線性代數(shù)第三章-線性空間課件

1、第三章 線性空間第一節(jié) n 維向量的線性相關(guān)性 一、n 維向量定義1由 n 個(gè)數(shù) 所組成的有序數(shù)組稱為 n 維向量，或簡稱為向量其中 n 稱為向量的維數(shù)， 第 i（ ）個(gè)數(shù) 稱為 n 維向量的第 i 個(gè)分量，并且把 n 個(gè)分量均為實(shí)數(shù)的向量稱為實(shí)向量；n 維向量可以寫成一行形式也可以一列的形式把個(gè)分量均為復(fù)數(shù)的向量稱為復(fù)向量而用符號 表示行向量 按照上一章的約定，通常用黑體希臘字母表示列向量， 在本書中，如果沒有特別說明，我們涉及的向量均指分量為實(shí)數(shù)的列向量，即列形式的實(shí)向量 將所有 n 維實(shí)向量的全體記為 ，即并將其稱為 n 維向量空間事實(shí)上，n 維向量是解析幾何中向量概念的推廣 定義2設(shè)

2、，則對應(yīng)的分量均相等，即1）稱向量 與 相等，記作 ，如果 與2）稱向量為向量 與 的和，并記 ；3）稱向量為數(shù) k 與向量 的數(shù)量乘法，也簡稱為數(shù)乘 向量的加法和數(shù)量乘法通常稱為向量的線性運(yùn)算 定義3將 中分量全為 0 的向量稱為零向量，并且仍記為 0； 設(shè) ，將向量 稱為向量 的負(fù)向量，記為 ； 并且，定義向量 與 的減法為 容易驗(yàn)證，向量的加法和數(shù)量乘法滿足下面8條性質(zhì)：1）加法交換律： ；2）加法結(jié)合律： ；3）對于任意的 ，均有 ；4）對于任意的 ，均存在負(fù)向量 ，使得5） ；6）數(shù)乘結(jié)合律： ；7） ；8） 二、n 維向量的線性相關(guān)性定義4將若干個(gè)維數(shù)相同的向量所組成的集合稱為向量

3、組； 將由向量組的一部分向量組成的向量組稱為原向量組的部分組例如，將 s 個(gè)向量 所組成的向量組記成 I，即 通常也將集合的大括號去掉，寫成向量組 ，或向量組 對于一個(gè) mn 矩陣 A，按列進(jìn)行分塊，即其全體列向量構(gòu)成一個(gè)含有 n 個(gè) m 維列向量的向量組，通常稱為矩陣 A 的列向量組；若對 A 按行進(jìn)行分塊，即 其全體行向量構(gòu)成一個(gè)含有 m 個(gè) n 維行向量的向量組，稱為矩陣的行向量組 并且，矩陣和含有有限個(gè)向量的有序向量組是一一對應(yīng)的 定義5設(shè) ， ，使得則稱向量 是向量組 的一個(gè)線性組合， 或者說，向量 可以由向量組 線性表出（或線性表示）此時(shí)，相應(yīng)地被稱為組合系數(shù)或者表出系數(shù)兩個(gè)向量之

4、間成比例的關(guān)系是線性組合最簡單的情形，使得 所謂兩個(gè)向量和成比例，即存在數(shù) k如果存在數(shù)定義6將 n 維向量稱為 n 維單位向量 任何一個(gè) n 維向量 可以寫成n 維單位向量 的線性組合，即另外，零向量 0 是任何向量組的線性組合 定義7設(shè) 和 是兩個(gè)向量組均可以由向量組 線性表出， 則稱向量組 I 可以由向量組 II 線性表出如果向量組 I 中的每一個(gè)向量 ( ) 如果向量組 I 和 II 可以相互線性表出，則稱這兩個(gè)向量組等價(jià)顯然，任何一個(gè)向量組可以由其自身線性表出1）反身性：2）對稱性：II 和 I 也等價(jià)；3）傳遞性：和 III 也等價(jià)，那么向量組 I 和 III 等價(jià)另外，向量組之間

