管理運(yùn)籌學(xué)(全套643頁P(yáng)PT課件)

1、1管理運(yùn)籌學(xué)管理運(yùn)籌學(xué)2管理運(yùn)籌學(xué)緒論1234決策、定量分析與管理運(yùn)籌學(xué)運(yùn)籌學(xué)的分支運(yùn)籌學(xué)在工商管理中的應(yīng)用學(xué)習(xí)管理運(yùn)籌學(xué)必須使用相應(yīng)的計(jì)算機(jī)軟件，必須注重學(xué)以致用的原則3管理運(yùn)籌學(xué)緒論運(yùn)籌學(xué)（Operational Research）運(yùn)籌學(xué)直譯為“運(yùn)作研究”，是應(yīng)用分析、試驗(yàn)、量化的方法，對(duì)經(jīng)濟(jì)管理系統(tǒng)中的人力、物力、財(cái)力等資源進(jìn)行統(tǒng)籌安排，為決策者提供有依據(jù)的最優(yōu)方案，以實(shí)現(xiàn)最有效的管理。運(yùn)籌學(xué)的產(chǎn)生和發(fā)展運(yùn)籌學(xué)產(chǎn)生于第二次世界大戰(zhàn)，主要用于解決如何在與德軍的對(duì)抗中最大限度地殺傷敵人、減少損失。二戰(zhàn)以后，運(yùn)籌學(xué)得到了快速的發(fā)展，形成了許多分支，丹捷格提出的求解線性規(guī)劃問題的單純形法是運(yùn)籌學(xué)

2、發(fā)展史上最重大的進(jìn)展之一。而計(jì)算機(jī)的應(yīng)用極大地推進(jìn)了運(yùn)籌學(xué)的普及與應(yīng)用。運(yùn)籌學(xué)的廣泛應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)不僅在軍事上，而且在生產(chǎn)、決策、運(yùn)輸、存儲(chǔ)等經(jīng)濟(jì)管理領(lǐng)域有著廣泛的應(yīng)用。4管理運(yùn)籌學(xué)1決策、定量分析與管理運(yùn)籌學(xué)決策過程（解決問題的過程）（1）認(rèn)清問題。（2）找出一些可供選擇的方案。（3）確定目標(biāo)或評(píng)估方案的標(biāo)準(zhǔn)。（4）評(píng)估各個(gè)方案：解的檢驗(yàn)、靈敏性分析等。（5）選出一個(gè)最優(yōu)的方案：決策。（6）執(zhí)行此方案：回到實(shí)踐中。（7）進(jìn)行后評(píng)估：考察問題是否得到圓滿解決。（1）（2）（3）形成問題。（4）（5）分析問題：定性分析與定量分析，構(gòu)成決策。5管理運(yùn)籌學(xué)運(yùn)籌學(xué)的分支此外，還有多目標(biāo)規(guī)劃、隨機(jī)規(guī)劃、模糊

3、規(guī)劃等。2線性規(guī)劃整數(shù)線性規(guī)劃圖與網(wǎng)絡(luò)模型存儲(chǔ)論排隊(duì)論排序與統(tǒng)籌方法決策分析動(dòng)態(tài)規(guī)劃對(duì)策論預(yù)測(cè)目標(biāo)規(guī)劃6管理運(yùn)籌學(xué)3運(yùn)籌學(xué)在工商管理中的應(yīng)用生產(chǎn)計(jì)劃：生產(chǎn)作業(yè)的計(jì)劃、日程表的編排、合理下料、配料問題、物料管理等，追求利潤最大化和成本最小化。庫存管理：多種物資庫存量的管理，某些設(shè)備的庫存方式、庫存量等的確定。運(yùn)輸問題：確定最小成本的運(yùn)輸線路、物資的調(diào)撥、運(yùn)輸工具的調(diào)度以及建廠地址的選擇等。人事管理：對(duì)人員的需求和使用的預(yù)測(cè)，確定人員編制、人員合理分配，建立人才評(píng)價(jià)體系等。市場(chǎng)營銷：廣告預(yù)算、媒介選擇、定價(jià)、產(chǎn)品開發(fā)與銷售計(jì)劃制定等。財(cái)務(wù)和會(huì)計(jì)：預(yù)測(cè)、貸款、成本分析、定價(jià)、證券管理、現(xiàn)金管理等。此

4、外，還有設(shè)備維修、更新，項(xiàng)目選擇、評(píng)價(jià)，工程優(yōu)化設(shè)計(jì)與管理等。7管理運(yùn)籌學(xué)3運(yùn)籌學(xué)在工商管理中的應(yīng)用由國際運(yùn)籌與管理科學(xué)協(xié)會(huì)（INFORMS）及其下屬的管理科學(xué)實(shí)踐學(xué)會(huì)（College for the Practice of the Management Sciences）主持評(píng)定的弗蘭茨厄德曼（Franz Edelman）獎(jiǎng)久負(fù)盛名，該獎(jiǎng)是為獎(jiǎng)勵(lì)運(yùn)籌學(xué)在管理中的應(yīng)用的卓越成就設(shè)立的，該獎(jiǎng)每年評(píng)選一次，在對(duì)大量富有競(jìng)爭(zhēng)力的入圍者進(jìn)行認(rèn)真的評(píng)審后，一般有六位優(yōu)勝者獲獎(jiǎng)。這些獲獎(jiǎng)項(xiàng)目的文章都會(huì)在第二年發(fā)表在著名刊物 Interface 新年第一期上，表 1-1 列出了發(fā)表在該期刊上的部分獲獎(jiǎng)項(xiàng)目。

5、8管理運(yùn)籌學(xué)3運(yùn)籌學(xué)在工商管理中的應(yīng)用表 1-1組織應(yīng)用Interface期刊號(hào)每年節(jié)支（美元）施樂公司標(biāo)準(zhǔn)品牌公司聯(lián)合航空公司Citgo 石油公司荷馬特發(fā)展公司（HomartDevelopment Co.）AT&TMerit 青銅制品公司Delta 航空公司寶潔公司法國國家鐵路公司IBM通過戰(zhàn)略調(diào)整，縮短維修機(jī)器的反應(yīng)時(shí)間和改進(jìn)維修人員的生產(chǎn)率控制成品庫存（制定最優(yōu)再訂購點(diǎn)和訂購量，確保安全庫存）滿足乘客需求前提下，以最低成本進(jìn)行訂票及安排機(jī)場(chǎng)工作班次優(yōu)化煉油程序及產(chǎn)品供應(yīng)、配送及營銷優(yōu)化商業(yè)區(qū)和辦公樓銷售程序優(yōu)化商業(yè)用戶的電話銷售中心選址安裝統(tǒng)計(jì)銷售預(yù)測(cè)和成品庫存管理系統(tǒng)，改進(jìn)客戶服務(wù)進(jìn)行

6、上千個(gè)國內(nèi)航線的飛機(jī)優(yōu)化配置來實(shí)現(xiàn)最大化利潤重新設(shè)計(jì)北美生產(chǎn)和分銷系統(tǒng)以降低成本并加快了市場(chǎng)進(jìn)入速度制定最優(yōu)鐵路時(shí)刻表并調(diào)整鐵路日運(yùn)營量重組全球供應(yīng)鏈，保持最小庫存的同時(shí)滿足客戶需求11/1975第二部分12/19811-2/19861-2/19871-2/19871-2/19901-2/19931-2/19941-2/19971-2/19981-2/2000生產(chǎn)率提高50%以上380 萬600 萬7 000 萬4 000 萬4.06 億，銷售額大幅增加更優(yōu)質(zhì)的服務(wù)1 億2 億1 500 萬，更多年收入第一年 7.5 億9管理運(yùn)籌學(xué)3運(yùn)籌學(xué)在工商管理中的應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)方法使用情況（美國，1983）

