多目標(biāo)優(yōu)化（PPT39頁)

1、建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的有關(guān)問題數(shù)學(xué)模型中的尺度變換多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化設(shè)計關(guān)于離散變量的優(yōu)化設(shè)計問題優(yōu)化方法的選擇及評價準(zhǔn)則第七章 關(guān)于機械優(yōu)化設(shè)計當(dāng)中的 幾個問題1優(yōu)化數(shù)學(xué)模型總體包含：設(shè)計變量，目標(biāo)函數(shù)，約束條件7.1.1關(guān)于設(shè)計變量的確定 工程設(shè)計中總是包含許多各種設(shè)計參數(shù)。在確定設(shè)計變量時，要對各種參數(shù)加以分析，以進(jìn)行取舍。 設(shè)計變量必須是獨立變量。要從優(yōu)互相依賴關(guān)系的變量中剔除非獨立變量。7.1建立優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的有關(guān)問題2 下圖所示為汽車前輪轉(zhuǎn)向梯形機構(gòu)。 等腰梯形機構(gòu)ABCD中，給定機架長度LAD=a（常數(shù)）。當(dāng)汽車轉(zhuǎn)彎時，為了保證所有車輪都處于純滾動，要求從動件CD轉(zhuǎn)角 與主動件AB轉(zhuǎn)角

2、保持某確定關(guān)系 該四桿機構(gòu)的參數(shù)有各桿長度：l1,l2,l3,l4，和初始角 其中l(wèi)4=a為已知，是設(shè)計常量；又l1=l3，l3為非獨立變量；又 ，l2是l1與 的函數(shù)，故l2也為非獨立變量。所以只有兩個參數(shù)是獨立變量3 設(shè)計變量愈多,維數(shù)愈高，設(shè)計的自由度越大，容易得到較理想的優(yōu)化結(jié)果；但維數(shù)越高，會使目標(biāo)函數(shù)，約束函數(shù)所包含的變量增多，導(dǎo)致計算量增大，并使優(yōu)化過程更為復(fù)雜及降低解題的效率。所以，在建立目標(biāo)函數(shù)時，確定設(shè)計變量的原則是在滿足設(shè)計要求得前提下，將盡可能減少設(shè)計變量的個數(shù)，即降低維數(shù)。 按設(shè)計問題維數(shù)的大小，通常把優(yōu)化設(shè)計問題規(guī)模分為三類：小型優(yōu)化問題：維數(shù)2-10中型優(yōu)化問題：

3、維數(shù)10-50大型優(yōu)化問題：維數(shù)50以上47.1.2關(guān)于目標(biāo)函數(shù)的建立 優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型中的目標(biāo)函數(shù)F（x），是以設(shè)計變量表示設(shè)計問題所追求的某一種或幾種性能指標(biāo)的解析表達(dá)式，用它來評價設(shè)計方案的優(yōu)劣程度。通常，設(shè)計所追求的性能指標(biāo)較多，建立目標(biāo)函數(shù)，要針對影響質(zhì)量和性能最為重要的，最顯著的指標(biāo)作為設(shè)計追求的根本目標(biāo)寫入目標(biāo)函數(shù)。所建立的目標(biāo)函數(shù)一般分為：單目標(biāo)函數(shù)，多目標(biāo)函數(shù) 一般的，所包含的分目標(biāo)函數(shù)越多，設(shè)計結(jié)果越完善，但設(shè)計求解的難度增大。因此，在實際設(shè)計中，在滿足設(shè)計性能要求的前提下，應(yīng)盡量減少分目標(biāo)函數(shù)的個數(shù)。57.1.3關(guān)于約束條件問題 設(shè)計約束是在設(shè)計中對設(shè)計變量所提出的種種限

4、制來確定的。約束條件表達(dá)式同常有顯性約束與隱性約束；不等式約數(shù)與等式約束；邊界約束與性能約束等。 在設(shè)計中應(yīng)盡量減少約束條件的個數(shù)。在眾多約束條件中，可能存在消極約束，所謂消極約束是指在某些約束得到滿足時，而有另一個或幾個約束必然得到滿足，其作用被覆蓋，被覆蓋了作用的約束稱為消極約束。如果經(jīng)分析能確認(rèn)是消極約束，在建立數(shù)學(xué)模型時，應(yīng)將其除掉。在一般情況下，消極約束是不容易識別出來的。所以，在很多時候，仍是將全部約束都列出來，不加區(qū)別的代進(jìn)算法程序中求解計算。67.2.1數(shù)學(xué)模型中的尺度變換 數(shù)學(xué)模型中的尺度變換問題，是指用過改變在設(shè)計空間中個坐標(biāo)分量的比例，以改善數(shù)學(xué)性態(tài)的一種辦法。7.2.1