5、的等價(jià)關(guān)系滿足如下規(guī)律：任何向量組均與本身等價(jià)；如果向量組 I 和 II 等價(jià)，那么向量組如果向量組 I 和 II 等價(jià)，且向量組 II定義8給定一個(gè)向量組 ，如果存在不全為零的數(shù) ，使得則稱向量組 I 是線性相關(guān)的；性無關(guān)的線性無關(guān)也就是線性不相關(guān)，即不存在不全為零的數(shù) ，使得否則，稱向量組是線因此，線性無關(guān)的定義也可以敘述為： 對于向量組 ，如果由 可以推出則稱向量組是線性無關(guān)的 例1證明：n 維單位向量 是線性無關(guān)的定理 1 向量組 （ ）線性相關(guān)的充分必要條件是向量組 I 中至少有一個(gè)向量可以由其余的向量線性表出定義 如果向量組 （ ）中至少有一個(gè)向量可以由其余的向量線性表出，則稱向量

6、組 I 是線性相關(guān)的任何包含零向量 0 的向量組是線性相關(guān)的 另外，容易證明，性相關(guān)的由單個(gè)向量 0 組成的向量組是線于是，單個(gè)向量 組成的向量組線性相關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)換句話說，單個(gè)向量組 成的向量組線性無關(guān)當(dāng)且僅當(dāng)定理2如果向量組 的一個(gè)部分組線性相關(guān)，那么這個(gè)向量組 I 就線性相關(guān)這個(gè)命題的逆否命題為： 如果向量組 線性無關(guān)，那么它任何一個(gè)部分組也線性無關(guān)定理3如果向量組 線性無關(guān)，而向量組 線性相關(guān)，則 可以由向量組 I 線性表出，并且表示法唯一推論任意一個(gè) n 維向量 可以由 n 維的單位向量 線性表出，且表示法唯一第二節(jié) 向量組的秩和矩陣的秩將線性方程組 （1）的系數(shù)矩陣按列進(jìn)行分塊， 即

7、則方程組（）可以寫成 線性方程組（）有解當(dāng)且僅當(dāng)方程組的常數(shù)項(xiàng)向量可以由其系數(shù)矩陣的列向量組線性表出對于齊次線性方程組 （3）也將其系數(shù)矩陣按列進(jìn)行分塊：則方程組（）可以寫成 齊次線性方程組（）有非零解當(dāng)且僅當(dāng)方程組系數(shù)矩陣的列向量組是線性相關(guān)的 或者說齊次線性方程組（）只有零解當(dāng)且僅當(dāng)方程組系數(shù)矩陣的列向量組是線性無關(guān)的一、消元法解線性方程組定義9設(shè) A 是一個(gè) mn 矩陣如果 A 滿足下列兩個(gè)條件：1）如果第 i 行元素全為零，那么第 i+1 行（如果存在）的元素也全為零；2）如果矩陣中存在非零元素，那么每個(gè)非零行的第一個(gè)非零元素所在列號自上而下嚴(yán)格單調(diào)上升則稱 A 是一個(gè)行階梯型矩陣 特

8、別地，對于一個(gè)行階梯型矩陣，如果它的每個(gè)非零行的第一個(gè)非零元素均為 1，且這些元素 1 所在列的其它元素均為 0，則稱是一個(gè)最簡行階梯型矩陣?yán)?行階梯型矩陣中每一行的第一個(gè)不為零的元素的左邊及其所在列以下全為零例2求解線性方程組例3求解線性方程組例4求解線性方程組例5判斷向量組的相關(guān)性例6設(shè)向量 試把 表示成其它向量的線性組合 二、向量組的極大無關(guān)組和向量組的秩定理4如果向量組 可以由向量組 線性表出，且 ， 線性相關(guān)推論1如果向量組 可以由向量組 線性表出，且線性無關(guān)，推論2如果 與 等價(jià)，且兩個(gè)向量組均線性無關(guān)，則有 那么向量組則有推論3任意 n+1 個(gè) n 維向量均線性相關(guān)定理5設(shè)向量