7、圖 1-110管理運(yùn)籌學(xué)3運(yùn)籌學(xué)在工商管理中的應(yīng)用運(yùn)籌學(xué)方法使用情況（中國，1998）圖 1-211管理運(yùn)籌學(xué)4 學(xué)習(xí)管理運(yùn)籌學(xué)必須使用相應(yīng)的計(jì)算機(jī)軟件，必須注重學(xué)以致用的原則學(xué)習(xí)運(yùn)籌學(xué)要結(jié)合實(shí)際的應(yīng)用，不要被一些概念、理論的困難嚇倒。學(xué)習(xí)運(yùn)籌學(xué)要把注意力放在“結(jié)合實(shí)際問題建立運(yùn)籌學(xué)模型”和“解決問題的方案或模型的解”兩頭，中間的計(jì)算過程盡可能讓計(jì)算機(jī)軟件去完成。本書附有運(yùn)籌學(xué)教學(xué)軟件，使用方法簡(jiǎn)單。學(xué)生可以借助它來學(xué)好本課程。學(xué)習(xí)運(yùn)籌學(xué)是為了應(yīng)用，為了解決實(shí)際問題。12管理運(yùn)籌學(xué)4 學(xué)習(xí)管理運(yùn)籌學(xué)必須使用相應(yīng)的計(jì)算機(jī)軟件，必須注重學(xué)以致用的原則例如，有人要從北京去烏魯木齊。在一百多年以前，我

8、們應(yīng)該告訴他如何配備糧草、銀兩、衣物，如何選購馬匹、馬車，挑選馬夫和保鏢，如何根據(jù)天氣、地理?xiàng)l件和社會(huì)諸因素來確定行車路線和行程，更重要的是如何在幾個(gè)月的行程中處理吃穿住行，應(yīng)付突發(fā)事件等問題；但是現(xiàn)在我們只需要告訴他如何去北京機(jī)場(chǎng)和出烏魯木齊機(jī)場(chǎng)，其余的問題交給航空公司和機(jī)組人員就行了。完全沒有必要為了一次旅行攻讀空氣動(dòng)力學(xué)、噴氣發(fā)動(dòng)機(jī)設(shè)計(jì)和制造、飛行器駕駛手冊(cè)等。13管理運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃的圖解法123問題的提出圖解法圖解法的靈敏度分析14管理運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃的圖解法一些典型的線性規(guī)劃在管理上的應(yīng)用合理利用線材問題：如何在保證生產(chǎn)的條件下，下料最少；配料問題：在原料供應(yīng)量的限制下如何獲取最大利潤

9、；投資問題：從投資項(xiàng)目中選取方案，使投資回報(bào)最大；產(chǎn)品生產(chǎn)計(jì)劃：合理利用人力、物力、財(cái)力等，使獲利最大；勞動(dòng)力安排：用最少的勞動(dòng)力來滿足工作的需要；運(yùn)輸問題：如何制定調(diào)運(yùn)方案，使總運(yùn)費(fèi)最小。線性規(guī)劃的組成目標(biāo)函數(shù)：max f 或 min f ；約束條件：s.t. (subject to)，滿足于；決策變量：用符號(hào)來表示可控制的因素。15管理運(yùn)籌學(xué)1問題的提出例 1.某工廠在計(jì)劃期內(nèi)要安排、兩種產(chǎn)品的生產(chǎn)，生產(chǎn)單位產(chǎn)品所需的設(shè)備臺(tái)時(shí)及 A、B 兩種原材料的消耗以及資源的限制，如表 2-1 所示。表 2-1資源限制300 臺(tái)時(shí)400 kg250 kg設(shè)備原料 A原料 B單位產(chǎn)品獲利12050 元1

10、11100 元問題：工廠應(yīng)分別生產(chǎn)多少單位、產(chǎn)品才能使工廠獲利最多？線性規(guī)劃模型目標(biāo)函數(shù)：max約束條件：s.t.z = 50 x1 + 100 x2x1 + x2 3002 x1 + x2 400 x2 250 x1 , x2 016管理運(yùn)籌學(xué)1問題的提出建模過程（1）理解要解決的問題，明確在什么條件下，要追求什么目標(biāo)。（2）定義決策變量（x1 ，x2 ，xn），每一組值表示一個(gè)方案。（3）用決策變量的線性函數(shù)形式寫出目標(biāo)函數(shù)，確定最大化或最小化目標(biāo)。（4）用一組決策變量的等式或不等式表示解決問題過程中必須遵循的約束條件。一般形式目標(biāo)函數(shù)：max（min）z = c1 x1 + c2 x2

11、+ + cn xn約束條件：s.t.a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn （=, ）b1a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn （=, ）b2am1 x1 + am2 x2 + + amn xn （=, ）bmx1 ，x2 ， ，xn 017管理運(yùn)籌學(xué)2對(duì)于只包含兩個(gè)決策變量的線性規(guī)劃問題，可以在平面直角坐標(biāo)系上作圖表示線性規(guī)劃問題的有關(guān)概念，并求解。下面通過例 1 詳細(xì)介紹圖解法的解題過程圖 解 法例 1目標(biāo)函數(shù)：maxz = 50 x1 + 100 x2約束條件：s.t.（A）（B）（C）（D）（E）x1 + x2 3002 x1 + x2 400 x2 25

12、0 x1 0 x2 0得到最優(yōu)解：x1 = 50，x2 = 250最優(yōu)目標(biāo)值 z = 27 500182圖 解 法（1）分別取決策變量 x1，x2 為坐標(biāo)向量建立直角坐標(biāo)系。在直角坐標(biāo)系里，圖上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)代表了決策變量的一組值，例 1 的每個(gè)約束條件都代表一個(gè)半平面（如圖 2-1 所示）。圖 2-1管理運(yùn)籌學(xué)192圖 解 法（2）對(duì)每個(gè)不等式（約束條件），先取其等式在坐標(biāo)系中作直線，然后確定不等式所決定的半平面（如圖 2-1 所示）。圖 2-1管理運(yùn)籌學(xué)202圖 解 法（3）把五個(gè)圖合并成一個(gè)圖，取各約束條件的公共部分（如圖 2-1（f）所示）。圖 2-1管理運(yùn)籌學(xué)212圖 解 法（4）目

13、標(biāo)函數(shù) z = 50 x1 + 100 x2，當(dāng) z 取某一固定值時(shí)得到一條直線，直線上的每一點(diǎn)都具有相同的目標(biāo)函數(shù)值，稱之為“等值線”。平行移動(dòng)等值線，當(dāng)移動(dòng)到 B 點(diǎn)時(shí)，z 在可行域內(nèi)實(shí)現(xiàn)了最大化。A、B、C、D、E是可行域的頂點(diǎn)，有限個(gè)約束條件其可行域的頂點(diǎn)也是有限的。圖 2-2管理運(yùn)籌學(xué)22管理運(yùn)籌學(xué)2圖 解 法線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化內(nèi)容之一引入松弛變量（資源的剩余量）例 1 中引入 s1，s2，s3，模型變化為：目標(biāo)函數(shù)：max約束條件：s.t.z = 50 x1 + 100 x2 + 0 s1 + 0 s2 + 0 s3x1 + x2 + s1 = 3002 x1 + x2 + s2 =

