曲線積分與格林公式總結(jié)資料講解

1、曲線積分與格林公式總結(jié)一、對弧長的曲線積分的概念與性質(zhì)曲線形構(gòu)件的質(zhì)量設(shè)一曲線形構(gòu)件所占的位置在xOy面內(nèi)的一段曲線弧L上 已知曲線形構(gòu)件在 點(x y)處的線密度為(x y)求曲線形構(gòu)件的質(zhì)量把曲線分成n小段S1S2sn( s也表示弧長)任取(ii)s得第i小段質(zhì)量的近似值(ii) Sin整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量近似為M ( i, i) Si 1令 max siS2sn 0則整個物質(zhì)曲線的質(zhì)量為nM lim ( i, i) s0i 1這種和的極限在研究其它問題時也會遇到定義設(shè)L為xOy面內(nèi)的一條光滑曲線弧 函數(shù)f(x y)在L上有界 在L上任意插入一點列Mi M2Mn i把L分在n個小段.設(shè)第i個

2、小段的長度為s又(ii)為第i個小段上任意取定的一點作乘積f( i i) si (i 1 2 n )并作和nf( i, i) si如果當(dāng)各小弧段的長度的最大值0這和的極限總存在 則稱此i 1極限為函數(shù)f(x y)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分記作n.f(x,y)ds 即 L f(x,y)ds lim f( i, J sLL0i 1其中f(x y)叫做被積函數(shù)L叫做積分弧段設(shè)函數(shù)f(x y)定義在可求長度的曲線L上并且有界將L任意分成n個弧段S1 S2sn并用s表示第i段的弧長n在每一弧段Si上任取一點(i i)作和 f ( i, i) Sii 1令 max si S2Sn如果當(dāng)

3、0時這和的極限總存在則稱此極限為函數(shù)f(x y)在曲線弧L上對弧長的曲線積分或第一類曲線積分記作Lf化y)ds即n.f(x,y)ds lim f( i, J sL0i i其中f(x y)叫做被積函數(shù)L叫做積分弧段曲線積分的存在性當(dāng)f(x y)在光滑曲線弧L上連續(xù)時對弧長的曲線積分l f(x, y)ds是存在的 以后我們總假定f(x y)在L上是連續(xù)的根據(jù)對弧長的曲線積分的定義曲線形構(gòu)件的質(zhì)量就是曲線積分L (x, y)ds的值其中(x y)為線密度n對弧長的曲線積分的推廣f(x,y,z)ds lim f( i, i, i) si0i i如果L(或)是分段光滑的則規(guī)定函數(shù)在L(或 )上的曲線積分

4、等于函數(shù)在光 滑的各段上的曲線積分的和例如設(shè)L可分成兩段光滑曲線弧Li及L2則規(guī)定.f (x,y)ds L f(x, y)ds L f (x,y)dsJ L2L1L2閉曲線積分 如果L是閉曲線 那么函數(shù)f(x y)在閉曲線L上對弧長的曲線 積分記作:L f (x,y)ds對弧長的曲線積分的性質(zhì)性質(zhì)1設(shè)C1、C2為常數(shù)貝ULcif(x,y) C2g(x,y)dsLf(x,y)ds C2 Lg(x,y)ds性質(zhì)2若積分弧段L可分成兩段光滑曲線弧Li和L2則.f (x,y)ds L f (x, y)ds L f (x, y)dsL L1L2性質(zhì)3設(shè)在L上f(x y) g(x y)則Lf (x,y)d

5、s Lg(x，y)ds特別地有I L f(x, y)ds| L| f (x,y)|ds二、對弧長的曲線積分的計算法根據(jù)對弧長的曲線積分的定義如果曲線形構(gòu)件L的線密度為f(x y)則曲線形構(gòu)件L的質(zhì)量為Lf (x,y)ds另一方面 若曲線L的參數(shù)方程為x (t) y (t) ( t )則質(zhì)量元素為f(x,y)ds f (t), (t)2(t)2(t)dt曲線的質(zhì)量為f (t), (t)h.2(t)2(t)dt即 Lf(x,y)ds f (t), (t)、2(t)2(t)dt定理設(shè)f(x y)在曲線弧L上有定義且連續(xù)L的參數(shù)方程為x (t) y (t) ( t )其中(t)、(t)在上具有一階連續(xù)

6、導(dǎo)數(shù) 且2(t)2(t) 0則曲線積分l f(x, y)ds存在且Lf(x,y)ds f (t), (t)2(t)2(t)dt( )證明(略)應(yīng)注意的問題 定積分的下限 一定要小于上限討論若曲線L的方程為y (x)(a x b)貝U Lf(x,y)ds ? 提示 L的參數(shù)方程為x x y (x)(a x b)Lf(x, y)ds ：fx, (x) ,12(x)dx若曲線L的方程為x (y)(c y d)貝U l f (x, y)ds ? 提示L的參數(shù)方程為x (y) y y(c y d)L f(x,y)ds d f (y),y、2(y)1dyLc若曲 的方程為x (t) y (t) z (t)