9、組 線性無關(guān)，且如果在向量組 I 的每一個(gè)向量上均添加 r 個(gè)分量，得到一組 n + r 維向量那么向量組 仍然線性無關(guān)推論設(shè) 線性相關(guān)，則將向量組的每一個(gè)向量去掉若干分量所得到的向量組仍線性相關(guān)定義10設(shè)向量組是向量組 的一個(gè)部分組 如果 1）向量組 是線性無關(guān)的；2）向量組 I 可以由向量組 線性表出， 則稱部分組 是向量組 I 的一個(gè)極大無關(guān)組非零向量組 I 均存在極大無關(guān)組 線性無關(guān)的向量組的極大無關(guān)組就是這個(gè)向量組本身定理6 非零向量組與其極大無關(guān)組等價(jià)，換句話說，極大無關(guān)組是一個(gè)與向量組自身等價(jià)的無關(guān)部分組例7驗(yàn)證 與 均為向量組 的極大無關(guān)組向量組的任意兩個(gè)極大無關(guān)組是等價(jià)的;

10、所含向量的個(gè)數(shù)是相同的定義11將向量組 的極大無關(guān)組所含向量的個(gè)數(shù)稱為向量組的秩，記為 從而，并規(guī)定，含有單個(gè)零向量的向量組的秩為 0定理7向量組 線性無關(guān)的充分必要條件是 向量組 線性相關(guān)的充分必要換句話說， 條件是定理8等價(jià)的向量組必有相同的秩 定理9設(shè)向量組 的秩為 r 那么該向量組中任意含有 r 個(gè)向量的無關(guān)部分組均為這個(gè)向量組的一個(gè)極大無關(guān)組三、矩陣的秩及性質(zhì)定義12設(shè) 是 mn 矩陣，是一個(gè)正整數(shù) 在中任取 k 行（第 行）和k 列（第 列）交叉點(diǎn)上的 個(gè)元素，它們在 A 中所處的位置不變，按照而得到的一個(gè) k 階行列式稱為矩陣的一個(gè) k 階子式 當(dāng)子式 D 的值為零時(shí)，稱這個(gè)子式

11、 D 為零子式，否則，稱為非零子式特別地， 當(dāng) 時(shí)， 稱子式 D 為A 的一個(gè) k 階主子式定義13如果在矩陣 A 中存在一個(gè) r 階的非零子式 D， 而的所有 r +1 階子式（如果存在的話）均為零子式， 那么稱為矩陣 A 的一個(gè)最高階非零子式， 并將 D 的階數(shù) r 稱為矩陣 A 的秩，記為 R(A)并規(guī)定零矩陣 O 的秩為 0mn 矩陣 A 的秩 R(A) 滿足 矩陣 A 的秩 R(A) 即為 A 中非零子式的最高階數(shù) 性質(zhì)1 性質(zhì)2如果矩陣 A 存在一個(gè) k 階的非零子式，那么 ;如果矩陣 A 的 l 階子式全為零子式，則 性質(zhì)3初等變換不改變矩陣的秩，即如果 ，則 性質(zhì)4設(shè) A 是一

12、個(gè) mn 矩陣，P, Q 分別為 m 階、 n 階可逆矩陣，則性質(zhì)5設(shè) A 是一個(gè) n 階方陣則 的充分必要條件是 R(A) = n例8計(jì)算下列矩陣的秩：例9求矩陣 R(A) ，并求 A 的一個(gè)最高階非零子式： 定義14設(shè) A 是一個(gè)矩陣將 A 的行向量組的秩稱為矩陣 A 的行秩；的列秩例10計(jì)算矩陣 A 的秩，及其行秩和列秩 引理1初等行變換不改變矩陣的行秩 引理2初等行變換不改變矩陣的列秩 將 A 的列向量組的秩稱為矩陣 A定理10初等變換不改變矩陣的行秩，也不改變矩陣的列秩定理11矩陣的行秩與列秩相等，并且等于矩陣的秩 例11求向量組的秩，并給出這個(gè)向量組的一個(gè)極大無關(guān)組 性質(zhì)6 性質(zhì)7

13、 第三節(jié) 線性空間的基本概念一、線性空間的定義定義15 設(shè) V 是一個(gè)非空集合， 或者 是一個(gè)數(shù)域定義兩種運(yùn)算：1）加法： 對于任意的 ，存在唯一的與之對應(yīng)，稱為 與 的和，2）數(shù)量乘法： 對于任意的 ，存在唯一的 與之對應(yīng)，稱為 k 與 的數(shù)量乘積， .如果加法和數(shù)量乘法滿足以下 8 條運(yùn)算規(guī)律，則稱 V 是數(shù)域 F 上的一個(gè)線性空間，記為 ；記為仍記為 V 1）加法交換律： ；2）加法結(jié)合律： ；3）存在 ，5） ；6）數(shù)乘結(jié)合律： ；7） ；8） 使得 ，將 0 稱為零元素； 4）存在 ，使得將 稱為 的負(fù)元素； 當(dāng) 時(shí)，我們稱 F 上的線性空間 V 為實(shí)空間， 當(dāng) 時(shí)，我們稱 F 上的