14、 400 x2 + s3 = 250 x1 , x2 , s1 , s2 , s3 0對(duì)于最優(yōu)解 x1 =50，x2 = 250，s1 = 0，s2 =50，s3 = 0說明：生產(chǎn) 50 單位產(chǎn)品和 250 單位產(chǎn)品將消耗完所有可能的設(shè)備臺(tái)時(shí)數(shù)及原料 B，但原料 A 還剩余 50 千克。23管理運(yùn)籌學(xué)2圖 解 法重要結(jié)論如果線性規(guī)劃有最優(yōu)解，則一定有一個(gè)可行域的頂點(diǎn)對(duì)應(yīng)一個(gè)最優(yōu)解；無窮多個(gè)最優(yōu)解。若將例 1 中的目標(biāo)函數(shù)變?yōu)?max z=50 x1+50 x2，則線段 BC 上的所有點(diǎn)都代表了最優(yōu)解；無界解。即可行域的范圍延伸到無窮遠(yuǎn)，目標(biāo)函數(shù)值可以無窮大或無窮小。一般來說，這說明模型有錯(cuò)，忽

15、略了一些必要的約束條件；無可行解。若在例 1 的數(shù)學(xué)模型中再增加一個(gè)約束條件 4x1+3x21200，則可行域?yàn)榭沼?，不存在滿足約束條件的解，當(dāng)然也就不存在最優(yōu)解了。24管理運(yùn)籌學(xué)2圖 解 法無界解線性規(guī)劃存在無界解，即無最優(yōu)解的情況。對(duì)下述線性規(guī)劃問題：目標(biāo)函數(shù)：max z = x1 + x2；約束條件：x1-x2 1-3x1+2x2 6x10，x2 0252圖 解 法無界解用圖解法求解結(jié)果，如圖 2-3 所示，可以看到，該問題可行域無界，目標(biāo)函數(shù)值可以無窮大，成為無界解，即無最優(yōu)解。圖 2-3管理運(yùn)籌學(xué)26管理運(yùn)籌學(xué)2圖 解 法進(jìn)一步討論例 2某公司由于生產(chǎn)需要，共需要 A，B 兩種原料至

16、少 350 噸（A，B 兩種原料有一定替代性），其中原料 A 至少購進(jìn) 125 噸。但由于 A，B兩種原料的規(guī)格不同，各自所需的加工時(shí)間也是不同的，加工每噸原料 A需要 2 個(gè)小時(shí)，加工每噸原料 B 需要 1 小時(shí)，而公司總共有 600 個(gè)加工小時(shí)。又知道每噸原料 A 的價(jià)格為 2 萬元，每噸原料 B 的價(jià)格為 3 萬元，試問在滿足生產(chǎn)需要的前提下，在公司加工能力的范圍內(nèi)，如何購買 A，B 兩種原料，使得購進(jìn)成本最低？272圖 解 法進(jìn)一步討論解：目標(biāo)函數(shù)：minf = 2x1 + 3 x2管理運(yùn)籌學(xué)約束條件：x1 + x2 350 x1 1252 x1 + x2 600 x1 , x2 0采

17、用圖解法，如圖 2-4 所示，得 Q 點(diǎn)坐標(biāo)（250，100）為最優(yōu)解。圖 2-428管理運(yùn)籌學(xué)圖解法的靈敏度分析3線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)化*一般形式目標(biāo)函數(shù)：max（min）z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xn約束條件：s.t.a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn （=, ）b1a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn （=, ）b2am1 x1 + am2 x2 + + amn xn（=, ）bmx1 ，x2 ， ，xn 0*標(biāo)準(zhǔn)形式目標(biāo)函數(shù)：max約束條件：s.t.z = c1 x1 + c2 x2 + + cn xna11 x1 + a12 x2

18、+ + a1n xn = b1a21 x1 + a22 x2 + + a2n xn = b2am1 x1 + am2 x2 + + amn xn = bmx1，x2 ， ，xn 0，bi 029管理運(yùn)籌學(xué)3圖解法的靈敏度分析線性規(guī)劃的標(biāo)準(zhǔn)形式有四個(gè)特點(diǎn)：目標(biāo)最大化；約束為等式；決策變量均非負(fù)；右端項(xiàng)非負(fù)。對(duì)于各種非標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃問題，我們總可以通過變換，將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式。30管理運(yùn)籌學(xué)3圖解法的靈敏度分析極小化目標(biāo)函數(shù)的問題設(shè)目標(biāo)函數(shù)為：min f = c1x1 + c2x2 + + cnxn令 z = f，則該極小化問題與下面的極大化問題有相同的最優(yōu)解，max z =c1x1 c2x2

19、 cnxn但必須注意，盡管以上兩個(gè)問題的最優(yōu)解相同，但它們最優(yōu)解的目標(biāo)函數(shù)值卻相差一個(gè)負(fù)號(hào)，即min f = max z31管理運(yùn)籌學(xué)3圖解法的靈敏度分析約束條件不是等式的問題設(shè)約束條件為ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn bi，可以引進(jìn)一個(gè)新的變量 s ，使它等于約束右邊與左邊之差，s=bi (ai1 x1 + ai2 x2 + + ain xn )顯然，s 也具有非負(fù)約束，即 s0，這時(shí)新的約束條件成為ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn+s = bi32管理運(yùn)籌學(xué)3圖解法的靈敏度分析約束條件不是等式的問題當(dāng)約束條件為ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn bi時(shí)，

20、類似地，令s= (ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn) bi顯然，s 也具有非負(fù)約束，即 s0，這時(shí)新的約束條件成為ai1 x1+ai2 x2+ +ain xn s = bi為了使約束由不等式成為等式而引進(jìn)的變量 s，當(dāng)不等式為“小于等于”時(shí)稱為“松弛變量”；當(dāng)不等式為“大于等于”時(shí)稱為“剩余變量”。如果原問題中有若干個(gè)非等式約束，則將其轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式時(shí)，必須對(duì)各個(gè)約束引進(jìn)不同的松弛變量或剩余變量。33管理運(yùn)籌學(xué)3圖解法的靈敏度分析右端項(xiàng)有負(fù)值的問題在標(biāo)準(zhǔn)形式中，要求每一個(gè)右端項(xiàng)分量非負(fù)。當(dāng)某一個(gè)右端項(xiàng)系數(shù)為負(fù)時(shí)，如 bi0，則把該等式約束兩端同時(shí)乘以1，得到： ai1 x1 ai2

21、 x2 ain xn = bi。34管理運(yùn)籌學(xué)3圖解法的靈敏度分析例 3將以下線性規(guī)劃問題轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式。mins.t.f = 2 x1 3x2 + 4 x33 x1 + 4x2 5 x3 62 x1 + x3 8x1 + x2 + x3 = 9x1 , x2 , x3 0解：首先，將目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)換成極大化，令z = f = 2x1+3x2 4x3其次，考慮約束，有兩個(gè)不等式約束，引進(jìn)松弛變量或剩余變量 x4，x5 0。第三個(gè)約束條件的右端值為負(fù)，在等式兩邊同時(shí)乘1。35管理運(yùn)籌學(xué)3圖解法的靈敏度分析通過以上變換，可以得到以下標(biāo)準(zhǔn)形式的線性規(guī)劃問題：maxz = 2x1 + 3 x2 4x3s.