5、設(shè)計變量的尺度變換7.2.2約束條件的尺度變換7.2.3目標(biāo)函數(shù)的尺度變換77.3多目標(biāo)函數(shù)優(yōu)化問題 在設(shè)計中，優(yōu)化設(shè)計方案的好壞僅依賴于一項設(shè)計指標(biāo)，即所建立的目標(biāo)函數(shù)僅含一個目標(biāo)的函數(shù)，這樣的目標(biāo)函數(shù)稱為單目標(biāo)函數(shù)，屬于單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題。 在許多實際設(shè)計中，一個設(shè)計方案又企望有幾項設(shè)計指標(biāo)同時都達(dá)到最優(yōu)值，這種在優(yōu)化設(shè)計中同時要求兩項極其以上設(shè)計指標(biāo)達(dá)到最優(yōu)值得問題，成為多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計，目標(biāo)函數(shù)稱為多目標(biāo)函數(shù)。87.3.1多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計數(shù)學(xué)模型 優(yōu)化設(shè)計中，若有m個設(shè)計指標(biāo)表達(dá)的目標(biāo)函數(shù)要求同時達(dá)到最優(yōu)，則表示為上式稱為向量目標(biāo)函數(shù)，是多目標(biāo)函數(shù)；式中的f1(x),f2(x),，fm(x

6、)稱為目標(biāo)函數(shù)中的各分目標(biāo)函數(shù)。9數(shù)學(xué)模型的一般表達(dá)式gu(x) 0 (u=1,2,，p)hv(x)=0 (v=1,2，qn) 為了與單目標(biāo)優(yōu)化問題相區(qū)別，在目標(biāo)函數(shù)前加V，即表示為107.3.2多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計的概念 在單目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計中，對于各種性態(tài)函數(shù)，總可以通過對迭代點函數(shù)值的比較，找出全局最優(yōu)解，對任意兩個解都能判斷其優(yōu)劣。而多目標(biāo)函數(shù)問題與單目標(biāo)則有根本區(qū)別，任意兩個解之間，就不一定能判斷出優(yōu)劣。1絕對最優(yōu)解定義一：一般表達(dá)式多目標(biāo)設(shè)計優(yōu)化問題，若包括所有的J=1，2，m對于任意的設(shè)計點xD都有 fj(x) fj(x*)成立，則點x*是多目標(biāo)優(yōu)化問題的絕對最優(yōu)解。11無約束一維多目標(biāo)優(yōu)

7、化設(shè)計問題(維數(shù)n=1，分目標(biāo)m=2)x*為絕對最優(yōu)解得迭代點，絕對最優(yōu)解（x*，F(xiàn)*）約束一維多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計解的情況。在可行域0，1中，絕對最優(yōu)解發(fā)生在x*=1處。存在絕對最優(yōu)解（x*，F(xiàn)*）n=2m=2約束多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計解的情況，點x*為最優(yōu)點。122有效解（非裂解）與劣解定義二：對于一般表達(dá)式，若有設(shè)計點xD，不存在任意的xD，使F(x) F(x*)成立，或fj(x) fj(x*)，對于所有的j=1，2，m成立。則稱x*為有效解或非劣解。例7.1 一個二維分目標(biāo)（n=1，m=2）的多目標(biāo)優(yōu)化問題為D：13見右下圖。取x=b，該點是有效解。因為在可行域D內(nèi)，任取另一點X，不存在F(x) F