7、( t )則 f(x,y,z)ds ?提示 f(x, y,z)ds f (t), (t), (t)2(t)2(t)2(t)dt例1計算LV?ds其中L是拋物線y x2上點0(0 0)與點B(1 1)之間的一段弧解曲線的方程為y x2 (0 x 1)因此L、yds x2 .J (x2) 2dx0/1 4x2dx 12(5/5 1)例2計算半徑為R、中心角為2的圓弧L對于它的對稱軸的轉(zhuǎn)動慣量1(設(shè)線 密度為 1)解取坐標系如圖所示 則I L y2ds曲線L的參數(shù)方程為x Rcos y Rsi n (0是比例常數(shù)于是 W 陽 kxdx kydy k 陽 xdx ydyk J( a2costsint

8、b2sintcost)dtk(a2 b2) 02sintcostdt (a2 b2)三、兩類曲線積分之間的聯(lián)系由定義得LPdx Qdy L(Pcos Qsin )dsLP,Qcos ,sin ds F dr其中F P Q T cos sin為有向曲線弧L上點(x y)處單位切向量dr Tds dx dy類似地有Pdx Qdy Rdz (Pcos Qcos Rcos )dsP,Q,R cos ,cos ,cos ds F dr其中F P Q R T cos cos cos為有向曲線弧 上點(x y z)處單們切向量 dr Tds dx dy dz 一、格林公式單連通與復(fù)連通區(qū)域設(shè)D為平面區(qū)域 如

9、果D內(nèi)任一閉曲線所圍的部分都屬于 D則稱D為平面單連通區(qū)域否則稱為復(fù)連通區(qū)域?qū)ζ矫鎱^(qū)域D的邊界曲線L我們規(guī)定L的正向如下 當(dāng)觀察者沿L的這個方 向行走時D內(nèi)在他近處的那一部分總在他的左邊區(qū)域D的邊界曲線L的方向定理1設(shè)閉區(qū)域D由分段光滑的曲線L圍成 函數(shù)P(x y)及Q(x y)在D上具有一階連續(xù)偏導(dǎo)數(shù)則有Q P ( )dxdy : Pdx Qdy x y L其中L是D的取正向的邊界曲線簡要證明僅就D即是X 型的又是Y型的區(qū)域情形進行證明設(shè)D (x y)| i(x) y2(x) a x b因為-p連續(xù) 所以由二重積分的計算法有 dxdyy2(x)i(x)巴嚴ddXbaPx, 2(X) Px,

10、i(x)dx另一方面 由對坐標的曲線積分的性質(zhì)及計算法有Pdx LPdxLPdxbaPx, i(x)dxaPx, 2(x)dxbPx, i(x) Px, 2(x)dxa因此Pdxdy yPdx設(shè) D (x y)| i(y) x2(y) c y d類似地可證 dxdyxQdx由于D即是X型的又是Y型的 所以以上兩式同時成立 兩式合并即得Q dxdyPdx Qdyx yL應(yīng)注意的問題且邊界對復(fù)連通區(qū)域D格林公式右端應(yīng)包括沿區(qū)域D的全部邊界的曲線積分的方向?qū)^(qū)域D來說都是正向設(shè)區(qū)域D的邊界曲線為L取P y Q x則由格林公式得、 12 dxdy L xdy ydx 或 A dxdy L xdy yd

11、x DD例1橢圓x a cos y bsin所圍成圖形的面積 A分析只要弓于1就有DP)dxdy dxdy AyD解 設(shè)D是由橢圓x=acos y=bsin所圍成的區(qū)域令P 2yQ 2x則Q Px y于是由格林公式A dxdy D1 1 ydx xdyydx xdy2 0 (absin2abcos2 )d-ab 2 d ab2例2設(shè)L是任意一條分段光滑的閉曲線 證明2xydx x2dy 0證令P 2xy Q x2則-QxP2X2x 0因此 由格林公式有2xydxx2dyOdxdy 0 （為什么二重積分前有“D”號？）2例3計算 e y dxdy其中D是以0(0D0) A(1 1) B(0 1)

12、為頂點的三角形閉區(qū)分析要使號上異只需p2xe y解令P 0 Qxe y2 則-Qxey2因此由格林公式有e y?dxdyDxe dyOA AB BOxe dyOA1xe0 x2dx 1(1 e1)例4計算；xdy 睜 其中L為一條無重點、分段光滑且不經(jīng)過原點的連續(xù)閉L x y曲線L的方向為逆時針方向解令 PQ -2x yx二則當(dāng)x2 y20時有號八弋記L所圍成的閉區(qū)域為D當(dāng)(0 0) D時由格林公式得0當(dāng)(0 0) D時在D內(nèi)取一圓周x2 y2 r 2(r0)由L及I圍成了一個復(fù)連通區(qū)域D 1應(yīng)用格林公式得. xdy ydx . xdy ydx 0l x2 y2I x2 y20r2曲嚴汗d 2r其中I的方向取逆時針方向于曰xdy ydx ” xdy ydx 于疋 I x2 y2 I x2 y2解記L所圍成的閉區(qū)域為當(dāng)(0 0) D