22、t.3x1+4x25x3 +x4 = 62x1 + x3 x5 = 8x1 x2 x3 = 9x1 , x2 , x3 , x4 , x5 0注：變量無符號(hào)限制的問題在標(biāo)準(zhǔn)形式中，必須每一個(gè)變量均有非負(fù)約束。當(dāng)某一個(gè)變量 xj 沒有非負(fù)約束時(shí)，可以令 xj = xj- xj其中 xj 0，xj 0即用兩個(gè)非負(fù)變量之差來表示一個(gè)無符號(hào)限制的變量，當(dāng)然 xj 的符號(hào)取決于 xj和 xj的大小。36管理運(yùn)籌學(xué)3圖解法的靈敏度分析靈敏度分析：在建立數(shù)學(xué)模型和求得最優(yōu)解之后，研究線性規(guī)劃的一個(gè)或多個(gè)參數(shù)（系數(shù)）ci , aij , bj 變化時(shí)，對(duì)最優(yōu)解產(chǎn)生的影響。一、目標(biāo)函數(shù)中的系數(shù) ci 的靈敏度分

23、析考慮例 1 的情況，ci 的變化只影響目標(biāo)函數(shù)等值線的斜率，目標(biāo)函數(shù)z = 50 x1 + 100 x2在 z = x2 （x2 = z 斜率為 0） 到 z = x1 + x2 （x2 =x1 + z 斜率為1）之間時(shí)，原最優(yōu)解 x1 = 50，x2 = 100 仍是最優(yōu)解。一般情況：z = c1 x1 + c2 x2寫成斜截式x2 = (c1 / c2 ) x1 + z / c2目標(biāo)函數(shù)等值線的斜率為 (c1 / c2 ) ，當(dāng)-1 - (c1 / c2 ) 0（*）時(shí)，原最優(yōu)解仍是最優(yōu)解。37管理運(yùn)籌學(xué)3圖解法的靈敏度分析假設(shè)產(chǎn)品的利潤 100 元不變，即 c2 = 100，代到式（*

24、）并整理得0 c1 100假設(shè)產(chǎn)品的利潤 50 元不變，即 c1 = 50 ，代到式（*）并整理得50 c2假若產(chǎn)品、的利潤均改變，則可直接用式（*）來判斷。假設(shè)產(chǎn)品、的利潤分別為 60 元、55 元，則2 (60 / 55) 1那么，最優(yōu)解為 z = x1 + x2 和 z = 2 x1 + x2 的交點(diǎn) x1 = 100，x2 = 200。38管理運(yùn)籌學(xué)3圖解法的靈敏度分析二、約束條件中常數(shù)項(xiàng) bj 的靈敏度分析當(dāng)約束條件中常數(shù)項(xiàng) bj 變化時(shí)，線性規(guī)劃的可行域發(fā)生變化，可能引起最優(yōu)解的變化?？紤]例 1 的情況：假設(shè)設(shè)備臺(tái)時(shí)增加 10 個(gè)臺(tái)時(shí)，即 b1 變化為 310，這時(shí)可行域擴(kuò)大，最優(yōu)

25、解為 x2 = 250 和 x1 + x2 = 310 的交點(diǎn) x1 = 60，x2 = 250。變化后的總利潤 變化前的總利潤 = 增加的利潤(50 60+ 100 250) (50 50+100 250) = 500，500 / 10 = 50（元）說明在一定范圍內(nèi)每增加（或減少）1 個(gè)臺(tái)時(shí)的設(shè)備能力就可增加（或減少）50 元利潤，這稱為該約束條件的對(duì)偶價(jià)格。39管理運(yùn)籌學(xué)3圖解法的靈敏度分析假設(shè)原料 A 增加 10 千克，即 b2 變化為 410，這時(shí)可行域擴(kuò)大，但最優(yōu)解仍為 x2 = 250 和 x1 + x2 = 300 的交點(diǎn) x1 = 50，x2 = 250。此變化對(duì)總利潤無影響

26、，該約束條件的對(duì)偶價(jià)格為 0。解釋：原最優(yōu)解沒有把原料 A 用盡，有 50 千克的剩余，因此增加 10千克只增加了庫存，而不會(huì)增加利潤。在一定范圍內(nèi)，當(dāng)約束條件中常數(shù)項(xiàng)增加 1 個(gè)單位時(shí)，（1）若約束條件的對(duì)偶價(jià)格大于 0，則其最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值得到改善（變好）；（2）若約束條件的對(duì)偶價(jià)格小于 0，則其最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值受到影響（變壞）；（3）若約束條件的對(duì)偶價(jià)格等于 0，則其最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值不變。40管理運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的計(jì)算機(jī)求解12“管理運(yùn)籌學(xué)”軟件的操作方法“管理運(yùn)籌學(xué)”軟件的輸出信息分析41管理運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃問題的計(jì)算機(jī)求解隨書軟件為“管理運(yùn)籌學(xué)”2.5 版（Windows 版），是“管理運(yùn)

27、籌學(xué)”2.0 版（Windows 版）的升級(jí)版。它包括：線性規(guī)劃、運(yùn)輸問題、整數(shù)規(guī)劃（0-1 整數(shù)規(guī)劃、純整數(shù)規(guī)劃和混合整數(shù)規(guī)劃）、目標(biāo)規(guī)劃、對(duì)策論、最短路徑、最小生成樹、最大流量、最小費(fèi)用最大流、關(guān)鍵路徑、存儲(chǔ)論、排隊(duì)論、決策分析、預(yù)測(cè)問題和層次分析法，共 15 個(gè)子模塊。42管理運(yùn)籌學(xué)1 “管理運(yùn)籌學(xué)”軟件的操作方法軟件使用演示：（演示例 1）第一步：點(diǎn)擊“開始”“程序”“管理運(yùn)籌學(xué) 2.5”，彈出主窗口，如圖 3-1 所示。圖 3-1例 1.目標(biāo)函數(shù)：max z = 50 x1 + 100 x2約束條件：s.t.x1 + x2 3002x1 + x2400 x2250 x10 x20（A

28、）（B）（C）（D）（E）43管理運(yùn)籌學(xué)1 “管理運(yùn)籌學(xué)”軟件的操作方法第二步：選擇所需子模塊，點(diǎn)擊主窗口中的相應(yīng)按鈕。本題中選用“線性規(guī)劃”方法，點(diǎn)擊按鈕彈出如圖 3-2 所示界面：圖 3-244管理運(yùn)籌學(xué)1 “管理運(yùn)籌學(xué)”軟件的操作方法第三步：點(diǎn)擊“新建”按鈕，輸入數(shù)據(jù)。本題中共有 2 個(gè)變量、3 個(gè)約束條件、目標(biāo)函數(shù)取 MAX。點(diǎn)擊“確定”后，在表中輸入 Cj ,bi 和 aij 等值，并確定變量的正負(fù)約束。輸入數(shù)值后的界面如圖 3-3 所示。在輸入中要注意以下兩點(diǎn)：輸入的系數(shù)可以是整數(shù)、小數(shù)，但不能是分?jǐn)?shù)，要把分?jǐn)?shù)先化為小數(shù)再輸入；輸入前先要合并同類項(xiàng)。圖 3-345管理運(yùn)籌學(xué)1 “管