8、(b)，即f1(x) f1(b)，又同時有f2(x) f2(b)。x=b點滿足有效解定義。同理，區(qū)間1，2中的任意一點都滿足有效解定義。所以，區(qū)間1，2組成了有效解（非劣解）集。14定義三：在可行域D內(nèi)，除絕對最優(yōu)解與有效解集以外，部分的設(shè)計點均稱劣解點，劣解點的全部稱為劣解集。例7.2一個二維分目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題。D：見右圖，在可行域0，4內(nèi)，區(qū)間1，3為有效解集；0，1，3，4為劣解集。15例7.3二維（n=2）兩個分目標(biāo)（m=2）優(yōu)化問題。分目標(biāo)函數(shù)為f1(x),f2(x)，可行域D目標(biāo)函數(shù)等值線見右下圖。該優(yōu)化問題不存在絕對最優(yōu)解，可行域D邊界上一段曲線A1至A2為有效解集，在可

9、行域的其余部分全部構(gòu)成劣解集。將其映射到目標(biāo)函數(shù)構(gòu)成空間圖(b)，曲線A1A2與Q1Q2對應(yīng)，一些目標(biāo)函數(shù)值比較小的解集在曲線Q1Q2上，為有效集。163最終解（選好解） 從有效解中選出最終解或稱選好解。如無某種要求，一般從有效解集（A1A2曲線或Q1Q2曲線）中任選一點，都可作為最終解；有時，設(shè)計者要根據(jù)設(shè)計問題的不同要求與意愿，從中選出一個符合某種要求“滿意”的解作為最終解。177.3.3多目標(biāo)優(yōu)化問題的求解方法 多目標(biāo)優(yōu)化求解方法大體分為兩大類。 其一是將多目標(biāo)優(yōu)化問題化為一系列單目標(biāo)優(yōu)化問題求解；另一是將多目標(biāo)優(yōu)化問題重新構(gòu)造成一個新的函數(shù)，即評價函數(shù)，從而將多目標(biāo)優(yōu)化求解轉(zhuǎn)變?yōu)榍笤u價

10、目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解。一，寬容分層序列法 該方法的基本思想是將18中的m個目標(biāo)函數(shù)按工程中某種意義分清主次，按重要程度逐一排隊，重要的目標(biāo)函數(shù)排在前面，然后依次對分目標(biāo)函數(shù)求各自的最優(yōu)解，只是最后一個目標(biāo)函數(shù)求優(yōu)應(yīng)在前一個目標(biāo)最優(yōu)解的集合域內(nèi)求優(yōu)。但由于分目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解常常是唯一的，其最優(yōu)解域的集合只有一個設(shè)計點那么求下一個目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)解就無意義了。 為了使分層序列法不是去在有效解中秋最終解（選好解）的功能，則將各目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)值給與放寬，使在后一個分目標(biāo)函數(shù)求優(yōu)時，能在前一個最優(yōu)值附近的某一范圍內(nèi)求優(yōu)。具體做法如下：19 對一般表達(dá)式的多目標(biāo)優(yōu)化設(shè)計問題，給各分目標(biāo)函數(shù)最優(yōu)值的寬容量分別是

11、則寬容分層序列法的步驟如下m求解得到最優(yōu)解20上式也可寫為求解得到最優(yōu)解i=1，2，m-1取最后一個目標(biāo)函數(shù)的最優(yōu)點 作為多目標(biāo)優(yōu)化問題的最優(yōu)點x*。即21二，線形加權(quán)法 線形加權(quán)法又稱線形組合法，它是處理多目標(biāo)優(yōu)化問題常用的較簡單的一種方法。 按各分函數(shù)的重要程度，對應(yīng)的選擇一組加權(quán)系數(shù)1，2，m。其界線為（j=1，2，m）用fj(x)與j(x)（j=1，2，m）的線形組合構(gòu)成一個評價函數(shù)22求新的評價函數(shù)最優(yōu)解，即gu(x) 0 hv(x)=0 D：x*即將一般式的單多目標(biāo)優(yōu)化問題轉(zhuǎn)化成求上式的單目標(biāo)優(yōu)化問題23 關(guān)于確定一組合理的加權(quán)系數(shù)j（j=1，2，m），希望能準(zhǔn)確的反映各目標(biāo)函數(shù)在