14、線性空間 V 為復(fù)空間 本課程中，如果不特別說明，涉及的線性空間均為實(shí)空間通常情況下， 我們?nèi)詫⒕€性空間中的元素稱為向量，并用黑體希臘字母 表示， 也將線性空間中的加法和數(shù)量乘法稱為線性運(yùn)算 例12 數(shù)域 F 本身按照數(shù)的加法和乘法，構(gòu)成數(shù)域 F上的一個(gè)線性空間 例13所有 mn 實(shí)矩陣的全體，仍記為 按照矩陣的加法和數(shù)與矩陣的數(shù)量乘法，的一個(gè)線性空間構(gòu)成 上同樣，所有 mn 復(fù)矩陣的全體，仍記為按照矩陣的加法和數(shù)與矩陣的數(shù)量乘法，的一個(gè)線性空間構(gòu)成 上例14 以數(shù)域 F 中的數(shù)作為系數(shù)的多項(xiàng)式的全體，為 ，即按照多項(xiàng)式的加法和數(shù)與多項(xiàng)式的數(shù)量乘法，記 F 上的一個(gè)線性空間例15 區(qū)間 a,

15、b 上所有連續(xù)實(shí)函數(shù)的全體， 按照函數(shù)的加法和數(shù)與函數(shù)的乘法，個(gè)線性空間構(gòu)成記為構(gòu)成 上的一二、線性空間的簡單性質(zhì)性質(zhì)1線性空間 V 中的零元素 0 是唯一的 一的性質(zhì)2線性空間 V 中任意元素 的負(fù)元素 是唯性質(zhì)3對于線性空間 V 中的任意元素 ，的數(shù) ，以及任意有特別地，當(dāng) k = 1 時(shí)，有 性質(zhì)4設(shè) ， 如果 ，那么或者 第四節(jié) 線性空間的基、維數(shù) 及向量的坐標(biāo) 一、基、維數(shù)及向量坐標(biāo)的定義定義16設(shè) V 是數(shù)域 F 上的一個(gè)線性空間 V 中存在 n 個(gè)線性無關(guān)的向量，記為 ， 且任意的 均可由這組向量線性表出， 即存在 ，使得則稱 V 是一個(gè) n 維線性空間，維數(shù)是 n，記為 ，或者

16、說線性空間 V 的并且稱 是線性空間的一組基如果在如果在 V 中存在無限多個(gè)線性無關(guān)的向量，稱 V 是無限維的線性空間 則如果不特別說明，本課程提到的線性空間均為有限維的在 n 維線性空間 V 中， 任意向量 在 V 的一組基 下的表出系數(shù) 是由 和這組基所唯一確定， 下的坐標(biāo)或坐標(biāo)向量， 將這組數(shù)稱為 在基記為 例16將數(shù)域 F 看作其自身上一個(gè)線性空間，數(shù) 1 就是一組基，從而這個(gè)線性空間是 1 維的 且對于任意的 ，本身 關(guān)于基 1 的坐標(biāo)就是 k 這個(gè)數(shù)例17對于 n 維向量空間 則有 是 的一組基，從而 的維數(shù)為 n對于任意的 ， 在基下的坐標(biāo)就為向量 本身 那么例18對于數(shù)域 F 上的線性空間令 表示第 i 行第 j 列是 1，其余位置均為零的 mn 矩陣 容易驗(yàn)證 構(gòu)成 的一組基， 從而 任意 ， 關(guān)于上面這組基的坐標(biāo)為例19在數(shù)域 F 上的線性空間中，對于一個(gè)固定的正整數(shù) n，所有次數(shù)小于 n 的多項(xiàng)式的全體 按照多項(xiàng)式的加法、數(shù)與多項(xiàng)式的乘法也構(gòu)成數(shù)域 F上的一個(gè)線性空間并且 中的元素就是 的一組基