29、理運(yùn)籌學(xué)”軟件的操作方法第四步：點(diǎn)擊“解決”按鈕，得出計(jì)算過程。計(jì)算過程界面輸出如圖 3-4 所示。圖 3-446管理運(yùn)籌學(xué)1 “管理運(yùn)籌學(xué)”軟件的操作方法第五步：關(guān)閉計(jì)算過程界面，得出輸出結(jié)果。本題的運(yùn)行結(jié)果界面如圖 3-5 所示。圖 3-5在“管理運(yùn)籌學(xué)”2.5 版軟件中，線性規(guī)劃問題的結(jié)果輸出部分增加了線性規(guī)劃的逐步運(yùn)算過程，將使讀者更容易掌握線性規(guī)劃計(jì)算的全過程，為方便軟件計(jì)算，本線性規(guī)劃使用了大 M 法以及數(shù)值分析方法。47管理運(yùn)籌學(xué)2 “管理運(yùn)籌學(xué)”軟件的輸出信息分析分析軟件輸出的信息上題中目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值是 27 500，x1=50, x2=250。相差值表示相應(yīng)的決策變量的目標(biāo)

30、系數(shù)需要改進(jìn)的數(shù)量，使得決策變量為正值，當(dāng)決策變量已為正數(shù)時(shí)，相差數(shù)為零。松弛/剩余變量的數(shù)值表示還有多少資源沒有被使用。如果為零，則表示與之相對(duì)應(yīng)的資源已經(jīng)全部使用。對(duì)偶價(jià)格表示其對(duì)應(yīng)的資源每增加一個(gè)單位，將增加多少個(gè)單位的最優(yōu)值。目標(biāo)函數(shù)系數(shù)范圍表示最優(yōu)解不變的情況下，目標(biāo)函數(shù)的決策變量系數(shù)的變化范圍。當(dāng)前值是指當(dāng)前的最優(yōu)解中的系數(shù)取值。常數(shù)項(xiàng)范圍是指約束條件的右端常量。上限值和下限值是指當(dāng)約束條件的右端常量在此范圍內(nèi)變化時(shí)，與其對(duì)應(yīng)的約束條件的對(duì)偶價(jià)格不變。當(dāng)前值是指現(xiàn)在的取值。以上計(jì)算機(jī)輸出的目標(biāo)函數(shù)系數(shù)和約束條件右端值的靈敏度分析都是在其他系數(shù)值不變，只有一個(gè)系數(shù)變化的基礎(chǔ)上得出的。

31、48管理運(yùn)籌學(xué)2 “管理運(yùn)籌學(xué)”軟件的輸出信息分析當(dāng)有多個(gè)系數(shù)變化時(shí)，需要進(jìn)一步討論。百分之一百法則：對(duì)于所有變化的目標(biāo)函數(shù)決策系數(shù)（約束條件右端常數(shù)值），當(dāng)其所有允許增加的百分比與允許減少的百分比之和不超過100%時(shí)，最優(yōu)解不變（對(duì)偶價(jià)格不變，最優(yōu)解仍是原來幾個(gè)線性方程的解）。*允許增加量 = 上限 - 現(xiàn)在值c1 的允許增加量為 100 - 50 = 50b1 的允許增加量為 325 - 300 = 25允許減少量 = 現(xiàn)在值 - 下限c2 的允許減少量為 100 - 50 = 50b3 的允許減少量為 250 - 200 = 50允許增加的百分比 = 增加量/允許增加量允許減少的百分比

32、= 減少量/允許減少量49管理運(yùn)籌學(xué)2 “管理運(yùn)籌學(xué)”軟件的輸出信息分析例如：c1 變?yōu)?74，c2 變?yōu)?78，則（74 - 50）/50 +（100 - 78）/50 = 92%，故最優(yōu)解不變。b1 變?yōu)?315，b3 變?yōu)?240，則（315 - 300）/25 +（250 - 240）/50 = 80%，故對(duì)偶價(jià)格不變（最優(yōu)解仍是原來幾個(gè)線性方程的解）。在使用百分之一百法則進(jìn)行靈敏度分析時(shí)，要注意以下幾方面。（1）當(dāng)允許增加量（允許減少量）為無窮大時(shí)，則對(duì)任意增加量（減少量），其允許增加（減少）百分比均看作零。（2）百分之一百法則是充分條件，但非必要條件；也就是說超過 100%，最優(yōu)解

33、或?qū)ε純r(jià)格并不一定變化。（3）百分之一百法則不能用于目標(biāo)函數(shù)決策變量系數(shù)和約束條件右邊常數(shù)值同時(shí)變化的情況。這種情況下，只能重新求解。50管理運(yùn)籌學(xué)2 “管理運(yùn)籌學(xué)”軟件的輸出信息分析下面用“管理運(yùn)籌學(xué)”軟件來分析第二章的例 2，其數(shù)學(xué)模型如下。目標(biāo)函數(shù)：f = 2x1 + 3 x2min約束條件：s.t.x1 +x12 x1 +x1,x2 350 125x2 600 x2 0圖 3-6從圖 3-6 可知，當(dāng)購進(jìn)原料 A 250 t，原料 B 100 t 時(shí)，購進(jìn)成本最低，為 800 萬元。51管理運(yùn)籌學(xué)2“管理運(yùn)籌學(xué)”軟件的輸出信息分析在松弛/剩余變量欄中，約束條件 2 的值為 125，它表

34、示對(duì)原料 A 的最低需求，即對(duì) A 的剩余變量值為 125；同理可知約束條件 1 的剩余變量值為 0；約束條件 3 的松弛變量值為 0。在對(duì)偶價(jià)格欄中，約束條件 3 的對(duì)偶價(jià)格為 1 萬元，也就是說如果把加工時(shí)數(shù)從 600 小時(shí)增加到 601 小時(shí)，則總成本將得到改進(jìn)，由 800萬元減少到 799 萬元。也可知約束條件 1 的對(duì)偶條件為-4 萬元，也就是說如果把購進(jìn)原料 A 和 B 的總量下限從 350t 增加到 351t，那么總成本將增加，由 800 萬元增加到 804 萬元。當(dāng)然如果減少對(duì)原料 A和 B 的總量的下限，那么總成本將得到改進(jìn)。在常數(shù)項(xiàng)范圍一欄中，知道當(dāng)約束條件 1 的常數(shù)項(xiàng)在

35、 300 到 475 范圍內(nèi)變化，且其他約束條件不變時(shí)，約束條件 1 的對(duì)偶價(jià)格不變，仍為-4；當(dāng)約束條件 2 的常數(shù)項(xiàng)在負(fù)無窮到 250 范圍內(nèi)變化，且其他約束條件的常數(shù)項(xiàng)不變時(shí)，約束條件 2 的對(duì)偶價(jià)格不變，仍為 0；當(dāng)約束條件 3 的常數(shù)項(xiàng)在 475 到 700 范圍內(nèi)變化，且其他約束條件的常數(shù)項(xiàng)不變時(shí)，約束條件 3 的對(duì)偶價(jià)格不變，仍為 1。52管理運(yùn)籌學(xué)“2 “管理運(yùn)籌學(xué)”軟件的輸出信息分析注意（1）當(dāng)約束條件中的常數(shù)項(xiàng)增加一個(gè)單位時(shí)，最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值增加的數(shù)量稱為影子價(jià)格。在求目標(biāo)函數(shù)最大值時(shí)，當(dāng)約束條件中的常數(shù)項(xiàng)增加一個(gè)單位時(shí)，目標(biāo)函數(shù)值增加的數(shù)量就為改進(jìn)的數(shù)量，此時(shí)影子價(jià)格等于對(duì)