12、整個多目標(biāo)優(yōu)化問題中的重要程度，它是一個困難且較復(fù)雜的問題，如果取得合理，則可以達(dá)到預(yù)期優(yōu)化的目的，否則有可能造成計算謬誤而失敗。目前，確定加權(quán)系數(shù)有的是設(shè)計者評設(shè)計經(jīng)驗直接給定，也有用試算統(tǒng)計計算。（j=1，2，m） 其中， （j=1，2，m）即分目標(biāo)在可行域內(nèi)的最優(yōu)目標(biāo)函數(shù)值。式中的 反映了各分目標(biāo)函數(shù)離開各自最優(yōu)值得程度。24三，理想點法 多目標(biāo)優(yōu)化問題的一般式中，先求出各分目標(biāo)函數(shù)在可行域D內(nèi)的最優(yōu)解 （j=1，2，m）最有函數(shù)值向量 上式稱為理想解。 如果在本問題不存在絕對最優(yōu)解的情況下，對于向量目標(biāo)函數(shù) 來說理想解似得不到的；但要力求使各分目標(biāo)僅可能接近各自的理想值，則可以認(rèn)為達(dá)到

13、有效解中的選好解。 25 在實際的設(shè)計中，也常常按照設(shè)計者的經(jīng)驗與期望制定出一個合理的各分目標(biāo)函數(shù)值構(gòu)成理想解將 與 在寫法上統(tǒng)一為 ，在構(gòu)造設(shè)計方案與理想解之間的離差函數(shù)U(x),U(x)函數(shù)可取以下形式相對離差加權(quán)相對離差26平方和加權(quán)離差絕對值離差將式 中的多目標(biāo)函數(shù)構(gòu)造出以上幾式的單目標(biāo)函數(shù)作為評價函數(shù)，用評價目標(biāo)函數(shù)的解作為原多目標(biāo)優(yōu)化問題的最終解。其表達(dá)式為gu(x) 0hv(x)=0 D：27四，乘除法 該方法適于處理下面問題。按分目標(biāo)函數(shù)的性質(zhì)可分為兩類，兩類的期望相反。其中的一類是表現(xiàn)目標(biāo)函數(shù)值越小越好，如追求體重輕，結(jié)構(gòu)緊湊，原材料消耗少，加工成本和加工費低，磨損量和應(yīng)力小

14、等；另外一類表現(xiàn)為目標(biāo)函數(shù)值越大越好，如產(chǎn)品產(chǎn)量，機械效率，零件強度及剛度，利潤，承載能力等。建議如下構(gòu)造評價函數(shù)：其中，s(sm)為第一類函數(shù)，(分目標(biāo)函數(shù)期望取小)28如果有兩個分目標(biāo)函數(shù)f1(x),f2(x)期望maxf1(x),minf2(x)。如下圖所示過域Df內(nèi)的任一通過原點o的直線oA，它的斜率為當(dāng) 時，即直線oA移到與域Df邊界的左方相切，切點為Q，點Q對應(yīng)的函數(shù)值 即為乘除法求得的選好解29五，協(xié)調(diào)曲線法 這種方法是用來解決設(shè)計目標(biāo)互相矛盾的多目標(biāo)設(shè)計優(yōu)化問題，為求最終解須對一般式個分目標(biāo)函數(shù)加以協(xié)調(diào)，以求在有效解集中求出選好解，作為多目標(biāo)優(yōu)化問題的最終解。 現(xiàn)以兩個分目標(biāo)函

15、數(shù)組成的多目標(biāo)優(yōu)化問題為例。30兩分目標(biāo)的最優(yōu)點分別在A1及A2，它們的分目標(biāo)函數(shù)值為A1點A2點在可行域D內(nèi)任取一點B，其分目標(biāo)函數(shù)值為當(dāng)固定 ，極小化f1(x)的可行域邊界點C，C點的分目標(biāo)函數(shù)值為當(dāng)固定 ，極小化f2(x)的可行域邊界點C，C點的分目標(biāo)函數(shù)值為31 可見，C，D兩點都優(yōu)于B點，在CD曲線上任選一點代表的方案至少有一個目標(biāo)函數(shù)值的到改善，所以CD曲線上任一點都優(yōu)于B點。曲線A1CDA2代表著有效解的解集，故稱此曲線為協(xié)調(diào)曲線。選好解（最終解）應(yīng)從協(xié)調(diào)曲線上選取。 為從協(xié)調(diào)曲線上確定選好解，再以f1(x),f2(x)為坐標(biāo)建立一個新的坐標(biāo)系，見前面圖2。將圖1的協(xié)調(diào)曲線轉(zhuǎn)換到

