，以4為公差的等差數(shù)列，即，偶數(shù)項(xiàng)是以為首項(xiàng)，以4為公差的等

14、差數(shù)列，即所以的通項(xiàng)公式；【小問2詳解】解：由（1）可得，.18. 如圖，四邊形是圓柱的軸截面，圓柱的側(cè)面積為，點(diǎn)在圓柱的底面圓周上，且是邊長為的等邊三角形，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn).（1）若是的中點(diǎn)，求證：；（2）若，求與平面所成角的余弦值.【答案】（1）證明見解析 （2）【解析】【分析】（1）先證明出BPAG，DPAG，利用線面垂直的判定定理證明出AG面BPD,即可證明AGBD；（2）在底面內(nèi)過O作，連結(jié)OQ.以O(shè)為原點(diǎn)，分別為x、y、z軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.用向量法求解.【小問1詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，高為.因?yàn)槿切问沁呴L為的等邊三角形，所以.因?yàn)閳A柱側(cè)面積為，所以，解得：.在底面圓中

15、，所以.因?yàn)閳A柱的母線底面，所以，.因?yàn)椋?，又，所以?因?yàn)槊妫?在三角形中，是的中點(diǎn)，所以.又，所以面.因?yàn)槊妫?【小問2詳解】在底面內(nèi)過作，連接.以為原點(diǎn)，分別為，軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系.則，.所以，.因?yàn)椋?設(shè)為平面的法向量，則，即，令得.設(shè)與平面所成角為，則.，與平面所成角的余弦值為.19. 已知等腰三角形ABC的角A，B，C所對(duì)的邊分別為a，b，c，且，c(cb)(ab)(ab)（1）求A和b；（2）若點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC(含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn)，且BFBE，在運(yùn)動(dòng)過程中始終有，求EAF面積的最小值【答案】（1） （2）【解析】【分析】（1）利用正弦定理結(jié)論，結(jié)合，可求得

16、；利用余弦定理結(jié)合即可求得A,從而求得b.（2）利用（1）中的結(jié)論，分別在三角形和三角形中利用正弦定理，結(jié)合三角形面積公式，即可解出答案.【小問1詳解】由正弦定理得：即： (R為三角形ABC的外接圓半徑)，故 ，由 得： ，則 ，因?yàn)?，故 ；由等腰三角形ABC可得 ，故 ；【小問2詳解】由（1）知： ，由點(diǎn)E，F(xiàn)分別是線段BC(含端點(diǎn))上的動(dòng)點(diǎn)，且BFBE，在運(yùn)動(dòng)過程中始終有 ，知點(diǎn)在點(diǎn)的左邊,如圖：設(shè) ，不變，可知,在中，由正弦定理可得，在中，由正弦定理可得，故，三角形的面積的最小值為，此時(shí)20. 某工廠，兩條相互獨(dú)立的生產(chǎn)線生產(chǎn)同款產(chǎn)品，在產(chǎn)量一樣的情況下，通過日常監(jiān)控得知，生產(chǎn)線生產(chǎn)的

17、產(chǎn)品為合格品的概率分別為和（1）從，生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品，若使得產(chǎn)品至少有一件合格的概率不低于99.5%，求的最小值；（2）假設(shè)不合格的產(chǎn)品均可進(jìn)行返工修復(fù)為合格品，以（1）中確定的作為的值已知，生產(chǎn)線的不合格品返工后每件產(chǎn)品可分別挽回?fù)p失5元和3元，若從兩條生產(chǎn)線上各隨機(jī)抽檢1000件產(chǎn)品，以挽回?fù)p失的平均數(shù)為判斷依據(jù)，估計(jì)哪條生產(chǎn)線的挽回?fù)p失較多？若最終的合格品（包括返工修復(fù)后的合格品）按照一、二、三等級(jí)分類后，每件可分別獲利10元、8元、6元，現(xiàn)從，生產(chǎn)線的最終合格品中各隨機(jī)抽取100件進(jìn)行分級(jí)檢測，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如圖所示，用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，記該工廠生產(chǎn)一件產(chǎn)品的利潤為，求的分布

18、列并估計(jì)該廠產(chǎn)量2000件時(shí)利潤的期望值【答案】（1）0.95；（2）生產(chǎn)線挽回的平均損失較多；分布列見解析，16200元.【解析】【分析】（1）根據(jù)獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生以及對(duì)立事件的概率，求出產(chǎn)品至少有一件合格的概率，根據(jù)已知建立的不等量關(guān)系，即可求解；（2）根據(jù)（1）的結(jié)論求出生產(chǎn)線不合格品率，進(jìn)而求出兩條生產(chǎn)線的不合格品數(shù)，即可求出結(jié)論；的可能取值為6，8，10，根據(jù)頻數(shù)分布圖，求出可能值的頻率，得到的分布列，根據(jù)期望公式求解即可.【詳解】（1）設(shè)從，生產(chǎn)線上各抽檢一件產(chǎn)品，至少有一件合格為事件，從，生產(chǎn)線上抽檢到合格品分別為事件，由題知，互為獨(dú)立事件，所以，令，解得，故的最小值（2）由（1）可知，生產(chǎn)線生產(chǎn)的產(chǎn)品為合格品率分別為0.95和0.9，不合格品率分別為0.05和0.1由題知，生產(chǎn)線上隨機(jī)抽檢1000件產(chǎn)品，估計(jì)不合格品（件），可挽回?fù)p失為（元），生產(chǎn)線上隨機(jī)抽檢1000件產(chǎn)品，估計(jì)不合格品（件），可挽回?fù)p失為（元）由此，估計(jì)生產(chǎn)線挽回的平均損失較多由題知，的所有可能取值為6，8，10，用樣本的頻率分布估計(jì)總體分布，則，所以的分布列為6810所以（元）故估計(jì)該廠產(chǎn)量為2000件時(shí)利潤的期望值為（元）【點(diǎn)睛