36、偶價(jià)格；在求目標(biāo)函數(shù)最小值時(shí)，改進(jìn)的數(shù)量就是減少的數(shù)量，此時(shí)影子價(jià)格即為負(fù)的對(duì)偶價(jià)格。（2） 管理運(yùn)籌學(xué)”軟件可以解決含有 100 個(gè)變量 50 個(gè)約束方程的線性規(guī)劃問題，可以解決工商管理中大量的問題。如果想要解決更大的線性規(guī)劃問題，可以使用由芝加哥大學(xué)的 L.E.Schrage 開發(fā)的 LINDO 計(jì)算機(jī)軟件包的微型計(jì)算機(jī)版本 LINDO/PC。53管理運(yùn)籌學(xué)線性規(guī)劃在工商管理中的應(yīng)用12345人力資源分配的問題生產(chǎn)計(jì)劃的問題套裁下料問題配料問題投資問題54管理運(yùn)籌學(xué)1人力資源分配的問題例 1某晝夜服務(wù)的公交線路每天各時(shí)間段內(nèi)所需司機(jī)和乘務(wù)人員數(shù)如表 4-1 所示。表 4-1班次時(shí)間所 需

37、人 數(shù)1234566：00 10：0010：00 14：0014：00 18：0018：00 22：0022：00 2：002：00 6：00607060502030設(shè)司機(jī)和乘務(wù)人員分別在各時(shí)間段一開始時(shí)上班，并連續(xù)工作 8h，問該公交線路怎樣安排司機(jī)和乘務(wù)人員，既能滿足工作需要，又使配備最少司機(jī)和乘務(wù)人員的人數(shù)最少？55管理運(yùn)籌學(xué)1人力資源分配的問題解：設(shè) xi 表示第 i 班次時(shí)開始上班的司機(jī)和乘務(wù)人員數(shù)，這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。目標(biāo)函數(shù)：min x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6約束條件：s.t.x1 + x6 60 x1 + x2 70 x2 + x3 60 x

38、3 + x4 50 x4 + x5 20 x5 + x6 30 x1，x2，x3，x4，x5，x60*最優(yōu)解：x1=50，x2=20，x3=50，x4=0，x5=20，x6=10*一共需要司機(jī)和乘務(wù)人員 150 人。56管理運(yùn)籌學(xué)1人力資源分配的問題例 2一家中型的百貨商場(chǎng)對(duì)售貨員的需求經(jīng)過統(tǒng)計(jì)分析如表 4-2 所示。為了保證售貨員充分休息，要求售貨員每周工作五天，休息兩天，并要求休息的兩天是連續(xù)的。問應(yīng)該如何安排售貨員的休息日期，既滿足工作需要，又使配備的售貨員的人數(shù)最少？表 4-2時(shí)間所需售貨員人數(shù)星期一星期二星期三星期四星期五星期六星期日1524251931282857管理運(yùn)籌學(xué)1人力資

39、源分配的問題解：設(shè) xi ( i = 1，2，7) 表示星期一至星期日開始休息的人數(shù),這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。目標(biāo)函數(shù)：minx1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 + x7約束條件：s.t.x1 + x2 + x3 + x4 + x5 28x2 + x3 + x4 + x5 + x6 15x3 + x4 + x5 + x6 + x7 24x4 + x5 + x6 + x7 + x1 25x5 + x6 + x7 + x1 + x2 19x6 + x7 + x1 + x2 + x3 31x7 + x1 + x2 + x3 + x4 28x1，x2，x3，x4，x5，x6，x

40、7 0*最優(yōu)解：x1=12，x2=0，x3=11，x4=5，x5=0，x6=8，x7=0*我們可以配備 36 個(gè)售貨員，使目標(biāo)函數(shù)最小。58管理運(yùn)籌學(xué)1人力資源分配的問題往往一些服務(wù)行業(yè)的企業(yè)對(duì)人力資源的需求一周內(nèi)像例 4-2所描述的那樣變化，而每天的各時(shí)間段的需求又往往像例 4-1 描述的那樣變化，在保證工作人員每天工作 8 h，每周休息兩天的情況下，如何安排能使人員的編制最小呢？59管理運(yùn)籌學(xué)2生產(chǎn)計(jì)劃的問題例 3某公司面臨一個(gè)是外包協(xié)作還是自行生產(chǎn)的問題。該公司生產(chǎn)甲、乙、丙三種產(chǎn)品，這三種產(chǎn)品都需要經(jīng)過鑄造、機(jī)加工和裝配三道工序。甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄件可以外包協(xié)作，亦可以自行生產(chǎn)，但產(chǎn)品

41、丙必須本廠鑄造才能保證質(zhì)量。數(shù)據(jù)如表 4-3 所示。問：公司為了獲得最大利潤，甲、乙、丙三種產(chǎn)品各生產(chǎn)多少件？甲、乙兩種產(chǎn)品的鑄造中，由本公司鑄造和外包協(xié)作各應(yīng)多少件？表 4-3甲乙丙資 源 限 制8 00012 00010 000鑄造工時(shí)（小時(shí)/件）機(jī)械加工工時(shí)（小時(shí)/件）裝配工時(shí)（小時(shí)/件）自產(chǎn)鑄件成本（元/件）外協(xié)鑄件成本（元/件）機(jī)械加工成本（元/件）裝配成本（元/件）產(chǎn)品售價(jià)（元/件）56335232310425612187824-321660管理運(yùn)籌學(xué)2生產(chǎn)計(jì)劃的問題解：設(shè) x1，x2，x3 分別為三道工序都由本公司加工的甲、乙、丙三種產(chǎn)品的件數(shù)，x4,x5 分別為由外包協(xié)作鑄造再

42、由本公司進(jìn)行機(jī)械加工和裝配的甲、乙兩種產(chǎn)品的件數(shù)。每件產(chǎn)品的利潤如下：產(chǎn)品甲全部自制的利潤產(chǎn)品甲鑄造外協(xié)，其余自制的利潤產(chǎn)品乙全部自制的利潤產(chǎn)品乙鑄造外協(xié)，其余自制的利潤產(chǎn)品丙的利潤=23-(3+2+3)=15 元=23-(5+2+3)=13 元=18-(5+1+2)=10 元=18-(6+1+2)=9 元=16-(4+3+2)=7 元可得到 xi （i = 1,2,3,4,5）的利潤分別為 15 元、10 元、7 元、13 元、9 元。61管理運(yùn)籌學(xué)2生產(chǎn)計(jì)劃的問題通過以上分析,可建立如下的數(shù)學(xué)模型。目標(biāo)函數(shù)：max15x1 + 10 x2 + 7x3 + 13x4 + 9x5約束條件：s.