16、新的坐標(biāo)系中，對應(yīng)關(guān)系為A1-Q1，C-G，D-H，A2-Q2，則將A1CDA2曲線轉(zhuǎn)換到2圖中的Q1GHQ2曲線。 為在協(xié)調(diào)曲線上確定一個選好解，一般需另外一項指標(biāo)，為此在2圖中畫出滿意曲線，隨著滿意程度的增加可使分目標(biāo)函數(shù)值均有所下降，直到o點，此點是從協(xié)調(diào)曲線上得出的最滿意設(shè)計方案。分目標(biāo)函數(shù)值為32 如何確定滿意函數(shù)或滿意曲線，要按工程實際情況，很多時候是依設(shè)計者的實踐經(jīng)驗而設(shè)置；也可以根據(jù)實驗數(shù)據(jù)而定。必要時對分目標(biāo)函數(shù)實行線形加權(quán)。 協(xié)調(diào)曲線法適合分目標(biāo)追求出現(xiàn)矛盾情況。要在有效解集中找出最滿意的設(shè)計方案。在優(yōu)化過程中，有時為了某個具有較差值的分目標(biāo)也能達(dá)到較為理想，則要增大其他分

17、目標(biāo)函數(shù)值為代價，其主要思想是對各分目標(biāo)函數(shù)進(jìn)行協(xié)調(diào)，互相之間做出讓步，最終取得一個工程實際能認(rèn)可的滿意方案。 對于兩個以上的分目標(biāo)的多目標(biāo)優(yōu)化問題，所畫的協(xié)調(diào)曲線就變成多維抽象空間的超曲面，不可能用圖形來表示，則只能按數(shù)學(xué)模型由計算機自動處理。337.4關(guān)于離散變量的優(yōu)化設(shè)計問題7.4.1離散變量優(yōu)化設(shè)計的基本概念7.4.2離散變量優(yōu)化方法簡介湊整法網(wǎng)格法離散復(fù)合型法離散型懲罰函數(shù)法347.5優(yōu)化方法的選擇及評價準(zhǔn)則7.5.1選擇優(yōu)化方法需考慮的問題 對優(yōu)化設(shè)計問題，在建立了數(shù)學(xué)模型之后，就要選擇一個恰當(dāng)?shù)姆椒?，來進(jìn)行最優(yōu)解得求解。目前，一般的做法是由設(shè)計者根據(jù)實際優(yōu)化設(shè)計問題的特點，在對各

18、種優(yōu)化方法按評價準(zhǔn)則所作的優(yōu)缺點介紹，結(jié)合已有的一些經(jīng)驗來適當(dāng)?shù)倪x取算法。 根據(jù)優(yōu)化問題的特點，恰當(dāng)?shù)倪x擇優(yōu)化方法是一個很重要的問題。下面就優(yōu)化問題數(shù)學(xué)模型方面要考慮的一些因素分述如下：35數(shù)學(xué)模型的類型 包括以下幾個方面：是有約束還是無約束，如有約束是等式約束還是不等式約束或是兩者兼有；設(shè)計變量是連續(xù)的還是離散的或者是混合的；目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)是線形的還是非線性的，即屬于現(xiàn)行規(guī)劃問題還是非線性規(guī)劃問題。優(yōu)化設(shè)計問題規(guī)模的大小 主要指設(shè)計變量的多少和約束條件的多少。目標(biāo)函數(shù)和約束函數(shù)是否連續(xù)和有凸性，是否存在一階和二階導(dǎo)數(shù)等。367.5.2優(yōu)化方法的評價準(zhǔn)則 為了比較不同算法的特性以及相應(yīng)軟件的技術(shù)水平，就的要一個合理的評價準(zhǔn)則來加以衡量。下面簡述幾個主要的評價準(zhǔn)則。1，可靠性 算法的可靠性是指在合理的精度要求下，在一定的計算時間或一定的迭代次數(shù)內(nèi)求出最優(yōu)解得成功率。它表征了算法對各種優(yōu)化數(shù)學(xué)模型的解題能力。能夠解出的問題越多，可靠