43、t.5x1 + 10 x2 + 7x3 8 0006x1 +3x1 +4x2 + 8x3 +2x2 + 2x3 +6x4 + 4x5 12 0003x4 + 2x5 10 000 x1,x2,x3,x4,x5 0*該公司的最大利潤為 29 400 元*最優(yōu)的生產(chǎn)計(jì)劃為全部由自己生產(chǎn)的產(chǎn)品甲 1 600 件，鑄造工序外包而其余工序自行生產(chǎn)的產(chǎn)品乙 600 件。62管理運(yùn)籌學(xué)2生產(chǎn)計(jì)劃的問題例 4永久機(jī)械廠生產(chǎn)、三種產(chǎn)品，均要經(jīng)過 A、B 兩道工序加工。設(shè)有兩種規(guī)格的設(shè)備 A1、A2 能完成 A 工序；有三種規(guī)格的設(shè)備 B1、B2、B3 能完成 B 工序。產(chǎn)品可在 A、B 的任何規(guī)格的設(shè)備上加工；

44、產(chǎn)品可在工序 A 的任何一種規(guī)格的設(shè)備上加工，但對(duì) B 工序，只能在 B1 設(shè)備上加工；產(chǎn)品只能在 A2 與 B2 設(shè)備上加工。數(shù)據(jù)如表 4-4 所示。問：為使該廠獲得最大利潤，應(yīng)如何制定產(chǎn)品加工方案？表 4-4設(shè)備A1A257產(chǎn)品單件工時(shí)10912設(shè)備的有效臺(tái)時(shí)6 00010 000滿負(fù)荷時(shí)的設(shè)備費(fèi)用3003214 0007 0004 000250783200B1B2B3原料（元/件）售價(jià)（元/件）6470.251.2580.352.00110.502.8063管理運(yùn)籌學(xué)2生產(chǎn)計(jì)劃的問題解：設(shè) xijk 表示第 i 種產(chǎn)品，在第 j 種工序上的第 k 種設(shè)備上加工的數(shù)量。建立如下的數(shù)學(xué)模型。

45、s.t.5x111 + 10 x211 6 000（設(shè)備 A1）9x212 + 12x3128x221+ 11x3227x112 +6x121 +4x1227x123 10 000 4 000 7 000 4 000（設(shè)備 A2）（設(shè)備 B1）（設(shè)備 B2）（設(shè)備 B3）x111+ x112- x121- x122- x123 = 0（產(chǎn)品在 A、B 工序加工的數(shù)量相等）x211+ x212- x221= 0（產(chǎn)品在 A、B 工序加工的數(shù)量相等）x312- x322= 0（產(chǎn)品在 A、B 工序加工的數(shù)量相等）xijk 0 , i = 1，2，3； j = 1，2；k = 1，2，364管理運(yùn)籌

46、學(xué)2生產(chǎn)計(jì)劃的問題目標(biāo)函數(shù)為計(jì)算利潤最大化，利潤的計(jì)算公式為：利潤 = （銷售單價(jià) 原料單價(jià)） 產(chǎn)品件數(shù)之和 （每臺(tái)時(shí)的設(shè)備費(fèi)用 設(shè)備實(shí)際使用的總臺(tái)時(shí)數(shù)）之和。這樣得到目標(biāo)函數(shù)：max (1.250.25) (x111+x112) + (20.35) (x211+x212) + (2.800.5) x312 300/6 000(5x111+10 x211) -321/10 000 (7x112+9x212+12x312)-250/4 000(6x121+8x221)-783/7 000(4x122+11x322)-200/4 000(7x123).經(jīng)整理可得：max0.75x111+0.775

47、 3x112+1.15x211+1.361 1x212+1.914 8x312-0.375x121-0.5x221-0.447 4x122-1.230 4x322-0.35x123*該廠的最大利潤為 1 146.600 5 元。653套裁下料問題例 5.某工廠要做 100 套鋼架，每套用長為 2.9 m，2.1 m，1.5 m 的圓鋼各一根。已知原料每根長 7.4 m，問：應(yīng)如何下料，可使所用原料最??？解：共可設(shè)計(jì)下列 8 種下料方案，如表 4-5 所示。表 4-52.92.11.5合計(jì)/m料頭/m1037.402017.30.10227.20.21207.10.30136.60.81116.

48、50.90306.31.100461.4設(shè) x1, x2, x3, x4, x5, x6 , x7 , x8 分別為上面 8 種方案下料的原材料根數(shù)。這樣我們建立如下的數(shù)學(xué)模型。目標(biāo)函數(shù)：minx1 +x2 + x3 + x4 + x5 + x6 +x7 + x8約束條件：s. t.x1 + 2x2+ x4+ x6 1002x3 + 2x4 + x5 +x6+3x7 1003x1+x2 +2x3 + 3x4+ x6+ 4x8 100 x1,管x2,理運(yùn)x3,籌x4, x5,學(xué)x6,x7, x8 066管理運(yùn)籌學(xué)3套裁下料問題用管理運(yùn)籌學(xué)軟件計(jì)算得出最優(yōu)下料方案：按方案 1 下料 30 根；按方

49、案 2 下料 10 根；按方案 4 下料 50 根。即x1=30;x2=10；x3=0；x4=50；x5=0；x6= x7= x8=0只需 90 根原材料就可制造出 100 套鋼架。注意：在建立此類型數(shù)學(xué)模型時(shí)，約束條件用大于等于號(hào)比用等于號(hào)要好。因?yàn)橛袝r(shí)在套用一些下料方案時(shí)可能會(huì)多出一根某種規(guī)格的圓鋼，但它可能是最優(yōu)方案。如果用等于號(hào)，這一方案就不是可行解了。67管理運(yùn)籌學(xué)3套裁下料問題若可能的下料方案太多，可以先設(shè)計(jì)出較好的幾個(gè)下料方案。首先要求每個(gè)方案下料后的料頭較短；其次方案總體能裁下所有各種規(guī)格的圓鋼，且不同方案有著不同的各種所需圓鋼的比。這樣套裁即使不是最優(yōu)解，也是次優(yōu)解，也能滿足

50、要求并達(dá)到省料目的。如我們用前 5 種下料方案供套裁用，進(jìn)行建模求解，也可得到上述最優(yōu)解。68管理運(yùn)籌學(xué)3套裁下料問題像例 5 那樣在一個(gè)給定長度的原料上裁出不同長度的產(chǎn)品，是一個(gè)線裁問題；如果在一個(gè)一給定形狀的面積上，裁出不同形狀的產(chǎn)品，這是一個(gè)面裁問題，當(dāng)然類似地還有體裁問題。例 5 告訴我們用套裁下料的方法解決線裁優(yōu)化的問題，是否可以推廣到面裁、體裁呢。答案是肯定的，我們只要像例 5 那樣，設(shè)計(jì)出一些較好的下料方案，然后用類似的線性規(guī)劃模型，即可解決這些問題。69管理運(yùn)籌學(xué)4例 6某工廠要用三種原料配 料 問 題表 4-61、2、3 混合調(diào)配出三種不同規(guī)格的產(chǎn)品甲、乙、丙，數(shù)據(jù)如表4-6

51、 和表 4-7 所示。問：該廠應(yīng)如何安排生產(chǎn)，使利潤最大？解：設(shè) xij 表示第 i 種（甲、乙、丙）產(chǎn)品中原料 j 的含量。這樣我們建立數(shù)學(xué)模型時(shí)，要考慮：表 4-7對(duì)于甲：x11，x12，x13；對(duì)于乙：x21，x22，x23；對(duì)于丙：x31，x32，x33；對(duì)于原料 1：x11，x21，x31；對(duì)于原料 2：x12，x22，x32；對(duì)于原料 3：x13，x23，x33；目標(biāo)函數(shù)：利潤最大，利潤 = 收入 原料支出約束條件：規(guī)格要求 4 個(gè)；供應(yīng)量限制 3 個(gè)。產(chǎn)品名稱甲乙丙規(guī)格要求原材料 1 不少于 50%，原材料 2 不超過 25%原材料 1 不少于 25%，原材料 2 不超過 50%

52、不限單價(jià)（元/kg）503525原材料名稱 每天最多供應(yīng)量1 1002 1003 60單價(jià)（元/kg）65253570管理運(yùn)籌學(xué)4配 料 問 題利潤=總收入-總成本=甲、乙、丙三種產(chǎn)品的銷售單價(jià) 產(chǎn)品數(shù)量甲、乙、丙使用的原料單價(jià) 原料數(shù)量。故有：目標(biāo)函數(shù)：max50（x11+x12+x13）+35（x21+x22+x23）+25（x31+x32+x33）65（x11+x21+x31）25（x12+x22+x32）35（x13+x23+x33）= 15x11+25x12+15x1330 x21+10 x2240 x3110 x33約束條件：從表 4-6 中可知x110.5（x11+x12+x13

53、）x120.25（x11+x12+x13）x210.25（x21+x22+x23）x220.5（x21+x22+x23）71管理運(yùn)籌學(xué)4配 料 問 題從表 4-7 中可知，生產(chǎn)甲、乙、丙的原材料不能超過原材料的供應(yīng)限額，故有x11+x21+x31100 x12+x22+x32100 x13+x23+x336072管理運(yùn)籌學(xué)4配 料 問 題通過整理，得到以下模型：目標(biāo)函數(shù)：max z = -15x11+25x12+15x13-30 x21+10 x22-40 x31-10 x33約束條件：s.t.0.5 x11-0.5x12 -0.5 x13 0（原材料 1 不少于 50%）-0.25x11+0

54、.75 x12 -0.25 x13 0（原材料 2 不超過 25%）0.75x21-0.25 x22 -0.25 x23 0（原材料 1 不少于 25%）-0.5 x21+0.5x22 -0.5 x23 0（原材料 2 不超過 50%）x11+x12+x13+x21 +x22 +x23 +x31 100 x32 100 x33 60（供應(yīng)量限制）（供應(yīng)量限制）（供應(yīng)量限制）xij 0 ,（i = 1,2,3; j = 1,2,3）73管理運(yùn)籌學(xué)4配 料 問 題例 7線性規(guī)劃的計(jì)算機(jī)解為 x11 = 100，x12 = 50，x13 = 50，其余的 xij = 0，也就是說每天只生產(chǎn)產(chǎn)品甲 2

55、00 kg，分別需要用第 1 種原料 100 kg，第 2 種原料 50 kg，第 3 種原料 50 kg。74管理運(yùn)籌學(xué)4配 料 問 題例 8汽油混合問題。一種汽油的特性可用兩種指標(biāo)描述，用“辛烷數(shù)”來定量描述其點(diǎn)火特性，用“蒸汽壓力”來定量描述其揮發(fā)性。某煉油廠有 1、2、3、4 的 4種標(biāo)準(zhǔn)汽油，其特性和庫存量列于表 4-8 中，將這四種標(biāo)準(zhǔn)汽油混合，可得到標(biāo)號(hào)為1、2 的 2 種飛機(jī)汽油，這兩種汽油的性能指標(biāo)及產(chǎn)量需求列于表 4-9 中。問應(yīng)如何根據(jù)庫存情況適量混合各種標(biāo)準(zhǔn)汽油，既滿足飛機(jī)汽油的性能指標(biāo)，又使 2 號(hào)飛機(jī)汽油滿足需求，并使得 1 號(hào)飛機(jī)汽油產(chǎn)量最高？表 4-8辛數(shù)標(biāo) 準(zhǔn)

56、 汽 油1234烷107.593.087.0108.0蒸汽壓力(g/cm2)7.1110211.381025.6910228.45102庫存量(L)380 000265 200408 100130 100表 4-9飛 機(jī) 汽 油辛烷數(shù)蒸汽壓力(g/cm2)產(chǎn)量需求（L）12不小于 91不小于 100不大于 9.96102不大于 9.96102越多越好不少于 250 00075管理運(yùn)籌學(xué)4配 料 問 題解：設(shè) xij 為飛機(jī)汽油 i 中所用標(biāo)準(zhǔn)汽油 j 的數(shù)量(L)。目標(biāo)函數(shù)為飛機(jī)汽油 1 的總產(chǎn)量： x11 + x12 + x13 + x14庫存量約束為： x11 + x21 380 000

57、x12 + x22 265 200 x13 + x23 408100 x14 + x24 130100產(chǎn)量約束為飛機(jī)汽油 2 的產(chǎn)量： x21 + x22 + x23 + x24 250 000nj =12.85 x11 1.42 x12 + 4.27 x13 18.49 x14 02.85 x21 1.42 x22 + 4.27 x23 18.49 x24 0同樣可得有關(guān)辛烷數(shù)的約束條件為：16.5x11 + 2.0 x12 4.0 x13 + 17.0 x14 07.5x21 7.0 x22 13.0 x23 + 8.0 x24 0 x11 + x21 x12 + x22 265 200

58、x + x 130100 2.85x21 1.42 x22 + 4.27 x23 18.49 x24 016.5x + 2 x 4 x + 17 x 0 x 0,(i = 1,2; j = 1,2,3,4)76管理運(yùn)籌學(xué)4配 料 問 題綜上所述，得該問題的數(shù)學(xué)模型為：maxx11 + x12 + x13 + x14 x21 + x22 + x23 + x24 250 000 380 000 x13 + x23 408100 14 24 2.85x11 1.42 x12 + 4.27 x13 18.49 x14 011 12 13 14 7.5x21 7 x22 13x23 + 8x24 0 i

59、js. t.77管理運(yùn)籌學(xué)4配 料 問 題由管理運(yùn)籌學(xué)軟件求解得：max x11 + x12 + x13 + x14 = 933 399.938x11 = 261966.078x12 = 265 200 x13 = 315 672.219x14 = 90 561.688x21 = 118 033.906x22 = 0 x23 = 92 427.758x24 = 39 538.30978管理運(yùn)籌學(xué)5投 資 問 題例 9 某部門現(xiàn)有資金 200 萬元，今后五年內(nèi)考慮給以下的項(xiàng)目投資。項(xiàng)目 A：從第一年到第五年每年年初都可投資，當(dāng)年末能收回本利 110%；項(xiàng)目 B：從第一年到第四年每年年初都可投資，

60、次年末能收回本利 125%，但規(guī)定每年最大投資額不能超過 30 萬元；項(xiàng)目 C：第三年年初需要投資，第五年末能收回本利 140%，但規(guī)定最大投資額不能超過 80 萬元；項(xiàng)目 D：第二年年初需要投資，第五年末能收回本利 155%，但規(guī)定最大投資額不能超過 100 萬元。據(jù)測(cè)定每次投資 1 萬元的風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)如右表 4-10 所示問：表 4-10項(xiàng)目ABCD風(fēng)險(xiǎn)指數(shù)（次/萬元）1345.5（1）應(yīng)如何確定這些項(xiàng)目每年的投資額，使得第五年年末擁有資金的本利金額最大？（2）應(yīng)如何確定這些項(xiàng)目每年的投資額，使得第五年年末擁有資金的本利在 330萬元的基礎(chǔ)上總的風(fēng)險(xiǎn)系數(shù)最小？79管理運(yùn)籌學(xué)5投 資 問 題解（